【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题15 解析几何小题 （基础版）

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2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
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对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】 专题15 解析几何小题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·福建莆田·统考二模）已知F为抛物线的焦点，A为C上的一点，中点的横坐标为2，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据中点的横坐标求出点横坐标，进而由焦半径公式求出答案.
【详解】由题意得：，准线方程为，
设，则中点的横坐标为，
故，解得：，
由抛物线的焦半径可知：.
故选：B
2．（2023·广东惠州·统考模拟预测）“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用集合法进行求解.
【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或.
即.
因为是的真子集，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：B．
3．（2023·浙江·统考一模）设直线与抛物线交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的横坐标是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】直接联立直线方程与抛物线方程，消y整理得，利用韦达定理以及中点坐标公式即可得解．
【详解】联立，消y整理得，
则，所以．
故选：B．
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）设椭圆的半焦距为，若，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由解出，再由离心率公式计算即可.
【详解】由，解得，即的离心率为.
故选：C
5．（2023·江苏·统考一模）已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算公式和离心率公式求解.
【详解】依题意，设，，则，
又，
两式做差可得即，
所以.
故选；B
6．（2023·广东肇庆·统考二模）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值．
【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，
所以，且，所以，
的周长为，
当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则周长的最小值为．
故选：B．
7．（2023·广东佛山·统考一模）已知双曲线C的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长.若直线与C的一条渐近线垂直，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件得到渐近线方程为，分类讨论双曲线焦点在轴和轴的情况，求出即可.
【详解】解：根据渐近线与直线垂直可得渐近线方程为，
当双曲线的焦点在轴上时渐近线为，即，
因为双曲线的虚轴比实轴长，故不符合题意，舍去，
当双曲线的焦点在轴上时渐近线为，即，满足虚轴比实轴长，
所以，解得或（舍去），
所以.
故选：C．
8．（2023·江苏常州·校考一模）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线关于直线的对称性求出直线AB关于对称的直线方程，结合直线与圆的位置关系计算即可求解.
【详解】由题意知，直线AB的斜率为，
所以直线AB关于对称的直线的斜率为，
故对称直线的方程为，即，
由知，圆心为，半径为1，
因为对称直线与圆有公共点，
所以，整理，得，
解得，即实数a的取值范围为.
故选：A.
二、多选题
9．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】AB
【分析】设，根据点P在双曲线上且PA=2，则可求得的值，从而可求得的值，进而可求得PF的长度．
【详解】设，则，，，
则，得或，
当时，，此时，
当时，，此时．
故选：AB．
10．（2023·山东枣庄·统考二模）已知曲线：，：，则（ ）
A．的长轴长为B．的渐近线方程为
C．与的离心率互为倒数D．与的焦点相同
【答案】BC
【分析】将曲线，化为标准方程，可知分别表示椭圆与双曲线，结合它们的几何性质逐项判断即可．
【详解】曲线整理得，则曲线是焦点在轴上的椭圆，
其中，所以，离心率为，
故曲线的长轴长，故A错误；
曲线整理得，则曲线是焦点在轴上的双曲线，
其中，所以，离心率为，
的渐近线方程为，即，故B正确；
，所以与的离心率互为倒数，故C正确；
的焦点在轴上，的焦点在轴上，焦点位置不同，故D错误．
故选：BC.
11．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）若椭圆的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有（ ）
A．B．C． D．2
【答案】BCD
【分析】讨论两顶点的位置，由椭圆的性质结合勾股定理求解.
【详解】由题意可知，，
若这两个顶点为长轴的两个端点时，；
若这两个顶点为短轴的两个端点时，；
若一个顶点短轴的端点，另一个为长轴的端点时，；
故选：BCD
12．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆E上，则（ ）
A．点在x轴上B．椭圆E的长轴长为4
C．椭圆E的离心率为D．使得为直角三角形的点P恰有6个
【答案】BC
【分析】根据椭圆的方程可判断椭圆焦点的位置，以及求出长轴的长，计算出离心率，判断A，B，C；结合向量的坐标运算判断为锐角，根据椭圆对称性可判断D.
【详解】由题意的长半轴长，短半轴长，焦半距，
椭圆的焦点在y轴上，A错误；
椭圆E的长轴长为，B正确；
椭圆E的离心率为，C正确；
椭圆的右顶点，焦点，
所以，
则，即为锐角，
故根据椭圆的对称性可知，使得为直角三角形的点P恰有4个（以或为直角），D错误．
故选：BC．
13．（2023·湖南长沙·统考一模）已知双曲线的方程为，则（ ）
A．渐近线方程为B．焦距为
C．离心率为D．焦点到渐近线的距离为8
【答案】BC
【分析】A选项，先判断出双曲线焦点在轴上，利用公式求出渐近线方程；
B选项，求出，得到焦距；
C选项，根据离心率公式求出答案；
D选项，利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】焦点在轴上，故渐近线方程为，A错误；
，故，故焦距为，B正确；
离心率为，C正确；
焦点坐标为，故焦点到渐近线的距离为，D错误.
