专题29圆的有关计算（优选真题60道）-三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】

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1．（2023•大连）圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为（ ）
A．2πB．3πC．32πD．12π
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：l=nπr180=90⋅π×3180=32π，
∴该扇形的弧长为32π．
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．
2．（2023•湘潭）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA'的长为（ ）
A．4πB．6πC．8πD．16π
【分析】根据圆锥的侧面展开图中弧的长等于圆锥底面周长即可得出答案．
【解答】解：这个圆锥的侧面展开图中AA'的长为2π×4＝8π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1．圆锥的母线长为扇形的半径，2．圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
3．（2023•鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．53−33πB．53−4πC．53−2πD．103−2π
【分析】连接OD．解直角三角形求出∠DOB＝60°，BC＝43，再根据S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB，求解即可．
【解答】解：连接OD．
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴BC=3AB＝43，
∴OC＝OD＝OB＝23，
∴∠DOB＝2∠C＝60°，
∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB=12×4×43−12×23×23×32−60π⋅(23)2360
＝83−33−2π
＝53−2π．
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．
4．（2023•通辽）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A．2+π6B．2+π3C．22+π6D．22+π3
【分析】作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，最小值为AE的长与弧AD的和．
【解答】解：作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，
在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB于点D，
∴∠AOD＝∠BOD＝30°，
由轴对称的性质，∠EOB＝∠BOD＝30°，OE＝OD，
∴∠AOE＝90°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∵OA＝1，
∴AE=2，AD的长=30π×1180=π6，
∴阴影部分周长的最小值为2+π6，
故选：A．
【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，证得△AOE为等腰直角三角形是解题的关键．
5．（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A．πB．3πC．2πD．2π−3
【分析】由等边三角形的性质得到AB=BC=AC，由弧长公式求出AB的长＝π，即可求出“莱洛三角形”的周长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴AB=BC=AC，
∵AB的长=60π×3180=π，
∴该“莱洛三角形”的周长是3π．
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是由弧长公式求出AB的长．
6．（2023•滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A．14πcm2B．13πcm2C．12πcm2D．πcm2
【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是边长为1的正三角形，
所以，S阴影部分＝3S扇形O1O2A
＝3×60π×12360
=π2（cm2），
故选：C．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
7．（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）
A．25π16B．25π8C．25π6D．25π4
【分析】先连接OC，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后代入数据计算即可．
【解答】解：连接OC，如图所示，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
∵CD＝CE，
∴四边形OECD是正方形，
∴∠COE＝90°，△DCE和△OEC全等，
∴S阴影＝S△DCE+S半弓形DCE
＝S△OCE+S半弓形DCE
＝S扇形COB
=45π×52360
=25π8，
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出AB的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+MN2OA．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ ）
A．11﹣23B．11﹣43C．8﹣23D．8﹣43
【分析】连接ON，根据AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，得ON＝OA•sin60°＝23，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣23，故l＝AB+MN2OA=4+(4−23)24=11﹣43．
【解答】解：连接ON，如图：
∵AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，
∴ON⊥AB，
∴M，N，O共线，
∵OA＝4，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，
∴ON＝OA•sin60°＝23，
∴MN＝OM﹣ON＝4﹣23，
∴l＝AB+MN2OA=4+(4−23)24=11﹣43；
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求ON的长度．
9．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．414π﹣20B．412π﹣20C．20πD．20
【分析】根据矩形的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆进行计算即可．
【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，
在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，
∴BD2＝AB2+AD2＝41，
S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆
＝π×（42）2+π×（52）2+4×5﹣π×（BD2）2
=41π4+20−41π4
＝20，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
10．（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(−23，3)，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A．（33，﹣2）B．（33，2）C．（2，﹣33）D．（﹣2，﹣33）
【分析】设中间正六边形的中心为D，连接DB．判断出OC，CM的长，可得结论．
【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．
