专题12反比例函数的图象与性质（优选真题60道）-三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】

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1．（2023•通辽）已知点A（x1，y1）B（x2，y2） 在反比例函数y=−2x的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0B．y1+y2＞0C．y1﹣y2＜0D．y1﹣y2＞0
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由x1＜0＜x2，可判断y1＞0＞y2，进而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y=−2x的图象在二、四象限，而x1＜0＜x2，
∴点A（x1，y1）在第二象限反比例函数y=−2x的图象上，B（x2，y2） 在第四象限反比例函数y=−2x的图象上，
∴y1＞0＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
2．（2023•湖北）在反比例函数y=4−kx的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0B．k＞0C．k＜4D．k＞4
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：∵当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，
∴反比例函数y=4−kx的图象位于一、三象限，
4﹣k＞0，
解得k＜4，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题关键．
3．（2023•武汉）关于反比例函数y=3x，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D．图象经过点（a，a+2），则a＝1
【答案】C
【分析】利用反比例函数的图象和性质进而分析得出答案．
【解答】解：反比例函数y=3x，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误；
反比例函数y=3x，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确；
反比例函数y=3x图象经过点（a，a+2），
∴a（a+2）＝3，
解得a＝1或a＝﹣3，
故D选项错误，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．（2023•永州）已知点M（2，a）在反比例函数y=kx的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】把点（2，a）代入反比例函数解析式，可得a=k2，由k＞0可知a＞0，可得点M一定在第一象限．
【解答】解：∵点M（2，a）在反比例函数y=kx的图象上，
∴a=k2，
∴k＞0，
∴a＞0，
∴点M一定在第一象限．
故选：A．
方法二：
∵反比例函数y=kx中，k＞0，
∴图象的两个分支在一、三象限，
∵点M（2，a）在反比例函数y=kx的图象上，
∴点M一定在第一象限．
故选：A．
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0，图象的两个分支在一、三象限；关键是得到反比例函数的比例系数的符号．
5．（2023•天津）若点A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数y=−2x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x3＜x2＜x1B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．x2＜x3＜x1
【答案】D
【分析】分别将点A，B，C的坐标代入反比例函数的解析式求出x2，x3，x1，然后再比较它们的大小即可得出答案．
【解答】解：将A（x1，﹣2）代入y=−2x，得：−2=−2x1，即：x1＝1，
将B（x2，1）代入y=−2x，得：1=−2x2，即：x2＝﹣2，
将C（x3，2）代入y=−2x，得：2=−2x3，即：x3＝﹣1，
∴x2＜x3＜x1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
6．（2023•邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（ ）
A．（4，4）B．（2，2）C．（2，4）D．（4，2）
【答案】D
【分析】由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设E（a，8a），再由正方形ADEF，建立关于a的方程，进而得解．
【解答】解：∵点B的坐标为（2，4）在反比例函数y=kx上，
∴4=k2．
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y=8x．
∵点E在反比例函数上，
∴可设（a，8a）．
∴AD＝a﹣2＝ED=8a．
∴a1＝4，a2＝﹣2．
∵a＞0，
∴a＝4．
∴E（4，2）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要理解并能灵活运用．
7．（2023•上海）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6xB．y＝﹣6xC．y=6xD．y=−6x
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
【解答】解：A选项，y＝6x的函数值随着x增大而增大，
故A不符合题意；
B选项，y＝﹣6x的函数值随着x增大而减小，
故B符合题意；
C选项，在每一个象限内，y=6x的函数值随着x增大而减小，
故C不符合题意；
D选项，在每一个象限内，y=−6x的函数值随着x增大而增大，
故D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
8．（2023•金华）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b＞kx的解是（ ）
A．﹣3＜x＜0或x＞2B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2D．﹣3＜x＜0或x＞3
【答案】A
【分析】依据题意，首先求出B点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上，
∴k＝6．
又B（m，﹣2）在反比例函数上，
∴m＝﹣3．
∴B（﹣3，﹣2）．
结合图象，
∴当ax+b＞kx时，﹣3＜x＜0或x＞2．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数、一次函数的图象和性质，通过图象直接得出一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
9．（2023•山西）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（ ）
A．b＜a＜cB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．c＜a＜b
【答案】D
【分析】反比例函数y=kx（k≠0，k为常数）中，当k＜0时，双曲线在第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据这个判定则可．
【解答】解：∵k＜0，点A，B同象限，y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣1，
∴0＜a＜b，
又∵C（2，c）都在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，
∴c＜0，
∴c＜a＜b．
故选：D．
【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．
10．（2023•株洲）下列哪个点在反比例函数y=4x的图象上？（ ）
A．P1（1，﹣4）B．P2（4，﹣1）C．P3（2，4）D．P4(22，2)
【答案】D
【分析】根据反比例函数y=4x的图象上的点的横纵坐标乘积为4进行判断即可．
【解答】解：A．∵1×（﹣4）＝﹣4≠4，∴P1（1，﹣4）不在反比例函数y=4x的图象上，故选项不符合题意；
B．∵4×（﹣1）＝﹣4≠4，∴P2（4，﹣1）不在反比例函数y=4x的图象上，故选项不符合题意；
C．∵2×4＝8≠4，∴P3（2，4）不在反比例函数y=4x的图象上，故选项不符合题意；
D．∵22×2=4，∴P4(22，2)在反比例函数y=4x的图象上，故选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
11．（2023•临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（ ）
A．反比例函数关系B．正比例函数关系
C．一次函数关系D．二次函数关系
【答案】A
【分析】列出V与t的关系式，根据反比例函数的定义可得答案．
【解答】解：根据题意得：Vt＝105，
∴V=105t，V与t满足反比例函数关系；
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握反比例函数的定义．
12．（2023•宁波）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数y2=k2x（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞1B．x＜﹣2或0＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
