江苏省连云港市海州高级中学2023-2024学年高二下学期阶段性测试数学试题

这是一份江苏省连云港市海州高级中学2023-2024学年高二下学期阶段性测试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )
A. 34种B. 48种C. 96种D. 144种
2.小明申请了一个电子邮箱，他打算设计密码，准备用三个数字和三个字母组成密码，数字是从1，2，3，4，5中选三个，字母是用x，y，z，而且字母安排在前面，数字放在后面，则他可选用的密码个数共有( )
A. A66B. A86C. A53+A33D. A53A33
3.从3名高一学生，3名高二学生中选出3人，分别负责三项不同的任务，若这3人中至少有一名高二学生，则不同的选派方案共有( )
A. 54种B. 108种C. 114种D. 120种
4.已知空间向量a=(0,1,2)，b=(−1,2,2)，则向量a在向量b上的投影向量是( )
A. (−13,23,23)B. (−23,43,43)C. (−2,4,4)D. (−43,23,23)
5.已知α,β,γ是空间中三个不同的平面，m,n是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是( )
A. 若α⊥β,β⊥γ，则α//γB. 若α//β,β//γ，则α//γ
C. 若m⊥β,n⊥α,α//β，则m//nD. 若m⊥α,n⊥β,m⊥n，则α⊥β
6.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2AD=4，PD=4 55，E是PA的 中点，FB=2PF.若点M在矩形ABCD内，且PM⊥平面DEF，则DM=( )
A. 3 55B. 2 55C. 55D. 4 55
7.已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足OD=3OC−xOA−2yOB，则x2+2y2的最小值为( )
A. 13B. 23C. 1D. 43
8.正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均相等，E，F分别是棱A1B1，CC1上的两个动点，且B1E=CF，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为( )
A. 1B. 12C. 13D. 14
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中AB=2,1,0,AC=−1,2,1，则下列结论正确的有( )
A. AB⊥ACB. 与AB共线的单位向量是1,1,0
C. BC= 11D. 平面ABC的一个法向量是1,−2,5
10.在高二元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是( )
A. 有A1010种不同的节目演出顺序
B. 当4个舞蹈节目接在一起时， 有A77种不同的节目演出顺序
C. 当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有A66A74种不同的演出顺序
D. 若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有A1212A1010种不同的节目演出顺序
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则下列命题正确的是( )
A. 直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4．
B. 点C到平面ABC1D1的距离为 2．
C. 异面直线D1C和BC1所成的角为π4．
D. 线段PQ长度的最小值为2 33．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若单位向量e与向量a=(0,1,0)，b=(0,0,1)都垂直，则向量e的坐标为 ．
13.设k为实数，已知a=(1,3,2)，b=(1,0,1)，p=ka−2b，q=3a+4b.若p//q，则k的值为 ．
14.用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有 种不同的涂色方法.(用数字回答)
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中取出4个数字，试问：
(1)有多少个没有重复数字的排列?
(2)能组成多少个没有重复数字的四位数?
16.(本小题15分)
将6名男生，4名女生排成一排．
(1)若6名男生相邻，4名女生相邻，求不同的排法种数;
(2)若4名女生的身高互不相等，从左到右，4名女生从高到矮排列，求不同的排法种数．
17.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AA1=a，AB=b，AD=c，M，N，P分别是棱AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)AP;
(2)A1N;
(3)MP+NC1．
18.(本小题17分)
如图，以正四棱锥V−ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O−xyz，其中Ox//BC，Oy//AB，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为ℎ．
(1)求cs〈BE，DE〉;
(2)当∠BED是二面角B−VC−D的平面角时，求∠BED的余弦值．
19.(本小题17分)
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= 2，AF=1，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM//平面BDE，并求直线AM和平面BDE的距离;
(2)求二面角A−DF−B的大小;
(3)试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60∘．
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了分步计数原理，相邻问题用捆绑，属于基础题．
先排甲有两种方法，再把乙丙两人捆绑在一起，看做一个复合元素，和剩下的3人全排即可．
【解答】
解：先排甲有两种方法，再把乙丙两人捆绑在一起，看做一个复合元素，和剩下的3人全排，故有A21⋅A22⋅A44=96种，
故选：C．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查排列与排列数公式的应用，是基础题．第1步安排3个数字到最后三个位置，第2步安排3个字母在前三个位置，根据分步乘法计数原理即可得解．
【解答】
第1步可从5个数字中选取3个安排最后三个位置，有A53种;第2步把3个字母安排在前三个位置，有A33种，所以共有A53A33个可选用的密码．故选D．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分步计数和分类计数原理，属于基础题．
首先确定从6人中任选3人负责三项不同的任务的选派方法；再求得3人中无高二学生的选派方法数，利用间接法可得结果．
【解答】
解：从6人中任选3人负责三项不同的任务，共有A63种选派方法；
选出的3人中无高二学生有A33种选派方法；
∴若3人中至少有一名高二学生，不同的选派方案共有A63−A33=114种.
