专题14反比例函数与几何压轴问题（优选真题60道）-三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】

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1．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD=14AB，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】设B点的坐标为（a，b），根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点B，M（a2，b2），确定D（a4，b），然后结合图形及反比例函数的意义，得出S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝3，代入求解即可．
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），
∵矩形OABC的对称中心M，
∴延长OM恰好经过点B，M（a2，b2），
∵点D在AB上，且 AD=14AB，
∴D（a4，b），
∴BD=34a，
∴S△BDM=12BD•h=12×34a×（b−b2）=316ab，
∵D在反比例函数的图象上，
∴14ab＝k，
∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM=12ab−12k−316ab＝3，
∴ab＝16，
∴k=14ab＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
2．（2023•黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y=kx过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（ ）
A．﹣6B．﹣12C．−92D．﹣9
【答案】C
【分析】设出B的坐标，通过对称性求出C点的坐标，进而求出D的坐标，即可用k表示出线段BC和CD的长度，结合已知面积即可列出方程求出k．
【解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b，kb），则A（﹣b，−kb），b＞0，由题意知，
AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴BE＝CE，AE∥y轴，
∴CF＝3BF＝3b，
∴C（﹣3b，kb），
∴D（﹣3b，−k3b），
∴CD=−4k3b，BC＝4b，
∴S△BCD=12BC⋅CD=12⋅4b⋅(−4k3b)=−83k=12，
∴k=−92．
故选：C．
【点评】对于反比例函数中图形的面积问题，常用一个未知数表示关键点的坐标，通过推导求其面积．
3．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=3x和y=nx的图象的四个分支上，则实数n的值为（ ）
A．﹣3B．−13C．13D．3
【答案】A
【分析】如图，点B在函数y=3x上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何意义即可求解．
【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y=3x上，如图：
∵四边形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD=32=|n|2，
∵点A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上性质的解题关键．
4．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（ ）
A．454B．458C．14425D．7225
【答案】B
【分析】过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），由OP：BP＝1：4，BM＝CM，得A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），又△NKC∽△ATC，NC＝2AN，可得CK＝2TK，NK=23AT，即5b−m=2(m−0)n−2c=23(a−2c)，得m=5b3n=2a+2c3，故N(5b3，2a+2c3)，根据△APN的面积为3，有12×53b(2a+2c3+a)−12ab−12×2b3⋅2a+2c3=3，得2ab+bc＝9，将点M（5b，c），N(5b3，2a+2c3) 代入y=kx，整理得：2a＝7c，代入2ab+bc＝9得bc=98，从而 k=5bc=458．
【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，
设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），
∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，
∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），
∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，
∴△NKC∽△ATC，
∴NCAC=NKAT=CKCT，
∵NC＝2AN，
∴CK＝2TK，NK=23AT，
∴5b−m=2(m−0)n−2c=23(a−2c)，
解得m=5b3n=2a+2c3，
∴N(5b3，2a+2c3)，
∴OQ=5b3，NQ=2a+2c3，
∴PQ=OQ−OP=2b3，
∵△APN的面积为3，
∴S梯形OANQ﹣S△AOP﹣S△NPQ＝3，
∴12×53b(2a+2c3+a)−12ab−12×2b3⋅2a+2c3=3，
∴2ab+bc＝9，
将点M（5b，c），N(5b3，2a+2c3) 代入y=kx得：
k=5bc=5b3⋅2a+2c3，
整理得：2a＝7c，
将2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，
∴bc=98，
∴k=5bc=458，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的图象上点坐标的特征，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
5．（2023•怀化）如图，反比例函数y=kx（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABC＝9，那么点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，0）B．（5，0）
C．（﹣3，0）或（5，0）D．（3，0）或（﹣5，0）
【答案】D
【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据S△ACD+S△BCD＝S△ABC＝9，求得CD的长度，进而即可求得点C的坐标．
【解答】解：把点A（1，3）代入y=kx（k＞0）得，3=k1，
∴k＝3，
∴反比例函数为y=3x，
设直线AB为y＝ax+b，
代入点D（﹣1，0），A（1，3）得−a+b=0a+b=3，
解得a=32b=32，
∴直线AB为y=32x+32，
解y=3xy=32x+32，得x=1y=3或x=−2y=−32，
∴B（﹣2，−32），
∵S△ABC＝9，
∴S△ACD+S△BCD=12CD⋅(3+32)=9，
∴CD＝4，
∴点C的坐标为（﹣5，0）或（3，0）．
故选：D．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6．（2022•钢城区）如图，一次函数y＝kx+1与反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于点P（2，t），过点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，下列结论错误的是（ ）
A．t＝3
B．k＝1
C．△OAP 的面积是3
D．点B（m，n）在y=6x（x＞0）上，当m＞2时，n＞t
【答案】D
【分析】由反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于点P（2，t），可得t＝3，判断A正确；把（2，3）代入y＝kx+1k＝1，判定B正确；由反比例函数中k的几何意义可判断C正确；根据y=6x的增减性可D错误．
【解答】解：∵反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于点P（2，t），
∴t＝3，故A正确，不符合题意；
∴P（2，3），
把（2，3）代入y＝kx+1得：
2k+1＝3，
解得k＝1，故B正确，不符合题意；
∵PA⊥x轴，y=6x，
∴△OAP 的面积是|6|2=3，故C正确，不符合题意；
当x＞0时，y=6x中，y随x的增大而减小，
∴m＞2时，n＜3，故D错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征，求出t和k的值．
7．（2023•广西）如图，过y=kx(x＞0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=−1x的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若S2+S3+S4=52，则k的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】设A（m，km），在y=−1x中，令y=km得x=−mk，令x＝m得y=−1m，可得B（−mk，km），D（m，−1m），即得C（−mk，−1m），故S2＝S4＝1，S3=1k，根据S2+S3+S4=52，得1+1k+1=52，解方程并检验可得答案．
【解答】解：设A（m，km），
在y=−1x中，令y=km得x=−mk，令x＝m得y=−1m，
∴B（−mk，km），D（m，−1m），
∴C（−mk，−1m），
∴S2＝S4＝1，S3=1k，
∵S2+S3+S4=52，
∴1+1k+1=52，
解得k＝2，
经检验，k＝2是方程的解，符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8．（2022•荆门）如图，点A，C为函数y=kx（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为34时，k的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【答案】B
【分析】根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S△OCD＝1，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【解答】解：∵点E为OC的中点，
∴△AEO的面积＝△AEC的面积=34，
∵点A，C为函数y=kx（x＜0）图象上的两点，
∴S△ABO＝S△CDO，
∴S四边形CDBE＝S△AEO=34，
∵EB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴S△OEBS△OCD=（12）2，
∴S△OCD＝1，
则12xy＝﹣1，
∴k＝xy＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（23，0），B（3，1），△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与A′B交于点C．若A′C＝BC，则k的值为（ ）
A．23B．332C．3D．32
【答案】A
【分析】利用直角三角形的边角关系以及对称的性质可得出点A′、B、D共线，进而求出点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征进行计算即可．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵O（0，0），A（23，0），B（3，1），
∴BD＝1，OD=3，
∴AD＝OD=3，tan∠BOA=BDOD=33，
∴OB＝AB=OD2+BD2=2，∠BOA＝∠BAO＝30°，
∴∠OBD＝∠ABD＝60°，∠OBA＝120°，
∵△AOB与△A′OB关于直线OB对称，
∴∠OBA′＝120°，
∴∠OBA′+∠OBD＝180°，
∴点A′、B、D共线，
∴A′B＝AB＝2，
∵A′C＝BC，
∴BC＝1，CD＝2，
∴点C（3，2），
∵点C（3，2）在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=3×2＝23，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握等腰三角形的性质以及翻折的性质是正确解答的前提．
