2024年河南省安阳市殷都区九年级教学质量抽测数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．请直接将答案写在答题卡上，写在试题卷上的答案无效．
3．答题时，必须使用2B铅笔按要求规范填涂，用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列是与中国航天事业相关的图标，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形”进行判断即可．
【详解】解：不是中心对称图形，故A不符合题意；
不是中心对称图形，故B不符合题意；
不是中心对称图形，故C不符合题意；
是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D．
2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图的定义判断．
【详解】根据主视图的定义，从正面（图中箭头方向）看到的图形应为两层，上层有2个，下层有3个小正方形，
故答案为：C．
【点睛】本题考查主视图的定义，注意观察的方向，掌握主视图的定义判断是解题的关键．
3. 如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．先求出，再根据平行线分线段成比例定理列式计算，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件．据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故选：C．
5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规律求解即可，熟练掌握二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【详解】解：二次函数的图象平移后的函数为：．
故选：A
6. 如图，点A，B，C，D在上，是的直径，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
根据圆周角定理得到，从而可求得，再根据即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵
∴
由圆周角定理得，，
故选：B．
7. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
将代入得，，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
∴配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是，
故选：A．
8. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点在第二象限，点在轴正半轴上，，．将绕点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作轴于C，根据旋转的性质及等角对等边性质，利用含角的直角三角形及勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作轴于C，如图所示：
∵，，
∴，，
又∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等角对等边性质、含角的直角三角形和勾股定理的应用，熟练掌握旋转的性质及勾股定理的应用，借助辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程，与不等式之间的关系；根据函数图象即可判断①②④；求出对称轴，再由开口向上得到离对称轴越远函数值越大，即可判断③．
【详解】解：由函数图像可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，自变量的取值范围为，
∴当时，，故①正确；
∵二次函数与x轴的一个交点坐标为当，
∴是方程的一个解，故②正确；
∵抛物线经过，
∴，
∴，
∴抛物线对称轴为直线，
∵函数开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，故③正确；
由函数图象可知，当时，的取值范围是不是，故④错误，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 关于x的方程的一根为1，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
由方程的一根为1，将代入方程，即可求出m的值．
【详解】解：∵方程的一根为1，
∴把代入，得
，
解得：，
故答案为：2．
12. 在平面直角坐标系中，若点与点于原点对称，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，据此作答即可．
【详解】∵点与点于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积为________．

【答案】60
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右可估计点落入黑色部分的概率为0.6，再乘以正方形的面积即可得出答案．
【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.6，
∴估计黑色部分的总面积约为，
故答案为：60．
14. 如图，在中，，，，以点C为圆心，为半径作圆弧交于点D，交于点E，则阴影部分的面积为________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据锐角三角函数可求出的度数，再根据等边三角形的判定和性质求出的度数，最后由进行计算即可．
【详解】解：连接，
∵中，，，，而，
∴，则是等边三角形，
∴，，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，锐角三角函数以及等边三角形的判定和性质是正确解答的前提．
15. 如图，为矩形的对角线，，，把绕点旋转，点的对应点为点，当时，的长为________．
【答案】或
【解析】
【分析】分点在上方，和点在下方两种情况讨论，由，得到，，在中，求出，的长，当点在上方时，，当点在下方时，，中，根据勾股定理，即可求解，
本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：分情况讨论．
【详解】解：∵是矩形，
∴，，
当，且点在上方时，连接，过点作，交于点，
∵，
∴，
∴，即：，
设，，
根据旋转的性质，，
在中，，即：，解得：，
∴，，，
在中，，
当，且点在下方时，连接，过点作，交延长线于点，
∵，
∴，
∴，即：，
设，，
根据旋转的性质，，
在中，，即：，解得：，
∴，，，
在中，，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了用公式法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）先计算的值，再用公式计算，即得答案；
（2）通过移项，提取公因式，即得答案．
【小问1详解】
，，，
，
，
，；
【小问2详解】
移项，得 ，
提取公因式，得 ，
即 ，
，．
17. 2023年10月26日，“神舟”十七号载人飞船发射成功，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着汤洪波、唐胜杰、江新林三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．
（1）甲选手从中随机抽到卡片A的概率是________；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）列表可得共有9种等可能结果，其中甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的情况有3种，再利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
甲选手从A，B，C，卡片中随机抽到卡片A的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意，列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的情况有3种，
∴甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率为．
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）若为x轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集．
（1）利用一次函数求出，问题随之得解；
（2）反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可；
（3）先求出，表示出，根据的面积为，表示出，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：函数的图象经过，
，解得：，
，
，
反比例函数表达式为：；
【小问2详解】
函数的图象经过，
，
，
由图可得，不等式的解集是：或；
【小问3详解】
如图：
在中， 当时，得，
解得：，
，
，
，
，，
，
解得：或，
点P的坐标为或．
19. 如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
（参考数据：）

