湖北省十堰市郧西县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题10 小题，每小题3分，共30分）
1. 若a与-2互为相反数，则a的值是（ ）
A -2B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的性质求解即可得．
【详解】解：∵a与-2互为相反数，
∴-2+a=0，
解得a=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数定义，掌握相反数的定义是解题关键．
2. 由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目中的图形，可以画出主视图，本题得以解决．
【详解】解：由图可得，
题目中图形的主视图是
故选：B．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是画出相应的图形．
3. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，然后将解集在数轴上表示即可．
【详解】解：解不等式，得：，
所以不等式组的解集为：，
在数轴上表示：

故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了不等式组解集在数轴上的表示方法．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，利用积的乘方、幂的乘方运算法则进行计算即可判断求解，掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
5. 一块三角板和一根直尺的位置如图所示，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查直尺三角尺中的角度问题，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为，互补的两角之和为．
6. 已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵点，）是反比例函数的图像上的两点，
∴，
∵，
∴，即，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
7. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式，即可解答．
【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，
故选到前两首的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．
8. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴m，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．
9. 如图，⊙O的弦CD交直径AB于E，OD＝DE，CE：DE＝3：5，若OE＝5，则CD的长为（ ）
A. 4B. 4
C. 3D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】过点O作OE⊥CD于点E，根据垂径定理以及勾股定理即可求出答案．
【详解】解：过点O作OE⊥CD于点E，
设CE＝3x，DE＝5x，
∴OD＝DE＝5x，CD＝8x，
∴由垂径定理可知：DF＝4x，
∴EF＝x，
由勾股定理可知：OF＝3x，
在Rt△OEF中，
由勾股定理可知：（3x）2+x2＝52，
∴x＝，
∴CD＝8x＝4，
故选：A．
【点睛】本题主要考查垂径定理，同时利用到勾股定理相关知识，解题关键于利用勾股定理列出方程进行求解．
10. 抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线. 下列说法：①；②； ③（为全体实数）；④若图象上存在点，，当 时，满足 ，则m的取值范围为 ，其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置可判断①，根据特殊点可判断②；根据最值可判断③；根据对称性可判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线与y轴负半轴相交，
∴，，，
∴，故①正确；
根据对称轴为直线得，
由图象可知，当时，，
∴，故②正确；
由图可知，当时，抛物线有最大值为，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误；
由图可知，和满足，
∴和关于对称轴对称，
∴，，即，
∵，
∴，，
则，
∴，
解得，故④正确；
故选C．
二、填空题（本大题10 小题，每小题3分，共30分）
11. 化简：的结果为________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．
【详解】解：；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式组求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式等知识点，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根是解答本题的关键．
13. 若正n边形的一个外角等于，那么_______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查正多边形的外角问题，根据正n边形的外角等于求解即可．
【详解】解：∵正n边形的一个外角等于，
∴，
故选：8．
14. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题， 其题意为：客人一起分银子，若每人两， 还剩两；若每人两，还差两； 则人数为______ 人；银子共有______两．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，两银子，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设有人，两银子，
由题意可得，，
解得，
∴有人，两银子，
故答案为：，．
15. 如图，在平面直角坐标中，矩形的边 ，，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置， 线段恰好经过点 B，点 C落在y轴的点位置，点 E 的坐标是________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定与性质、折叠性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解答的关键．先证明求得，设，分别由勾股定理求解、x值即可．
【详解】解：∵矩形的边 ，，
∴，，，， 轴，，
∴，，
∴，，
由折叠性质得，，，，
∴，则 （负值舍去），
∴，
如图，，，
∴，
设，则，
由得，
解得，
综上，点E坐标为，
故答案为
三、解答题：
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】分别计算有理数的乘方、绝对值、二次根式及零指数幂，再进行加减即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查有理数的乘方，绝对值和二次根式的化简及零指数幂的性质，属于基础题，正确运算是解题的关键．要熟练掌握：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，．
17. 如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点E，F ；连接、．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解答的关键．先证明得到，进而证得四边形是平行四边形，再利用菱形的判定可得结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，O是对角线的中点，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
18. 随着我国科技事业不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
【答案】A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件
【解析】
【分析】设A型机平均每小时运送x件，根据A型机比B型机平均每小时多运送20件，得出B型机平均每小时运送（x-20）件，再根据A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，列出方程解之即可．
【详解】解：设A型机平均每小时运送x件，则B型机平均每小时运送（x-20）件，
根据题意得：
解这个方程得：x=70．
经检验x=70是方程的解，∴x-20=50．
∴A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
19. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：