【答案】B
【分析】根据图象即可．
【解答】解：由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．
13．（2023•浙江）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y=3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵反比例函数y=3x，
∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y=3x的图象上，
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
14．（2023•云南）若点A（1，3）是反比例函数y=kx（k≠0）图象上一点，则常数k的值为（ ）
A．3B．﹣3C．32D．−32
【答案】A
【分析】将点A的坐标代入反比例函数的关系式即可求出k的值．
【解答】解：∵点A（1，3）在反比例函数y=kx（k≠0）图象上，
∴k＝1×3＝3，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点A的坐标代入反比例函数的关系式是正确解答的关键．
15．（2022•贵阳）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y=kx的图象上的点是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的图象进行判断即可．
【解答】解：如图，反比例函数y=kx的图象是双曲线，若点在反比例函数的图象上，则其纵横坐标的积为常数k，即xy＝k，
通过观察发现，点P、Q、N可能在图象上，点M不在图象上，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象以及图象上点的坐标特征是正确判断的前提．
16．（2022•无锡）已知一次函数y＝x+2的图象上存在两个点，这两个点关于y轴的对称点恰好在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，则k的范围是（ ）
A．0＜k＜12B．0＜k＜1C．0＜k＜2D．0＜k＜4
【答案】B
【分析】设一次函数y＝x+2的图象上的点坐标为（x，x+2），可知x+2=k−x有两个解，即x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，再由一元二次方程根的判别式列不等式可解得答案．
【解答】解：设一次函数y＝x+2的图象上的点坐标为（x，x+2），它关于y轴的对称点坐标为（﹣x，x+2），
根据题意，x+2=k−x有两个解，即x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即22﹣4k＞0，
解得k＜1，
∵k＞0，
∴0＜k＜1，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数，反比例函数图象上点坐标的特征，涉及一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意，把所求问题转化为判断一元二次方程根的情况．
17．（2022•邵阳）如图是反比例函数y=1x的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（ ）
A．1B．12C．2D．32
【答案】B
【分析】由反比例函数的几何意义可知，k＝1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出△AOB的面积是12．
【解答】解：∵A（x，y），
∴OB＝x，AB＝y，
∵A为反比例函数y=1x图象上一点，
∴xy＝1，
∴S△ABO=12AB•OB=12xy=12×1=12，
故选：B．
【点评】考查反比例函数的几何意义，反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握k的绝对值，等于△AOB的面积的2倍．
18．（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2=k2x的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜k2x的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜0或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2D．﹣1＜x＜2
【答案】A
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k1x+b＜k2x的解集，此题得解．
【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2=k2x的图象的下方，
∴不等式k1x+b＜k2x的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
19．（2021•荆门）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y=k|x|（k≠0）的大致图象是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】解：当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
函数y=k|x|（k≠0）的图象在一、二象限，
故选项②的图象符合要求．
当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
函数y=k|x|（k≠0）的图象经过三、四象限，
故选项③的图象符合要求．
故选：B．
【点评】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
20．（2021•荆州）已知：如图，直线y1＝kx+1与双曲线y2=2x在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（ ）
A．t＝2B．△AOB是等腰直角三角形
C．k＝1D．当x＞1时，y2＞y1
【答案】D
【分析】利用待定系数法求得t，k，利用直线的解析式求得A，B的坐标，可得线段OA，OB的长度，利用图象可以判断函数值的大小．
【解答】解：∵点P（1，t）在双曲线y2=2x上，
∴t=21=2，正确；
∴A选项不符合题意；
∴P（1，2）．
∵P（1，2）在直线y1＝kx+1上，
∴2＝k+1．
∴k＝1，正确；
∴C选项不符合题意；
∴直线AB的解析式为y＝x+1
令x＝0，则y＝1，
∴B（0，1）．
∴OB＝1．
令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
∴OA＝OB．
∴△OAB为等腰直角三角形，正确；
∴B选项不符合题意；
由图象可知，当x＞1时，y1＞y2．
∴D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，待定系数法，数形结合．利用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．
二．填空题（共20小题）
21．（2023•河北）如图，已知点A（3，3），B（3，1），反比例函数y=kx(k≠0) 图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值： k＝4（答案不唯一） ．
【答案】k＝4（答案不唯一），
【分析】把点A（3，3），B（3，1）代入y=kx即可得到k的值，从而得结论．
【解答】解：由图可知：k＞0，
∵反比例函数y=kx（k＞0）的图象与线段AB有交点，且点A（3，3），B（3，1），
∴把B （3，1）代入y=kx得，k＝3，
把A（3，3）代入y=kx得，k＝3×3＝9，
∴满足条件的k值的范围是3≤k≤9的整数，
故k＝4（答案不唯一），
故答案为：k＝4（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
22．（2023•陕西）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 y=18x ．
【答案】y=18x．
【分析】根据矩形的性质得到OC＝AB＝3，根据正方形的性质得到CD＝CF＝EF，设CD＝m，BC＝2m，得到B（3，2m），E（3+m，m），设反比例函数的表达式为y=kx，列方程即可得到结论．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝3，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF＝EF，
∵BC＝2CD，
∴设CD＝m，BC＝2m，
∴B（3，2m），E（3+m，m），
设反比例函数的表达式为y=kx，
∴3×2m＝（3+m）•m，
解得m＝3或m＝0（不合题意舍去），
∴B（3，6），
∴k＝3×6＝18，
∴这个反比例函数的表达式是y=18x，
故答案为：y=18x．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
23．（2023•荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y=kx（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 （2，22） ．
【答案】（2，22）．
