江苏省南京秦淮外国语学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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2．非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1. 下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合，即可得到答案．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 已知四边形是平行四边形，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
3. 当a＜0时，化简的结果是( )
A. B. C. －D.
【答案】A
【解析】
【分析】由a0，再根据二次根式的性质进行化简为最简二次根式形式.
【详解】∵a0，
∴=·=·（-a）= ,故选A.
【点睛】此题主要考查二次根式的化简.
4. 如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（ ）
A. 34B. 89C. 74D. 109
【答案】C
【解析】
【分析】过点B作BM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l1于点N，根据正方形的性质，易证△MAB≌△NDA（AAS），可得AN＝MB，再根据题意，即可求出AN和ND，根据勾股定理，可得AD的长，进一步即可求出正方形ABCD的面积．
【详解】解：过点B作BM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l1于点N，如图所示：
则有∠BMA＝∠AND＝90°，
∴∠MBA＋∠MAB＝90°，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠MAB＋∠DAN＝90°，
∴∠DAN＝∠MBA，
∴△MAB≌△NDA（AAS），
∴AN＝MB，
∵h1＝5，h2＝2，
∴AN＝MB＝5，ND＝5＋2＝7，
根据勾股定理，得 ，
∴正方形ABCD的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及勾股定理，全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为；④当点H与点A重合时，．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】先根据翻折的性质可得CF＝FH，∠HFE=∠CFE，可证△FEH是等腰三角形，可得HE=HF=FC，判断出四边形CFHE是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时CE平分∠DCH，判断出②错误；过点F作FM⊥AD于M，点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=FM=MD＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．
【详解】解：∵将纸片ABCD沿直线EF折叠，
∴FC=FH，∠HFE=∠CFE，
∵AD∥BC，
∴∠HEF=∠EFC=∠HFE，HE∥FC，
∴△HFE为等腰三角形，
∴HE=HF=FC，
∵EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴EH∥CF，且HE=FC，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵FC=FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
∵HC为菱形的对角线，
∴∠BCH＝∠ECH，∠BCD=90°，
∴只有∠DCE＝30°时CE平分∠DCH，故②错误；
过点F作FM⊥AD于M，
点H与点A重合时，BF最小，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
点G与点D重合时，点H与点M重合，BF最大，CF=FM=DM＝CD＝4，
∴BF＝4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；
当点H与点A重合时，由③中BF=3，
∴AF=AE=CF=EC=8-3=5，
则ME＝5﹣3＝2，
由勾股定理得，
EF＝＝2，故④错误；
综上所述，结论正确的有①③共2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形折叠性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握矩形折叠性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题关键．
6. 如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可．
【详解】解：将菱形ABCD向右平移至点B与点G重合，然后以点G为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG；故①符合题意；
将菱形ABCD向右平移至点C与点F重合，然后以过点F的垂线为对称轴翻折即可得到菱形AEFG；故②符合题意；
将菱形ABCD以点A为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG；
设直线BD、GE相交于点O，将菱形ABCD以点O为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG；
但旋转中心只有点A和点O两个个，故③不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7. 在整数20240320中，数字“0”出现的频率是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了频数与频率．根据频率的计算公式：频率频数除以总数进行计算即可．
【详解】解：一共8个数字，“0”出现了3次，数字“0”出现的频率是：．
故答案为：．
8. 直角三角形中，直角边a，b，斜边为c，则______（填>，<，=）
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理和不等式性质证明即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式基本性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
9. 与最接近的整数是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】先估算的大小，然后得出最接近的整数．
【详解】解：∵，
∴3＜＜4，且比较接近4，
∴，且比较接近3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
10. 如图是某广告商制作甲、乙两种酒的价格变化的折线统计图，则酒的价格增长比较快的是__________．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【解析】
【分析】根据折线统计图中的数据判断即可．
【详解】解：由折线统计图知，
甲种酒从2012年到2020年价格增长量是=2.5元，
乙种酒从2016年到2020年价格增长量是=5元，
故乙种酒价格增长速度比甲快，
故答案为：乙．
【点睛】此题主要考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率．
11. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的4个红球，6个黑球，现在再放入个黑球并摇匀．若随机摸出一个球是黑球的可能性大小是，则m的值为______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了概率公式的应用．由概率=所求情况数与总情况数之比，根据随机摸出一个球是黑球的概率等于可得方程，继而求得答案．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：10．
12. 如图，在中，，D是延长线上的一点，．M是边上的一点（点M与点B、C不重合），以为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是______．

【答案】
【解析】
【分析】过点B作交延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，分析可知为的最大值，为的最小值，据此即可求解．
【详解】解：过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，如图所示：

