专题05不等式与不等式组（优选真题60道）-三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】

这是一份专题05不等式与不等式组（优选真题60道）-三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】，文件包含专题05不等式与不等式组优选真题60道-学易金卷三年2021-2023中考数学真题分项汇编全国通用原卷版docx、专题05不等式与不等式组优选真题60道-学易金卷三年2021-2023中考数学真题分项汇编全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。

1．（2023•内江）在函数y=x−1中，自变量x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，求出解集，即可判断．
【解答】解：根据题意可得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：D．
【点评】本题主要考查了函数的知识、数轴的知识、二次根式的知识、一元一次不等式的知识，难度不大．
2．（2023•台州）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．
【解答】解：x+1≥2，
解得：x≥1，
在数轴上表示，如图所示：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．
3．（2023•烟台）不等式组3m−2≥12−m＞3的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用解一元一次不等式组的方法把解集求出来，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：3m−2≥1①2−m＞3②，
解不等式①得：m≥1，
解不等式②得：m＜﹣1，
故不等式组的解集为：无解．
在数轴上表示为：．
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握．
4．（2023•宁波）不等式组x+1＞0x−1≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】解出每个不等式，取公共解集，再表示在数轴上即可．
【解答】解：x+1＞0①x−1≤0②，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤1，
∴﹣1＜x≤1，
解集表示在数轴上如图：
故选：C．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取公共解集的方法．
5．（2023•遂宁）若关于x的不等式组4(x−1)＞3x−15x＞3x+2a的解集为x＞3，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3B．a＜3C．a≥3D．a≤3
【分析】用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
【解答】解：4(x−1)＞3x−1①5x＞3x+2a②，
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＞a，
∵不等式组的解集是x＞3，
∴a≤3．
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
6．（2023•安徽）在数轴上表示不等式x−12＜0的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：x−12＜0，
x﹣1＜0，
x＜1，
在数轴上表示为，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．
7．关于x的不等式组x＞m+35x−2＜4x+1的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4B．﹣5＜m≤﹣4C．﹣4≤m＜﹣3D．﹣4＜m≤﹣3
【分析】先解不等式组，再根据仅有4个整数解得出m的不等式组，再求解．
【解答】解：解不等式组得：m+3＜x＜3，
由题意得：﹣2≤m+3＜﹣1，
解得：﹣5≤m＜﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
8．（2023•丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A．52+15n＞70+12nB．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15nD．52+12n＜70+15n
【分析】利用小霞原来存款数+15×月数n＞小明原来存款数+12×月数n，求出即可．
【解答】解：由题意可得：52+15n＞70+12n．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键．
9．（2022•宿迁）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1B．x+1＞y+1C．﹣2x＜﹣2yD．2x＜2y
【分析】根据不等式的性质进行分析判断．
【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意；
B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；
C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；
D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．
10．（2022•阜新）不等式组−x−1≤20.5x−1＜0.5的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，
由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．（2022•六盘水）如图是某桥洞的限高标志，则能通过此桥洞的车辆高度是（ ）
A．6.5mB．6mC．5.5mD．4.5m
【分析】根据标志内容为限高5m可得，能通过此桥洞的车辆高度必须不能超过5m，
【解答】解：由标志内容可得，能通过此桥洞的车辆高度必须不能超过5m，
故选：D．
【点评】此题考查了不等式的应用能力，关键是能根据标志牌内容准确获得通过车辆高度的范围．
12．（2022•益阳）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
A．x＜1x＜−1B．x＜1x＞−1C．x＞1x＜−1D．x＞1x＞−1
【分析】先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．
【解答】解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故A不符合题意；
B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故B不符合题意；
C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故C不符合题意；
