精品解析：广东省深圳市南山第二外国语学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷（解析版）

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1. 下面四个选项中，∠1＝∠2一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据邻补角、对顶角的性质判断即可．
【详解】解：A.∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2=180°；故本选项错误，不符合题意；
B.∠1可能大于、小于、等于∠2，故此选项错误，不符合题意；
C.∠1、∠2对顶角，∠1=∠2，故本选项正确，符合题意；
D.∠1可能大于、小于、等于∠2，故此选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角相等，是解题关键．
2. 蚕丝是大自然中的天然纤维，是中国古代文明产物之一，也成为散发着现代科学技术魅力的新材料．某蚕丝的直径大约是米，用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，掌握其形式为，其中是关键．
3. 如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中（）
A. 线段的长度B. 线段的长度
C. 线段的长度D. 线段的长度
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用过一点向直线作垂线，利用垂线段最短得出答案．
【详解】解：如图所示：
过点P作PH⊥AB于点H，PH的长就是该运动员的跳远成绩，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，正确理解垂线段最短的意义是解题关键．
4. 下列运算正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项的方法、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、多项式与单项式的除法法则逐项分析即可．
【详解】解：A.，故不正确；
B.，正确；
C.，故不正确；
D.，故不正确；
故选B．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、多项式与单项式的除法计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5. 下列能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方差公式的特点直接可得到答案．
【详解】解：；
选项A符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
不是的形式，
∴选项D不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式，平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解题的关键．
6. 如图，在下列条件中，能够证明的条件是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．，内错角相等两直线平行，能判定；故A不符合题意；
B．，同位角相等两直线平行，能判定；故B不符合题意；
C．，同旁内角互补两直线平行，能判定；故C不符合题意；
D．，内错角相等两直线平行，能判定，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
7. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．这个容器的形状可能是下面图中的（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为D．
故选：D．
【点睛】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
8. 下列说法中，正确的是（）
A. 互为补角的两个角可以都是锐角B. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
C. 同一平面内，若且，则D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【解析】
【分析】根据余角和补角，平行公理和推论，平行线的性质，逐一判断即可解答．
【详解】解：A．互为补角的两个角不可能都是锐角，故A不符合题意；
B．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故B符合题意；
C．同一平面内，若且，则，故C不符合题意；
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，余角和补角，平行公理和推论，熟练掌这些数学概念是解题的关键．
9. 如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为（）
AB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据是一个动点，由向以匀速移动，求出的底，即可求得的面积随点的运动时间之间的关系式．
【详解】解：是一个动点，由向以匀速移动，
，
，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数关系式，求出的底是解题的关键．
10. 我国古代数学许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“杨辉三角”确定出所求展开式第三项的系数即可．
【详解】解：找规律发现的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
不难发现的第三项系数为，
第三项系数为，
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方公式，探索数字规律以及数学常识，弄清“杨辉三角”中的系数规律是解本题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 蜡烛高，点燃后平均每小时燃掉，则蜡烛点燃后剩余的高度与燃烧时间（时）之间的关系式是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据蜡烛点燃后剩余的高度蜡烛的高度蜡烛燃烧的高度可列关系式．
【详解】解：由题意得蜡烛点燃后剩余的高度与燃烧时间（时）之间的关系式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数关系式，找准等量关系是解题的关键，属于基础题．
12. 如图，将一个直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若∠2＝55°，则∠1的度数为_________
【答案】35°##35度
【解析】
【分析】利用直尺的对边平行可得∠2=∠3，根据∠1+∠3=180°-90°=90°，证得∠2+∠1=90°，即可求出∠1的度数．
【详解】解：由直尺的对边平行可得∠2=∠3，
∵∠1+∠3=180°-90°=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=90°-55°=35°，
故答案为：35°．
【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记平行线的性质是解题的关键．
13. 任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是______．（最简结果）
【答案】
【解析】
【分析】先平方，再减，所得到的差除以即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了程序流程图与整式的混合运算，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
14. 如果是一个完全平方式，那么k的值是______．
【答案】7或-5
【解析】
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k-1=±6．
【详解】解：∵（x±3）2=x2±6x+9=x2+（k-1）x+9，
∴k-1=±6，
解得k=7或-5．
故答案为：7或-5．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
15. 折纸是一项有趣的活动，如图所示，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由平行线的性质得到，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