【分析】由题意，点A（2，2），则∠AOx＝45°，同时可得双曲线解析式，再作CH⊥x轴，作BG⊥CH，可得∠CBG＝45°，又BC＝2，再结合双曲线解析式可以得解．
【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y=kx（x＞0）上，
∴2=k2．
∴k＝4．
∴双曲线解析式为y=4x．
如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G．
∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝2，
∴BG＝CG=2．
∴C点的横坐标为2．
又C在双曲线y=4x上，
∴C（2，22）．
故答案为：（2，22）．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解．
24．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2=k2x（其中k1•k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 152 ．
【答案】152．
【分析】把A（﹣2，3），B（m，﹣2）代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：∵直直线y1＝k1x+b与双曲线y2=k2x（其中k1•k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，
∴k2＝﹣2×3＝﹣2m
∴m＝3，
∴B（3，﹣2），
∵BP∥x轴，
∴BP＝3，
∴S△ABP=12×3×(3+2)=152．
故答案为：152．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
25．（2023•无锡）已知曲线 C1、C2 分别是函数y=−2x（x＜0），y=kx（k＞0，x＞0）的图象，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义求得S△OA′D=12k，S△OB′E=12×|﹣2|＝1，根据等边三角形的性质得出OB＝3，OA＝33，易证得△A′OD∽△OB′E，从而得出S△A'ODS△B'OE=(OA'OB')2=3，即12k1=3，解得k＝6．
【解答】解：作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∵将△ABC绕原点O顺时针旋转，点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，
∴S△OA′D=12k，S△OB′E=12×|﹣2|＝1，
∵边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），OA⊥BC，
∴OB＝3，OA＝33，
由旋转的性质可知OB′＝OB＝3，OA′＝OA＝33，
∴OA'OB=3，
∵∠A′OB′＝∠AOB＝90°，
∴∠B′OE+∠A′OD＝90°，
∵∠A′OD+∠OA′D＝90°，
∴∠B′OE＝∠OA′D，
∵∠OEB′＝∠A′DO＝90°，
∴△A′OD∽△OB′E，
∴S△A'ODS△B'OE=(OA'OB')2=3，即12k1=3，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
26．（2023•徐州）如图，点P在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 4 ．
【答案】4．
【分析】设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），易证得四边形AOBP是正方形，则PB∥x轴，PB＝OB，即可证得△DBN∽△MON，求得BD＝BN，由D为PB的中点，可知N为OB的中点，得出OB＝2ON＝2，从而得出P（2，2），利用待定系数法即可求得k．
【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），
∴OM＝ON＝1，
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB，
∴四边形AOBP是正方形，
∴PB∥x轴，PB＝OB，
∴△DBN∽△MON，
∴BDBN=OMON=1，
∴BD＝BN，
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB＝2ON＝2，
∴PB＝OB＝2，
∴P（2，2），
∴点P在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，
∴k＝2×2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，求得P点的坐标是解题的关键．
27．（2023•上海）函数f（x）=1x−23的定义域为 x≠23 ．
【答案】x≠23．
【分析】根据函数有意义的条件求解即可．
【解答】解：函数f（x）=1x−23有意义，则x﹣23≠0，
解得x≠23，
故答案为：x≠23．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数有意义的条件是解题的关键．
28．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A，若点A为OE的中点，且S△EAF=14，则k的值为 ﹣6 ．
【答案】﹣6．
【分析】连接BO，设AG＝EG＝a，由轴对称的性质得到EC＝AO＝AE＝2a，AC＝EO＝4a，利用相似三角形的判定和性质得到S△EOD＝2，得到S△ACB＝2，根据S△OCB＝S△ACB+S△AOB以及反比例函数的几何意义即可得到结论．
【解答】解：连接OB，设对称轴MN与x轴交于G，
∵△ODE与△CBA关于MN对称，
∴AG＝EG，AC＝EO，EC＝AO，
∵点A我OE的中点，
设AG＝EG＝a，则EC＝AO＝AE＝2a，
∴AC＝EO＝4a，
∵S△EAF=14，
∴S△EGF=12S△EAF=18，
∵GF∥OD，
∴△EFG∽△EDO，
∴S△EGFS△EOD=(EGEO)2，
即18S△EOD=(a4a)2，
∴S△EOD=18×16=2，
∴S△ACB＝2，
∵AC＝4a，AO＝2a，
∴S△OCB＝S△ACB+S△AOB＝2+1＝3，
∴12|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
29．（2023•安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．
（1）k＝ 3 ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 4 ．
【答案】（1）3．
（2）4．
【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出A、B两点坐标，作出辅助线，证得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．
（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，
∴OB=4，OA=23，
∴A(23，0)，B(23，2)，
∵C是OB的中点，
∴OC＝BC＝AC＝2，
如图，过点C作CP⊥OA于P，
∴△OPC≌△APC（HL），
∴OP=AP=12OA=3，
在Rt△OPC中，PC=OC2−OP2=4−3=1，
∴C（3，1）．
∵反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，
∴1=k3，
解得k=3．
故答案为：3．
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则23k+b=03k+b=1，
解得k=−33b=2，
∴AC的解析式为y=−33x+2，
∵AC∥BD，
∴直线BD的解析式为y=−33x+4，
∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，
∴联立得y=3xy=−33x+4，
解得x1=23+3y1=2−3，x2=23−3y2=2+3，
当D的坐标为（23+3，2−3）时，
BD2=(23+3−23)2+(2−3−2)2=9+3＝12，
∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；
当D的坐标为（23−3，2+3）时，
BD2=(23−3−23)2+(2+3−2)2=9+3＝12，
∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；
综上，OB2﹣BD2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形的性质及勾股定理的应用．
30．（2023•枣庄）如图，在反比例函数y=8x（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝ 2023253 ．
【答案】2023253．
【分析】将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，得出所求面积为矩形ABP1D的面积，再分别求矩形ODP1C和矩形OABC的面积即可．
【解答】解：∵P1，P2，P3，…P2024的横坐标依次为1，2，3，…，2024，
∴阴影矩形的一边长都为1，
将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，
∴S1+S2+S3+…+S2023=S矩形ABP1D，
把x＝2024代入关系式得，y=1253，即OA=1253，
∴S矩形OABC＝OA•OC=1253，
由几何意义得，S矩形OCP1D=8，
∴S矩形ABP1D=8−1253=2023253．
故答案为：2023253．
