人教版七年级下册5.4 平移同步练习题

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5.4 平移
知识点1：生活中的平移现象
【典例分析01】（2017春•硚口区期中）如图所示，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为1米，其他部分均种植花草，则道路的面积是 79 m2．
【思路引导】可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为50米与一条纵向长为30米的小路，道路的面积＝横纵小路的面积﹣小路交叉处的面积，计算即可．
【完整解答】解：由题意可得，
道路的面积为：（30+50）×1﹣1＝79（m2）．
故答案为：79．
【变式训练01】（2007秋•吴江区期末）一木匠用了最少测量次数就测出了如图（图中所有的角为直角）工件的周长．则他测量的次数为（ ）
A．6次B．5次C．4次D．3次
【思路引导】根据平移的性质，可将线段1、线段2、线段3的长度平移到线段6进行测量，然后再分别测量线段5、线段4的长度即可得出如图（图中所有的角为直角）工件的周长．
【完整解答】解：
根据平移不改变线段的长度，
∴可将线段1、线段2、线段3的长度平移到线段6进行测量，线段c、线段b的长度可平移到线段5进行测量，
∴周长可表示为2（线段6的长+线段5的长+线段a的长），
即要得出工件的周长可测量6、5、a的长度，共需测量三次．
故选：D．
【变式训练02】如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图（单位：mm），则该主板的周长是（ ）
A．88mmB．96mmC．80mmD．84mm
【思路引导】根据平移，可得一个矩形，根据矩形的周长，可得答案．
【完整解答】解：把凹进去的边向外平移，得矩形
周长是矩形的周长+4×2，
（24+20）×2+8＝96mm
故选：B．
【变式训练03】（2017秋•东台市期中）如图，楼梯的长为5m，高为3m，计划在楼表面铺地毯，地毯的长度至少需要 7 m．
【思路引导】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【完整解答】解：AC＝＝4（m），
3+4＝7（m）
故答案为：7．
【变式训练04】．（2015春•宝应县期中）在长为12m，宽为9m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，求其中一个小长方形花圃的长和宽．
【思路引导】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽＝12m，小矩形的2个宽+一个长＝9m，设出长和宽，列出方程组即可得答案．
【完整解答】解：设小矩形的长为xm，宽为ym，
由题意得：，
解得：，
即小矩形的长为5m，宽为2m．
答：小矩形花圃的长和宽分别为5m，2m．
【变式训练05】（2014秋•宣武区校级期中）如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台阶上铺上一块红地毯，问这块红地毯至少要多大？
【思路引导】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积即可．
【完整解答】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为10米，8米，
故地毯的长度为8+10＝18（米），
则这块红地毯面积为：18×5＝90（m2）．
【变式训练06】（2014春•昌吉市校级期中）（1）图①是将线段AB向右平移1个单位长度，图②是将线段AB折一下再向右平移1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形．
（2）若长方形的长为a，宽为b，请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积．
（3）如图④，在宽为10m，长为40m的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路宽为1m，求这块菜地的面积．
【思路引导】（1）根据两个折点，可得小路是三个平行四边形；
（2）根据路的形状是矩形，可得路的面积，根据面积的和差，可得答案；
（3）根据等底等高的面积相等，可得路的面积，根据面积的和差，可得答案．
【完整解答】解：（1）如图：
；
（2）三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：①ab﹣b；②ab﹣b；③ab﹣b；
（3）40×10﹣10×1＝390（m2）．
答：这块菜地的面积是390m2．
【变式训练07】（2021春•饶平县校级期末）宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？
【思路引导】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【完整解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6米，4米，
∴地毯的长度为6+4＝10米，地毯的面积为10×2＝20平方米，
∴买地毯至少需要20×40＝800元．
知识点2：平移的性质
