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专题7-1 直线与圆综合应用归类（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）
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这是一份专题7-1 直线与圆综合应用归类（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用），文件包含专题7-1直线与圆综合应用归类原卷版docx、专题7-1直线与圆综合应用归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc15774" 题型01 含参直线过定点 PAGEREF _Tc15774 \h 1
\l "_Tc16253" 题型02 含参双直线型 PAGEREF _Tc16253 \h 4
\l "_Tc3565" 题型03 圆切线型含参动直线 PAGEREF _Tc3565 \h 6
\l "_Tc14120" 题型04圆综合：弦长最值 PAGEREF _Tc14120 \h 9
\l "_Tc3014" 题型05圆综合：切线最值 PAGEREF _Tc3014 \h 11
\l "_Tc13101" 题型06圆综合：三角形面积最值 PAGEREF _Tc13101 \h 13
\l "_Tc19109" 题型07圆综合：四边形最值 PAGEREF _Tc19109 \h 16
\l "_Tc8930" 题型08 圆综合：切线转化 PAGEREF _Tc8930 \h 20
\l "_Tc10026" 题型09 圆综合：将军饮马型最值 PAGEREF _Tc10026 \h 22
\l "_Tc30852" 题型10圆综合：切点弦 PAGEREF _Tc30852 \h 25
\l "_Tc6738" 题型11圆综合：切点弦过定点 PAGEREF _Tc6738 \h 28
\l "_Tc8709" 题型12圆综合：切点弦最值 PAGEREF _Tc8709 \h 31
\l "_Tc30599" 题型13直线与圆综合：两圆公切线 PAGEREF _Tc30599 \h 33
\l "_Tc21854" 题型14 直线与圆综合：超难压轴小题选 PAGEREF _Tc21854 \h 35
\l "_Tc29743" 高考练场 PAGEREF _Tc29743 \h 37
题型01 含参直线过定点
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·重庆开州·高三重庆市开州中学校考阶段练习）已知，，若，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】都为平面内的点集，即两点集对应的几何图形无公共点，数形结合解决问题.
【详解】集合
表示平面内一条直线，但不包含点；
由，得，
不论取何值，直线恒过，
对于的每一个取值，集合
都表示平面内过定点的一条直线.
当时，集合表示的直线的方程为，
此时直线与直线重合，有无数个公共点，即，不满足题意；
当时，直线与直线不重合，相交于点，
又，即，满足题意.
故选：D.
【典例1-2】（2020下·高三课时练习）若，且，则直线必不过（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】对分成，，，去分母观察，
化简可求得，再判断直线不过第几象限.
【详解】由，则，，，相加得，
又，得，即直线为，即，
显然直线不过第四象限.
故选：D
【点睛】本题考查了学生的观察、分析能力，由比较整齐的式子，求得，再利用直线的性质，判断不过第几象限.
【变式1-1】（2024上·天津·高三天津市第一百中学校联考）直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．9C．10D．
【答案】D
【分析】，过定点，，，由垂径定理易知，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，计算出点到的最大距离为，据此即可求出面积的最大值.
【详解】因为圆：，所以，
因为：，即，所以过定点，
直线：，令，则；令，则，
则，，，作出图象如图所示：
因为为中点，所以，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
所以点到的最大距离为，
所以面积的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是得到点的轨迹，再求出该圆上的点到定直线距离的最大值，从而得到面积最大值.
【变式1-2】．（2024上·江苏苏州·高三统考）在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】先求出直线过定点，由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，求解即可.
【详解】直线：过定点，
圆：，圆心，半径
因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时，
弦长最短为，
故选：C
【变式1-3】（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考）设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】整理直线的方程，可得直线恒过点，当时，点到的距离最大时，即可求解.
【详解】∵直线：，
∴可将直线方程变形为，
由，解得，
由此可得直线恒过点，
当时，点到的距离最大时，
，则由，得.
故选：A.
题型02 含参双直线型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·浙江绍兴·高三绍兴一中校考）已知，，三点，直线l1：与直线l2：相交于点P，则的最大值（ ）
A．72B．80C．88D．100
【答案】C
【分析】分析两直线特征，恒过定点，联立两直线方程，消去，得到交点的轨迹方程，然后借助于的坐标范围，求出的最大值.
【详解】直线l1：变形为直线恒过定点，
直线l2：直线恒过定点，
直线l1：与直线l2：相交于点P，
联立，消去，得
所以是以为圆心，半径为2的圆上一点，设且，
，
所以的最大值为88，
故选：C.
【典例1-2】（2024上·全国·高三）过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线化为，可知定点，
动直线化为，令，
解得，可知定点，
又，
所以直线与直线垂直，为交点，
.
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为.
故选：B.
【变式1-1】（2023上·全国·高三）已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（ ）
A．10B．14C．18D．20
【答案】B
【分析】根据直线和的方程得到点为以为直径的圆上的点，然后根据三角形面积公式得到当点到直线的距离最大时，的面积最大，然后求最大值即可.
【详解】
直线的方程可整理为，令，解得，
所以直线恒过定点，
直线的方程可整理为，令，解得，
所以直线恒过定点，
因为，所以，
所以点为以为直径的圆上的点，
，中点为，
则点的轨迹方程为，
，
所以当点到直线的距离最大时，的面积最大，
，直线的方程，即，
设点到直线的距离为，圆心直线的距离为，半径为，
则，
所以的面积最大值为.
故选：B.
【变式1-2】（2024上·全国·高三）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．B．2C．3D．5
【答案】A
【分析】先确定两直线所过的定点、的坐标，然后根据两直线的位置关系可判断它们垂直，结合基本不等式求解即可.
【详解】依题意，直线过定点，直线可整理为，故直线过定点，
又因为直线和直线始终垂直，为两直线交点，
所以，
则，
由基本不等式可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值是.
故选：A.
【变式1-3】AB中点为Q，则的值为（ ）
A．B．C．D．与m的取值有关
【答案】A
【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解.
【详解】由于经过的定点为，所以，
直线变形为，所以经过定点，故，
且两直线垂直，因此为直角三角形，所以，
故选：A
题型03 圆切线型含参动直线
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·湖南怀化·高三校考）在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．24B．C．14D．
【答案】B
【分析】根据集合可判断出集合表示圆,再画图,根据做对称点的方法转换的周长,再求最小值即可.
【详解】∵点到直线的距离,
∴直线始终与圆相切,
∴集合A表示除圆以外所有的点组成的集合,
∴集合表示圆,其对称中心如图所示：设是点关于直线线段（）的对称点,设,则由求得,可得.设关于x轴的对称点为,易得,则直线,和线段的交点为P,则此时,的周长为,为最小值.
【典例1-2】（2023上·全国·高三专题练习）设直线系，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于轴时，或；
（2）当时，直线倾斜角为；
（3）中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点不在中任意一条直线上．
其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②④
【答案】D
【分析】由直线斜率不存在可判断（1），由直线斜率与倾斜角的关系可判断（2），化简消参可知直线系表示圆的切线的集合，故不经过某一定点，由点不在直线上可知（4）正确.
【详解】，
（1）当直线垂直于轴时，则，解得或或，故（1）错误；
（2）当时，直线方程为：，
斜率，即，倾斜角，故（2）正确；
（3）由直线系
可令，消去可得，
故直线系表示圆的切线的集合，故（3）不正确．
（4）因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故（4）正确；
故选：D．
【变式1-1】（2021·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知实数满足，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】实数满足表示点在直线上，可以看作点到原点的距离，最小值是原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式求解.
【详解】因为实数满足＝1
所以表示直线上点到原点的距离，
故的最小值为原点到直线的距离，
即，故的最小值为1.
【变式1-2】（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）直线系，直线系A中能组成正三角形的面积等于______.
【答案】或
【分析】应用辅助角公式可得且，根据正弦函数的性质有，易知其几何意义：直线系A是圆上所有点的切线集合，分析可知直线构成正三角形有无数个，但面积值只有两个；将圆心移至原点、取简化模型，设为，应用切线的性质及点线距离公式求参数b，进而求出正三角形的两个面积值.
【详解】直线系A：可变形为，
∴，而，
，即，其几何意义为圆外的点的集合，直线系是圆的切线的包络，即圆上所有点的切线集合，如图所示.
把圆心平移到原点，由过圆上一点的切线方程为.
而圆的参数形式为，，
令，则以为切点的切线方程为，即.
由圆心到切线的距离等于半径，有，即，
故当时，直线系是圆上所有点的切线方程系，也是圆的包络线.
显而易见，所有直线系中的直线构成正三角形有无数个，但是面积的值只有两个.
如取，如图所示，设直线的方程为.
圆心到直线的距离等于半径，则，
，则，
当，，，则.
当，，，则.
将圆向右平移3个单位即为，不改变正三角形的面积，直线系A中组成正三角形的面积：或.故答案为：或
题型04圆综合：弦长最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【分析】先求出圆心和半径，以及直线的定点，利用圆的几何特征可得到当时，最小
【详解】由圆的方程，可知圆心，半径，
直线过定点，
因为，则定点在圆内，
则点和圆心连线的长度为，
当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时，
由圆的弦长公式可得，
故选：C
【典例1-2】．（2022秋·重庆·高三统考）已知圆，直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】由题意得直线过定点且点在圆内，由结合弦长公式可得结果．
【详解】圆：的圆心，半径
直线即，则直线经过定点
由,得点在圆内
设圆心到直线的距离为，则，（当时取等号）
则，（当时取等号）
则的最小值为4.