∵点P，Q的坐标分别为(−23，3)，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，
∴AB＝BC＝23，OQ＝3，
∴OA＝OB=3，
∴OC＝33，
∵DQ＝DB＝2OD，
∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，
∴M（33，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．（2023•河北）如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A．a＜bB．a＝b
C．a＞bD．a，b大小无法比较
【分析】利用三角形的三边关系，正多边形的性质证明即可．
【解答】解：连接P4P5，P5P6．
∵点P1～P8是⊙O的八等分点，
∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6，
∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3，
∵P5P4+P5P6＞P4P6，
∴P3P4+P7P6＞P1P3，
∴b﹣a＞0，
∴a＜b，
故选：A．
【点评】本题考查正多边形于圆，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在AB上，点Q是DE的中点，则∠CPQ的度数为（ ）
A．30°B．45°C．36°D．60°
【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF，Q是DE的中点，
∴∠COD＝∠DOE=360°6=60°，∠DOQ＝∠EOQ=12∠DOE＝30°，
∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，
∴∠CPQ=12∠COQ＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．
13．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（ ）
A．（2﹣23，3）B．（0，1+23）C．（2−3，3）D．（2﹣23，2+3）
【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），
在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM=12×120°＝60°，
∴CM=12BC＝2，BM=32BC＝23，
∴点C的横坐标为﹣（23−2）＝2﹣23，纵坐标为1+2＝3，
∴点C的坐标为（2﹣23，3），
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
14．（2022•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A．6π﹣93B．12π﹣93C．6π−932D．12π−932
【分析】根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．
【解答】解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，
∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，
∴∠GDE＝∠DEA＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠DEF＝120°，
∵∠GDE＝30°，DE＝6，
∴GE＝3，DG＝33，
∴DF＝63，
阴影部分的面积=120π×36360−12×63×3＝12π﹣93，
故选：B．
【点评】本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，熟练掌握扇形面积公式是解决本题的关键．
15．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．3π﹣33B．3π−932C．2π﹣33D．6π−932
【分析】根据折叠的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，
∴AC＝AO，BC＝BO，
∵AO＝BO，
∴四边形AOBC是菱形，
连接OC交AB于D，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AC＝3，
∴OC＝3，AD=32AC=332，
∴AB＝2AD＝33，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC=120π×32360−12×3×33=3π−932，
故选：B．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，BB'的长是（ ）
A．233πB．433πC．839πD．1039π
【分析】证明α＝30°，根据已知可算出AD的长度，根据弧长公式即可得出答案．
【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝DB=12AB′．
∴∠AB′D＝30°，
∴α＝30°，
∵AC＝4，
∴AD＝AC•cs30°＝4×32=23，
∴AB=2AD=43，
∴BB'的长度l=nπr180=60×π×43180=433π．
故选：B．
【点评】本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．
17．（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.1kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出1000个这样的锚标浮筒需用锌量．
【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m，
圆锥的高为0.4m，
则圆锥的母线长为：0.32+0.42=0.5m．
∴圆锥的侧面积S1＝π×0.3×0.5＝0.15π（m2），
∵圆柱的高为1m．
圆柱的侧面积S2＝2π×0.3×1＝0.6π（m2），
∴浮筒的表面积＝2S1+S2＝0.9π（m2），
∵每平方米用锌0.1kg，
∴一个浮筒需用锌：0.9π×0.1kg，
∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.9π×0.1＝90π≈282.6（kg）．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥表面积的计算和圆柱表面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，难度中等．
18．（2022•遵义）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π8−18B．π8−14C．π2−18D．π2−14
【分析】图中阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．
【解答】解：以OD为半径作弧DN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD＝OC，∠DOC＝90°，
∵∠EOB＝∠FOD，
∴S扇形BOM＝S扇形DON，
∴S阴影＝S扇形DOC﹣S△DOC=90π×(22)2360−14×1×1=π8−14，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，关键是求出阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．
19．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A．23π−32B．23π−3C．43π﹣23D．43π−3
【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB=3，进而求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，
由题意可知：∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝2
∴S扇形AOB=60π×22360=23π，
∵OC⊥AB，
∴∠OCA＝90°，AC＝1，
∴OC=3，
∴S△AOB=12×2×3=3，
∴阴影部分的面积为：23π−3；
故选：B．