【点评】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用是解题关键．
31．（2023•乐山）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．
（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝ ﹣7 ；
（2）若双曲线y=kx（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围 3＜k＜4 ．
【答案】（1）﹣7；
（2）3＜k＜4．
【分析】（1）根据题意得出4m+t=912+t=m2，消去t得到m2+4m﹣21＝0，解方程即可求得m＝﹣7；
（2）根据题意得出x2=4kx+t①k2x2=4x+t②，①﹣②得（x+kx）（x−kx）＝﹣4（x−kx），整理得（x−kx）（x+kx+4）＝0，由x≠y，得出x+kx+4＝0，理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，由﹣3＜x＜﹣1，得出3＜k＜4．
【解答】解：（1）∵P（3，m）是“和谐点”，
∴4m+t=912+t=m2，
消去t得到m2+4m﹣21＝0，
解得m＝﹣7或3，
∵x≠y，
∴m＝﹣7；
故答案为：﹣7；
（2）∵双曲线y=kx（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，
∴x2=4kx+t①k2x2=4x+t②，
①﹣②得（x+kx）（x−kx）＝﹣4（x−kx），
∴（x−kx）（x+kx+4）＝0，
∵x≠y，
∴x+kx+4＝0，
整理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，
∵﹣3＜x＜﹣1，
∴3＜k＜4．
故答案为：3＜k＜4．
【点评】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，本题综合性强，有一定难度．
32．（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cs∠OAC=23，则k＝ −83 ．
【答案】−83．
【分析】作AE⊥x轴于E，由矩形的面积可以求得△AOC的面积是3，然后通过证得△OEA∽△AOC，求得S△OEA=43，最后通过反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3，
∵∠AOC＝90°，cs∠OAC=23，
∴OAAC=23，
∵对角线AC∥x轴，
∴∠AOE＝∠OAC，
∵∠OEA＝∠AOC＝90°，
∴△OEA∽△AOC，
∴S△OEAS△AOC=(OAAC)2，
∴S△OEA3=49，
∴S△OEA=43，
∵S△OEA=12|k|，k＜0，
∴k=−83．
故答案为：−83．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，反比例函数系数k的几何意义，求得△AOE的面积是解题的关键．
33．（2022•乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=kx（k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=32，则k＝ 3 ．
【答案】3．
【分析】连接DF、OD，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据三角形的面积公式得到S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，进而求出S△OAD，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【解答】解：设BC与x轴交于点F，连接DF、OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，
∴S△OAD＝S△ABE=32，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
34．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，则y1 ＞ y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】＞．
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函数y=kx（k＞0）的图象在一、三象限，
∵5＞2＞0，
∴点A（2，y1），B（5，y2）在第一象限，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
35．（2022•包头）如图，反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接CD，记△ADC，△DOC的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2的值为 4 ．
【答案】4．
【分析】根据反比例函数k＝xy（定值）求出B点坐标，根据待定系数法求出直线AB的解析式，进而求出点C的坐标，求出AB，BC的长度，根据AD•BC＝AB•DO，得到AD＝2DO，根据△ADC，△DOC是等高的三角形，得到S1＝2S2，从而S1﹣S2＝S2，根据S1+S2＝S△AOC得到S2=13S△AOC，从而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，
∴1×6＝3b，
∴b＝2，
∴B（3，2），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
m+n=63m+n=2，
解得：m=−2n=8，
∴y＝﹣2x+8，
令y＝0，
﹣2x+8＝0，
解得：x＝4，
∴C（4，0），
∵AB=(1−3)2+(6−2)2=25，
BC=(3−4)2+(2−0)2=5，
AD•BC＝AB•DO，
∴AD•5=25•DO，
∴AD＝2DO，
∴S1＝2S2，
∴S1﹣S2＝S2，
∵S1+S2＝S△AOC，
∴S1﹣S2＝S2=13S△AOC=13×12×4×6＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据AD•BC＝AB•DO得到AD＝2DO，根据△ADC，△DOC是等高的三角形，得到S1＝2S2是解题的关键．
36．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 y=−3x ．
【答案】y=−3x．
【分析】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．由tan∠ABO=AOOB=3，可以假设OB＝a，OA＝3a，利用全等三角形的性质分别求出C（a，2a），D（﹣2a，3a），可得结论．
【解答】解：如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．
∵tan∠ABO=AOOB=3，
∴可以假设OB＝a，OA＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，
∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，
∴∠ABO＝∠BCT，
∴△AOB≌△BTC（AAS），
∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，
∴OT＝BT﹣OB＝2a，
∴C（a，2a），
∵点C在y=1x上，
∴2a2＝1，
同法可证△CHD≌△BTC，
∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，
∴D（﹣2a，3a），
设经过点D的反比例函数的解析式为y=kx，则有﹣2a×3a＝k，
∴k＝﹣6a2＝﹣3，
∴经过点D的反比例函数的解析式是y=−3x．
故答案为：y=−3x．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
37．（2021•呼和浩特）正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的图象交于A，B两点，若A点坐标为（3，﹣23），则k1+k2＝ ﹣8 ．
【答案】﹣8．
【分析】根据待定系数法求得k1、k2，即可求得k1+k2的值．
【解答】解：∵正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的图象交于A，B两点，若A点坐标为（3，﹣23），
∴﹣23=3k1，﹣23=k23，
∴k1＝﹣2，k2＝﹣6，
∴k1+k2＝﹣8，
故答案为﹣8．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
38．（2021•阿坝州）如图，点A，B在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 8 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，通过证得△AOM∽△BAN，即可得到关于k的方程，解方程即可求得．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∵∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BAN＝∠AOM，
∴△AOM∽△BAN，
∴AMBN=OMAN，
∵点A，B在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
∴A（2，k2），B（k，1），
∴OM＝2，AM=k2，AN=k2−1，BN＝k﹣2，
∴k2k−2=2k2−1，
