【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题14 计数原理与概率统计小题 （拔高版）

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1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】
专题14 计数原理与概率统计小题拔高练-新高考数学复习
分层训练（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ）
A．56种B．64种C．72种D．96种
【答案】D
【分析】根据是否入选进行分类讨论即可求解.
【详解】由题意可知：根据是否入选进行分类：
若入选：则先给从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有种，再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法；
若不入选：则4个人4个岗位全排有种方法，
所以共有种不同的安排方法，
故选：.
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（ ）
A．54B．81C．135D．162
【答案】C
【分析】先选出选择菜的两人，再分两人中有1人选用了B菜和都没有选择B菜两种情况讨论求解即可.
【详解】菜有2人选用有种，比如甲、乙选用了菜，
①甲、乙之中有1人选用了B菜，有种，比如甲用了B菜，则乙从中任意选用1种，有种，丙从C，D，E中任意选用2种，有种，故共有
②丙选用了B菜，丙再从中任意选用1种，有种，甲、乙再从中各任
意选用1种，有种，故共有
由①②可知所有情形是.
故选：C
3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）若一个三位数的各个数位上的数字之和为8，则我们称是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”.那么“叔同数”的个数共有（ ）
A．34个B．35个C．36个D．37个
【答案】C
【分析】利用列举法求出所有组合，再计算能排列出多少个“叔同数”.
【详解】三位数各位数的和为8可能的组合有116，125，134，224，233，017，026，035，044，008，
其中三个数不同且都不为0可排出个“叔同数”，没有0的3个数中有2个数相同，则排出个“叔同数”，有1个0其余2个数为不同的非零数字可排出个“叔同数”， 008只能排出一个“叔同数”，
所以它们排出的“叔同数”的个数共有，
故选：C
4．（2023·江苏南通·二模）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）
A．60B．80C．D．
【答案】B
【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可.
【详解】当时，，解得，
则的展开式第项，
令，解得，所以，
故选：B
5．（2023·湖北·统考模拟预测）一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为（ ）
A．B．60C．120D．240
【答案】B
【分析】利用题意找出该组数据的上四分位数为，然后利用二项式展开式的公式找出常数项即可.
【详解】因为，
所以，
所以展开式的通项为：
，
令得：，
所以展开式的常数项为，
故选：B．
6．（2023·江苏·二模）在这个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得公差，进一步确定满足题意的可能情况数，再由古典概型概率公式计算即可．
【详解】因为三个数成递增等差数列，设为，
按题意必须满足， ，
若给定了，则可以取 ，
故三数成递增等差数列的个数为，
所以三数成递增等差数列的概率为 ，
故选：C．
7．（2023·湖南郴州·统考三模）篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】考虑前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况有只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式即可求得答案.
【详解】由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为，
由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为：
只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，
则概率为，
故选：D
8．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A、B两个封闭的盒子中，甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中．按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．考虑第一次取球甲、乙都取到红球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球或第一次取球甲、乙都取到白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，分别求出其概率，即可求出答案.
【详解】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．
若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为，
则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球，盒子B中有2个红球和3个白球，
第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为，
故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，
盒子A有8个球的概率为，
同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，
盒子A中有8个球的概率为，所以两次取球后，
盒子A中恰有8个球的概率是．
故选:A．
9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各自袋中随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入甲的袋子中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入乙的袋子中.则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据取球规则分析得到两次取球后甲的袋子中有6个球时，两次取球均为同色，然后分第一次取球甲、乙都取到红球和白球两种情况求解即可.
【详解】由题，若两次取球后，甲的袋子中恰有6个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色.
若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为，则第一次取球后甲的袋子中有3个红球和2个白球，乙的袋子中有1个红球和2个白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为，故第一次取球甲﹑乙都取到红球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为.同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为.
故所求概率为.
故选：A.
10．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去的情况数，从而得到甲不去小区的情况数，再结合概率公式，即可得到结果.
【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况，
再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，
5人被分为或
当5人被分为时，情况数为;
当5人被分为时，情况数为；
所以共有.
由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则
共计种，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，
所以甲不在小区的概率为
故选：B.
11．（2023·广东江门·统考一模）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可．
【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，
事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，
又，则，
即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．
故选：D．
12．（2023·浙江温州·统考二模）一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为．设，设，记事件“”，“”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出，的概率，由条件概率代入即可得出答案.