D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．
13．（2022•济宁）若关于x的不等式组x−a＞0，7−2x＞5仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4≤a＜﹣2B．﹣3＜a≤﹣2C．﹣3≤a≤﹣2D．﹣3≤a＜﹣2
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：解不等式x﹣a＞0得：x＞a，
解不等式7﹣2x＞5得：x＜1，
∵关于x的不等式组x−a＞0，7−2x＞5仅有3个整数解，
∴﹣3≤a＜﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
14．关于x，y的方程组2x−y=2k−3，x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8B．k＞8C．k≤8D．k＜8
【分析】两个方程相减可得出x+y＝k﹣3，根据x+y≥5列出关于k的不等式，解之可得答案．
【解答】解：把两个方程相减，可得x+y＝k﹣3，
根据题意得：k﹣3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解二元一次方程组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力、不等式的基本性质等知识点．
15．（2022•邵阳）关于x的不等式组−13x＞23−x，12x−1＜12(a−2)有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，根据解集有且只有三个整数解，确定出a的范围即可．
【解答】解：−13x＞23−x①12x−1＜12(a−2)②，
由①得：x＞1，
由②得：x＜a，
解得：1＜x＜a，
∵不等式组有且仅有三个整数解，即2，3，4，
∴4＜a≤5，
∴a的最大值是5，
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
16．（2022•杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（ ）
A．a+c＞b+dB．a+b＞c+dC．a+c＞b﹣dD．a+b＞c﹣d
【分析】根据不等式的性质判断A选项；根据特殊值法判断B，C，D选项．
【解答】解：A选项，∵a＞b，c＝d，
∴a+c＞b+d，故该选项符合题意；
B选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝3时，a+b＜c+d，故该选项不符合题意；
C选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝﹣3时，a+c＜b﹣d，故该选项不符合题意；
D选项，当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝d＝3时，a+b＜c﹣d，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个整式（或相等的整式），不等号的方向不变是解题的关键．
17．（2021•攀枝花）某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，由题意：A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，列出不等式组，解不等式组，取正整数解即可．
【解答】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，
由题意得：x≤3(50−x)x≥2(50−x)，
解得：3313≤x≤3712，
∵x为正整数，
∴x的取值为34，、35、36、37，
则不同的购买方案种数为4种，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，列出一元一次不等式组是解题的关键．
18．（2021•日照）若不等式组x+6＜4x−3x＞m的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+6＜4x﹣3，得：x＞3，
∵x＞m且不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（2021•南通）若关于x的不等式组2x+3＞12x−a≤0恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．7＜a＜8B．7＜a≤8C．7≤a＜8D．7≤a≤8
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的3个整数解是5，6，7，再求出a的取值范围即可．
【解答】解：2x+3＞12①x−a≤0②，
解不等式①，得x＞4.5，
解不等式②，得x≤a，
所以不等式组的解集是4.5＜x≤a，
∵关于x的不等式组2x+3＞12x−a≤0恰有3个整数解（整数解是5，6，7），
∴7≤a＜8，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和不等式组的整数解得出a的范围是解此题的关键．
20．（2021•包头）定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【分析】根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式；根据解集列方程即可．
【解答】解∵a⨂b＝a﹣2b，
∴x⨂m＝x﹣2m．
∵x⨂m＞3，
∴x﹣2m＞3，
∴x＞2m+3．
∵关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，
∴2m+3＝﹣1，
∴m＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了新定义计算在不等式中的运用，读懂新定义并熟练的解不等式是解题的关键．
二．填空题（共20小题）
21．（2023•滨州）不等式组2x−4≥23x−7＜8的解集为 3≤x＜5 ．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．
【解答】解：解不等式2x﹣4≥2，得x≥3，
解不等式3x﹣7＜8，得x＜5，
故不等式组2x−4≥23x−7＜8的解集为3≤x＜5．
故答案为：3≤x＜5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
22．（2023•温州）不等式组x+3≥23x−12＜4的解是 ﹣1≤x＜3 ．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：x+3≥2①3x−12＜4②，
解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜3，
∴该不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
故答案为：﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
23．（2023•凉山州）不等式组5x+2＞3(x−1)12x−1≤7−32x的所有整数解的和是 7 ．
【分析】求出不等式组的解集，确定出整数解，求出之和即可．
【解答】解：5x+2＞3(x−1)①12x−1≤7−32x②，