故选：C.
【变式1-1】（2022秋·广东广州·高三校联考）直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A．6B．4C．D．
【答案】D
【分析】先求出直线经过的定点，再由弦长公式可分析出当时，最小，从而可求得结果.
【详解】因为可化为，
令，解得，
所以直线恒过定点，该点在圆内，
因为，所以要求的最小值，即求圆心到直线的最大距离，
显然当时，最大，最小，
又因为圆，所以圆心，，则，
故此时.
故选：D.
【变式1-2】．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高三乌市一中校考）圆截直线所得的弦长最短时，实数 （ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据直线方程得到直线经过定点，通过比较点到圆心的距离和半径的大小得到点在圆的内部，再利用几何的方法得到时弦长最短，最后利用垂直关系求解即可.
【详解】圆，即，圆心为，半径，
直线，即，故直线恒过定点，
又，所以点在圆内部，
设到直线的距离为，当时，有最大值 ，即
又直线被圆截得弦长为，所以当时弦长最短，
此时时，又，所以，即.故选：B.
【变式1-3】（2022秋·浙江宁波·高三校考）已知圆：，则动直线：所截得弦长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得动直线过定点，再根据时，弦长最短和动直线过圆心时，弦长最长求解.
【详解】解：由，解得，
则动直线：过定点，
当时，弦长最短，此时，
所以最短弦长为，
当动直线过圆心时，弦长最长，即为直径，所以所截得弦长的取值范围是，故选：D
题型05圆综合：切线最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·吉林·长春市第二中学高三）已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
【答案】或
【分析】利用切线长最短时，取最小值找点：即过圆心作直线的垂线，求出垂足点．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程．
【详解】设切线长为，则，所以当切线长取最小值时，取最小值，
过圆心作直线的垂线，则点为垂足点，此时，直线的方程为，
联立，得，点的坐标为.
①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，圆心到该直线的距离为，合乎题意；
②若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.
由题意可得，化简得，解得，
此时，所求切线的方程为，即.
综上所述，所求切线方程为或，
故答案为或
【典例1-2】（2022·河南·修武一中高三开学考试（文））已知点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【解析】求出的最小值，由切线长公式可结论．
【详解】圆半径为，，
因为在直线即上，圆心到点的最小值为，所以．
故选：B．
【变式1-1】（2021·全国·高三课时练习）由直线上的一点向圆引切线，则切线段长的最小值为 ______ .
【答案】
【分析】过点引圆的切线，切线段长，转化成通过直线上的点到圆心距离最小值求解.
【详解】记圆的圆心为点，半径，过点直线上的任一点引圆的切线，切线段长，只需最小即可，
由题：圆心到直线的距离为，圆的半径为1，故切线长的最小值为.
故答案为：
【变式1-2】（2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试）已知直线平分圆的面积，过圆外一点向圆做切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】本题考查圆有关的最值问题，根据条件得到，在中，，利用二次函数性质得到答案．
【详解】圆化为标准方程为，
所以圆心，半径，
因为直线平分圆的面积，
所以圆心在直线上，故，
即，在中，
，
当时，最小为16，最小为4．
故选：A．
【变式1-3】（2022·四川·泸县五中高三（文））已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的对称性，结合圆的切线性质、两点间距离公式、勾股定理进行求解即可.
【详解】由圆，可知该圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以圆心在直线上，所以有，
因为过点向圆作切线，切点为，
所以。所以，故选：C
.
题型06圆综合：三角形面积最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·浙江·金乡卫城中学高三）如图是直线在第一象限内的动点，过作圆的两条切线，切点为，直线交坐标轴正方向于两点，则面积的最小值是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】设，利用圆切线的性质得、，若即有，进而求A、B的坐标，利用三角形面积公式及二次函数的性质求面积最小值即可.
【详解】设，则，整理得；
同理，，若，
∴，可得，且，即，
∴且，
∴当时，有最小.
故选：B
【典例1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知直线：与圆：()相离，过直线上的动点做圆的一条切线，切点为，若面积的最小值是，则（ ）
A．1B．C．1或D．2
【答案】C
【分析】求出圆心到直线的距离，即可得切线长的最小值，从而得面积最小值，由此可得半径．
【详解】因为，所以，当最小时，最小．
的最小值为，所以，解得或，
又直线与圆相离，所以，所以或．
故选：C．
【变式1-1】.（2022·江苏·高三单元测试）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先确定的面积最小时点坐标，再由是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，即可求出外接圆方程.
【详解】
由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.
故选：C.
【变式1-2】（2021·四川·成都外国语学校高三阶段练习（文））已知定直线的方程为，点是直线上的动点，过点作圆的一条切线，是切点，是圆心，若面积的最小值为，则面积最小时直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知当时，的面积取最小值，求得，即圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得的值.
【详解】由题意可得直线的方程为，圆的圆心，半径为，
如图，
又，所以，当取最小值时，取最小值，此时，
可得，，则，解得.
故选：B.
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）过x轴上一点P向圆作圆的切线，切点为A、B，则面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解法一由点P离原点越远趋向无穷远处时，的面积趋向于无穷大；当点P趋近于原点时，的面积逐渐变小，利用极限法，由点P与原点重合求解； 解法二设，
，由 求解.
【详解】解法一（极限法）：如图所示，
若点P离原点越远趋向无穷远处时，越来越长，、也随着越来越长，
显然的面积趋向于无穷大；当点P趋近于原点时，的面积逐渐变小，
当点P与原点重合时，，且此时的为正三角形，面积最小，
其最小面积为， 解法二（直接解法）：设，则，，
设，则有，，于是，
，显然上式是的单调递增函数，当时，取最小值，故选：A.
题型07圆综合：四边形最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·江苏·高三专题练习）已知点是直线上一动点，与是圆的两条切线，为切点，则四边形的最小面积为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用当与直线垂直时，取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出的最小值，然后利用勾股定理计算出、的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形面积的最小值．
【详解】如下图所示：
由切线的性质可知，，，且，
，
当取最小值时，、也取得最小值，
显然当与直线垂直时，取最小值，且该最小值为点到直线
的距离，即，
此时，，
四边形面积的最小值为，故选A.
【典例1-2】（2022·全国·高三课时练习）已知圆，直线，点为上一动点，过点作圆的切线，（切点为，），当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设四边形的面积为，求出四边形的面积最小时，四边形是正方形，求出线段的中点坐标为，直线的斜率为即得解.
【详解】
设四边形的面积为，，，
所以，当最小时，就最小，，所以． 此时.
所以，四边形是正方形，由题得直线的方程为，
联立得，所以线段的中点坐标为，由题得直线的斜率为
所以直线的方程为，化简得直线的方程为.故选：C
【变式1-1】（2020·安徽·定远县私立启明民族中学高三阶段练习（理））已知是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，记四边形的面积为，当在圆上运动时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得到圆心，半径；圆心，半径，，，当位于图形中的位置时，四边形面积最小，过作圆的切线，切点分别为，连接，可得出，且，则中，根据勾股定理得：，此时，当位于图形中的位置时，四边形面积最大，同理得到，综上，的范围为，故选A.
【变式1-2】（2021·全国·高三）从直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知当时，最大，计算出、，进而可计算得出四边形（为坐标原点）面积.
【详解】圆的圆心为坐标原点，连接、、，则，
设，则，，则，
当取最小值时，，此时，
，，，故，
此时，.
故选：B.
【变式1-3】（2022·全国·高三课时练习）已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（ ）
A．B．2C．D．2
【答案】C
【分析】由圆C的标准方程可得圆心为，半径为1，由于四边形PACB面积等于，，故求解最小值即可，又最小为圆心到直线的距离，即可得出四边形PACB面积的最小值.
【详解】圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为，半径为r＝1，
圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离
所以圆C与直线l相离.
根据对称性可知，四边形PACB的面积为
要使四边形PACB的面积最小，则只需最小.
又最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离．
所以四边形PACB面积的最小值为．
故选：C．
题型08 圆综合：切线转化
【解题攻略】
【典例1-1】.（2021·江苏·高三专题练习）已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是
A．B．[,]
C．D．）
【答案】D
【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.
【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），
因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：
PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，
则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.
直线过定点（0，－2），直线方程即，
只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，
即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.
【典例1-2】（2022·安徽省宣城中学高三开学考试）已知点P是直线l：上的动点，过点P引圆C：的两条切线PM，PN，M，N为切点，当的最大值为时，则r的值为
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】结合题意，找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，计算结果，即可．
【详解】结合题意，绘制图像，可知
当取到最大值的时候，则也取到最大值，而，当PC取到最小值的时候，取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故，故，解得，故选D．
【变式1-1】（2021·山东德州·高三）已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，其中，为切点，若的最大值为120°，则的值为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】B
【分析】由切线得四边形的性质，要使得最大，则最小，的最小值即为圆心到直线的距离，再由已知角的大小可求得．
【详解】由题意，，，
所以最大时，最小．
由题意知，又，
所以，．故选：B．
【变式1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知圆：，直线：，若在直线上任取一点作圆的切线，，切点分别为，，则最小时，原点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将最小转化为，根据点到直线的距离公式可求得结果.
【详解】由得，
所以圆心，半径，
在中，，
当最小时，最小，最大，最小，此时，
的最小值为圆心到直线的距离：，此时，，
因为，所以，所以圆心到直线的距离为，
所以两平行直线与之间的距离为，
因为原点到直线的距离为，
所以原点到直线的距离为.