【典例分析01】（2021春•和平区校级月考）已知如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝120°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是 1：2 ．
（2）在平行移动AB的过程中，当∠COE＝ 15 （度）时，∠OEC＝∠OBA．
【思路引导】（1）根据平行线的性质可得出∠OBC＝∠BOA，∠OFC＝∠FOA，从而得出答案，
（2）根据平行四边形的性质即可得出答案．
【完整解答】解：（1）∵CB∥OA，
∴∠OBC＝∠BOA，∠OFC＝∠FOA，
∴∠OBC：∠OFC＝∠AOB：∠FOA，
又∵∠FOA＝∠FOB+∠AOB＝2∠AOB，
∴∠OBC：∠OFC＝∠AOB：∠FOA＝∠AOB：2∠AOB＝1：2，
故答案为：1：2；
（2）当∠COE＝15°时，∠OEC＝∠OBA．
∵CB∥OA，∠C＝∠OAB＝120°，
∴∠AOC＝∠ABC＝60°，
∴四边形AOCB为平行四边形，
∴∠OEC＝∠EOB+∠AOB，∠OBA＝∠BOC＝∠COE+∠EOB，
又∵∠OEC＝∠OBA，
∴∠AOB＝∠COE，
∴∠COE＝∠EOF＝∠FOB＝∠AOB＝60°÷4＝15°，
∴∠EOB＝2×15°＝30°，
∴∠OBA＝∠OEC＝30°+15°＝45°，
故答案为：15．
【变式训练08】（2021春•鄞州区校级期末）如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，DE交BC于点G，BG＝4，EF＝10，△BEG的面积为4，下列结论：①∠A＝∠BED；②△ABC平移的距离是4；③BE＝CF；④四边形GCFE的面积为16，正确的有（ ）
A．②③B．①②③C．①③④D．①②③④
【思路引导】由平移的性质得到BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；根据图形的平移得到∠EDC＝∠A，∠EDC＝∠BED，故∠A＝∠BED，故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到△ABC平移的距离＞4，故②错误；根据三角形的面积公式得到GE＝2，根据梯形的面积公式得到四边形GCFE的面积＝（6+10）×2＝16，故④正确．
【完整解答】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四点在同一条直线上，
∴BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；
由图形的平移知，ED∥AB，AC∥BE，
∴∠EDC＝∠A，∠EDC＝∠BED，
∴∠A＝∠BED，故①正确；
∵BG＝4，
∴AD＝BE＞BG，
∴△ABC平移的距离＞4，故②错误；
∵EF＝10，
∴CG＝BC﹣BG＝EF﹣BG＝10﹣4＝6，
∵△BEG的面积等于4，
∴BG•GE＝4，
∴GE＝2，
∴四边形GCFE的面积＝（6+10）×2＝16，故④正确；
故选：C．
【变式训练09】（2021春•拱墅区期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DH＝4，BC＝15，平移距离为6，则阴影部分的面积（ ）
A．40B．42C．45D．48
【思路引导】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE＝AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE＝6，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【完整解答】解：∵两个三角形大小一样，
∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得，DE＝AB，BE＝6，
∵AB＝10，DH＝4，
∴HE＝DE﹣DH＝10﹣4＝6，
∴阴影部分的面积＝×（6+10）×6＝48，
故选：D．
【变式训练10】．（2021秋•博兴县期末）如图，长方形ABCD中，线段AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，BC＝2cm，那么三角形EDC可以看作由 △OAB 平移得到的，连接OE，则OE＝ 2 cm．
【思路引导】根据平移的性质：平移前后的图形全等，且对应点所连线段平行或在一条直线上，由此可以猜想出三角形EDC可以看成是由三角形AOB向右平移得到的．
【完整解答】解：在长方形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，那么△EDC可以看作是△OAB平移得到的，
OE＝平移的距离＝BC＝2cm．
故答案为：△OAB，2．
【变式训练11】（2020秋•温江区校级期末）已知AB＝13，CD＝8，M和N分别为线段AB，CD的中点．
（1）若BC重合，D在线段AB上，如图1，求MN的长度．
（2）①如果将图1的线段CD沿着AB向右平移n个单位，求MN的长度与n的数量关系．
②当n为多少的时，MN的长度为9．
（3）如果AB保持长度和位置不变，点D保持图1的位置不变，改变DC的长度，将点C沿着直线AB向右移动m个单位，其余条件不变，①BN+BC；②MN﹣BC，请问以上两个式子哪一个式子的值是定值，定值是多少？
【思路引导】（1）由MN＝BM﹣CN＝AB﹣CD，代入AB、CD的值即可；
（2）①由已知可得BC＝n，再由MN＝AB﹣CD+BC，即可求解；
②由已知可得+n＝9，求n的值即可；