解不等式①得：x＞−52，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集为−52＜x≤4，
由x为整数，可取﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
则所有整数解的和为7，
故答案为：7．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
24．（2023•泸州）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y＞22，写出a的一个整数值 6 ．
【分析】解方程组得到x+y的关系式，再根据题目所给的x+y＞22求出取值范围即可得出结论．
【解答】解：2x+3y=3+a①x+2y=6②
①﹣②得：x+y＝a﹣3．
∵x+y＞22，
∴a﹣3＞22，
解得a＞22+3．
∵4＜8＜9，
∴2＜22＜3．
∴5＜22+3＜6，
∵a取整数值，
∴a可取大于5的所有整数．
故本题答案为：6（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二元一次方程组、不等式以及无理数的估算，能正确估计一个无理数在哪两个整数之间是解决问题的关键．
25．（2023•宜宾）若关于x的不等式组2x+1＞x+ax2+1≥52x−9所有整数解的和为14，则整数a的值为 2或﹣1 ．
【分析】求出a﹣1＜x≤5，根据所有整数解的和为14，列出关于a的不等式组，解得a的范围，即可求得答案．
【解答】解：2x+1＞x+a①x2+1≥52x−9②，
解不等式①得：x＞a﹣1，
解不等式②得：x≤5，
∴a﹣1＜x≤5，
∵所有整数解的和为14，
∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，﹣1，
∴1≤a﹣1＜2或﹣2≤a﹣1＜﹣1，
∴2≤a＜3或﹣1≤a＜0，
∵a为整数，
∴a＝2或a＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
【点评】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式组．
26．（2022•德州）不等式组3(x+2)−x＞41+2x3＞x−1的解集是 ﹣1＜x＜4 ．
【分析】解出每个不等式的解集，再找出公共解集即可．
【解答】解：3(x+2)−x＞4①1+2x3＞x−1②，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜4，
故答案为：﹣1＜x＜4．
【点评】本题考查解不等式组，解题的关键是求出每个不等式的解集，能找出不等式的公共解集．
27．（2022•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x﹣1＝0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x＜0的关联方程，则n的取值范围是 1≤n＜3 ．
【分析】先解方程13x﹣1＝0得x＝3，再利用新定义得到1≤n2n−6＜0，然后解n的不等式组即可．
【解答】解：解方程13x﹣1＝0得x＝3，
∵x＝3为不等式组x−2≤n2n−2x＜0的解，
∴1≤n2n−6＜0，
解得1≤n＜3，
即n的取值范围为：1≤n＜3，
故答案为：1≤n＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了解一元一次方程的解．
28．（2022•襄阳）不等式组2x＞x+1，4x−1＞7的解集是 x＞2 ．
【分析】分别解出每个不等式，再求公共解集即可．
【解答】解：2x＞x+1①4x−1＞7②，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式组的解集为x＞2，
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握求不等式公共解集的方法．
29．（2022•丹东）不等式组x−5＜12x＞3的解集为 1.5＜x＜6 ．
【分析】先解每一个不等式，再求它们的解集的公共部分．
【解答】解：分别解这两个不等式得：x＜6x＞1.5，
所以不等式组的解集为：1.5＜x＜6，
故答案为：1.5＜x＜6．
【点评】本题考查了不等式组的解法，熟练解一元一次不等式是解题的关键．
30．（2022•绵阳）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3＜2−x无解，则1m的取值范围是 0＜1m≤15 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m﹣3，
解不等式2x+53−3＜2﹣x，得：x＜2，
∵不等式组无解，
∴m﹣3≥2，
∴m≥5，
∴0＜1m≤15，
故答案为：0＜1m≤15．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
31．（2022•聊城）不等式组x−6≤2−x，x−1＞3x2的解集是 x＜﹣2 ．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【解答】解：x−6≤2−x①x−1＞3x2②，
解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x＜﹣2；
所以不等式组的解集为：x＜﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
32．（2022•绥化）不等式组3x−6＞0x＞m的解集为x＞2，则m的取值范围为 m≤2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：由3x﹣6＞0，得：x＞2，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
33．（2022•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a＜0的解集为x＜2，则a的取值范围是 a≥2 ．
【分析】不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出a的范围．
【解答】解：不等式组整理得：x＜2x＜a，
∵不等式组的解集为x＜2，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
34．（2022•泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为 b＜c＜a ．
【分析】代数式的比较，常用的方法是作差法或者作商法，由于填空题不需要过程的特殊性，还可以考虑特殊值代入法．考虑到答案唯一，因此特殊值代入法最合适，也最简单．
【解答】解：解法1：令m＝1，n＝0，
则a＝2，b＝0，c＝1．
∵0＜1＜2．
∴b＜c＜a．
解法2：∵a﹣c＝（2m2﹣mn）﹣（m2﹣n2）＝（m﹣0.5n）2+0.75n2＞0；
∴c＜a；
∵c﹣b＝（m2﹣n2）﹣（mn﹣2n2）＝（m﹣0.5n）2+.075n2＞0；
∴b＜c；
∴b＜c＜a．
【点评】本题考查不等式的性质，但是直接利用不等式的性质并不容易求解，考虑到填空题不需要过程，所以特殊值代入法也是最好的选择．
35．（2022•山西）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 32 元．