故选：A
【变式1-3】（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1B．C．3D．7
【答案】C
【解析】根据四边形PMCN为正方形可得，转化为圆心到直线的距离为可求得结果.
【详解】由可知圆心，半径为，
因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，
所以直线：上有且只有一个点，使得，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或（舍）.
故选：C
题型09 圆综合：将军饮马型最值
【典例1-1】（2019·江西南昌·校联考二模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.
【详解】解：设点A关于直线的对称点，
的中点为，故解得，
要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，
“将军饮马”的最短总路程为，故选A.
【典例1-2】（2022上·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为 .
【答案】
【分析】求出点P关于直线的对称点，根据对称性，原问题转化成求到营区的最短距离，利用圆的几何性质即可得解.
【详解】设点关于直线的对称点，
解得，所以，
将军从P出发到达直线上点A再到营区，，
所以本题问题转化为求点到营区的最短距离，
根据圆的几何性质可得最短距离为.
故答案为：
【变式1-1】（2022下·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】求出关于直线的对称点，过作平行于的直线为，将的值转化为的最小值，利用数形结合以及根据两点间的距离公式，求解出的坐标.
【详解】关于直线的对称点为，则有.过作平行于的直线为，由得，即此时直线为.过作，则，则.由于是常数，要使的值取最小，则的值取最小，即三点共线时最小.设，由得，即，解得（舍去.），即.设，则，解得，即，设，.由得，得，解得或（舍去），故.
故答案为：.
【变式1-2】（2023上·湖南益阳·高三桃江县第一中学校联考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程.
【详解】若是关于的对称点，则，
设饮马点为，如下图示，
由图知：，当且仅当共线时等号成立，
所以.故选：C
【变式1-3】（2023上·山西·高三校联考开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（ ）
A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
【答案】AC
【分析】确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断A、B；确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断C、D；
【详解】由关于，的对称点分别为，而，
从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，A对；
从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，B错；
由关于，的对称点分别为，
从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程，C对；
从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是，D错.
故选：AC
题型10圆综合：切点弦
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得，说明要使最小，则需最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．
【详解】解：因为圆，即为，
所以圆心，半径．．
要使最小，则需最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方程为，即，
联立，解得，即．则以PM为直径的圆O的方程为．
直线AB为圆M与圆O公共弦所在直线，联立
相减可得直线AB的方程为．故选：A．
【典例1-2】（2022秋·山东·高三山东省实验中学校考）已知圆与直线，过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A，B，若线段长度的最小值为，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则，则由题意可求得，从而可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值
【详解】圆，设，则，
因为，所以，又，所以，又，
所以，即，又，所以．故选：D．
【变式1-1】（2023秋·江苏·高三南京市人民中学校联考开学考试）已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.
【详解】连接，由切圆于知，，
因为直线与平行，则，，而圆半径为，
于是，由四边形面积，得，
所以. 故选：C
【变式1-2】（2023春·河南南阳·高三统考）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据题意可得为等边三角形，可得结果.【详解】圆化为标准方程为，
其圆心为，半径为1， 由题意知，,,,,
所以,所以.所以,且,
所以为等边三角形，所以.故选:C．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.
【详解】圆，设，则，则，，
则，所以圆心到直线的距离是，
，得，．故选：A．
题型11圆综合：切点弦过定点
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三单元测试）已知圆的圆心为原点，且与直线相切.点在直线上，过点引圆的两条切线，，切点分别为，，如图所示，则直线恒过定点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由圆的圆心为原点且与直线相切即得圆的方程，又，是它的切线，可知，一定在以为直径为圆心的圆上，即为两圆的公共弦，即可求出直线的方程，进而找到定点
【详解】依题意知，圆的半径且圆心为。∴圆的方程为
∵，是圆的两条切线∴，，即，在以为直径的圆上
若设点的坐标为，，则线段的中点坐标为
∴以为直径的圆的方程为，，化简得，
∵为两圆的公共弦∴直线的方程为，，即
∴直线恒过定点故选：A
【典例1-2】（2021·江苏·高三单元测试）已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线､，､为切点，则直线过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点坐标，由切线性质得四点共圆，是其直径，可得圆方程，是此圆与圆的公共弦，因此只要两圆方程相减可得直线方程，由方程可得定点坐标．
【详解】由题意，设，则以为直径的圆方程为，即，
由得，这就是直线的方程，
直线方程整理为，由，得，
所以直线过定点．故选：B．
【变式1-1】（2021·山西·太原市第六十六中学校高三）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点分别是A，B，则直线AB恒过定点的坐标为___________.
【答案】
【分析】先设点，发现P、A、O、B四点共圆，求出P、A、O、B四点确定的圆的方程，联立后得到AB所在直线方程，再求直线AB恒过定点的坐标
【详解】设点，则∵过点P作圆的切线，切点分别是A，B，
∴，∴P、A、O、B四点共圆，其中OP为直径。所以圆心坐标为，半径长为
∴P、A、O、B四点确定的圆的方程为：。化为一般方程为：即与联立，求得AB所在直线方程为：①
其中，代入①中，得：所以 解得：
直线AB恒过定点的坐标为 故答案为：
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线必过定点（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过过点作圆的两条切线，，切点分别为，，能得到是以为直径的圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，从而求得直线恒过定点坐标.
【详解】圆的方程可化为，所以圆心.
则以为直径的圆的圆心为，设以为直径的圆的半径为，则.
所以以为直径的圆的方程为.过点作圆的切点分别为，,两圆的交点为,,即两圆的公共弦为.将两圆的方程相减可得直线的方程为，即.令得.
所以直线必过定点.故选：A.
【变式1-3】（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高三开学考试（理））已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】因为、是圆的两条切线，所以，因此点、在以为直径的圆上，因为点是直线：上的动点，所以设，点，
因此的中点的横坐标为：，纵坐标为：，
，因此以为直径的圆的标准方程为：
，而圆：，
得：，即为直线的方程，
由
，所以直线经过定点，故选：D
题型12圆综合：切点弦最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·江苏·高三专题练习）若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则线段的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先设圆，圆心，，根据题意得到当最小时，最小，利用余弦定理即可得到，再根据点在直线无限远取值时，，直径，即可得到答案.
【详解】设圆，，圆心，，
要使的长度最小，则最小，即最小.因为，所以当最小时，最小.又因为，所以当最小时，最小.
因为，所以，.
则.当点在直线无限远取值时，，直径，所以.故选：C
【典例1-2】（2022·江苏·高三课时练习）过圆：外一点作圆的切线，切点分别为、，则（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】本题首先可结合题意绘出图像，然后根据圆的方程得出，再然后根据两点间距离公式以及勾股定理得出、，最后通过等面积法即可得出结果.
【详解】如图，结合题意绘出图像：因为圆：，直线、是圆的切线，
所以，，，，因为，所以，，
根据圆的对称性易知，则，解得，，
故选：C.
【变式1-1】（2022·江西·上高三中高三阶段练习（文））若为直线上一个动点，从点引圆：的两条切线，（切点为，），则的最小值是（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】由题可得要使最小，即最小，即最小，求出的最小值，得出，再由余弦定理即可求出.
【详解】圆：化为，则圆心，半径，
要使最小，则要使最小，即最小，，
当最小时，最小，，则当最小时，最小，
，，，
.故选：B.
【变式1-2】（2020·四川·宜宾市教科所高三（文））已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则线段长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用表示出弦长，然后由的取值范围求得结论．
【详解】如图，，，，
∴由得，，
∵，，∴，
∴，故选：C．
【变式1-3】（2021·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点满足，过作单位圆的两条切线，切点分别为，则线段长度的取值范围是______.
【答案】.
【分析】设，由圆的切点弦所在直线方程可知的方程为，进而可求圆心到距离，从而求出弦长，结合已知可求出弦长的取值范围.
【详解】解：设，当时，此时过点与圆相切直线的斜率，
则过点与圆相切直线方程为，即，
当时，，此时切线方程或满足.
综上所述，过点与圆相切直线方程为；
同理，过点与圆相切直线方程为，设，
则直线的方程为，此时圆心到距离.
所以.由可知，
，则，所以.故答案为: .
题型13直线与圆综合：两圆公切线
【典例1-1】（2020·江西·南昌市新建区第一中学高三阶段练习（理））圆与圆的公切线有（ ）条．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】求得圆心坐标分别为，半径分别为，根据圆圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意，圆与圆，
可得圆心坐标分别为，半径分别为，
则，
所以，可得圆相交，
所以两圆共有两条切线.故选：B.
【典例1-2】（2021·江苏·高三专题练习）已知，两圆与相交于A、B两点，且在点A处两圆的切线互相垂直，则线段AB的长度为（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】B
【分析】由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心，O1A⊥AO2，利用勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度．
【详解】解：由题知，，半径分别为，
根据两圆相交，可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，
即．
又，所以有，
，
再根据，
求得，
故选：B．
【变式1-1】（2019·四川·成都七中高一）若圆:与圆:相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则公共弦的长度是______.
【答案】
【分析】根据两圆在点处的切线互相垂直，得出是直角三角形，求出，然后两圆相减求出公共弦的直线方程，运用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，进而求出公共弦长.
