2024年陕西省中考数学模拟试卷39

这是一份2024年陕西省中考数学模拟试卷39，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分每小题只有一个选项是符合题意的）
1.－绝对值是（ ）
A. － B. C. － D.
2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）
A．诚B．信C．友D．善
3.下列计算正确的是（ ）
A. B． C. D.
4.如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
线段PAB．线段PB
C．线段PCD．线段PD
5.如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，AC=6,BD=8．则线段的长为：（ ）
B．
C．D．
6.在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．-5B．5C．-6D．6
7. 在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（ ）
A．3B．
C．2D．6
8.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）
abc＜0 B．4ac﹣b2＞0
C．c﹣a＞0 D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c
第二部分（非选择题 共 96 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是 ．
10.已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 ．
11.笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔 支．
12.若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
13.如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是___________．

三、解答题（共 13 小题，计 81 分解答应写出过程）
14.计算：6sin45°＋｜2－7｜－＋（2019－）0
15.解不等式组：3x＞6，2(5−x)＞4．
16.化简：.
17.如图，点O在的边上，以为半径作，的平分线交于点D，过点D作于点E．
尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
18.已知：如图，，，．求证：．

19.2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．
20.某甜品店计划订购一种鮮奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表） （最高气温与天数的统计图）
（1）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（2）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足25≤T＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元?
21.我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：）

22.网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查.数据如下（单位：时）：
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8
2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4
整理上面的数据，得到表格如下：
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
上表中的中位数m的值为 ，众数的值为
用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间。
（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数
23.已知A、B两地相距，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中m的值是__________；轿车的速度是________；
（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距？
24.如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
25.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB，请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.
26.如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC延长线方向匀速运动．当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．
（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）求DE的长；
（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值．
2024年陕西省中考数学模拟试卷
第一部分（选择题共 24 分）
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分每小题只有一个选项是符合题意的）
1.－绝对值是（ ）
A. － B. C. － D.
【答案】B．
【解析】由负数的绝对值是它的相反数，得－绝对值是，故选B．
【知识点】绝对值
2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）
A．诚B．信C．友D．善
【答案】D
【解析】四个方块字中可以看作轴对称图形的是“善”，故选D．
【知识点】轴对称图形
3.下列计算正确的是（ ）
A. B． C. D.
【答案】B
【解析】A、根据乘方的定义，该选项不正确；
B、根据幂的乘方底数不变指数相乘得，该选项正确；
C、根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加得，该选项不正确；
D、根据整式加减的法则，只有同类项才能合并，故不正确．
【知识点】乘方、幂的运算性质、整式的加减
4.如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PAB．线段PBC．线段PCD．线段PD
【答案】B
【解析】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．
故选：B．
【知识点】垂线段最短
5.如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有，，，又因为H为BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形∴，，
∴△BOC是直角三角形∴∴BC=5
∵H为BC中点∴故最后答案为．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键．
6.在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．-5B．5C．-6D．6
【答案】A
【分析】
根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值．
【详解】
解：将一次函数的图象向左平移3个单位后
得到的解析式为：，
化简得：，
∵平移后得到的是正比例函数的图像，
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键．
7. 在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（ ）
A．3B．C．2D．6
【答案】A
【分析】证明△ABD≌△AED即可得出DE的长．
【详解】∵DE⊥AC，∴∠AED=∠B=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD，
又∵AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴DE=BE=3，故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
8.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）
A．abc＜0 B．4ac﹣b2＞0 C．c﹣a＞0 D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c
【答案】D
【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据一次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2-4ac＞0，求得4ac-b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=-1时，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故C错误；当x=-n2-2（n为实数）时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a（-n2-2）+b（-n2-2）=an2（n2+2）+c，于是得到y=an2（n2+2）+c≥c，故D正确．
【解析】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误；
∴一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；
∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；
当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
第二部分（非选择题 共 96 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是 n（m+3）2 ．
【分析】直接提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解析】原式＝n（m2+6m+9）
＝n（m+3）2．
故答案为：n（m+3）2．
10.已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 1260° ．
【分析】利用任意多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解析】正n边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得360°n=40°，
解得n＝9．
（9﹣2）×180°＝1260°，
即这个正多边形的内角和为1260°．
故答案为：1260°．
11.笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔 支．
【分析】首先设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费＝100元，即可求解．
【解析】设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，由题意得：
7x+5y＝100，
∵x与y为整数，
∴x的最大值为10，
故答案为：10．
12.若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是
【故答】y1＞y3＞y2
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解析】∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y=−6x的图象上，
∴y1=−6−1=6，y2=−62=−3，y3=−63=−2，
又∵﹣3＜﹣2＜6，
∴y1＞y3＞y2．
故为：y1＞y3＞y2
13.如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是___________．