解得k1＝2（舍去），k2＝8，
∴k的值为8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．
39．（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y=kx（k≠0）的图象上，若在y=kx的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 （3，1） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，解直角三角形求得OE=3，即可求得C的坐标，根据待定系数法求的反比例函数的解析式，进一步表示出M（3n，n），代入解析式即可求得结果．
【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，
∵∠AOB＝30°，
∴OE=3AE=3，
将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，3），
∵点C在函数y=kx（k≠0）的图象上，
∴k＝1×3=3，
∴y=3x，
∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，
∴∠DOM＝60°，
∴∠MOF＝30°，
∴OF=3MF，
设MF＝n，则OF=3n，
∴M（3n，n），
∵点M在函数y=3x的图象上，
∴n=33n，
∴n＝1（负数舍去），
∴M（3，1），
故答案为（3，1）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，待定系数法求反比例函数的解析式，求得C的坐标是解题的关键．
40．（2021•通辽）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 （n−1+n，−n−1+n） ．（用含有正整数n的式子表示）
【答案】（n−1+n，−n−1+n）．
【分析】由于△OA1B1是等腰直角三角形，可知直线OB1的解析式为y＝x，将它与y=1x联立，求出方程组的解，得到点B1的坐标，则A1的横坐标是B1的横坐标的两倍，从而确定点A1的坐标；由于△OA1B1，△A1A2B2都是等腰直角三角形，则A1B2∥OB1，直线A1B2可看作是直线OB1向右平移OA1个单位长度得到的，因而得到直线A1B2的解析式，同样，将它与y=1x联立，求出方程组的解，得到点B2的坐标，则B2的横坐标是线段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A3的坐标，即可求得点B3的坐标，得出规律．
【解答】解：过B1作B1M1⊥x轴于M1，
易知M1（1，0）是OA1的中点，
∴A1（2，0）．
可得B1的坐标为（1，1），
∴B1O的解析式为：y＝x，
∵B1O∥A1B2，
∴A1B2的表达式一次项系数与B1O的一次项系数相等，
将A1（2，0）代入y＝x+b，
∴b＝﹣2，
∴A1B2的表达式是y＝x﹣2，
与y=1x（x＞0）联立，解得B2（1+2，﹣1+2）．
仿上，A2（22，0）．
B3（2+3，−2+3），
以此类推，点Bn的坐标为（n−1+n，−n−1+n），
故答案为（n−1+n，−n−1+n）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共20小题）
41．（2023•兰州）如图，反比例函数y=kx(x＜0)与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数y=kx与一次函数y＝﹣2x+m的表达式；
（2）当OD＝1时，求线段BC的长．
【答案】（1）反比例函数为y=−4x，一次函数为y＝﹣2x+2；
（2）BC＝412．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可知B、C的纵坐标为1，即可求得B（﹣4，1），C（12，1），从而求得BC＝412．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx(x＜0)与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），
∴4=k−1，4＝﹣2×（﹣1）+m，
∴k＝﹣4，m＝2，
∴反比例函数为y=−4x，一次函数为y＝﹣2x+2；
（2）∵BC⊥y轴于点D，
∴BC∥x轴，
∵OD＝1，
∴B、C的纵坐标为1，
∴B（﹣4，1），C（12，1），
∴BC=12+4=412．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
42．（2023•常德）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数y2=kx相交于点A和点B（3，﹣1）．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当y1＞y2时，求x的取值范围．
【答案】（1）m＝2，反比例函数的解析式为y2=−3x；
（2）x＜﹣1或0＜x＜3．
【分析】（1）把B（3，﹣1）分别代入一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数y2=kx，即可求出m的值和反比例函数的解析式；
（2）先求出A点坐标，再根据图象即可得到y1＞y2时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数y2=kx相交于点A和点B（3，﹣1），
∴﹣1＝﹣3+m，﹣1=k3，
解得m＝2，k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y2=−3x；
（2）解方程组y=−x+2y=−3x，得x=−1y=3或x=3y=−1，
∴A（﹣1，3），
观察图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，以及利用数形结合思想解不等式．
43．（2023•贵州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）若一次函数y＝x+m与反比例函数y=kx(x＞0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．
【答案】（1）反比例函数解析式为y=4x，E（2，2）；
（2）m的取值范围是﹣3≤m≤0．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，由题意可知点E的纵坐标为2，代入反比例函数的解析式即可求得点E的横坐标；
（2）求得直线经过点D和点E的坐标，即可求得m的取值．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点D（4，1），且点D为AB的中点，
∴B（4，2），
∴点E的纵坐标为2，
∵反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数解析式为y=4x，
把y＝2代入得，2=4x，
解得x＝2，
∴E（2，2）；
（2）把D（4，1）代入y＝x+m得，1＝4+m，解得m＝﹣3，
把E（2，2）代入y＝x+m得，2＝2+m，解得m＝0，
∴m的取值范围是﹣3≤m≤0．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得交点的坐标是解题的关键．
44．（2023•湘潭）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′．
（1）反比例函数y=kx的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y=8x；
（2）该一次函数的表达式为y=17x+37．
【分析】（1）根据旋转的性质得出C′的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点，
∴OA＝3，OB＝4，
∴BC＝2，
将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′，
∴C′（2，4），
∵反比例函数y=kx的图象经过点C′，
∴k＝2×4＝8，
∴该反比例函数的表达式为y=8x；
（2）作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵OA＝3，OB＝4，
∴BH＝OA＝3，A′H＝OB＝4，
∴OH＝1，
∴A′（4，1），
设一次函数的解析式为y＝ax+b，
把A（﹣3，0），A′（4，1）代入得，−3a+b=04a+b=1，
解得a=17b=37，
∴该一次函数的表达式为y=17x+37．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
45．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y=kx（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式kx＜ax+b的解集．
【答案】（1）反比例函数的表达式为 y=−12x，一次函数的表达式为y=−32x+3；（2）9；（3）x＜﹣2或0＜x＜4．
【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形面积的和差，可得答案；
（3）根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解．
【解答】解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴−3=k4．
∴k＝﹣12．
∴反比例函数的表达式为 y=−12x．
∵A（﹣m，3m）在反比例函数 y=−12x 的图象上，
∴3m=−12−m．
∴m1＝2，m2＝﹣2 （舍去）．
