河北省秦皇岛市新世纪高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 点到直线距离是（）
A. 2B. C. D.
2. 已知双曲线：，则其渐近线方程为（）．
A. B. C. D.
3. “今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈（1丈＝10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（）

A. 立方尺B. 立方尺C. 立方尺D. 立方尺
4. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）
A. B. C. D. 不能确定
5. 圆与圆的公切线有（）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
6. 已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（）
A. B. C. D.
7. 双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为（）
A. B. C. 4D.
8. 已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则椭圆的焦距为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 方程表示圆，则的可能取值是（）
A. B. 1C. 0D. 3
10. 已知直线：，则下列结论正确的是（）
A. 直线的倾斜角是
B. 过点与直线平行的直线是
C. 直线到直线的距离为
D. 若直线：，则
11. 方程表示的曲线为，下列正确的命题是（）
A. 曲线可以是圆B. 若，则曲线为椭圆
C. 曲线可以表示抛物线D. 若曲线为双曲线，则或
12. 如图所示，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为侧面的一动点，下列说法正确的是（）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 若的面积为，则动点的轨迹为椭圆的一部分
C. 若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线的一部分
D. 过直线的平面与面所成角最小时，平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 准线方程为的抛物线的标准方程为__________.
14. 已知直线l:和圆心为C的圆,则直线l被圆C截得的弦长为__________．
15. 设P为椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若，则的面积为_______________.
16. 设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知顶点
（1）求边上中线所在的直线方程
（2）求边上高线所在直线方程．
18. 已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求．
19. 已知圆C经过点A（12）和B（5,-2），且圆C关于直线2x+y＝0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）过点D（-3,1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．
20. 如图，已知正三棱柱，是的中点，是的中点，且，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角余弦值.
21. 已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.
22. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，求证：；
（3）是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由．