10．（2023•绥化）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC＝2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，D，则k的值是（ ）
A．1B．2C．3D．32
【答案】C
【分析】先设B（3，a），则D（1，a+2），再根据反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，D得出3a＝a+2，求出a的值，进而得出B点坐标，求出k的值即可．
【解答】解：∵点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC＝2，点D在AC上，且横坐标为1，
∴设B（3，a），则D（1，a+2），
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，D，
∴3a＝a+2，解得a＝1，
∴B（3，1），
∴k＝3×1＝3．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
11．（2022•通辽）如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=3，∠BDC＝120°，S△BCD=923，若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过C，D两点，则k的值是（ ）
A．﹣63B．﹣6C．﹣123D．﹣12
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，易证△COE≌△ABD，求得OE=3，根据S△BCD=923，求得CF＝9，得到点D的纵坐标为43，设C（m，3），则D（m+9，43），由反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过C，D两点，从而求出m，进而可得k的值．
【解答】解：过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∴∠COE＝∠1，
∵BD与y轴平行，
∴∠1＝∠ABD，∠ADB＝90°，
∴∠COE＝∠ABD，
在△COE和△ABD中，
∠ADB=∠CEO∠COE=∠ABDOC=AB，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE＝BD=3，
∵S△BDC=12BD•CF=923，
∴CF＝9，
∵∠BDC＝120°，
∴∠CDF＝60°，
∴DF＝33，
点D的纵坐标为43，
设C（m，3），则D（m+9，43），
∵反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过C，D两点，
∴k=3m＝43（m+9），
∴m＝﹣12，
∴k＝﹣123，
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数，掌握平行四边形的性质和反比例函数图象的坐标特征是解题的关键．
12．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x（k1＞0）和y=k2x（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（ ）
A．36B．18C．12D．9
【答案】B
【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），根据BD∥y轴，可得B（3，a+2m），A（3+m，a+m），即知k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），从而m＝3﹣a，B（3，6﹣a），由B（3，6﹣a）在反比例函数y=k1x（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y=k2x（k2＞0）的图象上，得k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，即得k1+k2＝18﹣3a+3a＝18．
【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝BE＝CE＝DE，
设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），
∵BD∥y轴，
∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），
∵A，B都在反比例函数y=k1x（k1＞0）的图象上，
∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），
∵m≠0，
∴m＝3﹣a，
∴B（3，6﹣a），
∵B（3，6﹣a）在反比例函数y=k1x（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y=k2x（k2＞0）的图象上，
∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，
∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数及应用，涉及正方形性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．
13．（2022•日照）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（ ）
A．3B．﹣3C．32D．−32
【答案】B
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【解答】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，
∴k1＞0，k2＞0，
∵点M、N均在反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S△OAM＝S△OCN=12k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S矩形OABC＝k2，
∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，
∴k2﹣k1＝3，
∴k1﹣k2＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y=3x的图象上，顶点A在反比例函数y=kx的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
【答案】D
【分析】设B（a，3a），根据四边形OBAD是平行四边形，推出AB∥DO，表示出A点的坐标，求出AB＝a−ak3，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．
【解答】解：设B（a，3a），
∵四边形OBAD是平行四边形，
∴AB∥DO，
∴A（ak3，3a），
∴AB＝a−ak3，
∵平行四边形OBAD的面积是5，
∴3a（a−ak3）＝5，
解得k＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质，掌握反比例函数比例系数k的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标、根据平行四边形面积公式列方程是解题的关键．
15．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y=kx的图象恰好经过点M，则k的值为（ ）
A．275B．545C．585D．12
【答案】B
【分析】过点M作MH⊥OB于H．首先利用相似三角形的性质求出△OBM的面积＝9，再证明OH=35OB，求出△MOH的面积即可．
【解答】解：过点M作MH⊥OB于H．
∵AD∥OB，
∴△ADM∽△BOM，
∴S△ADMS△BOM=（ADOB）2=49，
∵S△ADM＝4，
∴S△BOM＝9，
∵DB⊥OB，MH⊥OB，
∴MH∥DB，
∴OHHB=OMDM=OBAD=32，
∴OH=35OB，
∴S△MOH=35×S△OBM=275，
∵k2=275，
∴k=545，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是求出△OMH的面积．
16．（2021•扬州）如图，点P是函数y=k1x（k1＞0，x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y=k2x（k2＞0，x＞0）的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1＞k2．下列结论：①CD∥AB；②S△OCD=k1−k22；③S△DCP=(k1−k2)22k1，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①
【答案】B
【分析】设P（m，k1m），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断PDPB和PCPA的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用S△OCD＝S四边形OAPB﹣S△OCA﹣S△DPC计算△OCD的面积，可判断②．
【解答】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在y=k1x上，点C，D在y=k2x上，
设P（m，k1m），
则C（m，k2m），A（m，0），B（0，k1m），令k1m=k2x，
则x=k2mk1，即D（k2mk1，k1m），
∴PC=k1m−k2m=k1−k2m，PD=m−k2mk1=m(k1−k2)k1，
∵PDPB=m(k1−k2)k1m=k1−k2k1，PCPA=k1−k2mk1m=k1−k2k1，即PDPB=PCPA，
又∠DPC＝∠BPA，
∴△PDC∽△PBA，
∴∠PDC＝∠PBA，
∴CD∥AB，故①正确；
△PDC的面积=12×PD×PC=(k1−k2)22k1，故③正确；
S△OCD＝S四边形OAPB﹣S△OCA﹣S△OBD﹣S△DPC
=k1−12k2−12k2−(k1−k2)22k1
=k12−k222k1，故②错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．
17．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO＝AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若S△EOF=118，则k的值为（ ）
A．73B．214C．7D．212
【答案】A
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD，可得AG⊥x轴；利用AO⊥AD，AO＝AD可得△ADE≌△OAG，得到DE＝AG，AE＝OG；利用DE＝4CE，四边形ABCD是菱形，可得AD＝CD=54DE．设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，由勾股定理可得EA＝3a，EG＝AE+AG＝7a，可得E点坐标为（3a，7a），所以k＝21a2．由于AGHF为矩形，FH＝AG＝4a，可得点F的坐标为（214a，4a），这样OH=214a，GH＝OH﹣OG=94a；利用S△OEF＝S△OEG+S梯形EGHF﹣S△OFH，列出关于a的方程，求得a的值，k的值可求．
【解答】解：延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，如图，
∵AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD，
∴AG⊥x轴．
∵AO⊥AD，
∴∠DAE+∠OAG＝90°．
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠D＝90°．
∴∠D＝∠OAG．
在△DAE和△AOG中，
∠DEA=∠AGO=90°∠D=∠OAGAD=OA．
∴△DAE≌△AOG（AAS）．
∴DE＝AG，AE＝OG．
∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE，
∴AD＝CD=54DE．
设DE＝4a，则AD＝OA＝5a．
∴OG＝AE=AD2−DE2=3a．
∴EG＝AE+AG＝7a．
∴E（3a，7a）．
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点E，
∴k＝21a2．
∵AG⊥GH，FH⊥GH，AF⊥AG，
∴四边形AGHF为矩形．
∴HF＝AG＝4a．
∵点F在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴x=21a24a=214a．
∴F（214a，4a）．
∴OH=214a，FH＝4a．