【分析】设该护眼灯可降价x元，根据“以利润率不低于20%的价格降价出售”列一元一次不等式，求解即可．
【解答】解：设该护眼灯可降价x元，
根据题意，得320−x−240240×100%≥20%，
解得x≤32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立一元一次不等式是解题的关键．
36．（2022•达州）关于x的不等式组−x+a＜23x−12≤x+1恰有3个整数解，则a的取值范围是 2≤a＜3 ．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解答】解：−x+a＜2①3x−12≤x+1②，
解不等式①得：x＞a﹣2，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为：a﹣2＜x≤3，
∵恰有3个整数解，
∴0≤a﹣2＜1，
∴2≤a＜3，
故答案为：2≤a＜3．
【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案．
37．（2022•内蒙古）关于x的不等式组5−3x≥−1a−x＜0无解，则a的取值范围是 a≥2 ．
【分析】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
【解答】解：5−3x≥−1①a−x＜0②，
由①得：x≤2，
由②得：x＞a，
∵不等式组无解，
∴a≥2，
故答案为：a≥2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解没了．
38．（2021•内江）已知非负实数a，b，c满足a−12=b−23=3−c4，设S＝a+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则nm的值为 1116 ．
【分析】设a−12=b−23=3−c4=k，则a＝2k+1，b＝3k+2，c＝3﹣4k，可得S＝﹣4k+14；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．
【解答】解：设a−12=b−23=3−c4=k，则a＝2k+1，b＝3k+2，c＝3﹣4k，
∴S＝a+2b+3c＝2k+1+2（3k+2）+3（3﹣4k）＝﹣4k+14．
∵a，b，c为非负实数，
∴2k+1≥03k+2≥03−4k≥0，
解得：−12≤k≤34．
∴当k=−12时，S取最大值，当k=34时，S取最小值．
∴m＝﹣4×（−12）+14＝16，
n＝﹣4×34+14＝11．
∴nm=1116．
故答案为：1116．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设a−12=b−23=3−c4=k是解题的关键．
39．（2021•黑龙江）已知关于x的不等式组3(x−a)≥2(x−1)2x−13≤2−x2有5个整数解，则a的取值范围是 −13＜a≤0 ．
【分析】解两个不等式得到不等式组的解集为3a﹣2≤x≤2，则可确定不等式组的整数解为2，1，0，﹣1，﹣2，于是可得到a不等式组，解不等式组可得a的范围．
【解答】解：3(x−a)≥2(x−1)①2x−13≤2−x2②，
由不等式①，得 x≥3a﹣2，
由不等式②，得 x≤2，
∴3a﹣2≤x≤2，
∵不等式组有5个整数解，
∴x＝2，1，0，﹣1，﹣2，
∴﹣3＜3a﹣2≤﹣2，
∴−13＜a≤0，
故答案为−13＜a≤0．
【点评】本题考查了不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键，
40．（2021•黑龙江）关于x的一元一次不等式组2x−a＞03x−4＜5无解，则a的取值范围是 a≥6 ．
【分析】分别解出这两个不等式的解集，然后根据不等式组无解，得到关于a的不等式，解不等式即可．
【解答】解：2x−a＞0①3x−4＜5②，
解不等式①得：x＞12a，
解不等式②得：x＜3，
∵不等式组无解，
∴12a≥3，
∴a≥6，
故答案为：a≥6．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，根据大大小小无解集列出不等式是解题的关键．
三．解答题（共20小题）
41．（2023•岳阳）解不等式组：x−4≤0①2(x+1)＜3x②．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：x−4≤0①2(x+1)＜3x②，
解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x＞2，
∴原不等式组的解集为：2＜x≤4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
42．（2023•临沂）（1）解不等式5﹣2x＜1−x2，并在数轴上表示解集；
（2）下面是某同学计算a2a−1−a﹣1的解题过程：
解：a2a−1−a﹣1
=a2a−1−(a−1)2a−1⋯①
=a2−(a−1)2a−1⋯②
=a2−a2+a−1a−1⋯③
=a−1a−1=1…④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
（2）利用异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）5﹣2x＜1−x2，
2（5﹣2x）＜1﹣x，
10﹣4x＜1﹣x，
﹣4x+x＜1﹣10，
﹣3x＜﹣9，
x＞3，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（2）上述解题过程从第①步开始出现错误，
正确的解题过程如下：
a2a−1−a﹣1
=a2a−1−（a+1）
=a2−(a2−1)a−1
=a2−a2+1a−1
=1a−1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
43．（2023•扬州）解不等式组2(x−1)+1＞−3x−1≤1+x3并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：2(x−1)+1＞−3①x−1≤1+x3②，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
44．（2023•天津）解不等式组2x+1≥x−1①4x−1≤x+2②，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 x≥﹣2 ；
（2）解不等式②，得 x≤1 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤1 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣2；
（2）解不等式②，得x≤1；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：
（4）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1；
故答案为：（1）x≥﹣2；
（2）x≤1；
（4）﹣2≤x≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
45．（2023•江西）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
（1）求该班的学生人数；