由题意得：点在线段上运动（不与点重合），点在线段上运动（不与点重合），
∴为的最大值，当时，取得最小值，最小值等于的长，
∵，
∴，
∵，
∴，故，
∵且，
∴，，
∵P为的中点，
∴，
∵P为的中点，
∴为的中点，
∴，，
∵，
∴，，
故，
∵点M与点B、C不重合，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理、动点轨迹问题，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合．根据题意确定动点轨迹是解题关键．
13. 如图，、两点的坐标分别为、，是平面直角坐标系内一点．若四边形是平行四边形，则点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵点，
，
∵四边形是平行四边形，
，
∵点，
∴点，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是△ABC内一点．若PA＝1，PC＝2，∠APC＝135°，则PB的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】把△APC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC，根据旋转的性质可得△PCD是等腰直角三角形，BD=AP，∠APC=∠BDC，根据等腰直角三角形的性质求出PD，∠PDC=45°，然后利用勾股定理逆定理判断出△PBD是直角三角形，∠PDB=90°，再求出∠BDC即可得解．
【详解】解：如图，
把△APC绕点A顺时针旋转90°得到△ADP，
由旋转的性质得，△ADP是等腰直角三角形，AD=AP=1，BD=PC=2，∠ADB=∠APC=135 ，
所以，

，

故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键．
15. 如图，四边形为平行四边形，延长到点E，使，且，若是边长为3的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据四边形为平行四边形，得到，结合，得到，根据是边长为3的等边三角形，得到，得到四边形是菱形，结合得到,得到四边形是菱形，作点M关于直线得对称点Q，则Q一定在上，根据垂线段最短，过点Q作于点G，交于点R，当P与R重合，点N与点G重合时，取得最小值，即菱形的高，过点C作于点F，计算即可，本题考查了菱形的判定和性质，线段和最小，垂线段最短，正确构造最短线段是解题的关键．
【详解】∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是边长为3的等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，
∴
∴是边长为3的等边三角形，
∵
∴,
∴四边形是菱形，
作点M关于直线得对称点Q，则Q一定在上，根据垂线段最短，过点Q作于点G，交于点R，当P与R重合，点N与点G重合时，取得最小值，即菱形的高，
过点C作于点F，
∴，
∴，
故的最小值为，
故答案为：．
16. 如图，矩形中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为()，得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，这个最大值＝________．
【答案】##
【解析】
分析】本题考查矩形性质，勾股定理，旋转性质．连接，作于．当与共线，且时，面积最大，利用，求出，再根据计算即可得出答案．
【详解】解：连接，作于，
，
当与共线，且时，面积最大，
由题意：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积最大值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共68分，请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
（1）直接利用二次根式的性质化简二次根式，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（3）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，去绝对值，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格：
（1）表格中m的值为 ，n的值为 ．
（2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率．
（3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？
【答案】（1）475，0.95
（2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05
（3）46元
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法：
（1）根据频数等于总数乘以频率，即可求解；
（2）根据6次次衬衫从50件增加到1000件时，衬衣合格的频率趋近于0.95，所以估计衬衣合格的概率为0.95，即可；
（3）用2乘以被抽检出一件不合格产品的数量，即可求解．
【小问1详解】
解：，；
故答案为：475，0.95
【小问2详解】
解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95，
∴估计衬衣合格的概率为0.95，
∴估计衬衣不合格的概率为
故答案为0.05．
【小问3详解】
解：（元），
即估计要在他奖金中扣除46元材料损失费．
19. 如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A=50°,则当∠BOD=___°时，四边形BECD是矩形.
【答案】（1）见解析；（2）100.
【解析】
【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∴∠OEB=∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO=CO，
在△BOE和△COD中