【点评】本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
20．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=5，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8﹣πB．4﹣πC．2−π4D．1−π4
【分析】先根据直角三角形中的勾股定理求得AC＝1，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC），将相关量代入求解即可．
【解答】解：根据题意可知AC=AB2−BC2=52−22=1，则BE＝BF＝AD＝AC＝1，
设∠B＝n°，∠A＝m°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）=12×2×1−（nπ×12360+mπ×12360）＝1−(n+m)π360=1−π4，
故选：D．
【点评】本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．
二．填空题（共20小题）
21．（2023•吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则AB的长为 10π m．（结果保留π）
​
【分析】由弧长公式：l=nπr180（l是弧长，n是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径长），由此即可计算．
【解答】解：∵∠AOB＝120°，⊙O半径r为15m，
∴AB的长=120π×15180=10π（m）．
故答案为：10π．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
22．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 2 cm．
【分析】首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r．
【解答】解：由题意得：母线l＝6，θ＝120°，
2πr=120π×6180，
∴r＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆锥的计算及其应用问题，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
23．（2023•内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 π ．
【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD＝22，再由扇形面积公式求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°，
∴△AOD≌△COB（SSS），
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD=22+22=22，
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即45π⋅(22)2360=π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形BED的面积是解题的关键．
24．（2023•齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为 6 π cm2．（结果保留π）
【分析】解析圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×3÷2＝6π （cm²）
故答案为：6π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
25．（2023•邵阳）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为 240π cm2．（结果保留π）
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：这张扇形纸板的面积=12•2π•8•30＝240π（cm2）．
故答案为：240π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
26．（2023•扬州）用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 5 cm．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
则12×2πr×24＝120π，
解得：r＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
27．（2023•金华）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 56π cm．
【分析】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出DE的长．
【解答】解：连接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD=12AB=12×6＝3（cm），
∴DE的长=50π×3180=56π（cm）．
故答案为：56π．
【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD∥AC，从而求出∠EOD的度数．
28．（2023•苏州）如图，在▱ABCD中，AB=3+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为H，AH=3．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1﹣r2＝ 324 ．（结果保留根号）
【分析】根据平行四边形的性质以及正弦函数的定义求出∠D＝60°，∠BAC＝45°，利用弧长公式以及圆的周长公式求出r1，r2即可．
【解答】解：在▱ABCD中，AB=3+1，BC＝2，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB=3+1，AB∥CD．
∵AH⊥CD，垂足为H，AH=3，
∴sinD=AHAD=32，
∴∠D＝60°，
∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，
∴DH=12AD＝1，
∴CH＝CD﹣DH=3+1﹣1=3，
∴CH＝AH，
∵AH⊥CD，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠ACH＝∠CAH＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACH＝45°，
∴45π×3180=2πr1，解得r1=38，
30π×3180=2πr2，解得r2=312，
∴r1﹣r2=38−312=324．
故答案为：324．
【点评】本题考查了圆锥的计算，平行四边形的性质，解直角三角形，弧长公式，求出∠D＝60°，∠BAC＝45°是解决本题的关键．
29．（2023•云南）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为 15 分米．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得：圆锥的高为：42−12=15（分米），
故答案为：15．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记勾股定理是解题的关键．
30．（2023•浙江）一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是 66−62 ．现将△DEF绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是 18+12π﹣183 ．
【分析】如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，由等腰直角三角形性质可得CK＝GK=22CG，进而得出BK＝BC﹣CK＝12−22CG，利用解直角三角形可得BK=3GK，建立方程求解即可得出答案；如图2，以C为圆心，CD为半径作圆，当△CDE绕点C旋转60°时，CE′交AB于H′，连接DD′，过点D作DM⊥AB于M，过点C作CN⊥DD′于N，则∠BCE′＝∠DCD′＝60°，点D的运动轨迹为DD'，点H的运动轨迹为线段BH′，因此在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，再利用等腰直角三角形性质、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式即可求得答案．