（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据“如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵”，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（3×45+20﹣y）棵，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过5400元，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该班的学生人数为x人，
根据题意得：3x+20＝4x﹣25，
解得：x＝45．
答：该班的学生人数为45人；
（2）设购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（3×45+20﹣y）棵，
根据题意得：30y+40（3×45+20﹣y）≤5400，
解得：y≥80，
∴y的最小值为80．
答：至少购买了甲树苗80棵．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
46．（2023•新疆）（1）解不等式组2x＜16①3x＞2x+3②．
（2）金秋时节，新疆瓜果飘香，某水果店A种水果每千克5元，B种水果每千克8元，小明买了A、B两种水果共7千克，花了41元．A，B两种水果各买了多少千克？
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）设该水果店购进A种水果x千克，B种水果y千克，根据“该水果店购进A，B两种水果共7千克，且共花费41元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）解不等式①得：x＜8，
解不等式②得：x＞3，
则不等式组的解集为3＜x＜8；
（2）设该水果店购进A种水果x千克，B种水果y千克，
依题意得：x+y=75x+8y=41，
解得：x=5y=2，
答：该水果店购进A种水果5千克，B种水果2千克．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，熟练掌握不等式组的解法和找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
47．（2023•怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的B种客车不超过7辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金＝每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数，可分别求出各选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，
根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），
解得：x＝26，
∴45x+30＝45×26+30＝1200．
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，
根据题意得：45(25−y)+60y≥1200y≤7，
解得：5≤y≤7，
又∵y为正整数，
∴y可以为5，6，7，
∴该学校共有3种租车方案，
方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；
方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
（3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）；
选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）；
选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）．
∵5900＜5980＜6060，
∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程，（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总租金．
48．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：2x+y=1003x+2y=165，
解得：x=35y=30．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，
根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
49．（2023•凉山州）凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
【分析】（1）设雷波脐橙每千克x元，资中血橙每千克y元，根据“购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买雷波脐橙m千克，则购买资中血橙（100﹣m）千克，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1440元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设雷波脐橙每千克x元，资中血橙每千克y元，
根据题意得：3x+2y=782x+3y=72，
解得：x=18y=12．
答：雷波脐橙每千克18元，资中血橙每千克12元；
（2）设购买雷波脐橙m千克，则购买资中血橙（100﹣m）千克，
根据题意得：18m+12（100﹣m）≤1440，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：他最多能购买雷波脐橙40千克．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
50．（2022•阜新）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
（1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
【分析】（1）设生产A产品x件，B产品y件，根据题意列出方程组，求出即可；
（2）设B产品生产m件，则A产品生产（180﹣m）件，根据题意列出不等式组，求出即可．
【解答】解：（1）设生产A产品x件，B产品y件，
根据题意，得100x+75y=8250，(120−100)x+(100−75)y=2350．
解这个方程组，得x=30，y=70．，
所以，生产A产品30件，B产品70件．
（2）设B产品生产m件，则A产品生产（180﹣m）件，
根据题意，得（100﹣75）m+（120﹣100）（180﹣m）≥4300，
解这个不等式，得m≥140．
所以，B产品至少生产140件．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，能根据题意列出方程组和不等式组是解此题的关键．
51．（2022•资阳）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
