河南省新乡市2024届学年高三二模数学试题

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．为锐角三角形B．为直角三角形
C．为钝角三角形D．的形状无法确定
3．已知直线与抛物线的图象相切，则C的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A．248种B．168种C．360种D．210种
6．函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数x的最大整数．若，满足，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
8．已知圆锥的底面半径为，高为1，其中O为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点P在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过2s后，第一次回到最高点，则（ ）
A．
B．
C．与时的相对于平衡位置的高度h之比为
D．与时的相对于平衡位置的高度h之比为
10．已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，A，，B三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A．C的渐近线方程为B．
C．的面积为D．内接圆的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．已知一平面截球O所得截面圆的半径为2，且球心O到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为______．
13．若一组数据，，，，的平均数为3，方差为，则，，，，，9这6个数的平均数为______，方差为______．
14．已知函数 ，，若关于x的方程有6个解，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，在三棱锥中，平面平面，且，．
（1）证明：平面．
（2）若，点M满足，求二面角的大小．
16．（15分）
已知数列满足，
（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）求的前2n项和，并证明．
17．（15分）
根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%和26.36%，均创造了同档期新的纪录．2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分100分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，，）．
（1）求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数；
（2）估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数（结果精确到0.1）；
（3）设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为，小于80分的频率为，若甲、乙两名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看A，B影片的概率分别为，，乙观看A，B影片的概率分别为，，当天甲、乙观看哪部电影相互独立，记甲、乙这两名观影者中当天观看A影片的人数为X，求X的分布列及期望．
18．（17分）
已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，C为M的上顶点，P是M上在第一象限的点，，直线，的斜率分别为，，且．
（1）求M的方程；
（2）直线与交于点D，与x轴交于点E，求的取值范围．
19．（17分）
定义：若函数图象上恰好存在相异的两点P，Q满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P，Q为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（，4，5，…，n），证明：．
2023-2024学年新乡市高三第二次模拟考试数学参考答案
1．B ，则．
2．C 由余弦定理得，所以为钝角三角形．
3．C 联立可得，则，所以，故C的焦点坐标为．
4．A ．
5．D 不同的分法有种．
6．C ，当且仅当时，等号成立，所以，则，解得，所以．
7．B 令，可得．令，则，故的图象关于点对称，即是奇函数．
8．A ，由，得的最小值为．
9．BC 由题可知小球运动的周期，所以，解得．当时，．
又，所以，则，所以与时的相对于平衡位置的高度之比为．故选BC．
10．AB 直线恒过点，斜率为，直线恒过点，斜率为，可化为，可化为．因为直线与直线平行，所以，故A正确；因为点在的内部，所以，故B正确；点在的外部，则的元素个数可能为0，1，2，故C错误；圆与圆相交，所以，故D错误．
11．ABD 依题意，为等边三角形，故，．在中，，，，所以．根据正弦定理可得，解得，，所以，即，，所以C的渐近线方程为，，的面积为．由的面积为，可得内接圆的半径为．故选ABD．
12． 由球的截面圆性质可知球的半径，则该球的体积为．
13．4；8 这6个数的平均数为，由题可知，解得，所以这6个数的方差为．
14． 令，则方程的解有3个．在上单调递增，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，故结合的图象（图略），可得，且方程的三个解中最小的解为．
又在上单调递减，在上单调递增，所以，即．令，易知在上单调递增，又，所以的解集为．综上，的取值范围为．
15．（1）证明：如图，取O为的中点，连接．因为，所以．
因为平面平面，且两平面相交于，所以平面．
因为平面，所以．
又，且，所以平面．
（2）解：过点A作的平行线．以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，所以，，，，．
设平面的法向量为，
则即令，得．
易知平面的一个法向量为，
所以．
因为二面角为锐角，所以二面角的大小为．
16．证明：（1）由题可知，
所以数列是以1为首项，6为公比的等比数列，
所以．
（2）由题可知，
所以
．
令，
则，
所以数列单调递增，故，即．
17．解：（1）由图可知，满意度评分不低于60分的频率为，
所以这100名观影者满意度评分不低于60分的人数为．
（2）因为，，
所以这100名观影者满意度评分的第40百分位数位于第三组，且这100名观影者满意度评分的第40百分位数的估计值为．
（3）由图可知，，．
X的可能取值为0，1，2，
，
，
，
则X的分布列为
故．
18．解：（1）设，显然，，则，
又，即，所以，即①．
由，得②．联立①②，解得，，
所以椭圆M的方程为．
（2）由（1）得，设直线的方程为，
因为点P位于第一象限，所以．
联立整理得，
则，所以，则，
所以．
又直线的方程为，
所以联立解得．
故．
因为，所以，，所以．
19．（1）解：，所以，其定义域为，
令，解得．
不妨设切点，，
则在点P处的切线方程为，即，
在点Q处的切线方程为，即．
故直线为曲线的“双重切线”．
（2）解：所以
易知在上与在上均为单调函数．
设切点，，且，，
则在点P处的切线方程为，
在点Q处的切线方程为，
所以消去可得．
令，，则，即在上单调递增，又，所以，，所以曲线的“双重切线”的方程为．
（3）证明：设对应的切点为，，，
对应的切点为，，．
因为，所以，，
所以只需考虑，，其中的情况，
则，
，其中，
所以．
又，，
所以，．
令，，则，
所以在上单调递增，又，所以．
又，所以，所以．
X
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48