【解答】解：如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，
∵∠BCD＝45°，
∴△CGK是等腰直角三角形，
∴CK＝GK=22CG，
∵BC＝12，
∴BK＝BC﹣CK＝12−22CG，
在Rt△BGK中，∠GBK＝30°，
∴GKBK=tan∠GBK＝tan30°=33，
∴BK=3GK，
即12−22CG=3×22CG，
∴CG＝66−62；
如图2，以C为圆心，CD为半径作圆，当△CDE绕点C旋转60°时，CE′交AB于H′，连接DD′，过点D作DM⊥AB于M，过点C作CN⊥DD′于N，
则∠BCE′＝∠DCD′＝60°，点D的运动轨迹为DD'，点H的运动轨迹为线段BH′，
∴在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，
∵CD＝BC•csCBD＝12cs45°＝62，
∴DG＝CD﹣CG＝62−（66−62）＝122−66，
∵∠BCD+∠ABC＝60°+30°＝90°，
∴∠BH′C＝90°，
在Rt△BCH′中，CH′＝BC•sin30°＝12×12=6，BH′＝BC•cs30°＝12×32=63，
∵△CD′E′是等腰直角三角形，∠CD′E′＝90°，D′H′⊥CE′，
∴D′H′=12CE′＝6，
∴BD′＝63+6，
∵DM⊥AB，
∴∠DMG＝90°，
∴∠DMG＝∠CH′G，
∵∠DGM＝∠CGH′，
∴△DGM∽△CGH′，
∴DMCH'=DGCG，即DM6=122−6666−62，
∴DM＝33−3，
∵CD′＝CD＝62，∠DCD′＝60°，
∴△CDD′是等边三角形，
∴∠CDD′＝60°，
∵CN⊥DD′，
∴CN＝CD•sin∠CDD′＝62sin60°＝36，
∴S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′=12×（63+6）×（33−3）+60π⋅(62)2360−12×62×36=18+12π﹣183；
故答案为：66−62；18+12π﹣183．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，等腰直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，得出DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′是解题关键．
31．（2023•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 4﹣π （结果保留π）．
【分析】用三角形ADE的面积减去2个扇形的面积即可．
【解答】解：∵AD＝2AB＝4，E为BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，
∴阴影部分的面积为12×4×2−2×45π×22360=4﹣π．
故答案为：4﹣π．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
32．（2023•重庆）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为 254π﹣12 ．（结果保留π）
【分析】连接BD，根据圆周角定理证得BD是⊙O的直径，利用勾股定理求得直径，然后利用圆的面积减去矩形的面积即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵AB＝4，AD＝3，
∴BD=AD2+AB2=32+42=5，
∴S阴影＝S⊙O﹣S矩形ABCD=π×(52)2−3×4=254π﹣12．
故答案为：254π﹣12．
【点评】本题考查了圆的面积和矩形的面积，解题的关键是明确阴影部分的面积是圆的面积减去矩形的面积，属于中考常考题型．
33．（2022•重庆）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为 63−2π3 ．（结果不取近似值）
【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形ADE的面积，由S阴影部分＝S菱形ABCD﹣2S扇形ADE可得答案．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，则AC⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，∠BAO＝30°，
∴BO=12AB＝1，AO=32AB=3，
∴AC＝2OA＝23，BD＝2BO＝2，
∴S菱形ABCD=12AC•BD＝23，
∴S阴影部分＝S菱形ABCD﹣2S扇形ADE
＝23−60π×22360
=63−2π3，
故答案为：63−2π3．
【点评】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提．
34．（2022•广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧DE的长是 2π ．（结果保留π）
【分析】连接OD，OE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A＝∠COE，再根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE＝90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答．
【解答】解：如图，连接OD，OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠OEC，
∴AB∥OE，
∴∠BDO+∠DOE＝180°，
∵AB是切线，
∴∠BDO＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣∠DOE＝90°，
∴劣弧DE的长是90×π×4180=2π．
故答案为：2π．
【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
35．（2022•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为 13π ．（结果保留π）
【分析】先根据锐角三角函数求出∠AEB＝30°，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，
∴BE＝BC＝2，
在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴sin∠AEB=ABBE=12，
∴∠AEB＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠EBC＝30°，
∴阴影部分的面积：S=30π×22360=13π，
故答案为：13π．
【点评】本题考查有关扇形面积的相关计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式和矩形的性质的应用，其中根据锐角三角函数求出角的度数是解题关键．
36．（2023•陕西）如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E．则线段BE的长为 2+2 ．
【分析】根据正八边形的性质得出四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出AE，GE，BG即可．
【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于G，由题意可知，四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，
在Rt△ACE中，AC＝2，AE＝CE，
∴AE＝CE=22AC=2，
同理BG=2，
∴AB＝EG+BG＝2+2，
故答案为：2+2．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
37．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：
（1）∠α＝ 30 度；
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 23 （结果保留根号）．
​
【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；