（1）所抽取的学生人数为__________；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
（3）该校共有学生人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．
【答案】（1）人
（2）统计图见解析，
（3）人
【解析】
【分析】（1）用“视力正常”的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数；
（2）先求出“中度近视”的人数，进而求出“轻度近视”的人数，由此补全统计图即可；再用乘以“轻度近视”的人数占比即可求出对应的圆心角度数；
（3）用乘以样本中“轻度近视”的人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：人，
∴所抽取的学生人数为人，
故答案为：；
【小问2详解】
解：中度近视的人数为人，“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为
∴高度近视的人数为人，
补全统计图如下：
【小问3详解】
解：人，
∴估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式：
（2）当 时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；
（2）或．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）由两函数式求出交点的横坐标，再根据图象即可解答；
本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用待定系数法求出一次函数和反比例函数的表达式是解题的关键．
【小问1详解】
解：把、代入得，
，
解得，
∴一次函数的表达式为，
把代入得，
，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：当一次函数和反比例函数的函数值相等时可得，
，
解得，，
∴两函数图象交点的横坐标分别为，，
当时，由图象可得，的取值范围为或．
21. 如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用角平分线的性质和等边对等角，证明，即可解答；
（2）根据，可得，求出的长，再利用勾股定理得的长，即可得到的长，最后证明，即可解答．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

，
，
平分，
，
，
，
,
,
是的切线；
【小问2详解】
解：设，则，
，解得，
，
，
根据勾股定理可得，,
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的定义，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正弦的概念，熟练运用上述性质是解题的关键．
22. 某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
【答案】（1）
（2）①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为万元．
【解析】
【分析】（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案；
（2）①把代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得：


【小问2详解】
①由（1）得：当时，
则即
解得：
即第一年的售价为每件16元，
② 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，
解得：
其他成本下降2元/件，
∴
对称轴为
当时，利润最高，为77万元，而
当时，（万元）
当时， （万元）

所以第二年的最低利润为万元．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，再利用二次函数的性质解题是关键．
23. 【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
【答案】（1）
（2）成立；理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
【小问2详解】
解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：当点E在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
24. 抛物线 交轴于，两点，交轴于点 ．
（1）直接写出的值；
（2）点是抛物线上位于上方的一动点， 连接，交 于点 ，设 的的横坐标为 ，试用含的式子表示代数式 的值，并求 的最大值；
（3）如图，连接，点在抛物线上， 且，求点的坐标．
【答案】（1），
（2），的最大值为
（3）或
【解析】
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）过点作轴，交与点，求出直线的解析式，进而求出的长，证明，得到，转化为二次函数求最值即可；
（3）利用锐角三角函数求出，分点在直线的上方和下方，两种情况，构造相似三角形，求出直线的解析式，联立直线的解析式与二次函数的解析式，求出交点即可．
【小问1详解】
解：把代入得，
，
解得，
∴，；
【小问2详解】
解：过点作轴，交与点，
由（）可得，抛物线解析式为，
把代入得，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为 ，
∴点的的纵坐标为，点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为；
【小问3详解】
∵，，，
∴，
∴，
当时，分两种情况进行讨论：
（1）当点在直线下方时，如图，过点作，过点作轴，交轴于点，过点作，则：四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得：，
解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴；
②当点在直线上方时，如图：过点作，过点作轴，过点作，则四边形为矩形，
∴，，
同法可得：，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设解析式为：，把代入得：，
解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键时正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．