【详解】将此骰子任意抛掷2次，则基本事件的方法总数为种，
显然是取大函数，所以“”，
则中有一个数字是5，另一个数字小于等于5，有种；
显然是取小函数，所以“”，“”同时发生，则有和；
所以，，
所以.
故选：B．
二、多选题
13．（2023·江苏南通·二模）已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ）
A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差
B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
C．甲种的样本方差大于乙种的样本方差
D．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数
【答案】ABD
【分析】根据极差判断A，计算平均数判断B，计算方差判断C，分别计算甲乙的样本60百分位数判断D.
【详解】对A，，故A对；
对B，，，故B对；
对C，因为甲、乙平均值都为，所以，
，
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误；
对D，为整数，故甲的60百分位数，
乙的60百分位数为，故D对.
故选：ABD
14．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（ ）
附：随机变量，则，，．
A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15%
B．生产线乙的食盐质量
C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重
D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的
【答案】AD
【分析】根据正态分布的参数，以及结合原则的参考数据，即可判断选项.
【详解】由条件可知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为，
其中，其中，，
则，故A正确；
B. 随机变量x服从正态密度函数，可知，，，
所以生产线乙的食盐质量，故B错误；
C.不一定，可能小概率事件发生，生产线乙产出的包装食盐比生产线甲产出的包装食盐质量轻，故C错误；
D. ，说明生产线甲抽到质量大于515g的可能性很低，所以随机抽取两包质量均大于515g，说明判断出该生产线出现异常是合理的，故D正确.
故选：AD
15．（2023·湖北·校联考模拟预测）爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则（ ）
A．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为
C．表演成功的环节个数的期望为3
D．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
【答案】BCD
【分析】根据互斥事件的概念判断A；根据相互独立事件的乘法公式判断B；根据二项分布的期望公式判断C；根据条件概率的计算公式判断D.
【详解】事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”可以同时发生，故不互斥，A错误；
“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为，B正确；
记表演成功的环节个数为X，则，期望为，C正确；
记事件M：“表演成功的环节恰为3个”，事件N：“迎新春环节表演成功”.
，
由条件概率公式，D正确，
故选：BCD
16．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）在正三棱柱中，若A点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n次后还在底面ABC的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．为等比数列D．
【答案】BCD
【分析】由已知求，判断A，再求出的递推关系，再由递推关系证明是等比数列，判断C，结合等比数列通项公式求，判断B，D.
【详解】由题可知，当时，，故选项A错误．
当时，表示第次在平面ABC的顶点上的概率，表示第次在平面的顶点上的概率．
由底面走到底面的概率为，由上面走到底面的概率为，
所以，得，又，
所以是等比数列，首项为，公比为．C正确；
故，
化简得，故，所以选项BD正确．
故选：BCD.
17．（2023·湖南·模拟预测）已知，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】变换得到，令，可得A正确，，B正确，令，计算C错误，两边同时求导，令，得到D正确，得到答案.
【详解】，
展开式的通项为，
对选项A：令，可得，正确；
对选项B：，所以，正确；
对选项C：令，可得，错误；
对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确．
故选：ABD
18．（2023·广东·校联考模拟预测）已知某养老院75岁及以上的老人占60%．75岁以下的老人中，需要有人全天候陪同的占10%；75岁及以上的老人中，需要有人全天候陪同的占30%．如果从该养老院随机抽取一位老人，则以下结论中，正确的是（ ）
A．抽到的老人年龄在75岁以下的概率为35%
B．抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%
C．抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%
D．抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为40%
【答案】BC
【分析】不妨设共有100名老人，则根据题意作出表格，根据表格数据逐项进项判断即可.
【详解】不妨设共有100名老人，则根据题意可作出如下表格：
所以如果从该养老院随机抽取一位老人，抽到的老人年龄在75岁以下的概率为40%，故选项错误；
抽到的老人需要有人全天全天候陪同的概率为22%，故选项正确；
抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%，故选项正确；
抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为42%，故选项错误，
故选：.
19．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）新型冠状病毒肺炎（Crna Virus Disease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，其中随机事件表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中（ ）
A．每100人必有1人患有新冠
B．若，则事件与事件相互独立
C．若,则某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999
D．若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.001
【答案】BD
【分析】根据相互独立事件，对立事件和条件概率的计算公式逐项进行判断即可求解.
【详解】因为表示每100人大约由1人患有新冠，故选项错误；
因为，所以，又因为，由条件概率的计算公式可得：，若，则，因为，所以事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，故选项正确；
由题意可知：若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率，故选项错误；
某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为，因为，
所以，故选项正确，
故选：.
