重庆市第七中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题试卷（Word版附解析）

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（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接用向量加减法容易得解．
【详解】解：．
故选：．
【点睛】本题考查了向量加减法，属于基础题．
2. 在中，已知，，，则（ ）
A. 1B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
3. 已知向量，，若，则（ ）
A B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出的值．
详解】向量，，
所以， ，
又，
所以，
解得．
故选：B．
4. 在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，，．
两式相减，得，所以．
故选：D．
5. 已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ）
A. A，B，DB. A，B，CC. B，C，DD. A，C，D
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.
【详解】向量，不共线，且，，，
，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是.
故选：A
6. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合点坐标可得点的坐标．
【详解】为坐标原点，
由已知，
，
又，所以点坐标为，
故选：A．
7. 如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，利用三角形重心的向量表示，化简可得.然后利用基本不等式来求得最值.
【详解】因为，，三点共线，
所以，所以
又因为是重心，
所以，
所以，
所以，化简得，
由基本不等式得
当且仅当即时，等号成立，
故选：C
【点晴】
8. 如图所示，平面四边形的对角线交点位于四边形的内部，，，，，当变化时，对角线的最大值为（ ）
A. B. C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】设，利用余弦定理求得，表示出，进而可求得，结合辅助角公式即可求得答案.
【详解】由题意，，
设，
则由余弦定理得：，
由正弦定理得：，
因为，则，
中，
，
时，的最大值为，取得最大值，
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，是三个平面向量，则下列叙述错误的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 若，且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据数量积的意义判断A，根据向量模的意义判断B，根据向量数量积的运算律运算及向量垂直判断C，根据向量的数量积运算判断D.
【详解】对于A，因为表示向量，表示向量，
当不共线且时，两个向量一定不相等，故A错误；
对于B，因为时，向量的方向不确定，故不正确，故B错误；
对于C，
，所以C正确；
对于D，由，，
所以，不能得出，故D错误.
故选：ABD
10. 在中，，，，则的面积可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由余弦定理可求得，再用三角形面积公式可得解.
【详解】，，，
，即，
整理得，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或.
故选：AC.
11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】正八边形中，每个边所对角都是，中心到各顶点的距离为1，然后再由数量积的运算逐一分析四个选项得答案．
【详解】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，
对于，，故A正确；
对于B，，则以，为邻边的对角线长是的倍，
可得，故B正确；
对于C，，，与的夹角为，
与的夹角为，故，故C错误；
对于D，在向量上的投影向量为，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【答案】
【解析】
【详解】因为向量与平行，所以，则所以．
考点：向量共线．
13. 笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，当_______时，.
【答案】
【解析】
【分析】根据斜角坐标定义写出向量（用两个已知单位向量表示），然后由向量数量积计算可得．
【详解】由已知，，，
，
解得：．
故答案为：．
14. 已知平面向量，，满足：，，，则___________，且的取值范围为___________.
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】第一空：由题意可设，进一步有，结合有，其中，，而也可以用含的式子来表示，从而即可得解；第二空，由向量之间的“三角不等式”即可求解.
【详解】第一空：，，，设，
从而，
设，
从而，
又因为，
所以
，
记，，
从而，
所以
；
第二空：对于两个向量，有，
进一步有，
所以，
注意到，，
从而，等号成立当且仅当反向，
，等号成立当且仅当同向，
所以的取值范围为.
故答案为：5，.
【点睛】关键点点睛：第一空的关键是在于利用整体思想结合，得到，其中，，由此即可顺利得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量，，，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若与垂直，求的值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知利用向量的数量积公式得出，即可由向量模长的求法列式，结合向量的运算代入值求解即可；
（2）根据向量垂直其数量积为0，列式展开代入值求解即可.
【小问1详解】
，且与的夹角为，
，
【小问2详解】
与垂直，
，
即，
即，解得：.
16. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用.
试题解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.
故PA＝. 5分
（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得，
化简得cs α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝ . 12分
考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.
17. 设向量
（I）若
（II）设函数
【答案】（I）（II）
【解析】
【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，
＝(csx)2＋(sinx)2＝1，
及，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sinx＝，所以x＝.
(2) sinx·csx＋sin2x
＝sin 2x－cs 2x＋＝sin＋，
当x∈时，－≤2x－≤π，
∴当2x－＝时，
即x＝时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的值；
（3）若的面积为，，求的周长和外接圆的面积.
【答案】18.
19.
20. ，
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解即可；
（2）由同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和正弦公式求解；
（3）由三角形面积公式及余弦定理求出，再由正弦定理求外接圆半径即可.
【小问1详解】
由，
由正弦定理，
从而有，
，，
，.
【小问2详解】
因为，
所以，
.
【小问3详解】
因为，
所以，
由余弦定理得：，
即，
解得，
所以的周长为，
由，
所以外接圆的面积.
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量；
（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；
（2），；
（3）存在点，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据向量的伴随函数求出，再将所求角用已知角表示，结合三角恒等变换即可求解；
（2）化简函数解析式，根据相伴特征向量的定义即可求得，继而进一步计算即可；
（3）根据题意确定的值，继而得到函数，继而得到，设点，再根据向量的垂直关系进行计算，结合三角函数的有界性得到答案.
小问1详解】
根据题意知，向量的相伴函数为，
当时，，
又，则，所以，
故.
【小问2详解】
因为，
故函数的相伴特征向量，
则与共线单位向量为.
【小问3详解】
因为，
其相伴特征向量，故，所以，则，
，
设点，又，，
所以，
若，则，
即，，
因为，故，
又，故当且仅当时，成立，
故在的图象上存在一点，使得.
【点睛】关键点点睛：理解相伴特征向量和相伴函数的定义是解答本题的关键.