【分析】（1）根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是（x+20）元，根据“购买甲、乙两种型号各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案；
（2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”（50﹣a）个，根据“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是（x+20）元，
根据题意得：10（x+20）+10x＝1760，
解得：x＝78，
∴x+20＝78+20＝98，
答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元；
（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”（50﹣a）个，
根据题意得：98a+78（50﹣a）≤4500，
解得：a≤30，
∴a最大值是30，
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和数量关系是本题的关键．
52．（2022•朝阳）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
（2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，可得：3x+2y=5602x+4y=640，即可解得每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）设购买m个篮球，可得：120m+100（10﹣m）≤1100，即可解得最多可以购买5个篮球．
【解答】解：（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
根据题意得：3x+2y=5602x+4y=640，
解得x=120y=100，
∴每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）设购买m个篮球，
根据题意得：120m+100（10﹣m）≤1100，
解得m≤5，
答：最多可以购买5个篮球．
【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式．
53．（2022•六盘水）钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人，现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售，以下是购买者的出价：
（1）根据对话内容，求钢钢出售的竹篮和陶罐数量；
（2）钢钢接受了钟钟的报价，交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花，剩余的钱不超过20元，求有哪几种购买方案．
【分析】（1）设出售的竹篮x个，陶罐y个，根据“每个竹篮5元，每个陶罐12元共需61元；每个竹篮6元，每个陶罐10元共需60元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买鲜花a束，根据总价＝单价×数量结合剩余的钱不超过20元，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之取其中的整数值，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设出售的竹篮x个，陶罐y个，依题意有：
5x+12y=616x+10y=60，
解得：x=5y=3．
故出售的竹篮5个，陶罐3个；
（2）设购买鲜花a束，依题意有：
0＜61﹣5a≤20，
解得8.2≤a＜12.2，
∵a为整数，
∴共有4种购买方案，方案一：购买鲜花9束；方案二：购买鲜花10束；方案三：购买鲜花11束；方案四：购买鲜花12束．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
54．（2022•安顺）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
（1）A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数＝总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量；
（2）设把y亩B块试验田改种杂交水稻，利用总产量＝亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，
依题意得：7200x−96002x=4，
解得：x＝600，
经检验，x＝600是原方程的解，且符合题意，
则2x＝2×600＝1200．
答：普通水稻的亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克；
（2）设把y亩B块试验田改种杂交水稻，
依题意得：9600+600（7200600−y）+1200y≥17700，
解得：y≥1.5．
答：至少把1.5亩B块试验田改种杂交水稻．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
55．（2022•荆门）已知关于x的不等式组x+1+2a＞0x−3−2a＜0（a＞﹣1）．
（1）当a=12时，解此不等式组；
（2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．
【分析】（1）把a的值代入再求解；
（2）先解不等式组，再根据题意列不等式求解．
【解答】解：（1）当a=12时，不等式组化为：x+2＞0x−4＜0，
解得：﹣2＜x＜4；
（2）解不等式组得：﹣2a﹣1＜x＜2a+3，
解法一：令y1＝﹣2a﹣1，y2＝2a+3，（a＞﹣1）
如图所示：
当a＝0时．x只有一个奇数解1，不合题意；
当a＝1，x有奇数解1，﹣1，3，符合题意；
∵不等式组的解集中恰含三个奇数，
∴0＜a≤1．
解法二：∵−2a−2+2a+32=1，且不等式组的解集中恰含三个奇数，
∴不等式组的解集的三个奇数必为：﹣1，1，3，
∴﹣3≤﹣2a﹣1＜﹣1，且3＜2a+3≤5，
解得：0＜a≤1．
【点评】本题考查了不等式的解法，正确运算是解题的关键．
56．（2022•湘西州）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．
（1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
【分析】（1）设原计划篮球买x个，足球买y个，根据：“恰好能够购买篮球和足球共60个、原计划募捐5600元”列方程组即可解答；
（2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，根据“实际收到捐款共6890元”列不等式求解即可解答．
【解答】解：（1）设原计划篮球买x个，足球买y个，
根据题意得：x+y=60100x+80y=5600，
解得：x=40y=20．
答：原计划篮球买40个，足球买20个．
（2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，
根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890，
解得：a≤24.5，
答：篮球最多能买24个．
【点评】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式．