∴GH＝OH﹣OG=94a．
∵S△OEF＝S△OEG+S梯形EGHF﹣S△OFH，S△EOF=118，
∴12×OG×EG+12(EG+FH)⋅GH−12OH×HF=118．
12×21a2+12×(7a+4a)×94a−12×21a2=118．
解得：a2=19．
∴k＝21a2＝21×19=73．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质．利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键．
18．（2021•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在双曲线y=−3x（x＜0）上，点C，D在y轴的正半轴上，点E在BC上，CE＝2BE，连接DE并延长，交x轴于点F，连接CF，则△FCD的面积为（ ）
A．2B．32C．1D．12
【答案】C
【分析】根据题意设出A点和D点的坐标，设OC长度为m，根据CE＝2BE，得出E点的坐标，再通过证△DEC∽△DFO，得出比例关系，进而求出FO的长度，利用面积公式求面积刚好能消掉未知数得出面积的具体数值．
【解答】解：根据题意，设A（n，−3n），D（0，−3n），
设OC＝m，则C（0，m），CD=−3n−m，
∴B（n，m），BC＝﹣n，
∵CE＝2BE，
∴CE=23BC=−23n，
∴E（23n，m），
由题知BC∥FO，
∴∠DEC＝∠DFO，∠DCE＝∠DOF，
∴△DEC∽△DFO，
∴DCDO=ECFO，
即−3n−m−3n=−23nFO，
∴FO=2−3n−m，
∴S△FCD=12FO•CD=12×2−3n−m×（−3n−m）＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数和矩形的知识，利用点的坐标表示出所求三角形面积是解题的关键．
19．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）
A．125B．32C．2D．3
【答案】D
【分析】首先设A（a，0），表示出D（a，ka），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S△AEF＝1，转化为S△ACF＝2，列出等式即可求得．
【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，ka），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为k2a，
∴E(2a，k2a)，
∵E为AC的中点，
∴点C（3a，ka），
∴点F（3a，k3a），
∵△AEF的面积为1，AE＝EC，
∴S△ACF＝2，
∴12×(ka−k3a)×2a=2，
解得：k＝3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
20．（2021•丹东）如图，点A在双曲线y1=2x（x＞0）上，点B在双曲线y2=kx（x＜0）上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值（ ）
A．﹣6B．﹣8C．﹣10D．﹣12
【答案】C
【分析】根据AB∥x轴可以得到S△ABC＝S△AOB＝6，转换成反比例函数面积问题即可解答．
【解答】解：如图，连接OA，OB，AB与y轴交于点M，
∵AB∥x轴，点A双在曲线y1=2x（x＞0）上，点B在双曲线y2=kx（x＜0）上，
∴S△AOM=12×|2|＝1，S△BOM=12×|k|=−12k，
∵S△ABC＝S△AOB＝6，
∴1−12k＝6，
∴k＝﹣10．
故选：C．
【点评】此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，熟记反比例函数面积与k的关系是解本题的关键．
二．填空题（共20小题）
21．（2023•辽宁）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】根据矩形面积求出△ADC面积，再利用OA：AC＝1：2，求出△ADO面积，利用相似求出AD与OE的比，求出△ODE面积，即可利用几何意义求出k．
【解答】解：如图，延长CD交y轴于E，连接OD，
∵矩形ABCD的面积是8，
∴S△ADC＝4，
∵AC＝2AO，
∴S△ADO＝2，
∵AD∥OE，
∴△ACD∽△OCE，
∴AD：OE＝AC：OC＝2：3，
∴S△ODE＝3，
由几何意义得，|k|2=3，
∵k＞0，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数性质的应用，几何意义及三角形面积与底、高的关系的应用是解题关键．
22．（2023•长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=kx（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为1912，则k＝ 196 ．
【答案】196．
【分析】由k的几何意义可得k2=1912，从而可求出k的值．
【解答】解：△AOB的面积为|k|2=k2=1912，
所以k=196．
故答案为：196．
【点评】本题主要考查了k的几何意义．用k表示三角形AOB的面积是本题的解题关键．
23．（2023•湖北）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（2，m），则△AOB的面积为 32 ．
【答案】32．
【分析】由待定系数法求出反比例函数解析式，继而求出点B的坐标，再由待定系数法求出直线AB解析式，进而求出直线AB与x轴的交点，根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点A（﹣1，﹣2），
∴k＝（﹣1）×（﹣2）＝2，
∴反比例函数解析式为y=2x，
∵反比例函数y=2x的图象经过点B（2，m），
∴m=22=1，
∴B（2，1），
设直线AB与x轴交于C，解析式为y＝kx+b，
则−k+b=−22k+b=1，
解答k=1b=−1，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣1，
当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0）
∴△AOB的面积=12×1×1+12×1×2=32．
故答案为：32．
【点评】本题主要考查了根据待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．
24．（2023•齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数y=kx(k≠0)图象的一支上，点B在反比例函数y=−k2x图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为 ﹣6 ．
​
【答案】﹣6
【分析】由正方形的面积可求AB，AD的长度，从而可求出A，B两点的横坐标，结合AB长度列出关于k的方程，即可求解．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为9，
∴AD＝BC＝AB＝3，
∴A（k3，3），B（−k6，3），
∴AB=−k6−k3=3，
解得k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了反比例函数中的面积问题，最基本的思路是通过点的坐标去求解，对于某些问题可以通过k的几何意义去求解．
25．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 2 ．
【答案】2．
【分析】证明出点A、B为矩形边的中点，根据三角形OAB的面积求出矩形面积，再求出三角形ABC面积即可．
【解答】解：长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，
∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，
∴四边形OECF为矩形，
∵x2＝2x1，
∴点A为CE中点，
由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，
∴点B为CF中点，
∴S△OAB=38S矩形＝6，
∴S矩形＝16，
∴S△ABC=18×16＝2．
故答案为：2．
2
【点评】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及矩形特性是解题关键．
26．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A，若点A为OE的中点，且S△EAF=14，则k的值为 ﹣6 ．
【答案】﹣6．
【分析】连接BO，设AG＝EG＝a，由轴对称的性质得到EC＝AO＝AE＝2a，AC＝EO＝4a，利用相似三角形的判定和性质得到S△EOD＝2，得到S△ACB＝2，根据S△OCB＝S△ACB+S△AOB以及反比例函数的几何意义即可得到结论．
【解答】解：连接OB，设对称轴MN与x轴交于G，
∵△ODE与△CBA关于MN对称，
∴AG＝EG，AC＝EO，EC＝AO，
∵点A我OE的中点，
设AG＝EG＝a，则EC＝AO＝AE＝2a，
∴AC＝EO＝4a，
∵S△EAF=14，
∴S△EGF=12S△EAF=18，
∵GF∥OD，
∴△EFG∽△EDO，
∴S△EGFS△EOD=(EGEO)2，
即18S△EOD=(a4a)2，
∴S△EOD=18×16=2，
∴S△ACB＝2，
∵AC＝4a，AO＝2a，
∴S△OCB＝S△ACB+S△AOB＝2+1＝3，
∴12|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
27．（2023•枣庄）如图，在反比例函数y=8x（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝ 2023253 ．
【答案】2023253．
【分析】将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，得出所求面积为矩形ABP1D的面积，再分别求矩形ODP1C和矩形OABC的面积即可．
【解答】解：∵P1，P2，P3，…P2024的横坐标依次为1，2，3，…，2024，
∴阴影矩形的一边长都为1，
将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，
∴S1+S2+S3+…+S2023=S矩形ABP1D，
把x＝2024代入关系式得，y=1253，即OA=1253，
∴S矩形OABC＝OA•OC=1253，
由几何意义得，S矩形OCP1D=8，
∴S矩形ABP1D=8−1253=2023253．
故答案为：2023253．
【点评】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用是解题关键．
28．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 24 ．
【答案】24．
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，设⊙A的半径为r，则AC＝AB＝r，BC＝2r，设AE＝a，则点C的坐标为（a，2r），据此可得k＝2ar，然后再根据△ACD的面积为6可求出ar＝12，据此可得此题的答案．
【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与x轴相切于点B，
∴AC＝AB＝r，BC＝2r，
设AE＝a，
则点C的坐标为（a，2r），
∴k＝2ar，
∵S△ACD=12AC⋅AE=6，
∴12⋅r⋅a=6，
即：ar＝12，
∴k＝2ar＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，解答此题的关键是熟练掌握三角形的面积计算公式，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
29．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y=ax（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y=bx（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 12 ，a的值为 9 ．
【答案】12，9．
【分析】依据题意，设A（m，am），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，−a2m），D（﹣2m，−b2m），E（mba，am），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．
【解答】解：设A（m，am），
∵AE∥x轴，且点E在函数y=bx上，
∴E（mba，am）．
∵AC＝2BC，且点B在函数y=ax上，
∴B（﹣2m，−a2m）．
∵BD∥y轴，点D在函数y=bx上，