【答案】
【分析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，过点作的垂线段，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答．
【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K，

由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值，
设正方形的边长为a，则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当取得最小值时，的值是为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分解答应写出过程）
14.计算：6sin45°＋｜2－7｜－＋（2019－）0
【思路分析】本题考查了零次幂的意义、乘方、绝对值以及三角函数，关键是掌握基本的运算法则．根据零指数幂、乘方、绝对值、特殊角三角函数值分别进行计算，然后再进行有理数的加减．
【解题过程】原式＝6＋7－2－8＋1＝
【知识点】零指数幂 ；幂的乘方；绝对值；特殊角的三角函数值；实数的四则运算．
15.解不等式组：3x＞6，2(5−x)＞4．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．
【解析】3x＞6①2(5−x)＞4②，
由①得：x＞2，
由②得：x＜3，
则不等式组的解集为2＜x＜3．
16.化简：.
【思路分析】先通分计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后分解因式、约分相乘.
【解题过程】解：
.
【知识点】分式的减法、除法、乘法、通分、分解因式、约分、整式的乘法
17.如图，点O在的边上，以为半径作，的平分线交于点D，过点D作于点E．
尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
【答案】见解析；
【分析】根据已知圆心和半径作圆、作已知角的平分线、过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的步骤作图即可；
【详解】解：（1）如下图，补全图形：

【点睛】本题考查尺规作图、圆的切线的判定是解题的关键.
18.已知：如图，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在与中
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19.2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．
【答案】每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【分析】设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得．
【详解】解：设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元，
由题意得：，
解得，
答：每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用用，正确建立方程组是解题关键．
20.某甜品店计划订购一种鮮奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温T有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
（最高气温与天数的统计图）
（1）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（2）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温T满足25≤T＜30（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元?
【思路分析】（1）由表格知每日鲜奶需求量不超过200杯时，当日最高气温小于25°，由条形统计图可得，最高气温低于25°的天数有（9+3）天，所以去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率是
（2）由表格知某天的最高气温T满足25≤T＜30时，销售量为250杯，则利润为
【解题过程】（1）由表格知每日鲜奶需求量不超过200杯时，当日最高气温小于25°，由条形统计图可得，最高气温低于25°的天数有（9+3）天，所以去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率是
（2）由表格知某天的最高气温T满足25≤T＜30时，销售量为250杯，则利润为
21.我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：）