（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON＝OM+BE，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出OM，BE即可．
【解答】解：（1）作图如图所示，
∵多边形是正六边形，
∴∠ACB＝60°，
∵BC∥直线l，
∴∠ABC＝90°，
∴α＝30°；
故答案为：30°；
（2）取中间正六边形的中心为O，
作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，
∴四边形ABFG为矩形，
∴AB＝GF，
∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，
∴△ABC≌△GFH（SAS），
∴BC＝FH，
在Rt△PDE中，DE＝1，PE=3，
由图1知AG＝BF＝2PE＝23，OM＝PE=3，
∵BC=12(BF−CH)=3−1，
∴AB=BCtan∠BAC=3−133=3−3，
∴BD=2−AB=3−1，
∵DE=12×2=1，
∴BE=BD+DE=3，
∴ON=OM+BE=23．
∴中间正六边形的中心到直线l的距离为23，
故答案为：23．
【点评】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
38．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 10 ．
【分析】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．
【解答】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为：15×180°×（5﹣2）＝108°，
∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，
∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．
39．（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S1S2= 2 ．
【分析】连接OA，OC，OE，首先证明出△ACE 是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OAC（ASA），得到 S△ABC＝S△AEE＝S△CDES△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OA，OC，OE．
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是⊙O的内接正三角形，
∵∠B＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA=12（180°﹣∠B）＝30°，
∵∠CAE＝60°，
∴∠OAC＝∠OAE＝30°，
∴∠BAC＝∠OAC＝30°，
同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，
又∵AC＝AC，
∴△BAC≌△OAC（ASA），
∴S△BAC＝S△AOC，
圆和正六边形的性质可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，
由圆和正三角形的性质可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE，
∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，
∴S1S2=2，
故答案为：2
【点评】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知 识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
40．（2023•连云港）以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转 60 °．
【分析】以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，即∠DCD'是旋转角，∠BCD＝120°，要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则∠DCD'至少要旋转60°．
【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD＝120°，
要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，
则∠DCD'至少为60°，则正六边形ABCDEF至少旋转60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查多边形的性质和旋转的性质，熟悉性质是解题关键．
三．解答题（共20小题）
41．（2022•福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求AC的长（结果保留π）．
【分析】（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，等量代换可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；
（2）连接AO，CO，由（1）中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO，如图，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC=180°−30°2=75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴AC的长l=150×π×3180=5π2．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
42．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．
【分析】（1）通过判定△MEO为等边三角形，然后根据弧长公式求解；
（2）通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【解答】解：（1）设BC与⊙O交于点M，
当t＝2.5时，BE＝2.5，
∵EF＝10，
∴OE=12EF＝5，
∴OB＝2.5，
∴EB＝OB，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵MO＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM＝60°，
∴lME=60π×5180=5π3，
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为5π3；
（2）连接GO，HO，
∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG+∠BOH＝90°，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
∠AGO=∠BOH∠GAO=∠HBOOG=OH，
∴△AGO≌△BOH（AAS），
∴OB＝AG＝t﹣5，
∵AB＝7，
∴AE＝t﹣7，
∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，
∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，
解得：t1＝8，t2＝9，
即t的值为8或9．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定（一线三垂直模型），结合勾股定理列方程是解题关键．
43．（2022•潍坊）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Gegebra画出如下示意图．
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
【分析】根据圆锥侧面积公式S＝πrl计算即可．
【解答】解：小亮的说法不正确．
设直角三角尺三边长分别为BC＝a，AC=3a，AB＝2a，
∴甲圆锥的侧面积：S甲＝π•BC•AB＝π×a×2a＝2πa2．
乙圆锥的侧面积：S乙＝π•AC•AB＝π×3a×2a＝23πa2，
∴S甲≠S乙，
∴小亮的说法不正确．
【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练运用圆锥的侧面积公式S侧＝πrl是解题的关键．
44．（2022•益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC=12AB＝2，AC=3BC＝23，即得S△ABC=12BC•AC＝23，故阴影部分的面积是12π×（AB2）2﹣23=2π﹣23．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）解：由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC=12AB＝2，AC=3BC＝23，
∴S△ABC=12BC•AC=12×2×23=23，
∴阴影部分的面积是12π×（AB2）2﹣23=2π﹣23，
答：阴影部分的面积是2π﹣23．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
45．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知条件可得∠CAB＝∠ACD，再根据平行线的判定方法即可得出答案；
（2）连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根据圆周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD=nπr2360的面积，在Rt△ODE中，根据三角函数可算出DE＝cs30°OD的长度，即可算出S△BOD=12OB⋅DE的面积，根据S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入计算即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD=AD，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD=nπr2360=120×π×22360=43π．
在Rt△ODE中，
∵DE＝sin60°•OD=32×2=3，
∴S△BOD=12OB⋅DE=12×2×3=3，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD=43π−3．
∴S阴影=43π−3．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
46．（2022•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1 （1，1） ，B1 （0，4） ，C1 （2，2） ；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
【分析】（1）根据图直接得出各点的坐标即可；
（2）根据弧长公式直接求值即可．
【解答】解：（1）由图知，A1（1，1），B1（0，4），C1（2，2），
故答案为：（1，1），（0，4），（2，2）；
（2）由题意知，点B旋转到点B1的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90°，
∴弧长为：90π×4180=2π．
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
47．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与AB只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．
【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；
（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆的面积进行计算．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，
∴S=60π×32360=3π2，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴S△OAB=934，
∴阴影部分的面积S阴=3π2−934．
（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，
∵相切两圆的连心线必过切点，
∴O、O1、C三点共线，
∴∠EOO1=12∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，
在Rt△OO1E中，
∵∠EOO1＝30°，
∴OO1＝2O1E，
∴O1E＝1，
∴⊙O1的半径O1E＝1．
∴S1＝πr2＝π．
【点评】本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径．
48．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝23，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF＝BA，即可证明CD与圆B相切；
（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD＝30°，求出AD，再利用S△ABD﹣S扇形ABE求出阴影部分面积．
【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
∠ADB=∠FDB∠BAD=∠BFDBD=BD，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；
（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF=23，
∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE
=12×23×2−30×π×(23)2360
=23−π．
【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线．
49．（2021•贵阳）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是AC的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 BE=2EM ；
（2）求证：EB=CN；
（3）若AM=3，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据点E是AC的中点，得出∠AOE＝90°，由∠EMB＝90°，证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到AE=BN，根据题意得到EC=BN，进一步得到EB=CN；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE=2，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是AC的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE=2EM，
故答案为BE=2EM；
（2）连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是AC的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE=12∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴AE=BN，
∵点E是AC的中点，
∴AE=EC，
∴EC=BN，
∴EC−BC=BN−BC，
∴EB=CN；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE=2EM，
∴BE=2，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM=3，
∴tan∠EAB=13=33，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB=12∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE=2，
又∵EB=CN，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE=2
又∵S扇形OCN=60π×(2)2360=13π，S△OCN=12CN×32CN=12×2×32×2=32，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN=13π−32．
【点评】本题考查了扇形的面积，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形以及等边三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．
50．（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【分析】（1）设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．
（2）根据S阴=12•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．
【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE=nπ⋅AD180，AD＝2DE，
∴n＝90，
∴∠BAC＝90°．
（2）∵AD＝2DE＝10（cm），
∴S阴=12•BC•AD﹣S扇形AEF=12×10×20−90π⋅102360=（100﹣25π）cm2．
【点评】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
51．（2023•齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，tan∠ADB=3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
​
【分析】（1）连接OD，由OA＝OD，得到∠OAD＝∠ODA，由角平分线定义得到∠OAD＝∠BAD，因此∠ODA＝∠BAD推出OD∥AB，得到半径OD⊥BC，即可证明问题；
（2）连接OF，DE，由tan∠ADB=3，得到∠ADB＝60°，由直角三角形的性质求出AD长，由锐角的余弦求出AE长，得到圆的半径长，由OD∥AB，推出阴影的面积＝扇形OAF的面积，由扇形面积公式即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴OD∥AB，
∴∠ODC＝∠B＝90°，
∴半径OD⊥BC于点D，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接 OF，DE，
∵∠B＝90°，tan∠ADB=3，
∴∠ADB＝60°，∠BAD＝30°，
∵BD＝5，
∴AD＝2BD＝10，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠BAD＝30°，
在 Rt△ADE 中，AD＝10，
∵cs∠DAE=ADAE=32，
∴AE=2033，
∴OA=12AE=1033，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF 是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∵OD∥AB，
∴S△ADF＝S△AOF，
∴S阴影＝S扇形OAF=60π×(1033)2360=50π9．
【点评】本题考查切线的判定，扇形面积的计算，解直角三角形，圆周角定理，角平分线定义，关键是证明OD∥AB；推出S阴影＝S扇形OAF．
52．（2023•郴州）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝120°，CD＝23，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
【分析】（1）连接OC，由AB是直径，可得∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，再证∠OCA＝∠A＝∠BCD，从而有∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，即可证明．
（2）由圆周角定理求得∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，
∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，
∴∠AOC＝2∠A＝60°，
在Rt△OCD中，tan∠AOC=CDOC=tan60°，CD＝23，
∴23OC=3，解得OC＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形BOC=12×23×2−60×π×2360=23−2π3．
【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式及解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键．
53．（2023•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）连接OE、OD，证出OE⊥BC，即可得出结论，
（2）根据S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF，分别求出△OEB和扇形OEF的面积即可．
【解答】（1）证明：连接OE、OD，如图：
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠OAD＝∠B＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵点E是弧DF的中点．
∴∠DOE＝∠EDF=12∠DOF＝45°，
∴∠OEB＝180°﹣∠EOF﹣∠B＝90°
∴OE⊥BC，
∵OE是半径，
∴BC是⊙O的切线，
（2）解：∵OE⊥BC，∠B＝45°，
∴△OEB是等腰三角形，
设BE＝OE＝x，则OB=2x，
∴AB＝x+2x，
∵AB=2BC，
∴x+2x=2（2+x），
解得x＝2，
∴S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF=12×2×2−45×π×22360=2−π2．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键．
54．（2023•巴中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC于点E，交BA延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若CE=3，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质证明AC∥OD，进而可以得到结论；
（2）连接AD，根据勾股定理求出ED＝1，根据锐角三角函数可得∠AOD＝60°，然后证明OD是△ABC的中位线，求出r=233，根据阴影部分的面积＝四边形AODE的面积﹣扇形AOD的面积，代入值即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD，
设⊙O的半径为r，
在Rt△CED中，CE=3，CD＝2，
∴ED2＝CD2﹣CE2＝4﹣3＝1，
∴ED＝1，
∵cs∠C=CECD=32，
∴∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵AC∥OD，O为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴D是BC中点，
∴CD＝BD＝2，
∵AB是⊙O的的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD=12AB＝r，
∴BD=3AD=3r＝2，
∴r=233，
∴AB＝2r=433，
∴AE＝AC﹣CE＝AB−3=433−3=33，
∴阴影部分的面积＝四边形AODE的面积﹣扇形AOD的面积
=12（33+233）×1−60360π×（233）2
=32−2π9．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，扇形面积计算等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
55．（2022•日照）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC=12AB，求出∠A＝90°﹣∠B＝60°，根据直角三角形的性质得出BD＝AD=12AB，求出AD＝AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC＝∠ACD＝60°，求出∠ODC＝∠DCO＝30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；
（2）求出BD＝AC=3，BO＝2DO，根据勾股定理得出BO2＝OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可．
【解答】（1）证明：连接OD，CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC=12AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD=12AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD=12AB，
又∵AC=3，
∴BD＝AC=3，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（3）2，
解得：OD＝1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S扇形DOE=12×1×3−60π×12360=32−π6．
【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
56．（2022•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠DBC＝∠OCB，证明OC∥BD，根据平行线的性质得到OC⊥CE，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点O作OH⊥BC于H，根据垂径定理得到BH＝HC，根据余弦的定义求出BH，进而求出BC，根据正弦的定义求出OH，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥BC于H，
则BH＝HC，
在Rt△OHB中，∠OBH＝30°，OB＝2，
∴BH＝OB•cs∠OBH＝2×32=3，OH=12OB＝1，
∴BC＝23，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
=120π×22360−12×23×1
=4π3−3．
【点评】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
57．（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝23，求BD的长．
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD=23，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO=23⋅tan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴BD的长=120π×2180=43π．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
58．（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接BD，由圆周角定理得出∠ADB＝∠BDC＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，由平行线的性质得出∠ABC＝∠FCB，进而得出∠ACB＝∠FCB，得出△DCB≌△FCB，得出∠F＝∠CDB＝90°，由平行线的性质得出∠ABF+∠F＝180°，继而得出AB⊥BF，即可证明BF是⊙O的切线；
（2）连接BD、OE交于点M，连接AE，由圆周角定理得出AE⊥BC，AD⊥BD，由∠BAC＝45°，AD＝4，得出△ABD是等腰直角三角形，BD＝AD＝4，AB＝42，
进而得出OA＝OB＝22，由三角形中位线的性质得出OE∥AD，继而得出∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，BMBD=OBAB=12，求出BM＝2，利用S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE，将有关数据代入计算，即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠FCB，
∴∠ACB＝∠FCB，
在△DCB和△FCB中，
CD=CF∠DCB=∠FCBCB=CB，
∴△DCB≌△FCB（SAS），
∴∠F＝∠CDB＝90°，
∵AB∥CF，
∴∠ABF+∠F＝180°，
∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF，
∵AB为直径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BD、OE交于点M，连接AE，
∵AB是直径，
∴AE⊥BC，AD⊥BD，
∵∠BAC＝45°，AD＝4，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝4，AB=AD2+BD2=42+42=42，
∴OA＝OB＝22，
∴OE是△ADB的中位线，
∴OE∥AD，
∴∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，BMBD=OBAB=12，
∴BM=12BD=12×4＝2，
∴S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE
=45×π×(22)2360−12×22×2
=π−22．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，扇形面积的计算，掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，扇形的面积公式，三角形面积公式等知识是解决问题的关键．
59．（2021•孝感）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；
（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算．
【解答】（1）证明：
连接OE，OF，过点O作OD⊥AB于点D，
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵BO是∠ABC的平分线，
∴OD＝OE，OD是圆的一条半径，
∴AB是⊙O的切线，
故：AB是⊙O的切线．
（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E、点F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF＝EC＝FC＝1，
∴BC＝BE+EC＝4，又AC＝3，
∴S阴影=12（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）
=12×（12×4×3﹣1×1−270×π×12360）
=52−3π8．
故图中阴影部分的面积是：52−3π8．
【点评】本题考查了圆切线的判定以及图形面积之间的转化，不规则图形面积的算法一般将它转化为若干个基本规则图形的组合，分析整体与部分的和差关系．
60．（2021•襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质证得OC⊥AB，根据切线的判定得到AB是⊙O的切线；
（2）由圆周角定理结合平行线的性质得到∠DGO＝90°，由垂径定理求得DG＝3，根据等腰三角形的性质结合平角的定义求得∠DOE＝60°，在Rt△ODG中，根据三角函数的定义求得OD＝23，OG=3，根据S阴影＝S扇形ODE﹣S△DOG即可求出阴影部分面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵DF是圆O 的直径，
∴∠DCF＝90°，
∵FC∥OA，
∴∠DGO＝∠DCF＝90°，
∴DC⊥OE，
∴DG=12CD=12×6＝3，
∵OD＝OC，
∴∠DOG＝∠COG，
∵OA＝OB，AC＝CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC=13×180°＝60°，
在Rt△ODG中，
∵sin∠DOG=DGOD，cs∠DOG=OGOD，
∴OD=DGsin∠DOG=332=23，
OG＝OD•cs∠DOG＝23×12=3，
∴S阴影＝S扇形ODE﹣S△DOG=60π⋅(23)2360−12×3×3＝2π−332．
【点评】本题主要考查了切线的性质和判定，扇形和三角形的面积公式，三角函数的定义，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识，根据由垂径定理和等腰三角形的性质结合平角的定义求出DG＝3，∠DOE＝60°是解决问题的关键．