∴D（﹣2m，−b2m）．
∵△ABE的面积为9，
∴S△ABE=12AE×（am+a2m）=12（m−mba）（am+a2m）=12m•a−ba•3a2m=3(a−b)4=9．
∴a﹣b＝12．
∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，
∴S△BDE=12DB•（mba+2m）=12（−b2m+a2m）（b+2aa）m=14（a﹣b）•1m•（b+2aa）•m＝3（b+2aa）＝5．
∴a＝﹣3b．
又a﹣b＝12．
∴a＝9．
故答案为：12，9．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键．
30．（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cs∠OAC=23，则k＝ −83 ．
【答案】−83．
【分析】作AE⊥x轴于E，由矩形的面积可以求得△AOC的面积是3，然后通过证得△OEA∽△AOC，求得S△OEA=43，最后通过反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3，
∵∠AOC＝90°，cs∠OAC=23，
∴OAAC=23，
∵对角线AC∥x轴，
∴∠AOE＝∠OAC，
∵∠OEA＝∠AOC＝90°，
∴△OEA∽△AOC，
∴S△OEAS△AOC=(OAAC)2，
∴S△OEA3=49，
∴S△OEA=43，
∵S△OEA=12|k|，k＜0，
∴k=−83．
故答案为：−83．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，反比例函数系数k的几何意义，求得△AOE的面积是解题的关键．
31．（2022•乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=kx（k＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=32，则k＝ 3 ．
【答案】3．
【分析】连接DF、OD，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据三角形的面积公式得到S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，进而求出S△OAD，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【解答】解：设BC与x轴交于点F，连接DF、OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，
∴S△OAD＝S△ABE=32，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
32．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y=kx（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 6 ．
【答案】6．
【分析】根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
【解答】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，
根据题意可知，AC＝OE＝BD，
设AC＝OE＝BD＝a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FG=12DQ＝2，EG=12EQ=32，
∴四边形HFGO的面积为2（a+32），
∴k＝4a＝2（a+32），
解得：a=32，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
33．（2022•烟台）如图，A，B是双曲线y=kx（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】应用k的几何意义及中线的性质求解．
【解答】解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，
所以△AOC的面积为6，
所以k＝12＝2m．
解得：m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用△AOD的面积转化为三角形AOC的面积．
34．（2022•铜仁市）如图，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，AC⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC．若四边形AOBC的面积为6，ADAC=12，则k的值为 3 ．
【答案】3．
【分析】设点A(a，ka)，可得AD＝a，OD=ka，从而得到CD＝3a，再由BC⊥AC．可得点B(3a，k3a)，从而得到BC=2k3a，然后根据S梯形OBCD＝S△AOD+S四边形AOBC，即可求解．
【解答】解：方法一：设点A(a，ka)，
∵AC⊥y轴，
∴AD＝a，OD=ka，
∵ADAC=12，
∴AC＝2a，
∴CD＝3a，
∵BC⊥AC．AC⊥y轴，
∴BC∥y轴，
∴点B(3a，k3a)，
∴BC=ka−k3a=2k3a，
∵S梯形OBCD＝S△AOD+S四边形AOBC，
∴12(ka+2k3a)×3a=12k+6，
解得：k＝3．
方法二、延长CB交x轴于F，连接OC，
由题意知，S△AOD＝S△BOF=k2，
∵ADAC=12，
∴S△AODS△AOC=12，
∴S△AOC＝k，
∴S△DOC=3k2，
∴矩形ODCF的面积为3k＝k+6，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
35．（2022•黄石）如图，反比例函数y=kx的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝ 8 ．
【答案】8．
【分析】先设点A（a，ka），C（c，0），进而得出点E的坐标，再由点E在反比例函数图象上，得出c＝3a，最后由△OCE的面积为6，建立方程求出k的值．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
设点A（a，ka），C（c，0），
∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，
∴E（a+c2，k2a），
∵点E在反比例函数y=kx的图象上，
∴a+c2⋅k2a=k，
∴c＝3a，
∵△OCE的面积为6，
∴12OC•EH=12c•k2a=12×3a•k2a=6，
∴k＝8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，三角形的面积公式，待定系数法，判断出c＝3a是解本题的关键．
36．（2022•广元）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y=kx的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 ﹣4 ．
【答案】﹣4．
【分析】过B作BD⊥OA于D，设B（﹣m，n），根据三角形的面积公式得到OA=12n，求得A（−12n，0），根据点C是AB的中点，可得C（−mn+122n，n2），列方程即可得到结论．
【解答】解：过B作BD⊥OA于D，
∵点B在反比例函数y=kx的图象上，
∴设B（﹣m，n），点B在第二象限内，
∵△OAB的面积为6，
∴OA=12n，
∴A（−12n，0），
∵点C是AB的中点，
∴C（−mn+122n，n2），
∵点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴−mn+122n•n2=−mn，
∴﹣mn＝﹣4，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键．
37．（2022•沈阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过第一象限点A，且▱ABCD的面积为6，则k＝ 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】作AE⊥CD于E，由四边形ABCD为平行四边形得AB∥x轴，则可判断四边形ABOE为矩形，所以S平行四边形ABCD＝S矩形ABOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ABOE＝|k|，利用反比例函数图象得到．
【解答】解：作AE⊥CD于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥x轴，
∴四边形ABOE为矩形，
∴S平行四边形ABCD＝S矩形ABOE＝6，
∴|k|＝6，
而k＞0，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
38．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y=kx（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为 93 ．
【答案】93．
【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，设OC＝b，通过解直角三角形和等边三角形的性质用b表示出A、B两点的坐标，进而代入反比例函数的解析式列出b的方程求得b，便可求得k的值．
【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，
∵△OMN是边长为10的等边三角形，
∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°
设OC＝b，则BC=3b，OB＝2b，
∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，3b），
∵∠M＝60°，AB⊥OM，
∴AM＝2BM＝20﹣4b，
∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，
∵∠AND＝60°，
∴DN=12AN=2b﹣5，AD=32AN＝23b﹣53，
∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，
∴A（15﹣2b，23b﹣53），
∵A、B两点都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝（15﹣2b）（23b﹣53）＝b•3b，
解得b＝3或5，
当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，
∴b＝3，
∴k＝b•3b＝93，
故答案为：93．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，关键是列出b的方程．
39．（2022•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点．在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，边OA在y轴上，点D是边OB上一点，且OD：DB＝1：2，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D交AB于点C，连接OC．若S△OBC＝4，则k的值为 1 ．
【答案】1．
【分析】设D（m，km），由OD：DB＝1：2，得出B（3m，3km），根据三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义得到12×3m⋅3km−12k＝4，解得k＝1．
【解答】解：∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，∠OAB＝90°，
∴设D（m，km），
∵OD：DB＝1：2，
∴B（3m，3km），
∴AB＝3m，OA=3km，
∴反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D交AB于点C，∠OAB＝90°，
∴S△AOC=12k，
∵S△OBC＝4，
∴S△AOB﹣S△AOC＝4，即12×3m⋅3km−12k＝4，
解得k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，掌握反比例函数的性质、正确表示出B的坐标是解题的关键．
40．（2022•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是 43 ．
【答案】43．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE＝S△OBD=12k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD=12k，S△ACD＝S△OCD＝1，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴△OCE与△OAB得到面积比为1：4，
∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×12k＝1+1+12k，
∴k=43．
故答案为：43．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
三．解答题（共20小题）
41．（2023•枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=4x的图象交于A（m，1），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜4x的解集；
（3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为52时，求点P的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为y=12x﹣1，该函数的图象见解答；
（2）x＜﹣2或0＜x＜4；
（3）点P的坐标为（0，32）或（0，−72）．
【分析】（1）先根据反比例函数图象经过A、B，求出点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，在平面直角坐标系中画出直线AB即可；
（2）观察函数图象找出直线在双曲线的上方时所对应的自变量取值范围，即可写出不等式kx+b＜4x的解集；
（3）根据三角形面积公式列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=4x的图象经过A（m，1），B（﹣2，n）两点，
∴1=4m，n=4−2=−2，
解得：m＝4，
∴A（4，1），B（﹣2，﹣2），
将A（4，1），B（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b，得4k+b=1−2k+b=−2，
解得：k=12b=−1，
∴一次函数的表达式为y=12x﹣1，该函数的图象如图所示：
（2）由图可得，不等式kx+b−4x＜0的解集范围是x＜﹣2或0＜x＜4；
（3）设直线AB交x轴于C，交y轴于D，
在y=12x﹣1中，
当x＝0时，y＝﹣1，
∴D（0，﹣1），
当y＝0时，得12x﹣1＝0，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2，
∵P（0，a），A（4，1），
∴PD＝|a+1|，
∵S△APC=52，
∴12|a+1|•（4﹣2）=52，
解得：a=32或−72，
∴点P的坐标为（0，32）或（0，−72）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
42．（2023•连云港）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC＝x，AE＝y，试用含x的代数式表示y．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象．
【数形结合 深度探究】
（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是﹣42＜y＜42；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是 ①④ ．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“AB＝4”改成“AB＝2k”，此时y关于x的函数表达式是 y=2kxx2+k2x2+k2（x＞0，k＞0） ；一般地，当k≠0，x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．
【答案】（1）y=4xx2+4=4xx2+4x2+4（x＞0）；
（2）当x取任意实数时，函数y=4xx2+4x2+4的图象关于原点成中心对称；
（3）①④；
（4）y=2kxx2+k2x2+k2（x＞0，k＞0），性质见解答．
【分析】（1）证得Rt△ABE∽Rt△BMC，得出ABBM=AEBC，由题意CM=12CD=12AB＝2，利用勾股定理求得，BM=x2+4，即可得到4x2+4=yx，从而得到y=4xx2+4=4xx2+4x2+4（x＞0）；
（2）把P点的对称点Q（﹣a，﹣b）代入解析式也成立，即可证明函数图象是否具有对称性；
（3）观察图象即可判断；
（4）分析函数的解析式即可得出函数的性质．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BCM＝90°，
∴∠ABE+∠MBC＝90°，
∵AE⊥BM，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝∠BCM，∠MBC＝∠BAE，
∴Rt△ABE∽Rt△BMC，
∴ABBM=AEBC，
∵AB＝4，点M是CD的中点，
∴CM=12CD=12AB＝2，
在Rt△BMC中，BM=BC2+CM2=x2+22=x2+4，
∴4x2+4=yx，
∴y=4xx2+4=4xx2+4x2+4（x＞0）；
（2）x取任意实数时，对应的函数图象关于原点对称理由如下：
若P（a，b）为图象上任意一点，则b=4aa2+4a2+4，
∴设P（a，b）关于原点的对称点为Q，则Q（﹣a，﹣b），
∵当x＝﹣a时，y=4(−a)(−a)2+4(−a)2+4=−4aa2+4a2+4，
∴Q（﹣a，﹣b）也在函数y=4xx2+4x2+4的图象上，
∴当x取任意实数时，函数y=4xx2+4x2+4的图象关于原点对称；
（3）观察图象，①函数值y随x的增大而增大；故正确，
②函数值y的取值范围是﹣4＜y＜4；故错误，
③存在一条直线与该函数图象有三个交点；故错误，
④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形，故正确．
故答案为：①④；
（4）y关于x的函数表达式为y=2kxx2+k2x2+k2（x＞0，k＞0），
当k≠0，x取任意实数时，有如下相关性质：
当k＞0时，图象经过第一、三象限，函数值y随x的增大而增大，y的取值范围为﹣2k＜y＜2k；
当k＜0时，图象经过第二、四象限，函数值y随x的增大而减小，y的哦值范围为水2k＜y＜﹣2k；
函数图象经过原点；
函数图象关于原点对称；
故答案为：y=2kxx2+k2x2+k2（x＞0，k＞0）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了三角形相似的判定和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
43．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【答案】（1）点A的坐标为（0，5），反比例函数的表达式为 y=4x
（2）点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）点P的坐标为 (−14，114)；m 的值为3．
【分析】（1）解方程得到点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B（1，4），将B（1，4）代入y=kx得，求得反比例函数的表达式为y=4x；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝5，根据两点间的距离的结论公式得到AB=(1−0)2+(4−5)2=2，求得M（0，3），待定系数法求得直线l的解析式为y＝4x+3，设点C的坐标为（t，t+3），根据三角形的面积公式列方程得到t＝﹣4或t＝6，求得点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）解方程组求得E（﹣4，﹣1），根据相似三角形的性质得到∠PAB＝∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB∥DE，求得直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得到D（﹣1，﹣4），则直线AD的解析式为y＝9x+5，于是得到P（−14，114），根据两点间的距离距离公式即可得到结论．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，
∴点A的坐标为（0，5），
将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，
∴a＝1，
∴B（1，4），
将B（1，4）代入y=kx得，4=k1，
解得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y=4x；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，
令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，
∴N（5，0），
∴OA＝ON＝5，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵A（0，5），B（1，4），
∴AB=(1−0)2+(4−5)2=2，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，
∴AB=BM=2，AM=AB2+BM2=2，
∴M（0，3），
设直线l的解析式为y＝k1x+b1，
将M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，k1+b1=4b1=3，
解得k1=1b1=3，
∴直线l的解析式为y＝x+3，
设点C的坐标为（t，t+3），
∵S△ABC=12AM•|xB﹣xC|=12×2×|1−t|=5，
解得t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
方法二：设点C的坐标为（t，t+3），
∴BC=(1−t)2+(4−t−3)2=|1﹣t|，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12×2×|1−t|=5，
∴t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组y=4xy=x+3，
解得，x=1y=4或x=−4y=−1，
∴E（﹣4，﹣1），
画出图形如图所示，
∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2，
∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，
∴b2＝﹣5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组y=4xy=−x−5得，x=−1y=−4或x=−4y=−1，
∴D（﹣1，﹣4），
则直线AD的解析式为y＝9x+5，
解方程组y=9x+5y=x+3得，x=−14y=114，
∴P（−14，114），
∴BP=(−14−1)2+(114−4)2=542，
EP=[−14−(−4)]2+[114−(−1)]2=1542，
∴m=EPBP=3．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
44．（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y=mx在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当kx+b＞mx时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线y=mx上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=−6x；
（2）x＜﹣2或0＜x＜6；
（3）（1，﹣6）或（3，﹣2）．
【分析】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b，求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作AE⊥BC交y轴于点E，证明△AOB∽△EOA得出点E的坐标，在求出直线AE的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【解答】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：4k+b=0b=2，
解得：k=−12b=2，
∴一次函数表达式为：y=−12x+2，
将C（6，a）代入得：y=−12×6+2＝﹣1，
∴C（6，﹣1），
将C（6，﹣1）代入y=mx得：m＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为：y=−6x；
（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D，