（3）分两种情况讨论：当0＜m≤8时，BN+BC＝4，MN﹣BCAB﹣BN﹣BC＝，可得BN+BC是定值4，MN﹣BC是定值；当m＞8时，N点在B点右侧，BN+BC＝m﹣4，MN﹣BC＝，可得BN+BC不是定值，MN﹣BC是定值．
【完整解答】解：（1）∵M和N分别为线段AB，CD的中点，
∴AM＝BM＝AB，CN＝DN＝CD，
∵MN＝BM﹣CN＝AB﹣CD，
∵AB＝13，CD＝8，
∴MN＝﹣＝；
（2）①∵线段CD沿着AB向右平移n个单位，
∴BC＝n，
∵MN＝BM﹣BN＝AB﹣（CN﹣BC）＝AB﹣CD+BC，
∵AB＝13，CD＝8，
∴MN＝+n；
②∵MN＝9，
∴+n＝9，
∴n＝；
（3）∵点C沿着直线AB向右移动m个单位，
∴BC＝m，
∵点D保持位置不变，
∴CD＝8+m，
∵N是CD的中点，
∴CN＝DN＝CD＝（8+m）＝4+m，
∴BN＝CN﹣BC＝4+m﹣m＝4﹣m，
当0＜m≤8时，
∴BN+BC＝4﹣m+m＝4，
MN﹣BC＝（BM﹣BN）﹣BC＝AB﹣BN﹣BC＝﹣（4﹣m）﹣m＝；
∴BN+BC是定值4，MN﹣BC是定值；
当m＞8时，N点在B点右侧，
∵BN＝BC﹣CN＝m﹣4﹣m＝m﹣4，
MN＝BM+BN＝+m﹣4＝m+，
∴BN+BC＝m﹣4+m＝m﹣4，
MN﹣BC＝m+﹣m＝，
∴BN+BC不是定值，MN﹣BC是定值；
综上所述：无论m取何值，MN﹣BC的值都是定值．
【变式训练12】（2021春•邵阳县期末）如图，AN∥DM，点B在AN上（点B与点A不重合），点C在DM上（点C与点D不重合），∠DAB＝∠BCD．
（1）那么AD∥BC吗？试说明理由；
（2）若平行移动BC，保持∠ABC＝100°；点E、F在DC上，且满足∠FAC＝∠BAC，AE平分∠DAF．
①小红发现可求出∠EAC的度数，请你帮助小红写出求∠EAC的度数的过程；
②在平行移动BC的过程中，是否存在某种情况，使∠BCA＝∠DEA？若存在，请直接写出∠BCA的度数；若不存在，请说明理由．
【思路引导】（1）AD∥BC．证明∠ADC+∠BCD＝180°，可得结论．
（2）①利用平行线的性质求出∠DAB，再证明∠EAC＝∠DAB即可．
②证明∠DAE＝∠EAF＝∠FAC＝∠CAB＝20°，可得结论．
【完整解答】（1）解：结论：AD∥BC．
理由：∵AB∥CD，
∴∠D+∠DAB＝180°，
∵∠DAB＝∠BCD，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC．
（2）①∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝100°，
∴∠DAB＝80°，
∵∠FAC＝∠BAC，AE平分∠DAF，
∴∠EAC＝∠DAF+∠FAB＝（∠DAF+∠FAB）＝40°．
②存在．
理由：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵∠ACB＝∠DEA，
∴∠DAC＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠CAB，
∵∠FAC＝∠BAC，AE平分∠DAF，
∴∠DAE＝∠EAF＝∠FAC＝∠CAB＝20°，
∴∠ACB＝∠DAC＝60°．
【变式训练13】（2021春•武昌区期中）已知直线a∥b，点A、B在直线a上（B在A左侧），点C在直线b上，E点在直线b的下方，连接AE交直线b于点D．
（1）如图1，若∠BAD＝110°，∠DCE＝45°，求∠DEC；
（2）如图2，∠BAD的邻补角的角平分线与∠DEC的角平分线所在的直线交于点M，试探究∠AME与∠ECD之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，将图2中点A向右平移，使得点D在C点右侧，直接写出∠AME与∠ECD的数量关系 ∠AME＝∠DCE ．
【思路引导】（1）如图1中，过点E作EF∥CD．利用平行线的性质解决问题即可．
（2）如图2中，过点M作MF∥AB，过点E作EG∥AB．设∠BAE＝α，∠DCE＝β．利用平行线的性质以及角平分线定义解决问题即可．
（3）结论：∠AME＝∠DCE．利用三角形的外角的性质证明即可．
【完整解答】解：（1）如图1中，过点E作EF∥CD．
∵AB∥CD，EF∥CD，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠AEF＝∠BAE＝110°，∠CEF＝∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝∠AEF﹣∠CEF＝110°﹣45°＝65°．
（2）如图2中，过点M作MF∥AB，过点E作EG∥AB．设∠BAE＝α，∠DCE＝β．
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD∥EG，
∴∠BAE＝∠AEG＝α，∠DCE＝∠CEG＝β，
∴∠DEC＝α﹣β，
∵∠BAD的邻补角的角平分线与∠DEC的角平分线所在的直线交于点M，
∴∠MEC＝（α﹣β），∠AMF＝90°﹣，
∴∠MEG＝β+（α﹣β）＝（α+β），
∴∠AME＝∠AMF+∠FME＝90°﹣+＝90°+，
∴∠AME＝90°+∠DCE．
（3）如图3中，结论：∠AME＝∠DCE．
理由：延长EC交AB于T．设∠BAM＝∠RAM＝y，∠CEM＝∠MED＝x，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠ATE，
∵2y＝2x+∠ATE，y＝x+∠AME，