【详解】由题意，圆圆心坐标，半径，圆圆心坐标,半径，
因为两圆相交于点，且两圆在点处的切线互相垂直，所以是直角三角形，，所以，
由两点间距离公式，，所以，解得，
所以圆：，两圆方程相减，得，即，所以公共弦：，
圆心到公共弦的距离，故公共弦长
故答案为：
【变式1-2】（2021·江苏·高三专题练习）已知：与：相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且，则的方程为___________．
【答案】
【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解．
【详解】
由题意作出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心O、，
则在中，，，，斜边上的高为，
由三角形等面积法可得：，
由勾股定理可得：，
由以上两式可解得：，，可得圆的方程为：．
故答案为：.
【变式1-3】（2021·全国·高三课时练习）若圆：与圆：相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长为______．
【答案】
【分析】由切线互相垂直可知，进而可得，再结合三角形面积可得解.
【详解】根据题意，圆：的圆心为，半径；
圆：的圆心为：，半径．
由圆：与圆：相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，
则有，可得．
由，
得故答案为：．
题型14 直线与圆综合：超难压轴小题选
【典例1-1】（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共交点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果.
【详解】由，得点P在圆上，故点P在圆上，又点P在圆C上，所以，两圆有交点，
因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为1，
所以，又，所以，
解得，所以a的最小值为4.
故选：C.
【典例1-2】（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围.
【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为，
则圆的方程，
设，由，
可得，整理得，
则圆与圆有公共点，
则，
即，解之得.
故选：D
【变式1-1】（2023春·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）直线与分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为（ ）
A．B．C．10D．15
【答案】D
【分析】由题意可得，设点到弦、的距离分别为、，，再由基本不等式求解即可.
【详解】显然，且两直线同时过定点，点在圆内，
设点到弦、的距离分别为、，则，
，
四边形面积
故选：D.
【变式1-2】（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，从而求得实数a的取值范围.
【详解】圆C：的圆心，半径，
∵圆C上至少存在一点P，使得，
∴圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，如图所示，
又圆O：的圆心，半径，
则，即，∴．故选：B．
【变式1-3】（2023·湖北·统考模拟预测）已知点在圆运动，若对任意点，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由恒成立可知，始终在以为直径的圆内或圆上，求出点到直线的距离即得线段长度的最小值.
【详解】如图，
由题可知，圆心为点，半径为1，
若直线上存在两点，使得恒成立，
则始终在以为直径的圆内或圆上，点到直线的距离为，
所以长度的最小值为.
故选：D
高考练场
1.．（2024上·四川巴中·高三统考）若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】曲线的方程可化为，表示以为圆心，1为半径的上半圆，曲线表示两条直线与，而直线与有两个交点，则直线与半圆有2个除外的交点，利用数形结合及斜率公式、直线与圆相切的结论即可求解.
【详解】由得，
则曲线表示以为圆心，1为半径的上半圆，
曲线表示两条直线与，
显然直线过圆心，则其与有两个交点，
∴直线与半圆有2个除外的交点，
由得，
则直线过定点，，
当直线与半圆相切时，
圆心到直线的距离，即，
解得或（舍），
所以时，直线与半圆有2个除外的交点，
此时曲线与曲线有四个不同的交点.
故选：C.
2.（2023上·四川成都·高三四川省成都市西北中学校考阶段练习）巳知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（ ）
A．5B．8C．10D．16
【答案】B
【分析】根据直线垂直的判定说明，结合两直线所过的定点确定的轨迹，进而求面积的最大值.
【详解】由，即，
由过定点，过定点，
所以在以为直径的圆上，且，要使面积最大，离最远即可，
故面积的最大值是.
故选：B
3.（2021·浙江省青田县中学高三）在平面直角坐标系内，点，集合，任意的点，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】分析可得点轨迹，根据轨迹即可得解.
【详解】原点到直线的距离，
所以直线上点在以原点为圆心，半径为的圆上或圆外，，所以的取值范围是
故答案为：
4.（2021秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点，若圆C：（）上存在两点，使得，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中点，可得出，设，可求得，再由可求得的取值范围.
【详解】取的中点，则．
因为，则，
设，则．
因为点、，则，
所以，得．
因为，则，解得，
故选：C．
5.（2022·全国·高三课时练习）已知圆，直线，点P为直线l上任意一点，过P作圆C的一条切线，切点为A，则切线段的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】由，结合的最小值为点C到直线l的距离求解.
【详解】圆C的圆心为，则，其中，
的最小值为点C到直线l的距离，即，
所以当取最小时，也取最小，即，
故选：B
6.（2022·浙江·高三专题练习）已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得直线l的方程为，再求出圆C的圆心坐标与半径，由面积的最小值为求得，再由点到直线的距离公式求解k，可得直线l的方程，进一步求得直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值．
【详解】解：由题意可得直线l的方程为，
圆C的圆心，半径为1，
如图：
，又，当取最小值时，取最小值，
此时，可得，，则，解得，
则直线l的方程为，则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为．
故选：B．
7.（2019·安徽·芜湖一中高三（理））由直线上的一点向圆：引切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为
A．1B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据题意，设，结合圆的切线的性质分析可得四边形面积，又由，据此分析可得当取得最小值时，切线长取得最小值，此时四边形PACB面积取得最小值，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
【详解】根据题意，连接 ，圆：的圆心为，半径，
设，则四边形面积，又由，
则当取得最小值时，切线长取得最小值，此时四边形面积取得最小值，
而的最小值为圆心到直线的距离，设其最小值为，则，
则 ；故四边形面积的最小值为 ；故选：C．
8.（2021·全国·高三单元测试）已知圆，为圆上一动点，过点作圆的切线交线段为坐标原点）的垂直平分线于点，则点到原点的距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据直角三角形的性质，可知，当且仅当为圆的切线时，取等号，求出切线长即可得结论．
【详解】圆，化为标准方程为：
圆是以为圆心，1为半径的圆
为圆上一动点，过点作圆的切线交线段为坐标原点）的垂直平分线于点，
当且仅当为圆的切线时，取等号此时，，故选：．
9.（2023上·江苏镇江·高三统考）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 .
【答案】/
【分析】点关于的对称点为，则最小值即为点到圆心的距离与半径的差，求出即可.
【详解】设：，圆心为，半径为
点关于的对称点为则，解得，即
则“将军饮马”的最短总路程为.故答案为：
10.（2022秋·福建莆田·高三莆田第六中学校考阶段练习）过直线上一动点，向圆引两条切线，为切点，线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】得到四点共圆，且为直径，求出以为直径的圆的方程，与联立求出相交弦所在直线的方程，得到其过的定点，再数形结合求出
要想线段取得最小值，只需，即为的中点时，利用勾股定理求出答案.
【详解】圆的圆心为原点，半径为因为，故四点共圆，且为直径，
设，则，线段的中点坐标为，
故以为直径的圆的方程为，整理得：，
与相减得：直线的方程为，
整理为，令，解得：，即直线恒过点，
要想线段取得最小值，只需，即为的中点，其中，
则，故选：B
11.（2022·江苏·高三课时练习）已知点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A､B，则直线必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出点坐标，利用圆与圆的位置关系求得直线的方程，从而求得定点坐标.
【详解】设，圆的圆心为，一般方程为①，
线段中点坐标为，，所以以线段为直径的圆的方程为，整理得②，
①-②并化简得，即，.
所以定点坐标为.故选：A
12.（2022·山西·运城市景胜中学高三阶段练习）已知点P在直线l：上，过点P作圆C：的切线，切点分别为A，B，则弦AB的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】易得P，A，C，B四点共圆，该圆以PC为直径，求出相交圆公共弦所在直线方程，由弦长公式利用二次函数求最值．
【详解】圆C：的标准方程为 ，圆心，半径，
点P在直线l：上，设，则易得P，A，C，B四点共圆，该圆以PC为直径，
方程为：，即，与圆C的方程相减，
得到弦AB所在直线的方程为：，则圆心C到直线AB的距离，当时，取得最大值，由勾股定理，d取得最大值时，取得最小值，且．故选：B
13..（2022·全国·高三专题练习）已知大圆与小圆相交于，两点，且两圆都与两坐标轴相切，则____
【答案】
【分析】由题意可知大圆与小圆都在第一象限，进而设圆的圆心为，待定系数得或，再结合两点间的距离求解即可.
【详解】由题知，大圆与小圆都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为，
其方程为，将点或代入，解得或，
所以，，可得，，
所以．故答案为：
14.（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知圆，点，若圆M上存在两点B，C，使得是等边三角形，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】条件可转化为存在点B使得，然后过点A作圆M的切线，切点为T，连接MT，则，然后可求出的范围，然后可得答案.