∴点A的坐标为（﹣2，6）．
∵点A，B在一次函数y＝ax+b的图象上，把点 A（﹣2，6），B（4，﹣3）分别代入，得 −2a+b=64a+b=−3，
∴a=−32b=3．
∴一次函数的表达式为y=−32x+3．
（2）∵点C为直线AB与y轴的交点，
∴OC＝3．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
=12•OC•|xA|+12•OC•|xB|
=12×3×2+12×3×4
＝9．
（3）由题意得，x＜﹣2或0＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式．
46．（2023•菏泽）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=kx在第一象限的图象于点C（a，1）．
（1）求反比例函数y=kx和直线OC的表达式；
（2）将直线OC向上平移32个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
【答案】（1）y=4x；y=14x；
（2）(−8，−12)或（2，2）．
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，先证△CBD∽△BAO，求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式和直线OC的解析式；
（2）先求出直线l的解析式，然后与反比例函数的解析式组成方程组，求出方程组的解即得出直线l与反比例函数图象的交点坐标．
【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠BDC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BDC＝∠AOB，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
∴△CBD∽△BAO，
∴CDBO=BDAO，
∵A（0，4），B（2，0），C（a，1），
∴AO＝4，BO＝2，CD＝1，
∴12=BD4，
∴BD＝2，
∴OD＝BO+BD＝4，
∴a＝4，
∴点C的坐标是（4，1），
∵反比例函数y=kx过点C，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
设直线OC的解析式为y＝mx，
∵其图象经过点C（4，1），
∴4m＝1，
解得m=14，
∴直线OC的解析式为y=14x；
（2）将直线OC向上平移32个单位，得到直线l，
∴直线l的解析式为y=14x+32，
由题意得，y=14x+32y=4x，
解得x1=−8y1=−12，x2=2y2=2，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为(−8，−12)或（2，2）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数交点问题，熟知反比例函数与一次函数的交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解．
47．（2023•济宁）如图，正比例函数y1=12x和反比例函数y2=kx(x＞0)的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y2=kx(x＞0)的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积．
​
【答案】（1）y2=8x；
（2）3．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；
（2）根据平移的性质求得平移后直线的函数解析式，确定B点坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式，利用三角形面积公式列式计算．
【解答】解：（1）把A（m，2）代入 y1=12x 得：
12m=2，
解得m＝4，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入 y2=kx(x＞0)得：
k4=2，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为 y2=8x；
（2）过点C作CM⊥x轴于M，交AB于点N，如图：
将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为 y=12x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，
将A（4，2），B（0，3）代入可得：
4m+n=2n=3，
解得：m=−14n=3，
∴直线AB的函数解析式为y=−14x+3，
联立解析式得：y=12x+3y=8x
解得：x=2y=8，
∴C点坐标为（2，4），
在y=−14x+3中，当 x＝2时，y=52，
∴CN＝4−52=32，
∴S△ABC=12×32×4＝3；
∴△ABC的面积为3．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键．
48．（2023•河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y=kx图象上的点A(3，1) 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC，连接BF．
​（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
【答案】（1）k=3；
（2）60°；
（3）33−23π．
【分析】（1将A（3，1）代入y=kx中即可求解；
（2）利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据菱形的性质求解；
（3）先计算出S菱形AOCD＝23，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出S△FBO=3，从而问题即可解答．
【解答】解：（1）将A（3，1）代入到y=kx中，
得：1=k3，
解得：k=3；
（2）过点A作OD 的垂线，交x轴于G，
∵A（3，1），
∴AG＝1，OG=3，
OA=(3)2+12=2，
∴半径为2；
∵AG=12OA，
∴∠AOG＝30°，
由菱形的性质可知，∠AOG＝∠COG＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴圆心角的度数为：60°；
（3）∵OD＝2OG＝23，
∴S菱形AOCD＝AG×OD＝23，
∴S扇形AOC=16×π×r2=2π3，
在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO，
∵S△FHO=k2=32，
∴S△FBO＝2×32=3，
∴S阴影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC=3+23−23π＝33−23π．
【点评】本题考查反比例函数及k的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确k的几何意义是解题关键．
49．（2023•聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点p（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y=mx的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．
【答案】（1）反比例函数为y=−4x，B（4，﹣1），一次函数为y＝﹣x+3；
（2）n=−215．
【分析】（1）根据反比例函数过A（﹣1，4），B（a，﹣1），求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式；
（2）证得四边形APQB是平行四边形，根据平移的思想得到Q点的坐标，代入反比例函数解析式即可求得n的值．
【解答】解：（1）反比例函数y=mx的图象过A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点，
∴m＝﹣1×4＝a•（﹣1），
∴m＝﹣4，a＝4，
∴反比例函数为y=−4x，B（4，﹣1），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得4k+b=−1−k+b=4，
解得k=−1b=3，
∴一次函数为y＝﹣x+3；
（2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），P（n，0），BQ∥AP，BQ＝AP，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到P，
∴点B（4，﹣1）向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到Q（5+n，﹣5），
∵点Q在y=−4x上，
∴5+n=45，
解得n=−215，
∴Q（45，﹣5），
连接AQ，交x轴于点C，
设直线AQ为y＝k′x+b′，
则−k'+b'=445k'+b'=−5，解得k'=−5b'=−1，
∴直线AQ为y＝﹣5x﹣1，
令y＝0，则x=−15，
∴C（−15，0），
∴PC=−15+215=4，
∴S△APQ＝S△APC+S△QPC=12×4×（4+5）＝18，
∴四边形APQB的面积为36，
故n=−215符合题意．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的性质，不是出Q点的坐标是解题的关键．