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量的投影向量，属于基础题．
利用投影向量的定义即可求解．
【解答】解：由题意，得a⋅b=0×−1+1×2+2×2=6，b= −12+22+22=3
则向量a在向量b上的投影向量是a⋅b|b|bb=2b3=(−23,43,43).
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面位置关系，属于中档题．
对于A，借助于长方体模型，很容易判断结论错误；对于B，运用面面平行的传递性易得；
对于C，通过平行平面的性质和线面垂直的性质即得；对于D，借助于两平面的法向量的垂直关系可得．
【解答】
解：对于A，如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，设平面 ADD1A1 为平面 α ，平面 A1B1C1D1 为平面 β ，平面 DCC1D1 为平面 γ ，显然满足 α⊥β,β⊥γ ，但是平面 α 与平面 γ 不平行，故A错误；
对于B，根据面面平行的传递性，若 α//β,β//γ ，则 α//γ 成立，故B正确；
对于C，若 m⊥β,α//β ，则 m⊥α ，又 n⊥α ，所以 m//n ，故C正确；
对于D，设直线 m,n 的方向向量分别为 a,b ，若 m⊥α,n⊥β,m⊥n ，
则平面 α,β 的一个法向量分别为 a,b ，且 a⊥b ，所以 α⊥β ，故D正确．
故选A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线与平面垂直的性质，属于中档题．
建立空间直角坐标系，求得平面DEF的一个法向量，设点M(m,n,0)，求得直线PM的方向向量，通过PM⊥平面DEF，建立关于m,n的方程，确定m,n的值，即可求解．
【解答】
解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，P(0,0,4 55)，E(1,0,2 55)，F(23,43,8 515)，DE=(1,0,2 55)，DF=(23,43,8 515)．

设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DE=x+2 55z=0n⋅DF=23x+43y+8 515z=0，
令z= 5，得n=(−2,−1, 5)．
设M(m,n,0)，0⩽m⩽2,0⩽n⩽4．
则PM=(m,n,−4 55)．
因为PM⊥平面DEF，
所以PM//n，
则m−2=n−1=−4 55 5，解得m=85，n=45．
故DM= m2+n2=4 55．
故选：D．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量共面定理，属于中档题．
根据空间向量共面可得−x−2y+3=1，然后利用二次函数的性质即得．
【解答】
解：因为 OD=−xOA−2yOB+3OC ，
又点D在 △ABC 确定的平面内，所以 −x−2y+3=1 ，即 x=2−2y ，
所以 x2+2y2=(2−2y)2+2y2=6y2−8y+4=6(y−23)2+43⩾43 ，
所以当 y=23 时， x2+2y2 的最小值为 43 ．
故选D．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成的角和基本不等式求最值，属于中档题．
设AB=2，B1E=CF=t，t∈[0,2]，建立空间直角坐标系，利用向量法和基本不等式即可求解．
【解答】
解：设AB=2，B1E=CF=t，t∈[0,2]，
以A为原点，AB，AA1方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系，
可得B(2,0,0)，E(2−t,0,2)，A(0,0,0)，F(1, 3,t)，
则BE=(−t,0,2)，AF=(1, 3,t)，
设异面直线BE与AF夹角为θ，
故csθ=|BE⋅AF||BE||AF|=tt2+4=1t+4t≤14，当且仅当t=2时取“=”．
故异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为14．
故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行(共线)的坐标表示、平面的法向量及空间向量长度与夹角的坐标表示，属于一般题．
根据空间向量垂直的坐标运算可判断A和D，根据模长公式可判断C，根据共线可判断B．
【解答】
解：对于A， AB⋅AC=2,1,0⋅−1,2,1=−2+2=0 ，故 AB⊥AC, A正确；
对于B，AB=(2,1,0)，则与AB共线的单位向量为±AB|AB|=±(2 5,1 5,0) ，B错误；
对于C， BC=AC−AB=−3,1,1,∴BC= 11, C正确；
对于D，设 m=1,−2,5 ，则 m⋅AB=1,−2,5⋅2,1,0=2−2=0 ，m⋅BC=1,−2,5⋅−3,1,1=−3−2+5=0 ，所以 m⊥AB,m⊥BC ，又 AB∩BC=B ，AB,BC⊂平面 ABC ，所以平面 ABC 的一个法向量是 1,−2,5, D正确．
