中考数学相似三角形专项训练及答案

这是一份中考数学相似三角形专项训练及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知：如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则△ADE的面积为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（ ）

A. AC：BC=AD：BD B. AC：BC=AB：AD C. AB2=CD•BC D. AB2=BD•BC
4.如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，点F在CD延长线上，AF∥BC，则下列结论错误的是（ ）

A. = B. = C. = D. =
5.如果两个相似三角形的相似比是1：， 那么这两个相似三角形的面积比是（ ）
A. 2：1 B. 1： C. 1：2 D. 1：4
6.如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D.
7.（2014•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（ ）

A. 2：3 B. 2：5 C. 4：9 D. ：
8.如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（ ）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
A. B. C. 或 D. 或
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（ ）
A. B. C. ﹣1 D. +1
10.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（ ）
A. 3：2：1 B. 5：3：1 C. 25：12：5 D. 51：24：10
11.如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）
A. AE⊥AF B. EF︰AF＝︰1 C. AF2＝FH·FE D. FB︰FC＝HB︰EC
12.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）

A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：25
二、填空题
13.如果两个相似三角形的周长的比为1：4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为________
14.在阳光下，身高1.6m的小林在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为12m，则旗杆的高度为________m．
15.如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是________．
①BE=CD；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．



16.若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为________．
17. 如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为________．

18.如图，在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当△BOC和△AOB相似时，C点坐标为________ ．

19.（2017•东营）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CE•CO，其中正确结论的序号是________．

20.综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BE=2.1米．若小宇的身高是1.7米，则假山AC的高度为________ 米
三、解答题
21.在△ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，试说明满足条件的直线有几条，画出相应的图形加以说明．

22.如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线y=（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F.
（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，请证明△EGD∽△DCF，并求出k的值.
23.如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
24.已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．
（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求CF的长和△FCG的面积；
（2）如图1，设AE=x，△FCG的面积=y，求y与x之间的函数关系式与y的最大值．
（3）当△CG是直角三角形时，求x和y值．
答案解析
一、选择题
1.【答案】C
【解析】【分析】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴．
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，两角相等，两三角形相似。
2.【答案】A
【解析】
【分析】作AF⊥BC于F，由等边三角形的性质求出AF的值，从而求出△ABC的面积，再由相似三角形的性质就可以求出△ADE的面积．
【解答】
​
解：作AF⊥BC于F，
∵△ABC中是等边三角形，
∴BF=FC=BC，且AB=BC=AC=4
∴BF=FC=2
∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AF=2，
S△ABC=×2×4=4．
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
S△ADE=．
∴A答案正确，
故选A．
3.【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠B=∠B，
∴当 时，
△ABC∽△DBA，
当AB2=BD•BC时，△ABC∽△DBA，
故选D．
【分析】根据相似三角形的对应边比例且夹角相等进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
4.【答案】A
【解析】【解答】解：∵AF∥BC，DE∥BC， ∴AF∥DE，
∴ = ， ，
∴ ，故A错误，
∵AF∥DE，
∴ ，故B正确，
∵DE∥BC，
∴ ，故C正确，
∵AF∥DE，
∴ ，
∵AF∥BC，
∴ ，
∴ ，故D正确，
故选A．
【分析】由AF∥BC，DE∥BC，得到AF∥DE，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
5.【答案】C
【解析】【解答】解：这两个相似三角形的面积比=12：（）2=1：2．
故选C．
【分析】直接根据似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．
6.【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，CD∥AB
∵DE∥BC，
∴ ， 所以B选项结论正确，C选项错误；
∵DF∥AB，
∴ ， 所以A选项的结论正确；
，
而BC=AD，
∴， 所以D选项的结论正确．
故选C．
【分析】先根据矩形的性质得AD∥BC，CD∥AB，再根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得到， 则可对B、C进行判断；由DF∥AB得， 则可对A进行判断；由于， 利用BC=AD，则可对D进行判断．
7.【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ACB=∠DAC
又∵∠B=∠ACD=90°，
∴△CBA∽△ACD
= ，
∵ =（ ）2=
∴△ABC与△DCA的面积比为4：9．
故选：C．
【分析】先求出△CBA∽△ACD，得出 = ，得出△ABC与△DCA的面积比= ．
8.【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵BE=CE，
∴AB=2BE，
又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1
∴DM2+ DM2=1，
解得DM= ；
②DM与BE是对应边时，DM= DN，
∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，
解得DM= ．
∴DM为 或 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质，由四边形ABCD是正方形，得到AB=BC，E为中点，得到AB=2BE，又△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，所以①DM与AB是对应时，DM=2DN，根据勾股定理得到DM2+DN2=MN2 ， DM2+ DM2 ， 求出DM；②DM与BE是对应边时，DM= DN，由勾股定理得到DM2+DN2=MN2 ， 即DM2+4DM2 ， 求出DM，得出结论△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.
9.【答案】C
【解析】【分析】根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长．
【解答】
∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共角，
∴△ABC∽△BDC，
且AD=BD=BC．
设BD=x，则BC=x，CD=2﹣x．
由于=，
∴．
整理得：x2+2x﹣4=0，
解方程得：x=﹣1±，
∵x为正数，
∴x=﹣1+=-1．
故选C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD的长．
10.【答案】D
【解析】【解答】解：连接EM，
CE：CD=CM：CA=1：3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3
∴AH=（3﹣ ）ME，
∴AH：ME=12：5
∴HG：GM=AH：EM=12：5
设GM=5k，GH=12k，
∵BH：HM=3：2=BH：17k
∴BH= K，
∴BH：HG：GM= k：12k：5k=51：24：10
故选D．
【分析】连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．
11.【答案】C
【解析】【分析】由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．
【解答】由题意知，△AFB≌△AED
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．
∴AE⊥AF，所以A正确；
∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF=：1，所以B正确；
∵HB∥EC，
∴△FBH∽△FCE，
∴FB：FC=HB：EC，所以D正确．
∵△AEF与△AHF不相似，
∴AF2=FH•FE不正确．
故选C．
【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．
12.【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴ = = ，
∴ = ，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到 = ， = = ，结合图形得到 = ，得到答案．
二、填空题
13.【答案】1：4
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为1：4，
故答案为：1：4．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．
14.【答案】9.6
【解析】【解答】利用在同一时刻身高与影长成比例得出比例式，即可得出结果．设旗杆的高度为xm．根据在同一时刻身高与影长成比例可得： ，解得：x=9.6．
故答案为：9.6．
【分析】利用在同一时刻身高与影长成比例得出比例式，即可得出结果。
15.【答案】①②
【解析】【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE
=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC
=120°﹣（∠ODB+∠ADC）
=120°﹣60°=60°，
∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，
∴说∠BDO=∠CEO错误，
∴△BOD∽△COE错误，
∴③错误；
故答案为：①②．