50．（2023•岳阳）如图，反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m为常数，m≠0）的图象交于A（1，2），B两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点C（0，n），△ABC的面积为4，求点C的坐标．
【答案】（1）y=2x，y＝2x；（2）（0，4）或（0，﹣4）．
【分析】（1）分别将点A（1，2）反比例函数和正比例函数的解析式即可得出答案；
（2）先求出点B的坐标，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，然后根据点A、B、C的坐标表示出AE，BF，OC，最后再根据S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4即可求出点C的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y=kx，得：k＝2，
∴反比例函数的解析式为：y=2x，
将点A（1，2）代入y＝mx，得：m＝2，
∴正比例函数的解析式为：y＝2x．
（2）解方程组y=2xy=2x，得：x1=1y1=2，x2=−1y2=−2，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），
过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，
∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（0，n），
∴AE＝BF＝1，OC＝|n|，
∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4，
∴12OC⋅AE+12OC⋅BF=4，
即：|n|×1+|n×1＝8，
∴|n|＝4，
∴n＝±4，
∴点C的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，难点是在解答（2）时，过点A，B向y轴作垂线，把△ABC的面积转化为△AOC和△BOC的面积之和，漏解是解答此题的易错点．
51．（2023•滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线y=mx(m为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线y=mx上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞mx的解集．
【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）①M、N在双曲线的同一支上，当x1＜x2时，y1＜y2；②M、N在双曲线的不同的一支上，当x1＜x2时，y1＞y2；（3）x＜﹣1或0＜x＜2．
【分析】（1）依据题意，将B点代入双曲线解析式可求得m，再将A点代入求出a，最后由A、B两点代入直线解析式可以得解；
（2）由题意，分成两种情形：一种是M、N在双曲线的同一支上，一种是M、N在双曲线的两一支上，然后根据图象可以得解；
（3）依据图象，由一次函数值大于反比例函数值可以得解．
【解答】解：（1）由题意，将B点代入双曲线解析式y=mx，
∴2=m−1．
∴m＝﹣2．
∴双曲线为y=−2x．
又A（2，a）在双曲线上，
∴a＝﹣1．
∴A（2，﹣1）．
将A、B代入一次函数解析式得2k+b=−1−k+b=2，
∴k=−1b=1．
∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+1．
（2）由题意，可分成两种情形．
①M、N在双曲线的同一支上，
由双曲线y=−2x，在同一支上时函数值随x的增大而增大，
∴当x1＜x2时，y1＜y2．
②M、N在双曲线的不同的一支上，
∵x1＜x2，
∴x1＜0＜x2．
∴此时由图象可得y1＞0＞y2，
即此时当x1＜x2时，y1＞y2．
（3）依据图象，kx+b＞mx即一次函数值大于反比例函数值，
∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），
∴不等式kx+b＞mx的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，解不等式．利用数形结合思想是解题的关键．
52．（2023•十堰）函数y=kx+a的图象可以由函数y=kx的图象左右平移得到．
（1）将函数y=1x的图象向右平移4个单位得到函数y=1x+a的图象，则a＝ ﹣4 ；
（2）下列关于函数y=1x+a的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是 ①④ （填写序号）；
（3）根据（1）中a的值，写出不等式1x+a＞1x的解集．
【答案】（1）﹣4；
（2）①④；
（3）x＞4或x＜0．
【分析】（1）利用左加右减的平移规律即可得到结论；
（2）根据平移的性质结合函数y=1x的性质判断即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）将函数y=1x的图象向右平移4个单位得到函数y=1x−4的图象，则a＝﹣4；
故答案为：﹣4；
（2）函数y=1x向左平移a个单位得到函数y=1x+a的图象，
①图象关于点（﹣a，0）对称，正确；
②y随x的增大而减小，错误；
③图象关于直线y＝﹣x+a对称，错误；
④y的取值范围为y≠0，正确．
其中说法正确的是①④；
故答案为：①④；
（3）观察图象，不等式1x+a＞1x的解集为x＞4或x＜0．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点，反比例函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
53．（2023•湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为y2=mx(x＞0)的图象交于A(4，1)，B(12，a)两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点P的坐标．
【答案】（1）y1＝﹣2x+9，y2=4x；（2）12＜x＜4；（3）P（52，4）或（2，5）．
【分析】（1）将A点坐标代入即可得出反比例函数y2=mx（x＞0），求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入y1＝kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由题意即求y1＞y2的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围；
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且12≤p≤4，则Q（p，4p），求得PQ＝﹣2p+9−4p，根据三角形面积公式得到S△POQ=12（﹣2p+9−4p）•p＝3，解得即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2=mx（x＞0）的图象经过点A（4，1），
∴1=m4．
∴m＝4．
∴反比例函数解析式为y2=4x（x＞0）．
把B（12，a）代入y2=4x（x＞0），得a＝8．
∴点B坐标为（12，8），
∵一次函数解析式y1＝kx+b，经过A（4，1），B（12，8），
∴4k+b=112k+b=8．
∴k=−2b=9．
故一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9．
（2）由y1﹣y2＞0，
∴y1＞y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，12＜x＜4．
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且12≤p≤4，
∴Q（p，4p）．
∴PQ＝﹣2p+9−4p．
∴S△POQ=12（﹣2p+9−4p）•p＝3．
解得p1=52，p2＝2．
∴P（52，4）或（2，5）．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
54．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，2）两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当x＞0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥kx的解集；
（3）过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，求梯形OCBD的面积．
【答案】（1）反比例函数为y=8x，一次函数为y＝﹣x+6；
（2）2≤x≤4；
（3）9．
【分析】（1）利用B（4，2）可得反比例函数为 y=8x，再求得A（2，4），用待定系数法可得一次函数的解析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合x＞0可得答案；
（3）求出OA的解析式y＝2x，由B（4，2），可得D（1，2），BD＝4﹣1＝3，由y＝﹣x+6，得C（6，0），OC＝6，再利用梯形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数 y=kx 过B（4，2），
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数为：y=8x，
把A（a，4）代入 y=8x 得：a=84=2，
∴A（2，4），
∴4m+n=22m+n=4，
解得：m=−1n=6，
∴一次函数为y＝﹣x+6；
（2）观察函数图象可得，当x＞0时，﹣x+6≥8x的解集为：2≤x≤4；
（3）∵A（2，4），
∴直线OA的解析式为：y＝2x，
∵过点B（4，2）作BD平行于x轴，交OA于点D，