∴∠AME＝∠ATE＝∠DCE．
故答案为：∠AME＝∠DCE．
知识点3：作图-平移变换
【典例分析03】（2021春•姑苏区期末）如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．
（1）分别画出△ABC中BC边上的高AH、中线AG．
（2）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．
（3）画一个锐角△MNP（要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．
【思路引导】（1）根据三角形的高和中线的定义结合网格作图可得；
（2）根据平移变换的定义和性质作图可得；
（3）由△ABC的面积为3知所作三角形的面积为6，据此结合网格作图可得．
【完整解答】解：（1）如图所示，AH、AG即为所求；
（2）如图所示，△DEF即为所求；
（3）如图所示，△MNP即为所求．
【变式训练14】（2017秋•市北区期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）△ABC的顶点A，B的坐标分别为（1，4），（﹣3，1）．
（1）请在网格所在的平面内作出符合上述表述的平面直角坐标系；
（2）请你将A、B、C的横坐标不变，纵坐标乘以﹣1所得到的点A1、B1、C1描在坐标系中，并画出△A1B1C1，其中点C1的坐标为 （5，2） ．
（3）△ABC的面积是 18 ．
【思路引导】（1）根据点A、C的坐标即可确定平面直角坐标系；
（2）根据点A、B、C的纵坐标乘以﹣1，所得到的点A1、B1、C1描在坐标系中，并画出△A1B1C1；
（3）利用割补法求解可得△ABC的面积．
【完整解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为（5，2）；
故答案为：（5，2）；
（3）△ABC的面积是×6×（3+3）＝18．
故答案为：18．
【变式训练15】（2008•旅顺口区）如图，△ABC平移后的图形是△A′B′C′，其中C与C′是对应点，请画出平移后的三角形△A′B′C′． 参见解答 （作图题）
【思路引导】此题主要根据平移的性质画图，即对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
【完整解答】解：
作法：（1）连接CC′，过点C作A′C′∥AC，且相等，再过点A′，作A′B′∥AB且相等，连接A′、B′、C′，△A′B′C′就是所画的三角形．
【变式训练16】如图，已知线段AB的端点A平移到点C的位置，作出线段AB平移后的图形．
作法（1）：连接AC，再过点B作线段BD，使BD满足 BD＝AC 和 BD∥AC ，连接CD，则线段CD为所求作的图形；
作法（2）：过点C作线段CD，使CD满足条件 CD＝AB 和 CD∥AB ，则线段CD为所求作的图形．
【思路引导】（1）根据平行四边形的性质作，BC＝AC，BD∥AC即可．
（2）根据平移的性质作CD＝AB，CD∥AB即可．
【完整解答】解：（1）使得BD＝AC，BD∥AC．
故答案为：BD＝AC，BD∥AC．
（2）使得，CD＝AB，CD∥AB．
故答案为：CD＝AB，CD∥AB．
【变式训练17】（2021春•讷河市期末）如图，在正方形网格中，每个小方格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点A，B的坐标分别为（0，5），（﹣2，2）．
（1）请在图中建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标： （2，3） ．
（2）平移△ABC，使点C移动到点F（7，﹣4），画出平移后的△DEF，其中点D与点A对应，点E与点B对应．
（3）求△ABC的面积．
（4）在坐标轴上是否存在点P，使△POC的面积与△ABC的面积相等，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路引导】（1）直接利用已知点建立平面直角坐标系进而得出答案；
（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出答案；
（4）利用已知△ABC的面积得出P点位置即可．
【完整解答】解：（1）如图所示：点C的坐标为：（2，3）；
故答案为：（2，3）；
（2）如图所示：△DEF即为所求：
（3）△ABC的面积为：
S△ABC＝4×3﹣×2×3﹣×4×1﹣×2×2
＝5；
（4）存在，
P点的坐标为：（0，5）或（0，﹣5）或（，0）或（﹣，0）．
【变式训练18】（2021春•宜兴市期中）如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
（1）补全△A′B′C′
（2）画出AC边上的中线BD；
（3）画出AC边上的高线BE；
（4）求△ABD的面积 4 ．
【思路引导】（1）由点B的对应点B′知，三角形需向左平移5个单位、向下平移2个单位，据此可得；
（2）连接AC的中点D与点B即可得；
（3）过点B作AC延长线的垂线段即可得；
（4）割补法求解可得．
【完整解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作三角形．
（2）如图所示，BD为AC边上的中线；
（3）如图所示，BE为AC边上的高线；
（4）S△ABD＝4×6﹣×1×2﹣×4×6﹣×（1+6）×2＝24﹣1﹣12﹣7＝4，
故答案为：4