【详解】由题知，圆M和正组成的图形关于直线AM对称，
若存在点B，C满足题意等价于存在点B使得，
过点A作圆M的切线，切点为T，连接MT，则，
又，所以，
则，解得．
故选：D
一般情况下，过定点
直线系：
过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。
每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。
如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算
圆的动切线：
到直线系距离，每条直线的距离
，
直线系表示圆的切线集合，
直线与圆的位置关系：
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相离．
(2)代数法：利用判别式Δ＝b2－4ac进行判断：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．
圆的切线常用结论：
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
圆切三角形面积最值
,然后把三角形面积最值转化为PC最值
圆切四边形面积最值
然后把三角形面积最值转化为PC最值
切线转化：
1.抓化为定点、切点、圆心三点三角形，可以借助勾股定理（或者三角函数正余弦）求解。
2.转化为圆心到切点弦距离最值求解
切点弦求解：
1.公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．
2二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程的求法：
①以M为圆心，切线长为半径求圆M的方程；
②用圆M的方程减去圆C的方程即得；
(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，
切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
（2）与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法：
①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；
②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc15774" 题型01 含参直线过定点 PAGEREF _Tc15774 \h 1
\l "_Tc16253" 题型02 含参双直线型 PAGEREF _Tc16253 \h 4
\l "_Tc3565" 题型03 圆切线型含参动直线 PAGEREF _Tc3565 \h 6
\l "_Tc14120" 题型04圆综合：弦长最值 PAGEREF _Tc14120 \h 9
\l "_Tc3014" 题型05圆综合：切线最值 PAGEREF _Tc3014 \h 11
\l "_Tc13101" 题型06圆综合：三角形面积最值 PAGEREF _Tc13101 \h 13
\l "_Tc19109" 题型07圆综合：四边形最值 PAGEREF _Tc19109 \h 16
\l "_Tc8930" 题型08 圆综合：切线转化 PAGEREF _Tc8930 \h 20
\l "_Tc10026" 题型09 圆综合：将军饮马型最值 PAGEREF _Tc10026 \h 22
\l "_Tc30852" 题型10圆综合：切点弦 PAGEREF _Tc30852 \h 25
\l "_Tc6738" 题型11圆综合：切点弦过定点 PAGEREF _Tc6738 \h 28
\l "_Tc8709" 题型12圆综合：切点弦最值 PAGEREF _Tc8709 \h 31
\l "_Tc30599" 题型13直线与圆综合：两圆公切线 PAGEREF _Tc30599 \h 33
\l "_Tc21854" 题型14 直线与圆综合：超难压轴小题选 PAGEREF _Tc21854 \h 35
\l "_Tc29743" 高考练场 PAGEREF _Tc29743 \h 37
题型01 含参直线过定点
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·重庆开州·高三重庆市开州中学校考阶段练习）已知，，若，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】都为平面内的点集，即两点集对应的几何图形无公共点，数形结合解决问题.
【详解】集合
表示平面内一条直线，但不包含点；
由，得，
不论取何值，直线恒过，
对于的每一个取值，集合
都表示平面内过定点的一条直线.
当时，集合表示的直线的方程为，
此时直线与直线重合，有无数个公共点，即，不满足题意；
当时，直线与直线不重合，相交于点，
又，即，满足题意.
故选：D.
【典例1-2】（2020下·高三课时练习）若，且，则直线必不过（ ）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】对分成，，，去分母观察，
化简可求得，再判断直线不过第几象限.
【详解】由，则，，，相加得，
又，得，即直线为，即，
显然直线不过第四象限.
故选：D
【点睛】本题考查了学生的观察、分析能力，由比较整齐的式子，求得，再利用直线的性质，判断不过第几象限.
【变式1-1】（2024上·天津·高三天津市第一百中学校联考）直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．9C．10D．
【答案】D
【分析】，过定点，，，由垂径定理易知，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，计算出点到的最大距离为，据此即可求出面积的最大值.
【详解】因为圆：，所以，
因为：，即，所以过定点，
直线：，令，则；令，则，
则，，，作出图象如图所示：
因为为中点，所以，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
所以点到的最大距离为，
所以面积的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是得到点的轨迹，再求出该圆上的点到定直线距离的最大值，从而得到面积最大值.
【变式1-2】．（2024上·江苏苏州·高三统考）在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】先求出直线过定点，由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，求解即可.
【详解】直线：过定点，
圆：，圆心，半径
因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时，
弦长最短为，
故选：C
【变式1-3】（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考）设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】整理直线的方程，可得直线恒过点，当时，点到的距离最大时，即可求解.
【详解】∵直线：，
∴可将直线方程变形为，
由，解得，
由此可得直线恒过点，
当时，点到的距离最大时，
，则由，得.
故选：A.
题型02 含参双直线型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·浙江绍兴·高三绍兴一中校考）已知，，三点，直线l1：与直线l2：相交于点P，则的最大值（ ）
A．72B．80C．88D．100
【答案】C
【分析】分析两直线特征，恒过定点，联立两直线方程，消去，得到交点的轨迹方程，然后借助于的坐标范围，求出的最大值.
【详解】直线l1：变形为直线恒过定点，
直线l2：直线恒过定点，
直线l1：与直线l2：相交于点P，
联立，消去，得
所以是以为圆心，半径为2的圆上一点，设且，
，
所以的最大值为88，
故选：C.
【典例1-2】（2024上·全国·高三）过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线化为，可知定点，
动直线化为，令，
解得，可知定点，
又，
所以直线与直线垂直，为交点，
.
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为.
故选：B.
【变式1-1】（2023上·全国·高三）已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（ ）
A．10B．14C．18D．20
【答案】B
【分析】根据直线和的方程得到点为以为直径的圆上的点，然后根据三角形面积公式得到当点到直线的距离最大时，的面积最大，然后求最大值即可.
【详解】
直线的方程可整理为，令，解得，
所以直线恒过定点，
直线的方程可整理为，令，解得，
所以直线恒过定点，
因为，所以，
所以点为以为直径的圆上的点，
，中点为，
则点的轨迹方程为，
，
所以当点到直线的距离最大时，的面积最大，
，直线的方程，即，
设点到直线的距离为，圆心直线的距离为，半径为，
则，
所以的面积最大值为.
故选：B.
【变式1-2】（2024上·全国·高三）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．B．2C．3D．5
【答案】A
【分析】先确定两直线所过的定点、的坐标，然后根据两直线的位置关系可判断它们垂直，结合基本不等式求解即可.
【详解】依题意，直线过定点，直线可整理为，故直线过定点，
又因为直线和直线始终垂直，为两直线交点，
所以，
则，
由基本不等式可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值是.
故选：A.
【变式1-3】AB中点为Q，则的值为（ ）
A．B．C．D．与m的取值有关
【答案】A
【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解.
【详解】由于经过的定点为，所以，
直线变形为，所以经过定点，故，
且两直线垂直，因此为直角三角形，所以，
故选：A
题型03 圆切线型含参动直线
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·湖南怀化·高三校考）在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．24B．C．14D．
【答案】B
【分析】根据集合可判断出集合表示圆,再画图,根据做对称点的方法转换的周长,再求最小值即可.
【详解】∵点到直线的距离,
∴直线始终与圆相切,
∴集合A表示除圆以外所有的点组成的集合,
∴集合表示圆,其对称中心如图所示：设是点关于直线线段（）的对称点,设,则由求得,可得.设关于x轴的对称点为,易得,则直线,和线段的交点为P,则此时,的周长为,为最小值.
【典例1-2】（2023上·全国·高三专题练习）设直线系，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于轴时，或；
（2）当时，直线倾斜角为；
（3）中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点不在中任意一条直线上．
其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②④
【答案】D
【分析】由直线斜率不存在可判断（1），由直线斜率与倾斜角的关系可判断（2），化简消参可知直线系表示圆的切线的集合，故不经过某一定点，由点不在直线上可知（4）正确.
【详解】，
（1）当直线垂直于轴时，则，解得或或，故（1）错误；
（2）当时，直线方程为：，
斜率，即，倾斜角，故（2）正确；
（3）由直线系
可令，消去可得，
故直线系表示圆的切线的集合，故（3）不正确．
（4）因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故（4）正确；
故选：D．
【变式1-1】（2021·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知实数满足，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】实数满足表示点在直线上，可以看作点到原点的距离，最小值是原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式求解.
【详解】因为实数满足＝1
所以表示直线上点到原点的距离，
故的最小值为原点到直线的距离，
即，故的最小值为1.
【变式1-2】（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）直线系，直线系A中能组成正三角形的面积等于______.
【答案】或
【分析】应用辅助角公式可得且，根据正弦函数的性质有，易知其几何意义：直线系A是圆上所有点的切线集合，分析可知直线构成正三角形有无数个，但面积值只有两个；将圆心移至原点、取简化模型，设为，应用切线的性质及点线距离公式求参数b，进而求出正三角形的两个面积值.
【详解】直线系A：可变形为，
∴，而，
，即，其几何意义为圆外的点的集合，直线系是圆的切线的包络，即圆上所有点的切线集合，如图所示.
把圆心平移到原点，由过圆上一点的切线方程为.
而圆的参数形式为，，
令，则以为切点的切线方程为，即.
由圆心到切线的距离等于半径，有，即，
故当时，直线系是圆上所有点的切线方程系，也是圆的包络线.
显而易见，所有直线系中的直线构成正三角形有无数个，但是面积的值只有两个.
如取，如图所示，设直线的方程为.
圆心到直线的距离等于半径，则，
，则，
当，，，则.
当，，，则.
将圆向右平移3个单位即为，不改变正三角形的面积，直线系A中组成正三角形的面积：或.故答案为：或
题型04圆综合：弦长最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【分析】先求出圆心和半径，以及直线的定点，利用圆的几何特征可得到当时，最小
【详解】由圆的方程，可知圆心，半径，
直线过定点，
因为，则定点在圆内，
则点和圆心连线的长度为，
当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时，
由圆的弦长公式可得，
故选：C
【典例1-2】．（2022秋·重庆·高三统考）已知圆，直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】由题意得直线过定点且点在圆内，由结合弦长公式可得结果．
【详解】圆：的圆心，半径
直线即，则直线经过定点
由,得点在圆内
设圆心到直线的距离为，则，（当时取等号）
则，（当时取等号）
则的最小值为4.
故选：C.
