江西省临川第一中学2023-2024学年高一下学期3月考试数学试卷（含答案）

这是一份江西省临川第一中学2023-2024学年高一下学期3月考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列为如下：甲队：7，12，12，20，，31；乙队：8，9，，19，25，28.这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为（ ）
A.2和3B.0和2C.0和3D.2和4
3.已知，，则“”是“”的（ ）
A.充要条件B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件D.必要不充分条件
4.一个表面被涂上红色的棱长为（，）的立方体，将其适当分割成棱长为的小立方体，从中任取一块，则恰好有两个面是红色的概率是（ ）
A.B.C.D.
5.若下图为的大致图象，则函数的解析式最可能为（ ）
A.B.C.D.
6.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
7.若，，，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ）
A.与不互斥且相互独立B.与互斥且不相互独立
C.与互斥且不相互独立D.与不互斥且相互独立
10.下列命题中正确的是（ ）
A.“”是“”的必要不充分条件
B.若角是第三象限角，则可能在第三象限
C.若且，则为第二象限角
D.锐角终边上一点坐标为，则
11.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.是奇函数
C.若，则
D.若当时，，则在单调递减
12.已知，，，，则以下结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则________.
14.若是上的减函数，则的取值范围为________.
15.已知函数，.设，.记的最小值为，的最大值为，则________.
16.已知正实数、满足，则的取值范围为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）设命题：实数满足，，命题：实数满足.
（1）若，且与均是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18.（12分）某中学400名学生参加全市数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，得到如下频率分布直方图：
（1）由频率分布直方图求样本中分数的75％分位数；
（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（3）已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差.
19.（12分）已知函数.
（1）若，求函数的单调递增区间；
（2）当时，函数的最大值为1，最小值为，求实数，的值.
20.（12分）已知函数为奇函数.
（1）解不等式；
（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
21.（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空.
（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率；
（3）求甲最终获胜的概率.
22.（12分）已知函数，，的定义域均为，给出下面两个定义：
①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换；
②若对任意的，均有，则称与关于任意交换.
（1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由；
（2）设，，若存在函数，使得与关于任意交换，求的值；
（3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求的值.
参考答案
填空题：13.14.15.16.
7.A
【详解】，，，因为，则，所以，即；
而，，所以，所以，即；综上：.故选：A.
8.A
【详解】设函数，因为函数为奇函数，函数为奇函数，所以为奇函数.因为函数，在上均为单调递增函数，所以在上单调递增.
由，得，即，，所以，根据在上单调递增，可得，解得.故选：A
11.ABD
【详解】因为，令，得，所以，故A正确；令，得，所以，令，得，又，所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故B正确；令，，得，又，，所以，故C错误；当，时，由，可得，又，，在上任取，，不妨设，，，，，故，在单调递减，故D正确.故选：ABD.
12.ABD
【详解】A项，、分别是函数与和图象交点的横坐标，由图可知，，，又因为函数图象关于对称，所以、两点关于对称，所以，，所以A项正确；B项，因为，且，所以，取倒数有，，即：，由A项可知，，，所以，所以B项正确；C项，由得：，由图象可知，，所以，所以C项错误；D项，因为，所以，当且仅当时取等，又因为，所以等号不能取，所以，所以D项正确.故选：ABD.
15.
【详解】，，令，得或.因为，，所以的最小值，的最大值，所以.故答案为：.
16.
【详解】因为，则，所以，，设，因为且，由基本不等式可得，所以，，则，当且仅当时，等号成立，所以，，即，解得.因此，的取值范围是.故答案为：.
解答题：
17.（1）；（2）
【详解】（1）解：当时，若命题为真命题，则不等式为，解得；若命题为真命题，则由，解得.为真命题，则真且真，实数的取值范围是.
（2）由，解得，又，.：，：，是的必要不充分条件，，，解得.实数的取值范围是.
18.（1）78.75；（2）20；（3）
【详解】（1）由频率分布直方图可得分数分位数位于并设为，则有，解得.故频率分布直方图可得分数分位数为：78.75.
（2）由频率分布直方图知，分数在的频率为，在样本中分数在的人数为人，在样本中分数在的人数为95人，所以估计总体中分数在的人数为人，所以总体中分数小于40的人数为20.
（3）总样本的均值为，所以总样本的方差为.故总样本的方差为.
19.（1）；（2）或.
【详解】（1）依题意，，由，，得，，所以函数的单调递增区间为.
（2）当时，，则，即，
令，则，显然，
当时，函数在上单调递减，于是，解得，
当时，函数在上单调递增，于是，解得，
所以实数，的值为或.
20.（1）；（2）.
【详解】（1）解：由的定义域为，因为为奇函数，可得，解得，所以，又由不等式，可得，整理得，解得，所以不等式的解集为.
（2）解：因为，总有，使得成立，所以函数的值域是函数的值域的子集，而，令，所以，所以，又由在上递增，所以，所以，解得，所以的取值范围为.
21.（1）；（2）；（3）
【详解】（1）记事件为甲胜乙，则，，事件为甲胜丙，则，，事件为乙胜丙，则，，前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为.
（2）只需四场比赛就决出冠军的概率为：.
（3）由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为，第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件，甲当裁判为事件，
所以甲最终获胜的概率.
22.（1）唯一交换，理由见解析；（2）；（3）
【详解】（1）与关于是唯一交换，理由如下：因为，，令，所以，解得，所以有唯一解，所以与关于是唯一交换.
（2）由题意可知，对任意的，成立，即对任意的，；因为为函数，且，故，
故，即，
所以，综上所述，.
（3）当时，，因为与关于唯一交换，所以存在唯一实数，使得，即存在唯一实数，使得，即存在唯一实数，使得；令，，，且，，定义域均为，又，，所以，都是偶函数，所以为偶函数，因此，若存在唯一实数使得，只能是，所以，综上所述，的取值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
B
B
C
A
A
ABD
BCD
ABD
ABD