初中数学5.3.1 平行线的性质综合训练题

这是一份初中数学5.3.1 平行线的性质综合训练题，文件包含必刷提高题53平行线的性质原卷版-2023-2024学年七年级数学下册同步必刷题闯关练人教版docx、必刷基础题53平行线的性质原卷版-2023-2024学年七年级数学下册同步必刷题闯关练人教版docx、必刷提高题53平行线的性质解析版-2023-2024学年七年级数学下册同步必刷题闯关练人教版docx、必刷基础题53平行线的性质解析版-2023-2024学年七年级数学下册同步必刷题闯关练人教版docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。

5.3 平行线的性质
知识点1：平行线的性质
【典例分析01】（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠AFC＝ ．
【思路引导】先求出∠CAB＝120°，在求出∠CAF的度数，在△ACE中求出∠ACE度数，设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，进而表示出∠ACF，再表示出∠ACE，求出x，进一步可求得结果．
【完整解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BAE：∠CAE＝2：3，
∴∠CAE＝120×＝72°，
∵∠AEC＝78°，
∴∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠CAE
＝180°﹣78°﹣72°
＝30°，
设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，
∴∠ACF＝∠ACD﹣∠FCD＝60°﹣4x，
∴∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝60°﹣3x，
∴60°﹣3x＝30°，
∴x＝10°，
∴∠ACF＝60°﹣40°＝20°，
∴∠AFC＝180°﹣∠ACF﹣∠CAE
＝180°﹣20°﹣72°
＝88°，
故答案是：88°．
【变式训练01】．（2021春•红谷滩区校级期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【变式训练02】（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【变式训练03】（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝ 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝ 度．
【变式训练04】（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为 ．
【变式训练05】（2021秋•巨野县期末）（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数；
（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B，D两点之间运动时，请写出∠APC与α，β之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．
【变式训练06】（2021秋•鲤城区校级期末）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）填空：∠1＝ °，∠2＝ °；
（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，
①请直接写出∠2＝ °（结果用含n的代数式表示）；
②若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的倍，求n的值．
（3）若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．
知识点2：平行线的判定与性质
【典例分析02】（2021秋•嵩县期末）如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：
①BC平分∠ABG；
②AC∥BG；
③与∠DBE互余的角有2个；
④若∠A＝α，则∠BDF＝180°﹣．
其中正确的是 ．（请把正确结论的序号都填上）
【思路引导】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
【完整解答】解：∵CBD＝90°，
∴∠ABC+∠EBD＝90°，
又∵∠DBG＝∠EBD，
∴∠ABC＝∠CBG，
∴BC平分∠ABG，
∴①正确，
∵∠GBC＝∠ABC＝∠ACB，
∴AC∥BG，
∴②正确，
∵∠DBE＝∠DBG，
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
∴③错误，
∵∠BDF＝180°﹣∠BDG，∠BDG＝90°﹣∠CBG＝90°﹣∠ACB，
又∵∠ACB＝×（180°﹣α）＝90°﹣，
∴∠BDF＝180°﹣[90°﹣（90°﹣）]＝180°﹣，
∴④错误，
故答案为：①②．
【变式训练07】（2021秋•淮阴区期末）如图，如果∠1＝∠3，∠2＝50°，那么∠4的度数为（ ）
A．50°B．100°C．120°D．130°
【变式训练08】（2021秋•深圳期末）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练09】（2021秋•渠县期末）如图，已知∠A＝α（0°＜α＜60°，且α≠45°），在∠A的两边上各任取一点，分别记为P，Q，过该两点分别引一条直线，并使得该直线与∠A所在的边夹角也为α，设两条直线交于点O，则∠POQ的数量应是 ．
【变式训练10】（2021春•孝南区期末）若将一副三角板按如图放置，下列结论：①∠1＝∠3；②若∠2＝30°，则AC∥DE；③若∠2＝30°，则BC∥AD；④若∠2＝30°，则∠CAD＝150°．其中正确的序号有 ．