∴D（1，2），
∴BD＝4﹣1＝3，
在y＝﹣x+6中，令y＝0得x＝6，即
∴C（6，0），
∴OC＝6，
∵12(3+6)×2=9，
∴梯形OCBD的面积为9．
【点评】本题考查利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合思想解题是解题的关键．
55．（2023•衡阳）如图，正比例函数y=43x的图象与反比例函数y=12x（x＞0）的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长．
【答案】（1）（3，4）；（2）256．
【分析】（1）将正比例函数与反比例函数的解析式联立，组成方程组，解方程组即可求出点A的坐标；
（2）设点D的坐标为（x，0）．根据线段垂直平分线的性质得出AD＝OD，依此列出方程（x﹣3）2+42＝x2，解方程即可．
【解答】解：（1）解方程组y=43xy=12x（x＞0），
得x=3y=4，
∴点A的坐标为（3，4）；
（2）设点D的坐标为（x，0）．
由题意可知，BC是OA的垂直平分线，
∴AD＝OD，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
∴x=256，
∴D（256，0），OD=256．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了线段垂直平分线的性质．
56．（2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数y=kx(k＞0，x＞0) 的图象上．
（1）求k的值；
（2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值．
【答案】（1）k＝2；
（2）Tmx＝1．
【分析】（1）根据点P（1，2）在函数y=kx(k＞0，x＞0) 的图象上，代入即可得到k的值；
（2）根据点A（t，0）在x轴负半轴上得到OA＝﹣t，根据正方形的性质得到OC＝BC＝OA＝﹣t，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点P（1，2）在函数y=kx(k＞0，x＞0) 的图象上，
∴2=k1，
∴k＝2，
即k的值为2；
（2）∵点A（t，0）在x轴负半轴上，
∴OA＝﹣t，
∵四边形OABC为正方形，
∴OC＝BC＝OA＝﹣t，BC∥x轴，
∴△BCP的面积为S=12×（﹣t）×（2﹣t）=12t2﹣t，
∴T＝2S﹣2t2＝2（12t2﹣t）﹣2t2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当t＝﹣1时，T有最大值，T的最大值是1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
57．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．
（1）求k的值和点C的坐标；
（2）求△OAC的周长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把点B（2，6）代入反比例函数的关系式可求出k的值，利用相似三角形的性质可求出A的坐标，进而得出点C坐标；
（2）利用勾股定理求出OA、AC的长即可．
【解答】解：把点B（2，6）代入反比例函数y=kx得，
k＝2×6＝12；
如图，过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、E，则OE＝6，BE＝2，
∵BE⊥CD，AD⊥CD，
∴AD∥BE，
又∵B为AC的中点．
∴AD＝2BE＝4，CE＝DE，
把x＝4代入反比例函数y=12x得，
y＝12÷4＝3，
∴点A（4，3），即OD＝3，
∴DE＝OE﹣OD＝6﹣3＝3＝CE，
∴OC＝9，
即点C（0，9），
答：k＝12，C（0，9）；
（2）在Rt△AOD中，
OA=OD2+AD2=32+42=5，
在Rt△ADC中，
AC=AD2+DC2=42+62=213，
∴△AOC的周长为：213+5+9＝213+14．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质，掌握勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
58．（2022•兰州）如图，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B（3，0），过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y=32x+b的图象于D点，交反比例函数的图象于E点，S△AOB＝3．
（1）求反比例函数y=kx（x＞0）和一次函数y=32x+b的表达式；
（2）求DE的长．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y=6x，一次函数的表达式为y=32x−92；
（2）DE=95．
【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值，把B的坐标代入y=32x+b即可求得b的值，从而求得反比例和一次函数的解析式；
（2）利用两个函数的解析式求得D、E的坐标，进一步即可求得DE的长度．
【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，
∴S△AOB=12|k|＝3，
∴k＝6，
∴反比例函数为y=6x，
∵一次函数y=32x+b的图象过点B（3，0），
∴32×3+b＝0，解得b=−92，
∴一次函数为y=32x−92；
（2）∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y=32x+b的图象于D点，
∴当x＝5时y=6x=65；y=32x−92=3，
∴E（5，65），D（5，3），
∴DE＝3−65=95．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求得函数的解析式是解题的关键．
59．（2021•内江）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞k2x的x的取值范围；
（3）若点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把A的坐标代入y=k2x即可求得k2，得到反比例函数的解析式，再把B（﹣2，n）代入反比例函数的解析式即可求得n的值，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据图象即可求得；
（3）设P（x，x+1），利用三角形面积公式得到AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，根据两点间的距离公式得到（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，然后解方程求出x即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=k2x经过A（1，2），
∴k2＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y=2x，
∵B（﹣2，n）在反比例函数y=2x的图象上，
∴n=2−2=−1，
∴B（﹣2，﹣1），
∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），
∴k1+b=2−2k1+b=−1，解得k1=1b=1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）观察图象，k1x+b＞k2x的x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）设P（x，x+1），
∵S△AOP：S△BOP＝1：4，
∴AP：PB＝1：4，
即PB＝4PA，
∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，
解得x1=25，x2＝2（舍去），
∴P点坐标为（25，75）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
60．（2021•湖北）如图，反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y=kx的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，求t的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y=−3x，一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）t＞32．
【分析】（1）将点B，点A坐标代入反比例函数的解析式，可求a和k的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
（2）先求出点C坐标，由面积关系可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，
∴k＝﹣1×3＝a×（﹣1），
∴k＝﹣3，a＝3，
∴点A（3，﹣1），反比例函数的解析式为y=−3x，
由题意可得：3=−m+n−1=3m+n，
解得：m=−1n=2，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）∵直线AB交y轴于点C，
∴点C（0，2），
∴S四边形COMN＝S△OMN+S△OCN=32+12×2×t，
∵S四边形COMN＞3，
∴32+12×2×t＞3，
∴t＞32．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．