联立y=−12x+2y=−6x，
解得：x=−2y=3或x=6y=−1，
∴D（﹣2，3），
∴由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，kx+b＞mx，
（3）存在，理由：
过点A作AE⊥BC交y轴于点E，
∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠BAO＝∠AEO，
∵∠AOB＝∠EOA＝90°，
∴△AOB∽△EOA，
∴OBOA=AOEO，
∴24=4OE，
∴OE＝8，
∴E（0，﹣8），
设直线AE的表达式为：y＝ax+b，
将（4，0），（0，﹣8）代入得：4a+b=0b=−8，
解得：a=2b=−8，
∴直线AE的表达式为：y＝2x﹣8，
联立：y=2x−8y=−6x，
解得：x=1y=−6或x=3y=−2，
∴点P的坐标为：（1，﹣6）或（3，﹣2）．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，相似三角形的判定及性质．
45．（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+94（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为y=34x+94，反比例函数的解析式为y=3x；
（2）（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．
【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于k、n的方程组，通过解方程组求得它们的值；然后将点A的坐标代入反比例函数解析式，求得m的值即可；
（2）设P（a，0），利用两点间的距离公式和勾股定理以及AP＝AB列出方程，借助于方程求解即可．
【解答】解：（1）将A（1，n）、B（﹣3，0）分别代入一次函数y＝kx+94，得
k+94=n−3k+94=0．
解得k=34n=3．
故A（1，3）．
将其代入反比例函数y=mx，得
m1=3．
解得m＝3．
故一次函数的解析式为y=34x+94，反比例函数的解析式为y=3x；
（2）由（1）知，A（1，3）、B（﹣3，0），则AB=32+42=5．
设P（a，0），
当AB＝AP时，5=(1−a)2+32．
解得a＝5或a＝﹣3（舍去）．
故P（5，0）；
当AB＝PB时，5＝|﹣3﹣a|．
解得a＝﹣8或a＝2．
故P（﹣8，0）或（2，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为：（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求得一次函数和反比例函数解析式，勾股定理以及等腰三角形的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
46．（2023•凉山州）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=12，则tanβ=13．
证明：设BE＝k，
∵tanα=12，
∴AB＝2k，
易证△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tanβ=DFAD=k3k=13，
若α+β＝45°时，当tanα=12，则tanβ=13．
同理：若α+β＝45°时，当tanα=13，则tanβ=12．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y=12x；
（2）tan∠BAM=13，tan∠NAE=12；
（3）直线AE解析式为y=12x+1．
【分析】（1）设A（t，3t﹣9），由OA＝5，得t2+（3t﹣9）2＝52，可解得A（4，3），再用待定系数法得反比例函数的解析式为y=12x（x＞0）；
（2）求出B（3，0），由A（4，3），得AM＝3，BM＝OM﹣OB＝1，即知tan∠BAM=BMAM=13，而∠BAE＝45°，故∠BAM+∠NAE＝45°，由阅读材料得tan∠NAE=12；
（3）由tan∠NAE=12，A（4，3），得NE＝2，从而E（0，1），再用待定系数法得直线AE解析式为y=12x+1．
【解答】解：（1）设A（t，3t﹣9），
∴OM＝t，AM＝3t﹣9，
∵OA＝5，
∴t2+（3t﹣9）2＝52，
解得t＝4或t＝1.4，
∴A（4，3）或（1.4，﹣4.8）（此时A在第四象限，不符合题意，舍去），
把A（4，3）代入y=mx（x＞0）得：
3=m4，
解得m＝12，
∴反比例函数的解析式为y=12x（x＞0）；
（2）在y＝3x﹣9中，令y＝0得0＝3x﹣9，
解得x＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝3，
由（1）知A（4，3），
∴OM＝4，AM＝3，
∴BM＝OM﹣OB＝4﹣3＝1，
∴tan∠BAM=BMAM=13，
∵∠ANO＝∠NOM＝∠OMA＝90°，
∴∠MAN＝90°，
∵∠BAE＝45°，
∴∠BAM+∠NAE＝45°，
由若α+β＝45°时，当tanα=13，则tanβ=12可得：
tan∠NAE=12；
（3）由（2）知tan∠NAE=12，
∴NEAN=12，
∵A（4，3），
∴AN＝4，ON＝3，
∴NE4=12，
∴NE＝2，
∴OE＝ON﹣NE＝3﹣2＝1，
∴E（0，1），
设直线AE解析式为y＝kx+b，
把A（4，3），E（0，1）代入得：
4k+b=3b=1，
解得k=12b=1，
∴直线AE解析式为y=12x+1．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是读懂阅读材料，掌握待定系数法．
47．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mx（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】（1）k＝2，m＝12；
（2）（6，26+2）或（7−1，27）．
【分析】（1）根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；
（2）分2n+2−12n=2、2n+2−12n=−2两种情况，计算即可．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
则﹣k+2＝0，
解得：k＝2，
∴直线l的解析式为y＝2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2＝6，
∴点C的坐标为（2，6），
∴m＝2×6＝12；
（2）设点D的坐标为（n，2n+2），则点E的坐标为（n，12n），
∴DE＝|2n+2−12n|，
∵OB∥DE，
∴当OB＝DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y＝2x+2与y轴交于点B，
∴OB＝2，
∴|2n+2−12n|＝2，
当2n+2−12n=2时，n1=6，n2=−6（舍去），
此时，点D的坐标为（6，26+2），
当2n+2−12n=−2时，n1=7−1，n2=−7−1（舍去），
此时，点D的坐标为（7−1，27），
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（6，26+2）或（7−1，27）．
【点评】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
48．（2022•眉山）已知直线y＝x与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y=kx的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y=4x；
（2）b＝3；
（3）证明见解答．
【分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F，即可根据A、B坐标证明△AOE≌△BOF（SAS），得到∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，再求出C、D坐标即可得到OC＝OD，即可证明△AOD≌△BOC．
【解答】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），
∴a＝2，
∴将M（2，2）代入y=kx中，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为y=4x，
∵点A（1，m）在y=4x的图象上，
∴m＝4，
∴A（1，4），
由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，
将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；
（3）证明：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．
由（1）知，反比例函数的解析式为y=4x，
∵点B（n，﹣1）在y=4x的图象上，
∴n＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣1），
∵A（1，4），
∴AE＝BF，OE＝OF，
∴∠AEO＝∠BFO，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，
由（2）知，b＝3，
∴平移后直线AB的解析式为y＝x+3，
又∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点C，D，
∴C（﹣3，0），D（0，3），
∴OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，
OA=OB∠AOE=∠BOFOD=OC，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
49．（2022•绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，52）两点，且与反比例函数y2=k2x的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为54．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．
（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．
【答案】（1）一次函数的解析式为：y1=−12x+52．反比例函数的解析式为：y2=2x；
（2）0＜x＜1或x＞4；
（3）当PC+KC最小时，△PKC的面积为65．
【分析】（1）根据待定系数法可求出直线AB的解析式，根据△OAP的面积可得出点P的坐标，代入反比例函数解析式可得出反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，可得出点K的坐标，结合图象可直接得出x的取值范围；
（3）作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，求出直线KP′的解析式，令y＝0，可得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，52）两点，
∴5k1+b=0b=52，解得k1=−12b=52．
∴一次函数的解析式为：y1=−12x+52．
∵△OAP的面积为54，
∴12•OA•yP=54，
∴yP=12，
∵点P在一次函数图象上，
∴令−12x+52=12．解得x＝4，
∴P（4，12）．
∵点P在反比例函数y2=k2x的图象上，
∴k2＝4×12=2．
∴一次函数的解析式为：y1=−12x+52．反比例函数的解析式为：y2=2x．
（2）令−12x+52=2x，解得x＝1或x＝4，
∴K（1，2），
由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4．
（3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，
∵P（4，12）．
∴P′（4，−12）．
∴PP′＝1，
∴直线KP′的解析式为：y=−56x+176．
令y＝0，解得x=175．
∴C（175，0）．
∴S△PKC=12•（xC﹣xK）•PP′
=12×（175−1）×1
=65．
∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为65．
【点评】本题属于反比例函数与一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，数形结合思想，轴对称最值问题，三角形的面积问题等知识，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式．