【答案】火箭从到处的平均速度为
【分析】根据题意得出，，，，分别解，，求得，进而根据路程除以时间即可求解．
【详解】解：依题意，得，，，，
在中，，
，
在中，，
∴，
∴火箭从到处的平均速度为，
答：火箭从到处的平均速度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
22.网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查.数据如下（单位：时）：
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8
2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4
整理上面的数据，得到表格如下：
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
上表中的中位数m的值为 ，众数的值为
用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间。
（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数
【思路分析】本题主要考查数据的统计和分析的知识，
（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数；
（2）由平均数乘以18即可；
（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可．
【解题过程】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，
∴中位数m的值为=2.5，众数为2.5；
故答案为：2.5，2.5；
（2）2.4×18=43.2（小时），
答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．
（3）200×=130（人），
答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．
23.已知A、B两地相距，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中m的值是__________；轿车的速度是________；
（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距？
【答案】（1）5；120；（2）；（3）或．
【分析】
（1）由图象可知轿车从B到A所用时间为2h，即可得出从A到B的时间，进而可得m的值，根据速度=距离÷时间即可得轿车速度；
（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h时装载货物停留1h，分1≤x<2.5；2.5≤x<3.5；3.5≤x<5三个时间段，分别利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；
（3）分两车相遇前和相遇后相距12km两种情况，分别列方程求出x的值即可得答案．
【详解】
（1）由图象可知轿车从B到A所用时间为3-1=2h，
∴轿车从A到B的时间为2h，
∴m=3+2=5，
∵A、B两地相距，
∴轿车速度=240÷2=120km/h，
故答案为：5；120
（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h时装载货物停留1h，
①设
∵图象过点和点
∴
解得：，
∴
②∵货车在2.5h~3.5h时装载货物停留1h，
∴，
③设，
∵图象过点和点
∴
解得：，
∴，
∴．
（3）设轿车出发xh与货车相距，则货车出发（x+1）h，
①当两车相遇前相距12km时：，
解得：,
②当两车相遇后相距12km时：=12，
解得：x=1，
答：轿车出发或与货车相距．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．
24.如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
【思路分析】本题主要考查了圆的切线的证法和三角形相似以及勾股定理的运用．（1）连接OD，只要通过证明△AOC≌△AOD（SAS）就可得到∠ADO＝∠ACO＝90°，所以切线得证．（2）先在Rt△ODB中运用勾股定理，可以求出OB的长度，这样就知道了BC的长，然后再证明△BDO∽△BCA得到，代入即可求出AC的长度．
【解题过程】证明：（1）连接OD，∵DE∥OA，∴∠AOC＝∠OED，∠AOD＝∠ODE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠AOC＝∠AOD，又∵OA＝OA，OD＝OC，∴△AOC≌△AOD（SAS），∴∠ADO＝∠ACO．∵CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC，∴∠ OCA＝90°，∴∠ADO＝＝90°，∴OD⊥AB，
∵OD为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．
（2）∵CE＝6，∴OD＝OC＝3，∵∠BDO＝90°，∴，∵BD＝4，∴OB＝＝5，
∴BC＝8，∵∠BDO＝∠ OCA＝90°，∠B＝∠B，∴△BDO∽△BCA，∴，∴，∴AC＝6．
【知识点】切线的判定与性质；全等三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定和性质；
25.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB，请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【思路分析】（1）已知A，B两点的坐标，用待定系数法可求得该抛物线的函数关系表达式；
（2）利用同角的余角相等证得∠OEP＝∠BPC，利用tan∠OEP＝tan∠BPC列二次函数关系式，利用二次函数的顶点式求最值解决问题．
【解题过程】解：（1）把A（－1，0），B（3，0）代入y＝x2＋bx＋c，得解得
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2－2 x－3；
（2）∵CP⊥EB，∴∠OPE＋∠BCP＝90°，∵∠OPE＋∠OEP＝90°，∴∠OEP＝∠BPC，∴tan∠OEP＝tan∠BPC．∴＝．设OE＝y，OP＝x，∴＝．整理，得y＝－x2＋x＝－（x－）2＋．∴当OP＝时，OE有最大值，最大值为，此时点P在（，0）处.
【知识点】二次函数的图象与性质；一次函数解析式；正方形的性质；锐角三角函数；待定系数法；方程思想
26.如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC延长线方向匀速运动．当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．
（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）求DE的长；
（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值．
【思路分析】（1）由△ABC为等边三角形和△BPQ为直角三角形，得2BP＝BQ，构建关于t的方程，解之可得t值；
（2）根据直角三角形的性质得AE＝0.5t．根据平行四边形的性质得FQ＝6－0.5t．由BF平分∠ABC，得△FBQ是含30角的直角三角形，根据BQ＝2FQ，得6＋t＝2（6－0.5t），解之可得t值；
（3）P作PG∥CQ，根据等边三角形的性质得EG＝AG．证△PGD≌△QCD得GD＝GC．∴DE＝AC＝3．
（4）先根据两点之间线段最段得AB′的值最小值为3－3.再根据30°角的三角函数值构建关于t的方程，解之可得t值.
【解题过程】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵BP⊥PQ，∴2BP＝BQ即2（6－t）＝6＋t，解得t＝2．∴当t为2时，△BPQ为直角三角形；
（2）存在．作射线BF，∵PE⊥AC，∴AE＝0.5t．∵四边形CQFE是平行四边形，∴FQ＝EC＝6－0.5t，∵BF平分∠ABC，∴∠FBQ＋∠BQF＝90°．∵BQ＝2FQ，BQ＝6＋t，∴6＋t＝2（6－0.5t），解得t＝3．
（3）过点P作PG∥CQ交AC于点G，则△APG是等边三角形．∵BP⊥PQ，∴EG＝AG．∵PG∥CQ，∴∠PGD＝∠QCD，∵∠PDG＝∠QDC，PG＝PA＝CG＝t，∴△PGD≌△QCD．∴GD＝GC．∴DE＝AC＝3．

（4）连接AM，∵△ABC为等边三角形，点M是BC的中点，∴BM＝3．由勾股定理，得AM＝3． 由折叠，得BM′＝3．当A 、B′、M在同一直线上时，AB′的值最小，此时AB′＝3－3.
过点B′作B′H⊥AP于点H，则cs30°＝,即＝，解得t＝9－3．
∴t为9－3时，AB′的值最小，最小值为3－3．
【知识点】等边三角形的性质； 直角三角形的性质；平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折；线段的最小值
网上学习时间x（时）
0＜x≤1
1＜x≤2
2＜x≤3
3＜x≤4
人数
2
5
8
5
统计量
平均数
中位数
众数
数值
2.4
m
n
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