20．（2023·浙江·模拟预测）用分层随机抽样法从某校高一年级学生的数学竞赛成绩（满分150分）中抽取一个容量为120的样本，其中男生成绩的数据有80个，女生成绩的数据有40个，将这80个男生的成绩分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．男生成绩的样本数据在内的频率为0.015
B．男生成绩的样本数据的平均数为97
C．男生成绩的样本数据的第75百分位数为118
D．女生成绩的样本数据的平均数为91，则总样本的平均数为95
【答案】BCD
【分析】根据频率分布直方图的性质求男生成绩的样本数据在内的频率判断A，
根据平均数的计算公式求平均数判断B，
根据百分位数的定义求男生成绩的样本数据的第75百分位数判断C，
根据分层抽样平均数公式求总样本的平均数判断D.
【详解】由频率分布直方图性质可得男生成绩的样本数据在内的频率为，A错误；
男生成绩的平均数为，B正确；
由已知男生成绩的样本数据低于110的频率为0.65，
男生成绩的样本数据低于130的频率为0.90，
所以男生成绩的样本数据的第75百分位数为，C正确；
总样本的平均数为，D正确．
故选：BCD.
三、填空题
21．（2023·浙江温州·统考二模）若数列满足，则称此数列为“准等差数列”．现从这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等差数列"的概率是__________．
【答案】
【分析】先列举基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.
【详解】和为5有2种组合，和为6有2种组合，
和为7有3种组合，和为8有3种组合，
和为9有4种组合，和为10有4种组合，
和为11有5种组合，
和为12有4种组合，和为13有4种组合，
和为14有3种组合，和为15有3种组合，
和为16有2种组合，和为17有2种组合，
所以.
故答案为：
22．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）的展开式中含项的系数为______.
【答案】
【分析】分项求解，当第一个因式取时，第二个因式取含的项；第一个因式取时，第二个因式取含的项，进而得解.
【详解】的展开式通项，
令，得；令，得，
故的展开式中含项的系数为.
故答案为：.
23．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．
【答案】2
【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可
【详解】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以
当时,,当时,,符合题意
所以展开式中有理项的个数为2
故答案为：2
24．（2023·江苏南京·校考一模）在二项式的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，项的系数是__________．（用数字作答）
【答案】135
【分析】根据给定条件，利用赋值法求出n值，再求出二项式展开式的通项即可求解作答.
【详解】在中，令得所有项的系数之和为，依题意，，解得，
因此的展开式的通项为，
令得：，
所以项的系数是135.
故答案为：135
25．（2023·湖北·统考模拟预测）现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球；乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球．第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为__________．
【答案】
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】记事件，分别表示第一次、第二次取到i号球，，2，3，
依题意，，两两互斥，其和为，
并且，，，
所以，，，
应用全概率公式，有.
故答案为：．
26．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）若，则______．
【答案】
【分析】令可得，分析可知为展开式中的系数，然后利用二项式定理可求得的值.
【详解】令可得，则，
所以，，
所以，为展开式中的系数，
的展开式通项为，
所以，.
故答案为：.
27．（2023·湖南郴州·统考三模）若的展开式中的系数为3，则__________.
【答案】##0.5
【分析】根据二项式展开式通项特征，即可根据得的取值，进而求解.
【详解】由，
则其通项为,
令，则或，
所以，由于，所以，
故答案为：
28．（2023·湖南岳阳·统考二模）在的展开式中项的系数是__________.
【答案】-10
【分析】写出的通项公式，在与相乘，即可求得展开式中含项的系数.
【详解】在的展开式中，设的通项公式为
则在的展开式中含项的系数为：
故答案为：-10
29．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为，若，则的展开式中，的系数为___________.
【答案】
【分析】由二项式定理及列方程求得，再确定的系数即可.
【详解】由题设知：，则，即，解得，
而，又含项为，又，含项为，
故的系数为：.
故答案为：
30．（2023·广东·校联考模拟预测）在展开式中，的系数是________．（用数字作答）
【答案】
【分析】根据题意可得，然后由的展开式通项即可得到结果.
【详解】因为，
且的展开式通项为，
所以的系数是与展开式中的项的乘积的和，
所以有，
故答案为:
需要陪同
不需要陪同
合计
75岁及以上
18
42
60
75岁以下
4
36
40
合计
22
78
100