【分析】根据等边三角形的性质推出AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS证△DAC≌△BAE，推出BE=DC，∠ADC=∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=60°，根据等边三角形性质得出∠ADB=∠AEC=60°，但∠ADC≠∠AEB，根据以上推出的结论即可得出答案．
16.【答案】或
【解析】【解答】解：如图，
当BF如图位置时，
∵AB=AB，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF，
∴△ABE≌△BAF（HL），
∴∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM，AF=BE=3，
∵AB=4，BE=3，
∴AE= = =5，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS=2，SM是△ABE的中位线，
∴BM= AE= ×5= ，
当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，
∴BG=AE=5，∠AEB=∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，
∴BH：BC=BE：BG，
∴BH= ．
故答案为： 或 ．
【分析】此题分量足情况讨论：当射线BM交AD于点F时，根据已知易证△ABE≌△BAF，再证明AM=BM，利用勾股定理求出BF的长，利用三角形的中位线定理或相似再证明点M是BF的中点，即可求出BM的长；当射线BM交AD于点G时，证明△BHE∽△BCG，求出BH的长，即可得出结果。
17.【答案】y= （x＞0）
【解析】【解答】解：连接AE，DE，
∵∠AOD=120°，
∴ 为240°，
∴∠AED=120°，
∵△BCE为等边三角形，
∴∠BEC=60°；
∴∠AEB+∠CED=60°；
又∵∠EAB+∠AEB=∠EBC=60°，
∴∠EAB=∠CED，
∵∠ABE=∠ECD=120°；
∴△ABE∽△ECD，
∴ ，
即 ，
∴y= （x＞0）．
故答案为：y= （x＞0）．
【分析】连接AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠AED=120°，然后求得△ABE∽△ECD．根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x与y的关系，从而不难求解．
18.【答案】（﹣4，0），（﹣1，0）或（1，0）
【解析】【解答】解：∵点C在x轴上，
∴∠BOC=90°两个三角形相似时，应该与∠BOA=90°对应，
若OC与OA对应，则OC=OA=4，C（﹣4，0）；
若OC与OB对应，则OC=1，C（﹣1，0）或者（1，0）．
∴C点坐标为：（﹣4，0），（﹣1，0）或（1，0）．
故答案为：（﹣4，0），（﹣1，0）或（1，0）．
【分析】本题可从两个三角形相似入手，根据C点在x轴上得知C点纵坐标为0，讨论OC与OA对应以及OC与OB对应的情况，分别讨论即可．
19.【答案】①②③
【解析】【解答】解：①∵OC⊥AB， ∴∠BOC=∠AOC=90°．
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=45°．
∵AC∥OD，
∴∠BOD=∠CAO=45°，
∴∠DOC=45°，
∴∠BOD=∠DOC，
∴OD平分∠COB．故①正确；
②∵∠BOD=∠DOC，
∴BD=CD．故②正确；
③∵∠AOC=90°，
∴∠CDA=45°，
∴∠DOC=∠CDA．
∵∠OCD=∠OCD，
∴△DOC∽△EDC，
∴ ，
∴CD2=CE•CO．故③正确．
故答案为：①②③．
【分析】①由OC⊥AB就可以得出∠BOC=∠AOC=90°，再由OC=OA就可以得出∠OCA=∠OAC=45°，由AC∥OD就可以得出∠BOD=45°，进而得出∠DOC=45°，从而得出结论；②由∠BOD=∠COD即可得出BD=CD；③由∠AOC=90°就可以得出∠CDA=45°，得出∠DOC=∠CDA，就可以得出△DOC∽△EDC．进而得出 ，得出CD2=CE•CO．
20.【答案】17
【解析】【解答】解：∵DE⊥EC，AC⊥EC，
∴∠DEB=∠ACB=90°，
∵∠DBE=∠ABC
∴△DEB∽△ACB，
∴DE：AC=BE：BC，
又∵DE=1.7米，BE=2.1米，BC=21米，
∴1.7：AC=2.1：21，
∴AC=17米，
