湖北省武汉市第三中学2023-2024学年高二下学期三月月考数学试题

这是一份湖北省武汉市第三中学2023-2024学年高二下学期三月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了函数的图象在点处的切线方程是，已知函数，下列函数在定义域上为增函数的是，已知函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）
A. B. C. D.
3.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知函数（是的导函数），则（ ）
A. B.1 C.2 D.
6.已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若对任意两个不等的正实数，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分.
9.下列函数在定义域上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.的单调递减区间是
B.在点处的切线方程是
C.若方程只有一个解，则
D.设，若对，使得成立，则
11.已知，.若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是（ ）
A.当时，
B.当时，
C.不存在，使得成立
D.恒成立，则
三､填空题：本题共3小题每小题5分，共15分
12.若函数的极大值为11，则的极小值为___________.
13.与曲线和都相切的直线方程为___________.
14.已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为___________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
16.（15分）已知函数.
（1）当，求的单调区间；
（2）若有三个零点，求的取值范围.
17.（15分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求在区间上的最大值.
18.（17分）已知函数.
（1）当时，求的图像在点处的切线方程；
（2）若不等式恒成立，求的取值集合.
19.（17分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为.
①求的取值范围；
②证明.
武汉三中2025届高二下学期数学三月月考答案
1.B 2.A 3.D 4.D 5.A 6.B 7.D 8.D 9.BC 10.BD 11.AB
12. 13. 14.
15.（1）（2）
【详解】（1）若，则，，故，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）恒成立，即，
又，
当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以.
16.（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）
【详解】（1）将代入可得，其定义域为R，则.
和都在上增函数，所以在上单调递增且，
因此，当时，，函数为单调递减；当时，，
函数为单调递增；综上所述，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）（2）由得，，令，则，时，单调递减；时，单调递增；时，单调递减；由单调性可知，当时，；当时，；当时，取得极小值，即；当时，取得极大值，即.
所以和的大致图象如下：
综上所述，若有三个零点，则的取值范围为.
17.（1）答案见解析；（2）.
【详解】（1）由题意得：定义域为，，
①当时，，在上单调递增；②当时，令得：，
列表如下：在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，由（1）知：
①当，即时，在上单调递减，则；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
；③当，即时，在上单调递增，则；综上所述：.
18.（1）（2）
【详解】（1）当时，，所以，
又，所以，
故的图像在点处的切线方程为，即.
（2）解法一：因为恒成立，恒成立，令函数，则
①当时，在区间恒成立，此时g（x）在区间单调递增，又，易知，所以，故不合题意，②当时，由可得即
令，则在区间上恒成立所以在区间上单调递增，又因为，所以存在，使得，两边同时取对数可得，则当时，，即，当时，，即，
所以当时，，
故要使恒成立，只需，令，则，由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，，即，所以只有唯一解，即.
综上，a的取值集合为.
19.（1）答案见解析（2）①；②证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为.又，令，得.当，即时，在恒成立，.当，即时，方程有两根，可求得：，因为所以，
当和时，，为增函数，当时，，为减函数.
综上：当时，在上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，.①方程有三个不相等的实数根，
即方程在上有三个不相等的实数根.
令，则，令，求得：或，则当或时，，当时，，则在和上单调递增，在上单调递减，存在极大值为，存在极小值，且当时，，当时，.
要使方程有三个不相等的实数根，则
的取值范围为.
②证明：设方程三个不相等的实数根分别为：，且，
由①可得，要证，只需证，
即证，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，.由，
构造函数，，当时，在上单调递增，，即在上恒成立，
又，则有：，又，且在上单调递减，，即.
构造函数，，当时在上单调递增.，即在上恒成立.
又，则.即，
由，则.
在上单调递增，.
又，则可证得：.