【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题03 立体几何大题 （压轴练）

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1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】 专题03 立体几何大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）
1．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．
(1)若，求证：平面平面；
(2)是否存在，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
2．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）如下图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线与之间的距离．
3．（2023·湖南张家界·统考二模）如图，已知三棱柱，，，为线段上的动点，.
(1)求证：平面平面；
(2)若，D为线段的中点，，求与平面所成角的余弦值.
4．（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）如图①，已知是边长为2的等边三角形，是的中点，，如图②，将沿边翻折至.
(1)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面与平面所成的二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.
5．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，．
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．
6．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.
(1)求证：；
(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.
7．（2023·山西太原·统考一模）如图，四棱锥中，，且，直线与平面的所成角为分别是和的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
8．（2023·江苏·统考一模）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.
(1)在线段上是否存在点F，使得平面?说明理由；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值.
9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在三棱锥中，，，M为棱BC的中点.
(1)证明：；
(2)若平面平面ABC，，，E为线段PC上一点，，求点E到平面PAM的距离.
10．（2023·云南·统考一模）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．
(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
(2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值．
11．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）如图，直四棱柱的底面是菱形，是的中点，为线段上一点，，，.
(1)证明：当时，平面；
(2)是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由.
12．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值.
13．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）如图，已知圆柱的上，下底面圆心分别为是圆柱的轴截面，正方形ABCD内接于下底面圆Q，．
(1)当k为何值时，点Q在平面PBC内的射影恰好是△PBC的重心；
(2)若，当平面PAD与平面PBC所成的锐二面角最大时，求该锐二面角的余弦值．
14．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，分别是矩形上的点，，，把四边形沿折叠，使其与平面垂直，如图所示，连接，得到几何体．
(1)当点在棱上移动时，证明：；
(2)在棱上是否存在点，使二面角的平面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
15．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图四棱锥在以为直径的圆上，平面为的中点，
(1)若，证明：⊥；
(2)当二面角的正切值为时，求点到平面距离的最大值.
16．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，，且平面．
(1)求点到平面的距离；
(2)若，且平面平面， 求二面角的余弦值．
17．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考期末）如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，，，，E是PD的中点．
(1)求证：；
(2)若点M在线段PC上，异面直线BM和CE所成角的余弦值为，求面MAB与面PCD夹角的余弦值．
18．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）如图，已知四棱锥，底面是平行四边形，且，是线段的中点，.
(1)求证：平面；
(2)下列条件任选其一，求二面角的余弦值.
①与平面所成的角为；
②到平面的距离为.
注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分.
19．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）如图，三棱锥和均为棱长为2的正四面体，且A，B，C，D四点共面，记直线AE与CF的交点为Q.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求二面角的正弦值.
20．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，为边的中点，异面直线与所成的角为.
(1)在直线上找一点，使得直线平面，并求的值；
(2)若直线到平面的距离为，求平面与平面夹角的正弦值.
21．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
22．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．
(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点A到平面的距离．
23．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.
(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：.
(2)若，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.
24．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图，在长方体，平面与平面所成角为.
(1)若，求直线与平面所成角的余弦值（用表示）；
(2)将矩形沿旋转度角得到矩形，设平面与平面所成角为，请证明：.
25．（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点在底面内的投影恰为中点，且．
(1)若，求证：面；
(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
26．（2023秋·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．
（1）证明：；
（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
27．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，，平面平面.
(1)证明：；
(2)三棱锥的外接球的表面积为，求平面与平面夹角的余弦值.
28．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，.
（1）求证：平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的取值范围.
29．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图所示，六面体的底面是菱形，，且平面，平面与平面的交线为.
(1)证明：直线平面；
(2)已知，三棱锥的体积，若与平面所成角为，求的取值范围.
30．（2023·江苏南通·二模）如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．
(1)若为的中点，证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．