∴△BOE≌△COD(AAS)；
∴OE=OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A=50°,则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠A=50°，
∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC=100°−50°=50°=∠BCD，
∴OC=OD，
∵BO=CO，OD=OE，
∴DE=BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形；
故答案为100.
【点睛】此题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，解题关键在于掌握各判定定理.
20. 某市对一大型超市销售的甲、乙、丙3种大米进行质量检测．共抽查大米200袋，质量评定分为A、B两个等级（A级优于B级），相应数据的统计图如下：
根据所给信息，解决下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）已知该超市现有乙种大米750袋，根据检测结果，请你估计该超市乙种大米中有多少袋B级大米？
（3）对于该超市的甲种和丙种大米，你会选择购买哪一种？运用统计知识简述理由．
【答案】（1）55；5．
（2）100袋．
（3）丙种大米．理由见解析．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据甲的圆心角度数是108°，求出所占的百分比，再根据总袋数求出甲种大米的袋数，即可求出a、b的值：
∵甲的圆心角度数是108°，所占的百分比是×100=30%，
∴甲种大米的袋数是：200×30%=60（袋）．
∴a=60﹣5=55（袋），b=200﹣60﹣65﹣10﹣60=5（袋）．
（2）根据题意得先求出该超市乙种大米中B级大米所占的百分比，再乘以乙种大米的总袋数即可．
（3）分别求出超市的甲种大米A等级大米所占的百分比和丙种大米A等级大米所占的百分比，即可得出答案．
解：（1）55；5．
（2）根据题意得：750×=100，
答：该超市乙种大米中有100袋B级大米．
（3）∵超市的甲种大米A等级大米所占的百分比是×100%=91.7%，
丙种大米A等级大米所占的百分比是×100%=92.3%，
∴我会选择购买丙种大米．
21. （1）请用直尺（不带刻度）和圆规在图中作菱形，要求点、、分别在边，和上（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，，则菱形的边长为______．
【答案】（1）见解析；（2）6
【解析】
【分析】本题考查了作图复杂作图，菱形的判定与性质，解直角三角形．
（1）先作的平分线，再作的垂直平分线得到，则四边形为菱形；
（2）与相交于点，如图，利用菱形的性质得到，则可判断，所以，然后利用，可计算出结果．
【详解】解：（1）如图，菱形为所作；
（2）与相交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，，
在中，，
，
即菱形的边长为6．
故答案为：6．
22. 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有．
∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b．
得：______，______．
（2）化简：
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，比较对应项系数即可．
（2）根据，得；根据得,后分母有理化即可.
本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键.
【小问1详解】
∵，
∴，，
故答案为：，.
【小问2详解】
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴
.
23. 如图，在矩形中，，，点M为边中点，连接，过B作于点．连接并延长交于点E．
（1）求证：．
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）延长、交于点，利用“”证明，由全等三角形性质可得，，易得点为中点，再结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可得，可推导，进而推导，即可证明；
（2）设，则，，，在中，由勾股定理可解得，即可解得答案．
【小问1详解】
证明：延长、交于点，如图，
∵点为边中点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴
∴，，
∴点为中点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设，
由（1）可知，，，
∴，，，
∴在中，有，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、勾股定理等知识，解题关键是正确作出辅助线．
24. 如图①，如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N．
（1）求证：；
（2）如图②，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状．
【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形．
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线定理以及平行线的性质和等腰三角形的判定．通过添加辅助线构造三角形的中位线是解题的关键．
（1）取的中点H，连接，利用三角形中位线定理和平行线性质完成即可；
（2）如图，取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，即可证明是等腰三角形．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，取的中点H，连接、，
∵E、F分别是、的中点，
∴分别是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：是等腰三角形；
证明：如图，取的中点H，连接、，
∵E、F分别是、的中点，
∴分别是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
25. 如图，在正方形中，，E是射线上的一点，连接，过点E作，交直线于点F，以为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形正方形；
（2）如图1，当E点在对角线上时，求的值；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，掌握矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）作于点M，于点N，根据正方形和矩形的性质可证明，从而有，进而可证明矩形是正方形；
（2）利用正方形的性质可证明，从而有，则，则答案可求．
（3）分情况讨论，利用勾股定理计算即可．
【小问1详解】
（1）如图，作于点M，于点N，
∵四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴．
，
∴四边形是矩形，
∴，
．
，
，
，
∴矩形是正方形；
【小问2详解】
解∵四边形和都是正方形，
∴，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：①如图所示，当E点在对角线上时，作于点O，
∵四边形都是正方形，
∴，
，
，
，
，
②当E点在对角线外时，如图所示：
同①可得：
，
，
，
综上所述，或
26. 我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线．已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．由此，进一步探究
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件．
（3）命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形．
①小明认为这是假命题，尝试画出反例．如图②，他先画出四边形ABCD的一条边AB，一条对角线BD．请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法）
②小明进一步探索发现，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，且OB＝OD，BD＝8，∠AOB＝60°，对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化，直接写出平行四边形ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）是假命题，反例见解析
（3）①见解析；②当时，0个；当或时，1个；当时，2个
【解析】
【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（2）这个命题是假命题，利用等腰梯形ABCD说明即可；
（3）（Ⅰ）根据要求作出图形即可．
（Ⅱ）判断出两种特殊情形AB的值，可得结论．
【小问1详解】
证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴2∠A+2∠B=360°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC，
同理AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
【小问2详解】
解：命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．
这个命题是假命题，如图等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，满足条件，但不是平行四边形．
【小问3详解】
解：（Ⅰ）如图，四边形ABCD即为所求．
（Ⅱ）如图③中，当BA⊥AC时，
∵OB=OD=4，∠AOB=60°，
∴AB=OB•sin60°=，
观察图象可知当或4时，存在一个平行四边形ABCD，
当时，存在两个平行四边形ABCD，
当AB＞4时，存在两个平行四边形ABCD，
当时，不存在满足条件的平行四边形．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，命题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．抽取件数（件）
50
100
200
300
500
1000
合格频数
49
94
192
285
m
950
合格频率
0.98
0.94
0.96
0.95
0.95
n