【变式训练11】（2021秋•和平县期末）如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°，DC是∠NDE的平分线．
（1）AB与DE平行吗？请说明理由；
（2）试说明∠ABC＝∠C；
（3）求∠ABD的度数．
【变式训练12】（2021秋•泉州期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．你可用这一结论解答下列问题．
（1）在图（1）中潜望镜的两面镜子AB、CD是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH是平行的，请说明理由；
（2）如图（2），改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的度数．
（3）拓展应用：如图（3），若镜子AB与BC的夹角α＝110°，镜子CD与BC的夹角∠BCD＝β（90°＜β＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝30°，已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，求β的度数．
【变式训练13】（2021秋•盐湖区期末）已知，AB∥CD，点F、G分别在AB、CD上，且点E为射线FG上一点．
（1）如图1：当点E在线段FG上时，连接AE、DE，易得∠AED＝∠EAF+∠EDG．
小明给出的理由是：如图1，过E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴∠EAF＝∠AEH，∠EDG＝∠DEH，（依据1）
∴∠AED＝∠AEH+∠DEH＝∠EAF+∠EDG；（依据2）
填空：依据1： ．
依据2： ．
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF＝∠AED+∠EDG；
（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI＝2：1，∠AED＝20°，∠I＝30°，求∠EKD的度数．
知识点3：命题与定理
【典例分析03】（2021秋•泰兴市期中）如图，在四边形ABCD中，CE⊥AD于E．若（ㅤㅤ），（ㅤㅤ），则（ㅤㅤ）．
（1）从①CB＝CD，②∠D+∠ABC＝180°，③AC平分∠DAB，选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题．并说明理由．条件： ， ° ，结论 ；
（2）在（1）的条件下，若AD＝8，DE＝2，CE＝3，求△ABC的面积．
【思路引导】（1）由②③⇒①或①②⇒③．构造全等三角形解决问题即可；
（2）利用图1中，结论，解决问题即可．
【完整解答】解：（1）②③⇒①
理由：如图1中，在AD上取一点T，使得AT＝AB，
在△TAC和△BAC中，
∴△TAC≌△BAC（SAS），
∴CB＝CT，∠ABC＝∠ATC，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ATC+∠CTD＝180°，
∴∠D＝∠CTD，
∴CT＝CD，
∴CB＝CD，
故答案为：AC平分∠DAB，∠D+∠ABC＝180°，CB＝CD．
本题也可以由①②⇒③．
理由：如图2中，过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H．
∵∠AEC＝∠H＝90°，
∴∠DAB+∠ECH＝180°，
∵∠DCB+∠DAB＝180°，
∴∠DCB＝∠ECH，
∴∠ECD＝∠HCB，
∵∠CED＝∠H＝90°，CD＝CB，
∴△CED≌△CHB（AAS），
∴CE＝CH，
∴AC平分∠DAB．
（2）由（1）如图1中可知，AB＝AT＝AD﹣2DE＝8﹣4＝4，
∴S△ABC＝S△ACT＝×AT×CE＝×4×3＝6．
【变式训练14】（2021秋•莆田期末）在△ABC中，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高、中线、角平分线，以下两个结论：
①若∠B＝∠C，则点D，E，F重合；
②若∠B≠∠C，则点F总在点D，E之间，其中（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①②均是假命题D．①②均是真命题
【变式训练15】（2021秋•道里区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF．下列结论：①AF＝DF；②S△ABD：S△ACD＝AB：AC；③∠BAF＝∠ACF；④BF⊥AC．其中命题一定成立的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练16】（2021秋•通州区期末）小豪发现一个命题：“如果两个无理数a，b，满足a+b≠0，那么这两个无理数的和是无理数．”这个命题是 假命题 （填写“真命题”，“假命题”）；请你举例说明 与 ．
【变式训练17】（2021秋•长春期末）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是
【变式训练18】（2021秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD＝∠B，CE平分∠BCD，交AB于点E，点F在CE上，连接AF．再从“①AF平分∠BAC，②CF＝EF”中选择一个作为已知，另外一个作为结论，组成真命题，并证明．
【变式训练19】（2021春•遵义期末）阅读材料，解决问题
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设但不满足结论就可以了．例如要判断命题“同位角相等”是假命题，可以结合图形举出如下反例：
如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c所截而成的同位角，但它们一个是锐角，一个是钝角，明显不相等．
请你举出一个反例说明命题“相等的角是对顶角”是假命题（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）．