，
由题意得：，，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称的性质，平行线的性质，余角的计算，对顶角的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）（要求简便计算）
【答案】（1）；
（2）；
（3）1
【解析】
【分析】（1）直接根据乘方、零指数幂、绝对值的运算法则进行计算即可；
（2）先计算积的乘方与幂的乘方，再计算同底数幂的乘法运算法则计算即可；
（3）利用平方差公式计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式
．
【点睛】此题考查的是平方差公式、绝对值、积的乘方与幂的乘方、整式的乘法、零指数幂的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后将括号内的式子去括号，合并同类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
18. 如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形．
（1）图中的阴影正方形的边长可表示为___（用含m，n的代数式表示）；
（2）根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出，，之间的一个等量关系___；
（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：若，，求阴影正方形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）阴影正方形的面积为37．
【解析】
【分析】（1）根据拼图可得答案；
（2）根据图形中各个部分面积之间的和差关系得出答案；
（3）根据，整体代入计算即可．
【小问1详解】
解：由拼图可知，
图中的阴影正方形的边长可表示为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：大正方形的边长为，因此面积为，
小正方形的边长为，因此面积为，
4个小长方形的面积和为，
所以有，
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
当，，
∴．
答：阴影正方形的面积为37．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
19. 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
请回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______；
（2）当刹车时车速为时，刹车距离是______；
（3）根据上表反映的规律写出该种型号汽车与之间的关系式：______；
（4）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里．）
【答案】（1）刹车时车速；刹车距离；
（2）
（3）
（4）推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶．
【解析】
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据表格数据可得答案；
（3）根据刹车时车速每增加，刹车距离增加，可得答案；
（4）结合（3）的结论得出可得车速为，进而得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离．
故答案为：刹车时车速；刹车距离；
【小问2详解】
解：当刹车时车速为时，刹车距离是；
故答案为：；
【小问3详解】
解：由表格可知，刹车时车速每增加，刹车距离增加，
与之间的关系式为：，
故答案为：；
【小问4详解】
解：当时，，
，
，
事故发生时，汽车是超速行驶．
答：推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶．
【点睛】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键．
20. 探究：如图①，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空．
解：因为DE∥BC，
所以∠DEF＝（）．
因为EF∥AB，
所以＝∠ABC（）．
所以∠DEF＝∠ABC（等量代换）．
因为∠ABC＝50°，
所以∠DEF＝．
应用：如图②，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．
【答案】探究：∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠EFC；两直线平行，同位角相等；50°；应用：115°
【解析】
【分析】探究：依据两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等，即可得到∠DEF=50°；
应用：依据两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠DEF=180°-65°=115°．
【详解】因为DE//BC，
所以∠DEF＝∠EFC．（两直线平行，内错角相等）
因为EF//AB，
所以∠EFC＝∠ABC．（两直线平行，同位角相等）
所以∠DEF＝∠ABC．（等量代换）
因∠ABC＝50°，
所以∠DEF＝50 °．
应用：
解：因为DE//BC，
所以∠ABC＝∠ADE＝65°．
因为EF//AB，
所以∠ADE+∠DEF＝180°，
所以∠DEF＝180°﹣65°＝115°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
21. 规定两个非零数，之间的一种新运算，如果，那么．例如：因为，所以，因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：______；______．
（2）若，则______．
（3）在运算时，按以上规定：设，，请你说明下面这个等式成立：．
【答案】（1）3，
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（3）根据积的乘方法则，结合定义计算；
【小问1详解】
解：，，
，，
故答案为：3，；
【小问2详解】
解：∵
∴，
，
故答案为：；
【小问3详解】
解：设，，，
则，，，
∴，
，即．
【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
22. 【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图所示，已知，点为，之间一点，连接，，得到．请猜想与、之间的数量关系，并证明；
猜想：______；
证明：
（2）如图所示，已知，点为，之间一点，和的平分线相交于点，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知：，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系______；
【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题：
已知与不平行，如图，点在上，点在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系______．
【答案】（1），证明见解析
（2）；【类比迁移】，【变式挑战】
【解析】
【分析】（1）过点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；
（2）如图，作，，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
类比迁移：如图，过作，过作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
变式挑战：延长，，交于点，过作射线，过E作，过P作，过N作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：猜想：，
证明：过点作，
，
，
，，
，
【小问2详解】
如图，作，，
，
，
，，，，
，
，
，
和的角平分线相交于，
，，
，
；
【类比迁移】；
理由：如图，过作，过作，
，
，
，，
由（1）知，
平分与的平分线相交于点，
，，
，
，即；
故答案为：；
【变式挑战】，理由如下：
如图，延长，，交于点，
过作射线，过E作，过P作，过N作，
，，，
∴，
由（1）同理得，
，
同时平分和，
，，
，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键刹车时车速
刹车距离