57．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
【分析】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；
（2）设购进mkg菠萝，则购进1700−5m6kg苹果，根据“菠萝的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，1700−5m6均为正整数，即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，
依题意得：x+y=3005x+6y=1700，
解得：x=100y=200，
∴（6﹣5）x+（8﹣6）y＝（6﹣5）×100+（8﹣6）×200＝500（元）．
答：这两种水果获得的总利润为500元．
（2）设购进mkg菠萝，则购进1700−5m6kg苹果，
依题意得：m≥88(6−5)m+(8−6)×1700−5m6＞500，
解得：88≤m＜100．
又∵m，1700−5m6均为正整数，
∴m可以为88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案1：购进88kg菠萝，210kg苹果；
方案2：购进94kg菠萝，205kg苹果．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
58．（2022•西藏）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
【分析】（1）可设每支钢笔x元，则每本笔记本（x+2）元，根据其数量相同，可列得方程，解方程即可；
（2）可设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，根据总费用不超过540元，可列一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每支钢笔x元，依题意得：
240x+2=200x，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
故笔记本的单价为：10+2＝12（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元；
（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：
12y+10（50﹣y）≤540，
解得：y≤20，
故最多购买笔记本20本．
【点评】本题主要考查一元一次不等式的应用，分式方程的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到等量关系．
59．（2022•牡丹江）某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：
（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；
（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
（3）为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）
【分析】（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为（x+500）元/箱，利用数量＝总价÷单价，结合用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B种防疫用品的成本，再将其代入（x+500）中即可求出A种防疫用品的成本；
（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产（50﹣m）箱A种防疫用品，根据“该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出该工厂共有6种生产方案；
（3）设（2）中的生产成本为w元，利用生产成本＝A种防疫用品的成本×生产数量+B种防疫用品的成本×生产数量，即可得出关于w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可求出（2）中最低成本，设购买a台甲种设备，b台乙种设备，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案，再将其代入a+b中即可得出结论．
【解答】解：（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为（x+500）元/箱，
依题意得：6000x+500=4500x，
解得：x＝1500，
经检验，x＝1500是原方程的解，且符合题意，
∴x+500＝1500+500＝2000．
答：A种防疫用品的成本为2000元/箱，B种防疫用品的成本为1500元/箱．
（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产（50﹣m）箱A种防疫用品，
依题意得：2000(50−m)+1500m≤90000m≤25，
解得：20≤m≤25．
又∵m为整数，
∴m可以为20，21，22，23，24，25，
∴该工厂共有6种生产方案．
（3）设（2）中的生产成本为w元，则w＝2000（50﹣m）+1500m＝﹣500m+100000，
∵﹣500＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣500×25+100000＝87500．
设购买a台甲种设备，b台乙种设备，
依题意得：2500a+3500b＝87500，
∴a＝35−75b．
又∵a，b均为正整数，
∴a=28b=5或a=21b=10或a=14b=15或a=7b=20，
∴a+b＝33或31或29或27．
∵33＞31＞29＞27，
∴共有4种购买方案，最多可购买甲，乙两种设备共33台．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
60．2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
【分析】（1）设购进“冰墩墩”摆件x个，“冰墩墩”挂件y个，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合购进“冰墩墩”摆件和挂件共100个且共花费了11400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进“冰墩墩”挂件m个，则购进“冰墩墩”摆件（180﹣m）个，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量（购进数量），即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进“冰墩墩”摆件x个，“冰墩墩”挂件y个，
依题意得：x+y=18080x+50y=11400，
解得：x=80y=100．
答：购进“冰墩墩”摆件80个，“冰墩墩”挂件100个．
（2）设购进“冰墩墩”挂件m个，则购进“冰墩墩”摆件（180﹣m）个，
依题意得：（60﹣50）m+（100﹣80）（180﹣m）≥2900，
解得：m≤70．
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50