【变式1-1】（2022秋·广东广州·高三校联考）直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A．6B．4C．D．
【答案】D
【分析】先求出直线经过的定点，再由弦长公式可分析出当时，最小，从而可求得结果.
【详解】因为可化为，
令，解得，
所以直线恒过定点，该点在圆内，
因为，所以要求的最小值，即求圆心到直线的最大距离，
显然当时，最大，最小，
又因为圆，所以圆心，，则，
故此时.
故选：D.
【变式1-2】．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高三乌市一中校考）圆截直线所得的弦长最短时，实数 （ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据直线方程得到直线经过定点，通过比较点到圆心的距离和半径的大小得到点在圆的内部，再利用几何的方法得到时弦长最短，最后利用垂直关系求解即可.
【详解】圆，即，圆心为，半径，
直线，即，故直线恒过定点，
又，所以点在圆内部，
设到直线的距离为，当时，有最大值 ，即
又直线被圆截得弦长为，所以当时弦长最短，
此时时，又，所以，即.故选：B.
【变式1-3】（2022秋·浙江宁波·高三校考）已知圆：，则动直线：所截得弦长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得动直线过定点，再根据时，弦长最短和动直线过圆心时，弦长最长求解.
【详解】解：由，解得，
则动直线：过定点，
当时，弦长最短，此时，
所以最短弦长为，
当动直线过圆心时，弦长最长，即为直径，所以所截得弦长的取值范围是，故选：D
题型05圆综合：切线最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·吉林·长春市第二中学高三）已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
【答案】或
【分析】利用切线长最短时，取最小值找点：即过圆心作直线的垂线，求出垂足点．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程．
【详解】设切线长为，则，所以当切线长取最小值时，取最小值，
过圆心作直线的垂线，则点为垂足点，此时，直线的方程为，
联立，得，点的坐标为.
①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，圆心到该直线的距离为，合乎题意；
②若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.
由题意可得，化简得，解得，
此时，所求切线的方程为，即.
综上所述，所求切线方程为或，
故答案为或
【典例1-2】（2022·河南·修武一中高三开学考试（文））已知点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【解析】求出的最小值，由切线长公式可结论．
【详解】圆半径为，，
因为在直线即上，圆心到点的最小值为，所以．
故选：B．
【变式1-1】（2021·全国·高三课时练习）由直线上的一点向圆引切线，则切线段长的最小值为 ______ .
【答案】
【分析】过点引圆的切线，切线段长，转化成通过直线上的点到圆心距离最小值求解.
【详解】记圆的圆心为点，半径，过点直线上的任一点引圆的切线，切线段长，只需最小即可，
由题：圆心到直线的距离为，圆的半径为1，故切线长的最小值为.
故答案为：
【变式1-2】（2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试）已知直线平分圆的面积，过圆外一点向圆做切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】本题考查圆有关的最值问题，根据条件得到，在中，，利用二次函数性质得到答案．
【详解】圆化为标准方程为，
所以圆心，半径，
因为直线平分圆的面积，
所以圆心在直线上，故，
即，在中，
，
当时，最小为16，最小为4．
故选：A．
【变式1-3】（2022·四川·泸县五中高三（文））已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的对称性，结合圆的切线性质、两点间距离公式、勾股定理进行求解即可.
【详解】由圆，可知该圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以圆心在直线上，所以有，
因为过点向圆作切线，切点为，
所以。所以，故选：C
.
题型06圆综合：三角形面积最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·浙江·金乡卫城中学高三）如图是直线在第一象限内的动点，过作圆的两条切线，切点为，直线交坐标轴正方向于两点，则面积的最小值是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】设，利用圆切线的性质得、，若即有，进而求A、B的坐标，利用三角形面积公式及二次函数的性质求面积最小值即可.
【详解】设，则，整理得；
同理，，若，
∴，可得，且，即，
∴且，
∴当时，有最小.
故选：B
【典例1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知直线：与圆：()相离，过直线上的动点做圆的一条切线，切点为，若面积的最小值是，则（ ）
A．1B．C．1或D．2
【答案】C
【分析】求出圆心到直线的距离，即可得切线长的最小值，从而得面积最小值，由此可得半径．
【详解】因为，所以，当最小时，最小．
的最小值为，所以，解得或，
又直线与圆相离，所以，所以或．
故选：C．
【变式1-1】.（2022·江苏·高三单元测试）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先确定的面积最小时点坐标，再由是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，即可求出外接圆方程.
【详解】
由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.
故选：C.
【变式1-2】（2021·四川·成都外国语学校高三阶段练习（文））已知定直线的方程为，点是直线上的动点，过点作圆的一条切线，是切点，是圆心，若面积的最小值为，则面积最小时直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知当时，的面积取最小值，求得，即圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得的值.
【详解】由题意可得直线的方程为，圆的圆心，半径为，
如图，
又，所以，当取最小值时，取最小值，此时，
可得，，则，解得.
故选：B.
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）过x轴上一点P向圆作圆的切线，切点为A、B，则面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解法一由点P离原点越远趋向无穷远处时，的面积趋向于无穷大；当点P趋近于原点时，的面积逐渐变小，利用极限法，由点P与原点重合求解； 解法二设，
，由 求解.
【详解】解法一（极限法）：如图所示，
若点P离原点越远趋向无穷远处时，越来越长，、也随着越来越长，
显然的面积趋向于无穷大；当点P趋近于原点时，的面积逐渐变小，
当点P与原点重合时，，且此时的为正三角形，面积最小，
其最小面积为， 解法二（直接解法）：设，则，，
设，则有，，于是，
，显然上式是的单调递增函数，当时，取最小值，故选：A.
题型07圆综合：四边形最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·江苏·高三专题练习）已知点是直线上一动点，与是圆的两条切线，为切点，则四边形的最小面积为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用当与直线垂直时，取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出的最小值，然后利用勾股定理计算出、的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形面积的最小值．
【详解】如下图所示：
由切线的性质可知，，，且，
，
当取最小值时，、也取得最小值，
显然当与直线垂直时，取最小值，且该最小值为点到直线
的距离，即，
此时，，
四边形面积的最小值为，故选A.
【典例1-2】（2022·全国·高三课时练习）已知圆，直线，点为上一动点，过点作圆的切线，（切点为，），当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设四边形的面积为，求出四边形的面积最小时，四边形是正方形，求出线段的中点坐标为，直线的斜率为即得解.
【详解】
设四边形的面积为，，，
所以，当最小时，就最小，，所以． 此时.
所以，四边形是正方形，由题得直线的方程为，
联立得，所以线段的中点坐标为，由题得直线的斜率为
所以直线的方程为，化简得直线的方程为.故选：C
【变式1-1】（2020·安徽·定远县私立启明民族中学高三阶段练习（理））已知是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，记四边形的面积为，当在圆上运动时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得到圆心，半径；圆心，半径，，，当位于图形中的位置时，四边形面积最小，过作圆的切线，切点分别为，连接，可得出，且，则中，根据勾股定理得：，此时，当位于图形中的位置时，四边形面积最大，同理得到，综上，的范围为，故选A.
【变式1-2】（2021·全国·高三）从直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知当时，最大，计算出、，进而可计算得出四边形（为坐标原点）面积.
【详解】圆的圆心为坐标原点，连接、、，则，
设，则，，则，
当取最小值时，，此时，
，，，故，
此时，.
故选：B.
【变式1-3】（2022·全国·高三课时练习）已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（ ）
A．B．2C．D．2
【答案】C
【分析】由圆C的标准方程可得圆心为，半径为1，由于四边形PACB面积等于，，故求解最小值即可，又最小为圆心到直线的距离，即可得出四边形PACB面积的最小值.
【详解】圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为，半径为r＝1，
圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离
所以圆C与直线l相离.
根据对称性可知，四边形PACB的面积为
要使四边形PACB的面积最小，则只需最小.
又最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离．
所以四边形PACB面积的最小值为．
故选：C．
题型08 圆综合：切线转化
【解题攻略】
【典例1-1】.（2021·江苏·高三专题练习）已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是
A．B．[,]
C．D．）
【答案】D
【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.
【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），
因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：
PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，
则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.
直线过定点（0，－2），直线方程即，
只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，
即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.
【典例1-2】（2022·安徽省宣城中学高三开学考试）已知点P是直线l：上的动点，过点P引圆C：的两条切线PM，PN，M，N为切点，当的最大值为时，则r的值为
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】结合题意，找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，计算结果，即可．
【详解】结合题意，绘制图像，可知
当取到最大值的时候，则也取到最大值，而，当PC取到最小值的时候，取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故，故，解得，故选D．
【变式1-1】（2021·山东德州·高三）已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，其中，为切点，若的最大值为120°，则的值为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】B
【分析】由切线得四边形的性质，要使得最大，则最小，的最小值即为圆心到直线的距离，再由已知角的大小可求得．
【详解】由题意，，，
所以最大时，最小．
由题意知，又，
所以，．故选：B．
【变式1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知圆：，直线：，若在直线上任取一点作圆的切线，，切点分别为，，则最小时，原点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将最小转化为，根据点到直线的距离公式可求得结果.
【详解】由得，
所以圆心，半径，
在中，，
当最小时，最小，最大，最小，此时，
的最小值为圆心到直线的距离：，此时，，
因为，所以，所以圆心到直线的距离为，
所以两平行直线与之间的距离为，
因为原点到直线的距离为，
所以原点到直线的距离为.