50．（2022•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=nx的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．
【答案】（1）y=−2x，y＝﹣x+1；
（2）C（2，8）或（2，﹣4）．
【分析】（1）先把A（﹣1，2）代入反比例函数y=nx求出n的值即可得出其函数解析式，再把B（m，﹣1）代入反比例函数的解析式即可得出m的值，把A，B两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，求出k、b的值即可得出其解析式；
（2）根据已知确定AD的长和点D的坐标，由DC＝2AD可得DC＝6，从而得点C的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y=nx的图象上，
∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴其函数解析式为y=−2x；
∵B（m，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴﹣m＝﹣2，
∴m＝2，
∴B（2，﹣1）．
∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴−k+b=22k+b=−1，解得k=−1b=1，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；
（2）∵直线l∥y轴，AD⊥l，
∴AD＝3，D（2，2），
∵DC＝2DA，
∴DC＝6，
∵点C是直线l上一动点，
∴C（2，8）或（2，﹣4）．
【点评】本题是反比例的综合题，考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，在解答此题时要注意数形结合思想的运用．
51．（2022•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为410，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
【答案】（1）x＜﹣2或0＜x＜2；
（2）AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4，BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y=13x+43，BD所在直线的解析式为y=13x−43．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得反比例函数解析式，求出点B的坐标，（也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．）观察图象即可得出x的取值范围；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，可证得△AOE是等腰直角三角形，得出：∠AOE＝45°，OA=2AE＝22，再根据菱形性质可得：AB⊥CD，OC＝OD，利用勾股定理即可求得D（1，﹣1），再根据对称性可得C（﹣1，1），运用待定系数法即可求得菱形的边所在直线的解析式．
【解答】解：（1）设反比例函数y2=kx，把A（2，2）代入，得：2=k2，
解得：k＝4，
∴y2=4x，
由y=xy=4x，解得：x1=2y1=2，x2=−2y2=−2，
∴B（﹣2，﹣2），
由图象可知：当y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜2；
注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（2，2），
∴AE＝OE＝2，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴∠AOE＝45°，OA=2AE＝22，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，OC＝OD，
∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，
∵∠DFO＝90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴DF＝OF，
∵菱形ACBD的周长为410，
∴AD=10，
在Rt△AOD中，OD=AD2−OA2=(10)2−(22)2=2，
∴DF＝OF＝1，
∴D（1，﹣1），
由菱形的对称性可得：C（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
则m+n=−12m+n=2，
解得：m=3n=−4，
∴AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4；
同理可得BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y=13x+43，BD所在直线的解析式为y=13x−43．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和反比例函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质等，难度适中，熟练掌握待定系数法是解题关键．
52．（2022•济南）如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
【答案】（1）a＝4，k＝12；
（2）①8；
②P（3，4）或（6，2）．
【分析】（1）将点A的坐标代入y=12x+1求得a，再把点A坐标代入y=kx求出k；
（2）先求出A，B，C三点坐标，作CF⊥x轴于F，交AB于E，求出点E坐标，从而求得CE的长，进而求得三角形ABC的面积；
（3）当AB为对角线时，先求出点P的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当AB为边时，同样先求出点P的纵坐标，再代入y=12x求得点P的横坐标．
【解答】解：（1）把x＝a，y＝3代入y=12x+1得，
12a+1=3，
∴a＝4，
把x＝4，y＝3代入y=kx得，
3=k4，
∴k＝12；
（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，
∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，
把y＝6代入y=12x得x＝2，
∴C（2，6），
①如图1，
作CF⊥x轴于F，交AB于E，
当x＝2时，y=12×2+1=2，
∴E（2，2），
∵C（2，6），
∴CE＝6﹣2＝4，
∴S△ABC=12CE⋅xA=12×4×4=8；
②如图2，
当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，
∵A（4，3），B（0，1），点Q的纵坐标为0，
∴yP＝1+3﹣0＝4，
当y＝4时，4=12x，
∴x＝3，
∴P（3，4），
当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的▱ABQ′P′），
由yQ′﹣yB＝yP′﹣yA得，
0﹣1＝yP′﹣3，
∴yP′＝2，
当y＝2时，x=122=6，
∴P′（6，2），
综上所述：P（3，4）或（6，2）．
【点评】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，全面分类．
53．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为：y=4x，点B（2，2）；
（2）BC的长为42或5172；
（3）点P（﹣4，﹣1），点Q（﹣1，5）．
【分析】（1）将点A坐标分别代入一次函数解析式和反比例函数解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和勾股定理可求解；
（3）分别求出BP，AP，BQ的解析式，联立方程组可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+6的图象过点A，
∴4＝﹣2a+6，
∴a＝1，
∴点A（1，4），
∵反比例函数y=kx的图象过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
∴反比例函数的解析式为：y=4x，
联立方程组可得：y=4xy=−2x+6，
解得：x1=1y1=4，x2=2y2=2，
∴点B（2，2）；
（2）如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，
∴AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴AECF=AHCH=EHFH，
当AHCH=12时，则CF＝2AE＝2，
∴点C（﹣2，﹣2），
∴BC=(2+2)2+(2+2)2=42，
当AHCH=2时，则CF=12AE=12，
∴点C（−12，﹣8），
∴BC=(2+12)2+(2+8)2=5172，
综上所述：BC的长为42或5172；
（3）如图，当∠AQP＝∠ABP＝90°时，设直线AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴于F，设BP与y轴的交点为N，连接BQ，AP交于点H，
∵直线y＝﹣2x+6与y轴交于点E，
∴点E（0，6），
∵点B（2，2），
∴BF＝OF＝2，
∴EF＝4，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABF+∠FBN＝90°＝∠ABF+∠BEF，
∴∠BEF＝∠FBN，
又∵∠EFB＝∠BFN＝90°，
∴△EBF∽△BNF，
∴BFEF=FNBF，
∴FN=2×24=1，
∴点N（0，1），
∴直线BN的解析式为：y=12x+1，
联立方程组得：y=4xy=12x+1，
解得：x1=−4y1=−1，x2=2y2=2，
∴点P（﹣4，﹣1），
∴直线AP的解析式为：y＝x+3，
∵AP垂直平分BQ，
∴设BQ的解析式为y＝﹣x+4，
∴x+3＝﹣x+4，
∴x=12，
∴点H（12，72），
∵点H是BQ的中点，点B（2，2），
∴点Q（﹣1，5）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
54．（2022•达州）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y=kx的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=2x；
（2）1.5；
（3）（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积；
（3）有三种情形，画出图形可得结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1经过点A（m，2），
∴m+1＝2，
∴m＝1，
∴A（1，2），
∵反比例函数y=kx经过点（1，2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
（2）由题意，得y=x+1y=2x，
解得x=−2y=−1或x=1y=2，
∴B（﹣2，﹣1），
∵C（0，1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12×1×2+12×1×1＝1.5；
（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
55．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）点E在这个反比例函数的图象上，理由见解析；
（2）①k＝1，b＝2；
②点P的坐标为（0，﹣2）．
【分析】（1）设点A的坐标为（m，8m），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，4m），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CH=12AD，设点A的坐标为（m，8m），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，解方程组即可得到结论；
②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论．
【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A，
∴设点A的坐标为（m，8m），
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，
∴CH＝EH，
∵BC＝CD，OC⊥BD，
∴OB＝OD，
∴OC=12AD，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，
∴E（2m，4m），
