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重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期定时检测（一）（3月月考）数学试题（含答案）
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这是一份重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期定时检测（一）（3月月考）数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，有下列说法，其中正确的说法为等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分；考试时间：120分钟）
2024年3月
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答填空题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为，则该扇面的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象如图所示，其中，，，则下列关于函数的说法中错误的是（ ）
A．在上单调递减B．
C．最小正周期是D．对称轴是直线
7．如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知外接圆圆心为O，G为所在平面内一点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．有下列说法，其中正确的说法为（ ）
A．若，，则
B．若，则P是三角形的垂心
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若，则存在唯一实数使得
10．在中，角A，B，C的边分别为a，b，c，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．周长的最大值为D．面积的最大值12
11．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线且经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．函数在区间有最大值2
C．，使得
D．若对，都有，则
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．
12．若向量，的夹角为钝角，则实数t的取值范围为＿＿＿．
13．在中，，，，的角平分线交于D，则＿＿＿．
14．已知满足三个条件，其中两个条件分别是：；．若这样的恰好有2个，则第三个条件可以是＿＿＿．（选出所有符合要求的答案的序号）
①②③是等腰三角④是直角三角形
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，，
（1）若向量与垂直，求与夹角的余弦值；
（2）若，且与共线，求k的值．
16．（15分）已知函数，其图像关于点中心对称．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向右平移个单位长度得到的图象．若，，求的值．
17．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求的大小；
（2）若，且的面积为，求的长度；
（3）若为锐角三角形，，求的面积的取值范围．
18．（17分）已知向量，，函数．
（1）求的值；
（2）当时，方程有解，求实数m的取值范围；
（3）是否存在正实数a，使不等式对所有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
19．（17分）将所有平面向量组成的集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，都是实数．定义映射f的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数使得，则称为f的一个特征值．
（1）若，求；
（2）若，计算f的特征值并求出相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）
（3）若，要使f有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射f，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证f满足这两个条件．
西南大学附中高2026届高一下定时检测（一）
数学试题
1-8：DACBCABD
9．BC10．AC11．ABD
12．且13．414．①④
15．解：（1），，，，
（2）
，，
，又，与共线
，
16．解：（1）
因为图像关于点中心对称
，，
，，
令
的单调递减区间为
（2）由题意得：
，
，
17．解：（1）由及正弦定理，得，
因为，且，
所以，即，
因为，所以；
（2）由的面积为，得，
，，
又因为，，，，
在中，由余弦定理，得，
所以．
（3）由余弦定理，得，
将代入，整理，得，
因为为锐角三角形
，，
法2：
因为为锐角三角形
，，
，
18．解：（1）
（2）令，
则，，
因为对称轴为直线，在上单调递减
，
因为方程在有解，，
（3）存在，符合题意
不等式可化为对恒成立
令，
当时，，不满足题意，舍
当时，，
当时，，，
，此不等式无实数解
当时，，，舍
综上：
19．解：（1）
当时最大为1，即
由得，
即，，
当特征值时，，当特征值时，
（写出一个符合条件的即可）
（3），
所以，要使f有唯一的特征值，则
当，时，
此时，f有唯一的特征值
且由于，
（满分：150分；考试时间：120分钟）
2024年3月
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答填空题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为，则该扇面的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象如图所示，其中，，，则下列关于函数的说法中错误的是（ ）
A．在上单调递减B．
C．最小正周期是D．对称轴是直线
7．如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知外接圆圆心为O，G为所在平面内一点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．有下列说法，其中正确的说法为（ ）
A．若，，则
B．若，则P是三角形的垂心
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若，则存在唯一实数使得
10．在中，角A，B，C的边分别为a，b，c，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．周长的最大值为D．面积的最大值12
11．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线且经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．函数在区间有最大值2
C．，使得
D．若对，都有，则
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．
12．若向量，的夹角为钝角，则实数t的取值范围为＿＿＿．
13．在中，，，，的角平分线交于D，则＿＿＿．
14．已知满足三个条件，其中两个条件分别是：；．若这样的恰好有2个，则第三个条件可以是＿＿＿．（选出所有符合要求的答案的序号）
①②③是等腰三角④是直角三角形
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，，
（1）若向量与垂直，求与夹角的余弦值；
（2）若，且与共线，求k的值．
16．（15分）已知函数，其图像关于点中心对称．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向右平移个单位长度得到的图象．若，，求的值．
17．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求的大小；
（2）若，且的面积为，求的长度；
（3）若为锐角三角形，，求的面积的取值范围．
18．（17分）已知向量，，函数．
（1）求的值；
（2）当时，方程有解，求实数m的取值范围；
（3）是否存在正实数a，使不等式对所有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
19．（17分）将所有平面向量组成的集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，都是实数．定义映射f的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数使得，则称为f的一个特征值．
（1）若，求；
（2）若，计算f的特征值并求出相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）
（3）若，要使f有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射f，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证f满足这两个条件．
西南大学附中高2026届高一下定时检测（一）
数学试题
1-8：DACBCABD
9．BC10．AC11．ABD
12．且13．414．①④
15．解：（1），，，，
（2）
，，
，又，与共线
，
16．解：（1）
因为图像关于点中心对称
，，
，，
令
的单调递减区间为
（2）由题意得：
，
，
17．解：（1）由及正弦定理，得，
因为，且，
所以，即，
因为，所以；
（2）由的面积为，得，
，，
又因为，，，，
在中，由余弦定理，得，
所以．
（3）由余弦定理，得，
将代入，整理，得，
因为为锐角三角形
，，
法2：
因为为锐角三角形
，，
，
18．解：（1）
（2）令，
则，，
因为对称轴为直线，在上单调递减
，
因为方程在有解，，
（3）存在，符合题意
不等式可化为对恒成立
令，
当时，，不满足题意，舍
当时，，
当时，，，
，此不等式无实数解
当时，，，舍
综上：
19．解：（1）
当时最大为1，即
由得，
即，，
当特征值时，，当特征值时，
（写出一个符合条件的即可）
（3），
所以，要使f有唯一的特征值，则
当，时，
此时，f有唯一的特征值
且由于，
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