故选：A
【变式1-3】（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1B．C．3D．7
【答案】C
【解析】根据四边形PMCN为正方形可得，转化为圆心到直线的距离为可求得结果.
【详解】由可知圆心，半径为，
因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，
所以直线：上有且只有一个点，使得，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或（舍）.
故选：C
题型09 圆综合：将军饮马型最值
【典例1-1】（2019·江西南昌·校联考二模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.
【详解】解：设点A关于直线的对称点，
的中点为，故解得，
要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，
“将军饮马”的最短总路程为，故选A.
【典例1-2】（2022上·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为 .
【答案】
【分析】求出点P关于直线的对称点，根据对称性，原问题转化成求到营区的最短距离，利用圆的几何性质即可得解.
【详解】设点关于直线的对称点，
解得，所以，
将军从P出发到达直线上点A再到营区，，
所以本题问题转化为求点到营区的最短距离，
根据圆的几何性质可得最短距离为.
故答案为：
【变式1-1】（2022下·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】求出关于直线的对称点，过作平行于的直线为，将的值转化为的最小值，利用数形结合以及根据两点间的距离公式，求解出的坐标.
【详解】关于直线的对称点为，则有.过作平行于的直线为，由得，即此时直线为.过作，则，则.由于是常数，要使的值取最小，则的值取最小，即三点共线时最小.设，由得，即，解得（舍去.），即.设，则，解得，即，设，.由得，得，解得或（舍去），故.
故答案为：.
【变式1-2】（2023上·湖南益阳·高三桃江县第一中学校联考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程.
【详解】若是关于的对称点，则，
设饮马点为，如下图示，
由图知：，当且仅当共线时等号成立，
所以.故选：C
【变式1-3】（2023上·山西·高三校联考开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（ ）
A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
【答案】AC
【分析】确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断A、B；确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断C、D；
【详解】由关于，的对称点分别为，而，
从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，A对；
从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，B错；
由关于，的对称点分别为，
从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程，C对；
从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是，D错.
故选：AC
题型10圆综合：切点弦
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得，说明要使最小，则需最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．
【详解】解：因为圆，即为，
所以圆心，半径．．
要使最小，则需最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方程为，即，
联立，解得，即．则以PM为直径的圆O的方程为．
直线AB为圆M与圆O公共弦所在直线，联立
相减可得直线AB的方程为．故选：A．
【典例1-2】（2022秋·山东·高三山东省实验中学校考）已知圆与直线，过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A，B，若线段长度的最小值为，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则，则由题意可求得，从而可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值
【详解】圆，设，则，
因为，所以，又，所以，又，
所以，即，又，所以．故选：D．
【变式1-1】（2023秋·江苏·高三南京市人民中学校联考开学考试）已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.
【详解】连接，由切圆于知，，
因为直线与平行，则，，而圆半径为，
于是，由四边形面积，得，
所以. 故选：C
【变式1-2】（2023春·河南南阳·高三统考）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据题意可得为等边三角形，可得结果.【详解】圆化为标准方程为，
其圆心为，半径为1， 由题意知，,,,,
所以,所以.所以,且,
所以为等边三角形，所以.故选:C．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.
【详解】圆，设，则，则，，
则，所以圆心到直线的距离是，
，得，．故选：A．
题型11圆综合：切点弦过定点
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三单元测试）已知圆的圆心为原点，且与直线相切.点在直线上，过点引圆的两条切线，，切点分别为，，如图所示，则直线恒过定点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由圆的圆心为原点且与直线相切即得圆的方程，又，是它的切线，可知，一定在以为直径为圆心的圆上，即为两圆的公共弦，即可求出直线的方程，进而找到定点
【详解】依题意知，圆的半径且圆心为。∴圆的方程为
∵，是圆的两条切线∴，，即，在以为直径的圆上
若设点的坐标为，，则线段的中点坐标为
∴以为直径的圆的方程为，，化简得，
∵为两圆的公共弦∴直线的方程为，，即
∴直线恒过定点故选：A
【典例1-2】（2021·江苏·高三单元测试）已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线､，､为切点，则直线过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点坐标，由切线性质得四点共圆，是其直径，可得圆方程，是此圆与圆的公共弦，因此只要两圆方程相减可得直线方程，由方程可得定点坐标．
【详解】由题意，设，则以为直径的圆方程为，即，
由得，这就是直线的方程，
直线方程整理为，由，得，
所以直线过定点．故选：B．
【变式1-1】（2021·山西·太原市第六十六中学校高三）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点分别是A，B，则直线AB恒过定点的坐标为___________.
【答案】
【分析】先设点，发现P、A、O、B四点共圆，求出P、A、O、B四点确定的圆的方程，联立后得到AB所在直线方程，再求直线AB恒过定点的坐标
【详解】设点，则∵过点P作圆的切线，切点分别是A，B，
∴，∴P、A、O、B四点共圆，其中OP为直径。所以圆心坐标为，半径长为
∴P、A、O、B四点确定的圆的方程为：。化为一般方程为：即与联立，求得AB所在直线方程为：①
其中，代入①中，得：所以 解得：
直线AB恒过定点的坐标为 故答案为：
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线必过定点（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过过点作圆的两条切线，，切点分别为，，能得到是以为直径的圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，从而求得直线恒过定点坐标.
【详解】圆的方程可化为，所以圆心.
则以为直径的圆的圆心为，设以为直径的圆的半径为，则.
所以以为直径的圆的方程为.过点作圆的切点分别为，,两圆的交点为,,即两圆的公共弦为.将两圆的方程相减可得直线的方程为，即.令得.
所以直线必过定点.故选：A.
【变式1-3】（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高三开学考试（理））已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】因为、是圆的两条切线，所以，因此点、在以为直径的圆上，因为点是直线：上的动点，所以设，点，
因此的中点的横坐标为：，纵坐标为：，
，因此以为直径的圆的标准方程为：
，而圆：，
得：，即为直线的方程，
由
，所以直线经过定点，故选：D
题型12圆综合：切点弦最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·江苏·高三专题练习）若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则线段的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先设圆，圆心，，根据题意得到当最小时，最小，利用余弦定理即可得到，再根据点在直线无限远取值时，，直径，即可得到答案.
【详解】设圆，，圆心，，
要使的长度最小，则最小，即最小.因为，所以当最小时，最小.又因为，所以当最小时，最小.
因为，所以，.
则.当点在直线无限远取值时，，直径，所以.故选：C
【典例1-2】（2022·江苏·高三课时练习）过圆：外一点作圆的切线，切点分别为、，则（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】本题首先可结合题意绘出图像，然后根据圆的方程得出，再然后根据两点间距离公式以及勾股定理得出、，最后通过等面积法即可得出结果.
【详解】如图，结合题意绘出图像：因为圆：，直线、是圆的切线，
所以，，，，因为，所以，，
根据圆的对称性易知，则，解得，，
故选：C.
【变式1-1】（2022·江西·上高三中高三阶段练习（文））若为直线上一个动点，从点引圆：的两条切线，（切点为，），则的最小值是（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】由题可得要使最小，即最小，即最小，求出的最小值，得出，再由余弦定理即可求出.
【详解】圆：化为，则圆心，半径，
要使最小，则要使最小，即最小，，
当最小时，最小，，则当最小时，最小，
，，，
.故选：B.
【变式1-2】（2020·四川·宜宾市教科所高三（文））已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则线段长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用表示出弦长，然后由的取值范围求得结论．
【详解】如图，，，，
∴由得，，
∵，，∴，
∴，故选：C．
【变式1-3】（2021·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点满足，过作单位圆的两条切线，切点分别为，则线段长度的取值范围是______.
【答案】.
【分析】设，由圆的切点弦所在直线方程可知的方程为，进而可求圆心到距离，从而求出弦长，结合已知可求出弦长的取值范围.
【详解】解：设，当时，此时过点与圆相切直线的斜率，
则过点与圆相切直线方程为，即，
当时，，此时切线方程或满足.
综上所述，过点与圆相切直线方程为；
同理，过点与圆相切直线方程为，设，
则直线的方程为，此时圆心到距离.
所以.由可知，
，则，所以.故答案为: .
题型13直线与圆综合：两圆公切线
【典例1-1】（2020·江西·南昌市新建区第一中学高三阶段练习（理））圆与圆的公切线有（ ）条．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】求得圆心坐标分别为，半径分别为，根据圆圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意，圆与圆，
可得圆心坐标分别为，半径分别为，
则，
所以，可得圆相交，
所以两圆共有两条切线.故选：B.
【典例1-2】（2021·江苏·高三专题练习）已知，两圆与相交于A、B两点，且在点A处两圆的切线互相垂直，则线段AB的长度为（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】B
【分析】由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心，O1A⊥AO2，利用勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度．
【详解】解：由题知，，半径分别为，
根据两圆相交，可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，
即．
又，所以有，
，
再根据，
求得，
故选：B．
【变式1-1】（2019·四川·成都七中高一）若圆:与圆:相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则公共弦的长度是______.
【答案】
【分析】根据两圆在点处的切线互相垂直，得出是直角三角形，求出，然后两圆相减求出公共弦的直线方程，运用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，进而求出公共弦长.