【答案】渔船没有触礁的危险
【解析】
【分析】过点作，分别解和，求出的长，即可得出结论．
【详解】解：过点作，由题意，得：，，，
设，

在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴渔船没有触礁的危险．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
20. 安阳是“文字之都”，甲骨文文创产品也日益成为甲骨文文化传播的使者，增加了人们理解甲骨文文化的途径．一家文创店某款甲骨文纪念品进价为每件30元．如果以单价60元销售，每天可卖出20件．调查发现，该纪念品的售价每降价1元，日销售量就会增加2件．设该纪念品每件降低m元（m为正整数），日销量利润为w元．
（1）当m为多少时，日销售利润保持不变？
（2）当m为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）当m为20时，日销售利润保持不变
（2）当m为10时，日销售利润最大，最大值为800元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意找出等量关系，列出关系式，以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=单件利润×数量，列出函数表达式，再将其化为顶点式，再根据二次函数的性质，结合自变量取值范围，即可解答．
【小问1详解】
解：由题意，得：
整理得：，
解得：，（舍去）
答：当m为20时，日销售利润保持不变；
【小问2详解】
解：
∵，
∴当时，w有最大值800，
答：当m为10时，日销售利润最大，最大值为800元．
21. 如图，为的直径，点C，D在圆上，，过点C做射线的垂线，垂足为E．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理及推论，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
（1）连接，可证明，可得，进而可得出结论；
（2）连接，证明，得，即可求得长．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴半径，
∴CE是切线．
【小问2详解】
解：如图，连接，

∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：的长为．
22. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
（1）抛物线的最高点坐标为________；
（2）求a，c的值；
（3）若嘉嘉在x轴上方高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
【答案】（1）
（2），
（3）符合条件的n的整数值为4和5
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数函数的应用．
（1）利用二次函数的顶点式即可得到顶点坐标；
（2）点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值；
（3）设嘉嘉在点D处可以接到沙包，求得点D的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
由抛物线可得，顶点坐标为．
故答案为：
小问2详解】
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线
当时，
即；
【小问3详解】
∵，
∴抛物线解析式为：．
设嘉嘉在点D处可以接到沙包，
∵点D到点A水平距离不超过，
∴点D的坐标范围为，
当抛物线经过时，
，解得，
当抛物线经过时，
，解得，
∴，
∵n为整数，
∴符合条件n的整数值为4和5．
23. （1）【问题发现】
如图1，在中，，，点D为的中点，以为一边作正方形，点E与点A重合，易知，则线段与的数量关系是________；
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，将正方形绕点B旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论；
（3）结论运用】
在（1）（2）的条件下，若的面积为8时，当正方形旋转到C、E、F三点共线时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2），详见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理得到即可求解；
（2）根据等腰直角三角形和正方形的性质证得，，进而可证得，利用相似三角形的性质可得结论；
（3）先利用等腰直角三角形的性质求得，，进而，设，则，根据题意分两种情况，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，点E与点A重合，
∴，
故答案为：；
（2），理由为：
∵在中，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵在中，，，的面积为8，
∴，则（负值舍去），
∴，
由（1）知，，
设，则，
∵C、E、F三点共线，
∴有两种情况：
①如图1，
在中，，，
由得，
解得（负值舍去）；
②如图②，
在中，，，
由得，
解得（负值舍去）；
综上，满足条件的线段值为或．
【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质，以及分类讨论和方程的思想的运用是解答的关键．
甲 乙
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC