专题02整式及因式分解（优选真题80题）-三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）

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一、单选题
1．（2023湖南省株洲市中考数学真题）计算：3a2=（ ）
A．5aB．3a2C．6a2D．9a2
2．（2023年四川省广安市中考数学真题）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2+a4=a6B．3a3⋅4a2=12a6C．2a+b2=4a2+b2D．−2ab23=−8a3b6
3．（2023年湖南省怀化市中考数学真题）下列计算正确的是（ ）
A．a2⋅a3=a5B．a6÷a2=a3C．ab32=a2b9D．5a−2a=3
4．（2023年山东省滨州市中考数学真题）下列计算，结果正确的是（ ）
A．a2⋅a3=a5B．a23=a5C．(ab)3=ab3D．a2÷a3=a
5．（2023年山东省临沂市中考数学真题）下列运算正确的是（ ）
A．3a−2a=1B．(a−b)2=a2−b2
C．a52=a7D．3a3⋅2a2=6a5．
6．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）下列运算结果正确的是（ ）
A．x4+x4=2x8B．−2x23=−6x6C．x6÷x3=x3D．x2⋅x3=x6
7．（2023年四川省内江市中考数学真题）对于正数x，规定f(x)=2xx+1，例如：f(2)=2×22+1=43，f12=2×1212+1=23，f(3)=2×33+1=32，f13=2×1313+1=12，计算：f1101+f1100+f199+⋯+f13+f12+f(1)+ f(2)+f(3)+⋯+f(99)+f(100)+f(101)=（ ）
A．199B．200C．201D．202
8．（2022年西藏中考数学真题试卷）按一定规律排列的一组数据：12，−35，12，−717，926，−1137，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A．−19101B．21101C．−1982D．2182
9．（2022年江苏省南通市中考数学真题）已知实数m，n满足m2+n2=2+mn，则(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最大值为（ ）
A．24B．443C．163D．−4
10．（2022年湖南省益阳市中考数学真题）下列各式中，运算结果等于a2的是（ ）
A．a3﹣aB．a+aC．a•aD．a6÷a3
11．（2023年四川省巴中市中考数学真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a+b)n展开式的系数规律．
1 (a+b)0=1
1 1 (a+b)1=a+b
1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2
1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
当代数式x4−12x3+54x2−108x+81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2B．−4C．2或4D．2或−4
12．（2022年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）观察下列数据：12，−25，310，−417，526，…，则第12个数是（ ）
A．12143B．−12143C．12145D．−12145
13．（2022广东省广州市中考数学真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252B．253C．336D．337
14．（2022年内蒙古赤峰市中考数学真题）已知x+2x−2−2x=1，则2x2−4x+3的值为（ ）
A．13B．8C．－3D．5
15．（2022年湖北省鄂州市中考数学真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8B．6C．4D．2
16．（2022年广西玉林市中考数学真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )
A．4B．23C．2D．0
17．（2022年湖北省武汉市中考数学真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（ ）
A．9B．10C．11D．12
18．（2022年新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团中考数学真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98B．100C．102D．104
19．（2022年四川省南充市中考数学试卷）已知a>b>0，且a2+b2=3ab，则1a+1b2÷1a2−1b2的值是（ ）
A．5B．−5C．55D．−55
20．（2022年重庆市中考数学真题（B卷））对多项式x−y−z−m−n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x−y)−(z−m−n)=x−y−z+m+n，x−y−(z−m)−n=x−y−z+m−n，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
21．（山东省济宁市金乡县2021-2022学年七年级上学期期中数学试题）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…根据其中的规律可得70+71+⋯+72022的结果的个位数字是（ ）
A．0B．1C．7D．8
22．（江苏省镇江市2021年中考数学真题试卷）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1B．B1C．A2D．B3
23．（2023年四川省巴中市中考数学真题）下列说法正确的是（ ）
A．多边形的外角和为360° B．6a2b−2ab2=2ab(3a−2b)
C．525000=5.25×103D．可能性很小的事情是不可能发生的
24．（2022年湖北省荆门市中考数学真题）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是( )
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
25．（2022年山东省济宁市中考数学真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2−x−1=x(x−1)−1B．x2−1=(x−1)2
C．x2−x−6=(x−3)(x+2)D．x(x−1)=x2−x
26．（2022年青海省中考数学真题）下列运算正确的是（ ）
A．3x2+4x3=7x5B．x+y2=x2+y2
C．2+3x2−3x=9x2−4D．2xy+4xy2=2xy1+2y
27．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）

A．39B．44C．49D．54
28．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）

A．14B．20C．23D．26
29．（内蒙古包头市、巴彦淖尔市2021年中考数学真题）若x=2+1，则代数式x2−2x+2的值为（ ）
A．7B．4C．3D．3−22
30．（湖北省随州市2021年中考数学真题）根据图中数字的规律，若第n个图中的q=143，则p的值为（ ）
A．100B．121C．144D．169
二、填空题
31．（2023年湖南省永州市中考数学真题）2a2与4ab的公因式为________．
32．（2023年甘肃省武威市中考数学真题）因式分解：ax2−2ax+a=________．
33．（2023年浙江省台州市中考数学真题）因式分解：x2−3x=________．
34．（2023年上海市中考数学真题）分解因式：n2−9=________．
35．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x+1)，请你写出一个符合条件的多项式：___________．
36．（湖南省长沙市长郡梅溪湖中学2022-2023学年九年级下学期入学考试数学试卷）因式分解：a3−6a2+9a=_________．
37．（2023年四川省广安市中考数学真题）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b=xa+yb．若2※−2=1，则−3※3的值是___________．
38．（2023年四川省内江市中考数学真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3=___________．
39．（2023年四川省内江市中考数学真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a+2b−c=___________．
40．（2023年四川省遂宁市中考数学真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为_________．

41．（2023年浙江省丽水市中考数学真题）如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足am−bn=2，an+bm=4．

（1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是__________；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是__________．
42．（2023年山东省临沂市中考数学真题）观察下列式子
1×3+1=22；
2×4+1=32；
3×5+1=42；
……
按照上述规律，____________=n2．
43．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）若x=3是关x的方程ax2−bx=6的解，则2023−6a+2b的值为___________．
44．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）观察下列式子：
12−1=1×0；22−2=2×1；32−3=3×2；42−4=4×3；52−5=5×4；…
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是_________．
45．（2023年天津市中考数学真题）计算7+67−6的结果为________．
46．（2023年四川省成都市数学中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用m2−n2=(m+n)(m−n)进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________．
47．（2023年四川省凉山州数学中考真题）已知x2−2x−1=0，则3x3−10x2+5x+2027的值等于_________．
48．（2023年四川省成都市数学中考真题）若3ab−3b2−2=0，则代数式1−2ab−b2a2÷a−ba2b，的值为___________．
49．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7−1=6，3−1=2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8−1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记PM=3a+b+c+d，QM=a−5，若PMQM能被10整除，则满足条件的M的最大值为________．
50．（辽宁省鞍山市千山区2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）若am−2bn+7与−3a4b4是同类项，则m−n=_________．
51．（2022年山东省济南市中考数学真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．
52．（2022年内蒙古鄂尔多斯市中考数学真题）按一定规律排列的数据依次为12，45，710，1017……按此规律排列，则第30个数是 _____．
53．（2022年湖南省益阳市中考数学真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 _____．
54．（2022年青海省中考数学真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料______根.
55．（2022年山东省聊城市中考数学真题）如图，线段AB=2，以AB为直径画半圆，圆心为A1，以AA1为直径画半圆①；取A1B的中点A2，以A1A2为直径画半圆②；取A2B的中点A3，以A2A3为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________．
56．（2022年湖北省恩施州中考数学真题）观察下列一组数：2，12，27，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足1an+1an+2=2an+1．则a4=________，a2022=________．
57．（2022年内蒙古包头市中考数学真题）计算：a2a−b+b2−2aba−b=___________．
58．（2022年内蒙古包头市中考数学真题）若一个多项式加上3xy+2y2−8，结果得2xy+3y2−5，则这个多项式为___________．
59．（2022年山东省威海市中考数学真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．
60．（2022年黑龙江省大庆市中考数学真题）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“ ”的个数是____________．

三、解答题
61．（2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题）计算：
(1)−13+4−2−20；
(2)a+3a−3−aa−2．
62．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）（1）解不等式：2x−3>x+1．
（2）已知a2+3ab=5，求(a+b)(a+2b)−2b2的值．
63．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）计算：
(1)(1+38)0+|−2|−9．
(2)(a+3)(a−3)+a(1−a)．
64．（2023年浙江省金华市中考数学真题）已知x=13，求2x+12x−1+x3−4x的值．
65．（2023年四川省凉山州数学中考真题）先化简，再求值：(2x+y)2−2x+y2x−y−2yx+y，其中x=122023，y=22022．
66．（2023年四川省南充市中考数学真题）先化简，再求值：a−2a+2−a+22，其中a=−32．
67．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））计算：
(1)xx+6+x−32；
(2)3+nm÷9m2−n2m．
68．（2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考数学真题）先化简，再求值：3x−1−x−1÷x2−4x+4x−1，其中x=3．
69．（2022年湖北省襄阳市中考数学真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝3-2，b＝3+2．
70．（2022年贵州省安顺市中考数学真题）(1)计算(−1)2+(π−3.14)0+2sin60°+1−3−12．
(2)先化简，再求值：(x+3)2+(x+3)(x−3)−2x(x+1)，其中x=12．
71．（2022年贵州省六盘水市中考数学试题卷）计算：
(1)32+130+13−1；
(2)若a+12+b−2+c+3=0，求ab+c的值．
72．（2022广东省广州市中考数学真题）已知T=(a+3b)2+(2a+3b)(2a−3b)+a2
(1)化简T；
(2)若关于x的方程x2+2ax−ab+1=0有两个相等的实数根，求T的值．
73．（2022年湖北省荆门市中考数学真题）已知x+1x＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣1x）2；
(2)x4+1x4．
74．（2022年山东省济宁市中考数学真题）已知a=2+5，b=2−5，求代数式a2b+ab2的值．
75．（2022年吉林省中考数学真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．
76．（2023年山东省临沂市中考数学真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．
(1)这台M型平板电脑价值多少元？
(2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
77．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）观察下面的等式：32−12=8×1,52−32=8×2,72−52=8×3,92−72=8×4,⋯
(1)写出192−172的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
78．（2023年安徽中考数学真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“”的个数为 ；
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为1×22，第2个图案中“★”的个数可表示为2×32，第3个图案中“★”的个数可表示为3×42，第4个图案中“★”的个数可表示为4×52，……，第n个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n个图案中“”的个数的2倍．
79．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：
(1)一户家庭人口为3人，年用气量为200m3，则该年此户需缴纳燃气费用为__________元；
(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3(x>1200)，该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式；
(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m3）
80．（2022年湖北省随州市中考数学真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：a+b+cd=ad+bd+cd
公式②：a+bc+d=ac+ad+bc+bd
公式③：a−b2=a2−2ab+b2
公式④：a+b2=a2+2ab+b2
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式a+ba−b=a2−b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥ADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．
①若E为边AC的中点，则S1S2的值为_______；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
例先去括号，再合并同类项：m（A）−6(m+1)．
解：m（A）−6(m+1)
=m2+6m−6m−6
= ．
阶梯
年用气量
销售价格
备注
第一阶梯
0∼400m3（含400）的部分
2.67元/m3
若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m3、200m3．
第二阶梯
400∼1200m3（含1200）的部分
3.15元/m3
第三阶梯
1200m3以上的部分
3.63元/m3