故选：ACD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查排列的应用，属于中档题.由全排列判定A，由相邻问题捆绑法可判定B，由不相邻问题插空法可判定C，由定序的排列问题可判定D．
【解答】
解：10个节目全排列，有A1010种不同的节目演出顺序，A正确；
当4个舞蹈节目接在一起时，把4个舞蹈节目看成一个元素，与其他6个节目全排列，有A77种不同的节目演出顺序，而4个舞蹈节目本身有A44种顺序，所以共有A44A77种不同的节目演出顺序，B错误；
把6个演唱节目排列，有A66种顺序，再把4个舞蹈节目插入到7个空挡中，有A74种方法，所以共有A66A74种不同的演出顺序，C正确；
12个节目全排列，有A1212种不同的节目演出顺序，其中原来的10个节目有A1010种不同的节目演出顺序，而现在原来的10个节目顺序不变，只占其中一种，所以有A1212A1010种不同的节目演出顺序，D正确，
故选ACD．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查直线与平面所成角，异面直线所成角，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
利用正方体的几何性质逐一验证每个选项的正误，进而得到正确选项．
【解答】
解：正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
对于选项A:直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1=π4，故A正确；
对于选项B:点C到面ABC1D1的距离为B1C长度的一半，即为 2，故B正确；
对于选项C:易知BC1/​/AD1，所以∠AD1C为两条异面直线D1C和BC1所成的角，
易知△AD1C为等边三角形，所以两条异面直线D1C和BC1所成的角为π3，故C错误；
对于选项D:建立如图坐标系：
可知A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，
设Qx,2−x,0,P0,y,y，
∴PQ=x,2−x−y,−y，
CA=2,−2,0,DC1=0,2,2，
当PQ是AC，DC1的公垂线的时候，长度最小，
即CA·PQ=2x−22−x−y=0DC1·PQ=22−x−y−2y=0,
解得x=23y=23,
∴PQ= 232+2−23−232+−232=2 33．
即线段PQ长度的最小值为2 33，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】1,0,0或−1,0,0
【解析】【分析】
本题考查空间向量垂直的坐标表示，以及单位向量的定义，属于基础题．
由题意，可得y=0z=0 x2+y2+z2=1，即可求出结果．
【解答】
解：设与向量a=(0,1,0)，b=(0,0,1)都垂直的单位向量e=x,y,z，
由题意得，y=0z=0 x2+y2+z2=1，解得y=0z=0x=1或y=0z=0x=−1,
故答案为1,0,0或−1,0,0．
13.【答案】−32
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标运算及空间向量共线定理的应用，属于基础题．
由题意可得p=ka−2b，q=3a+4b的坐标，由p /​/q可得k−2：3k：2k−2=7:9:10，即可求实数k的值．
【解答】
解：∵向量a= (1,3,2 )，b= (1,0,1 )，p=ka−2b，q=3a+4b，
则p=k−2,3k,2k−2，q=7,9,10，
∵p //q，所以设p=λq
∴k−2=7λ3k=9λ2k−2=10λ,
解得k=−32．
故答案为−32．
14.【答案】72
【解析】【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，分2步讨论区域ABE和区域CD的涂色方法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2步进行分析：
①对于区域ABE，三个区域两两相邻，有A43=24种涂色方法，
②对于CD，若C与A同色，D有2种涂色方法，
若C与A不同色，CD都只有一种涂色方法，
则区域CD有2+1=3种涂色方法，
故有24×3=72种涂色方法，
故答案为：72．
15.【答案】解：(1)问题等价于从7个不同元素中选出4个元素的排列问题，
故有A74=7×6×5×4=840(种)无重复数字的排列．
(2)分两类：
第一类：若选到数字0，0不排在首位，则0有A31种排法，其他3个位置由其余6个数字选出3个排列即可，有A63种排法，
故有A31．A63=3×6×5×4=360(个)四位数．
第二类：若选不到数字0，从6个数字中选4个进行排列即可，故有A64=6×5×4×3=3
60(个)．
综上知，有360+360=720(个)无重复数字的四位数．
【解析】本题主要考查乘法计数原理与排列数公式应用，属于中档题．