【详解】由题意，圆圆心坐标，半径，圆圆心坐标,半径，
因为两圆相交于点，且两圆在点处的切线互相垂直，所以是直角三角形，，所以，
由两点间距离公式，，所以，解得，
所以圆：，两圆方程相减，得，即，所以公共弦：，
圆心到公共弦的距离，故公共弦长
故答案为：
【变式1-2】（2021·江苏·高三专题练习）已知：与：相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且，则的方程为___________．
【答案】
【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解．
【详解】
由题意作出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心O、，
则在中，，，，斜边上的高为，
由三角形等面积法可得：，
由勾股定理可得：，
由以上两式可解得：，，可得圆的方程为：．
故答案为：.
【变式1-3】（2021·全国·高三课时练习）若圆：与圆：相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长为______．
【答案】
【分析】由切线互相垂直可知，进而可得，再结合三角形面积可得解.
【详解】根据题意，圆：的圆心为，半径；
圆：的圆心为：，半径．
由圆：与圆：相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，
则有，可得．
由，
得故答案为：．
题型14 直线与圆综合：超难压轴小题选
【典例1-1】（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共交点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果.
【详解】由，得点P在圆上，故点P在圆上，又点P在圆C上，所以，两圆有交点，
因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为1，
所以，又，所以，
解得，所以a的最小值为4.
故选：C.
【典例1-2】（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围.
【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为，
则圆的方程，
设，由，
可得，整理得，
则圆与圆有公共点，
则，
即，解之得.
故选：D
【变式1-1】（2023春·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）直线与分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为（ ）
A．B．C．10D．15
【答案】D
【分析】由题意可得，设点到弦、的距离分别为、，，再由基本不等式求解即可.
【详解】显然，且两直线同时过定点，点在圆内，
设点到弦、的距离分别为、，则，
，
四边形面积
故选：D.
【变式1-2】（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，从而求得实数a的取值范围.
【详解】圆C：的圆心，半径，
∵圆C上至少存在一点P，使得，
∴圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，如图所示，
又圆O：的圆心，半径，
则，即，∴．故选：B．
【变式1-3】（2023·湖北·统考模拟预测）已知点在圆运动，若对任意点，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由恒成立可知，始终在以为直径的圆内或圆上，求出点到直线的距离即得线段长度的最小值.
【详解】如图，
由题可知，圆心为点，半径为1，
若直线上存在两点，使得恒成立，
则始终在以为直径的圆内或圆上，点到直线的距离为，
所以长度的最小值为.
故选：D
高考练场
1.．（2024上·四川巴中·高三统考）若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】曲线的方程可化为，表示以为圆心，1为半径的上半圆，曲线表示两条直线与，而直线与有两个交点，则直线与半圆有2个除外的交点，利用数形结合及斜率公式、直线与圆相切的结论即可求解.
【详解】由得，
则曲线表示以为圆心，1为半径的上半圆，
曲线表示两条直线与，
显然直线过圆心，则其与有两个交点，
∴直线与半圆有2个除外的交点，
由得，
则直线过定点，，
当直线与半圆相切时，
圆心到直线的距离，即，
解得或（舍），
所以时，直线与半圆有2个除外的交点，
此时曲线与曲线有四个不同的交点.
故选：C.
2.（2023上·四川成都·高三四川省成都市西北中学校考阶段练习）巳知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（ ）
A．5B．8C．10D．16
【答案】B
【分析】根据直线垂直的判定说明，结合两直线所过的定点确定的轨迹，进而求面积的最大值.
【详解】由，即，
由过定点，过定点，
所以在以为直径的圆上，且，要使面积最大，离最远即可，
故面积的最大值是.
故选：B
3.（2021·浙江省青田县中学高三）在平面直角坐标系内，点，集合，任意的点，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】分析可得点轨迹，根据轨迹即可得解.
【详解】原点到直线的距离，
所以直线上点在以原点为圆心，半径为的圆上或圆外，，所以的取值范围是
故答案为：
4.（2021秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点，若圆C：（）上存在两点，使得，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中点，可得出，设，可求得，再由可求得的取值范围.
【详解】取的中点，则．
因为，则，
设，则．
因为点、，则，
所以，得．
因为，则，解得，
故选：C．
5.（2022·全国·高三课时练习）已知圆，直线，点P为直线l上任意一点，过P作圆C的一条切线，切点为A，则切线段的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】由，结合的最小值为点C到直线l的距离求解.
【详解】圆C的圆心为，则，其中，
的最小值为点C到直线l的距离，即，
所以当取最小时，也取最小，即，
故选：B
6.（2022·浙江·高三专题练习）已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得直线l的方程为，再求出圆C的圆心坐标与半径，由面积的最小值为求得，再由点到直线的距离公式求解k，可得直线l的方程，进一步求得直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值．
【详解】解：由题意可得直线l的方程为，
圆C的圆心，半径为1，
如图：
，又，当取最小值时，取最小值，
此时，可得，，则，解得，
则直线l的方程为，则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为．
故选：B．
7.（2019·安徽·芜湖一中高三（理））由直线上的一点向圆：引切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为
A．1B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据题意，设，结合圆的切线的性质分析可得四边形面积，又由，据此分析可得当取得最小值时，切线长取得最小值，此时四边形PACB面积取得最小值，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
【详解】根据题意，连接 ，圆：的圆心为，半径，
设，则四边形面积，又由，
则当取得最小值时，切线长取得最小值，此时四边形面积取得最小值，
而的最小值为圆心到直线的距离，设其最小值为，则，
则 ；故四边形面积的最小值为 ；故选：C．
8.（2021·全国·高三单元测试）已知圆，为圆上一动点，过点作圆的切线交线段为坐标原点）的垂直平分线于点，则点到原点的距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据直角三角形的性质，可知，当且仅当为圆的切线时，取等号，求出切线长即可得结论．
【详解】圆，化为标准方程为：
圆是以为圆心，1为半径的圆
为圆上一动点，过点作圆的切线交线段为坐标原点）的垂直平分线于点，
当且仅当为圆的切线时，取等号此时，，故选：．
9.（2023上·江苏镇江·高三统考）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 .
【答案】/
【分析】点关于的对称点为，则最小值即为点到圆心的距离与半径的差，求出即可.
【详解】设：，圆心为，半径为
点关于的对称点为则，解得，即
则“将军饮马”的最短总路程为.故答案为：
10.（2022秋·福建莆田·高三莆田第六中学校考阶段练习）过直线上一动点，向圆引两条切线，为切点，线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】得到四点共圆，且为直径，求出以为直径的圆的方程，与联立求出相交弦所在直线的方程，得到其过的定点，再数形结合求出
要想线段取得最小值，只需，即为的中点时，利用勾股定理求出答案.
【详解】圆的圆心为原点，半径为因为，故四点共圆，且为直径，
设，则，线段的中点坐标为，
故以为直径的圆的方程为，整理得：，
与相减得：直线的方程为，
整理为，令，解得：，即直线恒过点，
要想线段取得最小值，只需，即为的中点，其中，
则，故选：B
11.（2022·江苏·高三课时练习）已知点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A､B，则直线必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出点坐标，利用圆与圆的位置关系求得直线的方程，从而求得定点坐标.
【详解】设，圆的圆心为，一般方程为①，
线段中点坐标为，，所以以线段为直径的圆的方程为，整理得②，
①-②并化简得，即，.
所以定点坐标为.故选：A
12.（2022·山西·运城市景胜中学高三阶段练习）已知点P在直线l：上，过点P作圆C：的切线，切点分别为A，B，则弦AB的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】易得P，A，C，B四点共圆，该圆以PC为直径，求出相交圆公共弦所在直线方程，由弦长公式利用二次函数求最值．
【详解】圆C：的标准方程为 ，圆心，半径，
点P在直线l：上，设，则易得P，A，C，B四点共圆，该圆以PC为直径，
方程为：，即，与圆C的方程相减，
得到弦AB所在直线的方程为：，则圆心C到直线AB的距离，当时，取得最大值，由勾股定理，d取得最大值时，取得最小值，且．故选：B
13..（2022·全国·高三专题练习）已知大圆与小圆相交于，两点，且两圆都与两坐标轴相切，则____
【答案】
【分析】由题意可知大圆与小圆都在第一象限，进而设圆的圆心为，待定系数得或，再结合两点间的距离求解即可.
【详解】由题知，大圆与小圆都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为，
其方程为，将点或代入，解得或，
所以，，可得，，
所以．故答案为：
14.（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知圆，点，若圆M上存在两点B，C，使得是等边三角形，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】条件可转化为存在点B使得，然后过点A作圆M的切线，切点为T，连接MT，则，然后可求出的范围，然后可得答案.
【详解】由题知，圆M和正组成的图形关于直线AM对称，
若存在点B，C满足题意等价于存在点B使得，
过点A作圆M的切线，切点为T，连接MT，则，
又，所以，
则，解得．
故选：D
一般情况下，过定点
直线系：
过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。
每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。
如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算
圆的动切线：
到直线系距离，每条直线的距离
，
直线系表示圆的切线集合，
直线与圆的位置关系：
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d
(2)代数法：利用判别式Δ＝b2－4ac进行判断：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．
圆的切线常用结论：
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
圆切三角形面积最值
,然后把三角形面积最值转化为PC最值
圆切四边形面积最值
然后把三角形面积最值转化为PC最值
切线转化：
1.抓化为定点、切点、圆心三点三角形，可以借助勾股定理（或者三角函数正余弦）求解。
2.转化为圆心到切点弦距离最值求解
切点弦求解：
1.公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．
2二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程的求法：
①以M为圆心，切线长为半径求圆M的方程；
②用圆M的方程减去圆C的方程即得；
(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，
切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
（2）与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法：
①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；
②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
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