故答案为：17米
【分析】因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，利用相似比可求出假山AC的高度．
三、解答题
21.【答案】解：满足条件的直线有四条．如下所示： ①所画直线ME与BC平行；
②所画直线ME与AC平行；
③∠BME=∠C；
④∠AME=∠C．
【解析】【分析】根据相似图形即是由一个图形到另一个图形，在截图的过程中保持形状不变，即可得出答案．
22.【答案】解：（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，
∴点E的坐标为（2，2），
将点E的坐标代入y=，可得k=4，
即反比例函数解析式为：y=，
∵点F的横坐标为4，
∴点F的纵坐标==1，
故点F的坐标为（4，1）；
（2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，
∴∠CDF=∠GED，
又∵∠EGD=∠DCF=90°，
∴△EGD∽△DCF，
结合图形可设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），
则CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB﹣AE=4﹣，
在Rt△CDF中，CD===，
∵=，即：=，
∴=1，
解得：k=3．
【解析】【分析】（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案；
（2）证明∠GED=∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），可得CF=，BF=DF=2-，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值．
23.【答案】解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0)
根据题意，得，
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）由顶点坐标公式求得顶点坐标为（1，4）
设对称轴与x轴的交点为F
∴四边形ABDE的面积＝S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE
=AO·BO+(BO+DF)·OF+EF·DF
=×1×3+（3+4）×1+×2×4
=9；
（3）相似
如图，BD===；
BE===
DE===
∴BD2+BE2=20 , DE2=20
即：BD2+BE2=DE2 ， 所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB＝∠DBE＝90°，且，
∴△AOB∽△DBE.
【解析】【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得抛物线顶点D的坐标；过D作DF⊥x轴于F，那么四边形AEDB的面积就可以由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面积和求得．
（3）先判定△DBE是直角三角形，即可得证△AOB∽△DBE.
24.【答案】解：（1）作FM⊥CD于M，
可证△AEH≌△DHG≌△MGF，
∴MG=DH=6-2=4，CG=6,CM=2,DG=FM=2，
∴CF=2
∴△FCG的面积=×6×2＝6；
（2）可证△AEH∽△DHG，
∴=，即=，
∴DG＝，
∴y=△FCG的面积=×(8−)×2＝8−，
∵8−＞0，x≤8，
∴1＜x≤8，
∴当x=8时，y的最大值为7．
（3）当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，
∴△AEH∽△BCE
∴ =，即 ：=，
解得：x=2或x=6．
∴y=4或y＝．
当∠GCF=90°时，此时F点正好落在边BC上，
则△HAE∽△GDH，
则 =，
解得：x=4+2或4-2，
对应的y=4+2或4-2．
当∠CGF=90°时，C，G，H共线，所以不可能．
【解析】【分析】（1）要求CF的长和△FCG的面积，需先证△AEH≌△DHG≌△MGF
（2）先证△AEH∽△DHG，然后根据比例关系，求出y与x之间的函数关系式与y的最大值；
（3）由画图可知∠FGC和∠GCF都不能为直角，当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，所以△AEH∽△BCE，根据相似三角形的对应线段成比例可求出解．