(1)问题等价于从7个不同元素中选出4个元素的排列问题;
(2)根据题意，要求不能重复，是排列问题，且对0分类讨论，进一步得解．
16.【答案】解：(1)先排6名男生，一共有A66=720种排法，
再排4名女生，一共有A44=24种排法，
将这10名学生看成2个整体，则不同排法的种数为720×24×A22=34560．
(2)先排4名女生，只有1种排法，
再将6名男生依次插空，则不同排法的种数为5×6×7×8×9×10=151200．
【解析】本题主要考查了排列组合的运用，以及分步乘法计数原理，属于基础题．
(1)先排6名男生，再排4名女生，将这10名学生看成2个整体，从而根据分步乘法原理可得；
(2)先排4名女生，只有1种排法，再将6名男生依次插空，从而可得答案．
17.【答案】解：(1)∵P是C1D1的中点，
∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+12D1C1=a+c+12AB=a+c+12b．
(2)∵N是BC的中点，
∴A1N=A1A+AB+BN=−a+b+12BC=−a+b+12AD=−a+b+12c．
(3)∵M是AA1的中点，
∴MP=MA+AP=12A1A+AP=−12a+(a+c+12b)=12a+12b+c．
又NC1=NC+CC1=12BC+AA1=12AD+AA1=12c+a，
∴MP+NC1=(12a+12b+c)+(a+12c)=32a+12b+32c．

【解析】本题考查空间向量的线性运算．
(1)利用P是C1D1的中点，即可得；
(2)利用N是BC的中点，即可得；
(3)利用M是AA1的中点，即可得．
18.【答案】解：(1)由题意知B(a,a,0)，C(−a,a,0)，D(−a,−a,0)，
E(−a2,a2,ℎ2)，由此得：BE=(−3a2,−a2,ℎ2)，DE=(a2,3a2,ℎ2)，
∴BE⋅DE=−3a22+ℎ24，
|BE|=|DE|=12 10a2+ℎ2，
由向量的夹角公式有：
cs=BE⋅DE|BE|⋅|DE|=−3a22+ℎ2412 10a2+ℎ2×12 10a2+ℎ2=−6a2+ℎ210a2+ℎ2；
(2)若∠BED是二面角B−VC−D的平面角，
则BE⊥CV,DE⊥CV，
∴BE⋅CV=0，DE⋅CV=0，
由C(−a,a,0)，V(0,0,ℎ)，可得CV=(a,−a,ℎ)，
又BE=(−3a2,−a2,ℎ2)，
∴BE⋅CV=−a2+ℎ22=0，解得：ℎ= 2a，
∴cs=BE⋅DE|BE|⋅|DE|=−6a2+ℎ210a2+ℎ2=−6a2+( 2a)210a2+( 2a)2=−13，
∴cs ∠BED=−13．

【解析】本题主要考查了空间向量的数量积，二面角，属于中档题．
(1)写出各点的坐标，求出两个向量BE=(−3a2,−a2,ℎ2)，DE=(a2,3a2,ℎ2)，利用向量的夹角公式即可求解；
(2)由∠BED是二面角B−VC−D的平面角可得BE⋅CV=0，DE⋅CV=0，代入坐标解得ℎ,a的关系，即可求值．
19.【答案】(1)证明：记AC与BD的交点为O，连接OE，设直线AM和平面BDE的距离为d，
∵O、M分别是AC、EF的中点，四边形ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM//OE，
∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM/​/平面BDE，
S▱AOEM=AO·AF=AM·d，
即1×1= 2·d，则d= 22．
(2)解：在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，
正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，且相交于AC，
AF⊥AC，AF在矩形ACEF内，所以AF⊥ABCD，
则AB⊥AF，又AB⊥AD，AD∩AF=A，AD、AF⊂平面ADF
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF，
∴∠BSA是二面角A−DF−B的平面角，
在Rt△ASB中，AS=AD⋅AFDF= 63，AB= 2，
∴tan∠ASB= 3，
所以∠ASB=60°，
∴二面角A−DF−B的大小为60°；
(3)解：分别以CD、CB、CE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图：
设P(a,a,0)(0⩽a⩽ 2)，则PF→=( 2−a, 2−a,1)，CB→=(0, 2,0)，
由题意，
解得a= 22，
所以点P应在线段AC的中点处．
【解析】本题考查线面平行判定定理，考查二面角及面面垂直性质、线面垂直判定定理，用空间向量求直线与直线夹角．
(1)利用线面平行的判定定理，即可证明AM/​/平面BDE，即可得解；
(2)利用面面垂直的性质及线面垂直的判断，可得∠BSA是二面角A−DF−B的平面角，解直角三角形，即可得到二面角A−DF−B的大小；
(3)建立空间直角坐标系，利用空间向量，即可得到结论．