∵2m×4m=8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD＝CE，AD垂直平分CE，
∴CH=12AD，
设点A的坐标为（m，8m），
∴CH＝m，AD=8m，
∴m=12×8m，
∴m＝2（负值舍去），
∴A（2，4），C（0，2），
把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，
2k+b=4b=2
∴k=1b=2；
②延长ED交y轴于P，
∵CB＝CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，
则点P即为符合条件的点，
由①知，A（2，4），C（0，2），
∴D（2，0），E（4，2），
设直线DE的解析式为y＝ax+n，
∴2a+n=04a+n=2，
∴a=1n=−2，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
56．（2022•荆州）小华同学学习函数知识后，对函数y=4x2(−1＜x≤0)−4x(x≤−1或x＞0)通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．
请根据图象解答：
（1）【观察发现】
①写出函数的两条性质： 函数有最大值为4 ； 当x＞0时，y随x的增大而增大 ；
②若函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2）满足x1+x2＝0，则y1+y2＝0一定成立吗？ 不一定 ．（填“一定”或“不一定”）
（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n个单位长度后（n≥0），得到直线l与函数y=−4x（x≤﹣1）的图象交于点P，连接PA，PB．
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
【答案】（1）①函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
②不一定；
（2）①直线l的解析式为y＝﹣x，△PAB的面积为152；
②△PAB的面积为5n2．
【分析】（1）①根据函数图象可得性质；
②假设x1=−12，则y1＝1，再根据x2求出y2的值，可知y1+y2＝0不一定成立；
（2）①首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x，设直线AB与y轴交于C，利用平行线之间的距离相等，可得△PAB的面积＝△AOB的面积，从而得出答案；
②设直线l与y轴交于D，同理得△PAB的面积＝△ABD的面积，即可解决问题．
【解答】解：（1）①由图象知：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
故答案为：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
②假设x1=−12，则y1＝1，
∵x1+x2＝0，
∴x2=12，
∴y2＝﹣8，
∴y1+y2＝0不一定成立，
故答案为：不一定；
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则−k+b=44k+b=−1，
解得k=−1b=3，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x+3﹣3＝﹣x，
设直线AB与y轴交于C，
则△PAB的面积＝△AOB的面积，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12×OC×1+12×OC×4=12×3×5=152，
∴△PAB的面积为152；
②设直线l与y轴交于D，
∵l∥AB，
∴△PAB的面积＝△ABD的面积，
由题意知，CD＝n，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD
=12CD×5
=52n．
∴△PAB的面积为5n2．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，三角形的面积等知识，利用平行线进行等面积转化是解题的关键．
57．（2022•湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．
【答案】（1）y=14449x；
（2）y=−12x+32．
【分析】（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，可知矩形OCPD是正方形，设PD＝PC＝x，利用PD∥OA，得△PDB∽△AOB，从而求出点P的坐标，利用待定系数法解决问题；
（2）利用翻折的性质得，ON＝NM，MN⊥AB，由勾股定理得，AB＝5，再根据S△AOB＝S△AON+S△ABN，求出点N的坐标，利用待定系数法解决问题．
【解答】解：（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，
则四边形OCPD是矩形，
∵以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，
∴PC＝PD，
∴矩形OCPD是正方形，
设PD＝PC＝x，
∵A（3，0）、B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴BD＝4﹣x，
∵PD∥OA，
∴△PDB∽△AOB，
∴PDAO=BDBO，
∴x3=4−x4，
解得x=127，
∴P（127，127），
设过点P的函数表达式为y=kx，
∴k＝xy=127×127=14449，
∴y=14449x；
（2）方法一：∵将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，
∴ON＝NM，MN⊥AB，
由勾股定理得，AB＝5，
∴S△AOB＝S△AON+S△ABN，
∴12×3×4=12×3×ON+12×5×MN，
解得，ON=32，
∴N（0，32），
设直线AN的函数解析式为y＝mx+32，
则3m+32=0，
∴m=−12，
∴直线AN的函数解析式为y=−12x+32．
方法二：利用△BMN∽△BOA，求出BN的长度，从而得出ON的长度，
与方法一同理得出答案．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，切线的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握各性质求出相应点的坐标是解题的关键．
58．（2022•衡阳）如图，反比例函数y=mx的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（3，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．
【答案】（1）反比例函数关系式为y=3x，一次函数的关系式为y＝x﹣2；
（2）M的坐标是（3，3）或（−3，−3）．
【分析】（1）把A（3，1）代入y=mx可得m＝3，即得反比例函数关系式为y=3x，从而B（﹣1，﹣3），将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b即可得一次函数的关系式为y＝x﹣2；
（2）在y＝x﹣2中得C（0，﹣2），设M（m，3m），N（n，n﹣2），而O（0，0），由CM、ON中点重合列方程组可得M（3，3）或M（−3，−3）．
【解答】解：（1）把A（3，1）代入y=mx得：
1=m3，
∴m＝3，
∴反比例函数关系式为y=3x；
把B（﹣1，n）代入y=3x得：
n=3−1=−3，
∴B（﹣1，﹣3），
将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b得：
3k+b=1−k+b=−3，
解得k=1b=−2，
∴一次函数的关系式为y＝x﹣2；
答：反比例函数关系式为y=3x，一次函数的关系式为y＝x﹣2；
（2）在y＝x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设M（m，3m），N（n，n﹣2），而O（0，0），
∵四边形OCNM是平行四边形，
∴CM、ON为对角线，它们的中点重合，
0+m=n+0−2+3m=n−2+0，
解得m=3n=3或m=−3n=−3，
∴M（3，3）或（−3，−3）；
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．
59．（2022•泸州）如图，直线y=−32x+b与反比例函数y=12x的图象相交于点A，B，已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
【答案】（1）b＝9；
（2）点C（4，0）或（8，0）．
【分析】（1）先求出点A坐标，代入解析式可求解；
（2）先求出点D坐标，由面积的和差关系可求CD＝2，即可求解．
【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y=12x上，且A的纵坐标为6，
∴点A（2，6），
∵直线y=−32x+b经过点A，
∴6=−32×2+b，
∴b＝9；
（2）如图，设直线AB与x轴的交点为D，
设点C（a，0），
∵直线AB与x轴的交点为D，
∴点D（6，0），
由题意可得：y=−32x+9y=12x，
∴x1=2y1=6，x2=4y2=3，
∴点B（4，3），
∵S△ACB＝S△ACD﹣S△BCD，
∴3=12×CD×（6﹣3），
∴CD＝2，
∴点C（4，0）或（8，0）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分割法求三角形的面积．
60．（2021•东营）如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y=k2x交于A、B两点，已知点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2），OA=5，tan∠AOC=12．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k1x+b≤k2x的解集．
【答案】（1）直线AB的解析式为y=−32x﹣2；（2）（﹣1，2）；（3），﹣2≤x＜0或x≥23．
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于E，根据锐角三角函数和勾股定理求出点A（﹣2，1），进而求出双曲线的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
（2）连接OB，PO，PC，先求出OD，进而求出S△ODB=23，进而得出S△OCP=43，再求出OC=43，设点P的纵坐标为n，再用S△OCP=43，求出点P的纵坐标，即可得出结论；
（3）直接利用图象即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
过点A作AE⊥x轴于E，
∴∠AEO＝90°，
在Rt△AOE中，tan∠AOC=AEOE=12，
设AE＝m，则OE＝2m，
根据勾股定理得，AE2+OE2＝OA2，
∴m2+（2m）2＝（5）2，
∴m＝1或m＝﹣1（舍），
∴OE＝2，AE＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A在双曲线y=k2x上，
∴k2＝﹣2×1＝﹣2，
∴双曲线的解析式为y=−2x，
∵点B在双曲线上，且纵坐标为﹣3，
∴﹣3=−2x，
∴x=23，
∴B（23，﹣3），
将点A（﹣2，1），B（23，﹣3）代入直线y＝k1x+b中得，−2k1+b=123k1+b=−3，
∴k=−32b=−2，
∴直线AB的解析式为y=−32x﹣2；
（2）如图2，连接OB，PO，PC；
∵D（0，﹣2），
∴OD＝2，
由（1）知，B（23，﹣3），
∴S△ODB=12OD•xB=12×2×23=23，
∵△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，
∴S△OCP＝2S△ODB＝2×23=43，
由（1）知，直线AB的解析式为y=−32x﹣2，
令y＝0，则−32x﹣2＝0，
∴x=−43，
∴OC=43，
设点P的纵坐标为n，
∴S△OCP=12OC•yP=12×43n=43，
∴n＝2，
由（1）知，双曲线的解析式为y=−2x，
∵点P在双曲线上，
∴2=−2x，
∴x＝﹣1，
∴P（﹣1，2）；
（3）由（1）知，A（﹣2，1），B（23，﹣3），
由图象知，不等式k1x+b≤k2x的解集为﹣2≤x＜0或x≥23．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，待定系数法，坐标系中求三角形面积的方法，求出点A的坐标是解本题的关键．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
−34
−12
−14
0
1
2
3
4
…
y
…
1
43
2
4
94
1
14
0
﹣4
﹣2
−43
﹣1
…