故选：BC
14．（2023·湖南·模拟预测）已知圆：与圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与x轴相切，则
B．直线与圆始终有两个交点
C．若，则圆与圆相离
D．若圆与圆存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为
【答案】BC
【分析】选项A：若圆与x轴相切，则等于圆的半径；
选项B：直线恒过定点，点在圆内部，故直线与圆始终有两个交点；
选项C：利用圆心距与半径之和的关系，判断两圆是否外离；
选项D：若圆与圆有公共弦，联立两个圆的方程可得公共弦所在的直线方程为．
【详解】对于选项A：圆：，半径为2，若圆与x轴相切，则，故A错误；
对于选项B：直线，即，恒过定点，
又由，则点在圆内部，故直线与圆始终有两个交点，故B正确；
对于选项C：若，圆为，其圆心为，半径，
圆：，其圆心为，半径，
圆心距，两圆外离，故C正确；
对于选项D：若圆与圆有公共弦，联立两个圆的方程可得
即公共弦所在的直线方程为，故D错误．
故选：BC．
15．（2023·广东江门·统考一模）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示两条平行线，则
B．若曲线表示双曲线，则
C．若，则曲线表示椭圆
D．若，则曲线表示焦点在轴的椭圆
【答案】BD
【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，若曲线表示两条平行线，则有或，且.
若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，
若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，
故A错；
对于B选项，若曲线表示双曲线，则，
由于且，则，可得，则，B对；
对于C选项，若曲线表示椭圆，则，解得且，C错；
对于D选项，若，则，则，
曲线的方程可化为，
此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，D对.
故选：BD.
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆，圆，下列说法正确的是（ ）
A．若，则圆与圆相交
B．若，则圆与圆外离
C．若直线与圆相交，则
D．若直线与圆相交于，两点，则
【答案】AC
【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.
【详解】解：圆的圆心，半径
若，，则圆心，半径，则，
所以，则圆与圆相交，故A正确，B错误；
若直线与圆相交，则圆心到直线的距离，解得，故C正确；
若直线与圆相交于，两点，则圆心到直线的距离，所以相交弦长，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
17．（2023·山东青岛·统考一模）已知O为坐标原点，在抛物线上存在两点E，F，使得是边长为4的正三角形，则______．
【答案】
【分析】根据抛物线的对称性以及边长可得，进而代入抛物线方程即可求解.
【详解】根据抛物线的对称性可知：由为等边三角形，所以关于坐标轴对称，由,，所以,将代入可得，
故答案为：
18．（2023·浙江·统考一模）已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义结合条件可得，，进而可得，即得.
【详解】因为，双曲线，
又，
所以，，
又，
解得，
即a的取值范围是.
故答案为：.
19．（2023·浙江温州·统考二模）已知抛物线和椭圆相交于两点，且抛物线的焦点也是椭圆的焦点，若直线过点，则椭圆的离心率是__________．
【答案】##
【分析】由题意可判断为抛物线和椭圆的通径，通过通径的公式可求出的值，进而求出椭圆的离心率.
【详解】显然，由对称性易知为双通径，
所以，
所以．
故答案为：.
20．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为9，则离心率=______.
【答案】##
【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出离心率
【详解】由A，B两点在直线上，设，
因为A，B两点关于原点对称，所以，
由A，B两点的横坐标之积为9得，解得，所以，
代入双曲线方程得，所以，
所以，所以离心率为.
故答案为：
21．（2023·江苏泰州·统考一模）已知圆，设直线与两坐标轴的交点分别为，若圆上有且只有一个点满足，则的值为__________.
【答案】##
【分析】根据可得在的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解.
【详解】在的垂直平分线上，
所以中垂线的斜率为，
的中点为，由点斜式得，
化简得，
在圆满足条件的有且仅有一个，
直线与圆相切，
，
故答案为: .
22．（2023·江苏·统考一模）已知圆，过点的直线l交圆C于A，B两点，点P在圆C上，若，，则________
【答案】
【分析】根据向量的加减法运算可得，再根据圆的性质可得即可求解.
【详解】
易知圆心，半径，取中点D，则，
因为，
所以，
所以，则，
又，
所以即，
故.
故答案为:.
23．（2023·江苏·统考一模）已知抛物线的焦点为F，点Р是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物线于点B.若PB平行于轴，则AF的长度为____________.
【答案】3
【分析】根据题意分别设出点的坐标，根据可建立变量之间的等式，再根据A、B、F在一条直线上，可再建立一个等式，两等式联立求出点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求得结果.
【详解】解：因为抛物线，所以，
根据题意不妨设，，，
因为，所以，
即，解得，即①，
因为A、B、F三点共线，所以，
即，即，即②，
①除以②可得，，即，即，
将代入①中可得,即，
解得（舍）或，所以，
代入中可得，所以.
故答案为：3
24．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知圆M满足与直线和圆都相切，且直线MN与l垂直，请写出一个符合条件的圆M的标准方程________________________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】不妨设圆与圆外切，根据直线与垂直，可得圆的纵坐标，由两圆的位置关系列出横坐标和半径的等量关系，求解可得圆的一个方程.
【详解】由条件可知：直线与圆相离，不妨设圆与圆外切，
设，半径为，
因为直线与垂直，所以，
则有，解得：，
所以圆的标准方程为：.
故答案为：
25．（2023·湖北·校联考模拟预测）过抛物线焦点F的射线与抛物线交于点A，与准线交于点B，若，则p的值为______.
【答案】3
【分析】作出辅助线，结合焦半径公式和求出答案.
【详解】过点作准线于点M，则，
∵，
∴，
由可得：，即，
解得：，
故答案为：3
26．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则____________.
【答案】8
【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.
【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆的圆心为：，
圆心到的距离为：
，
圆心到的距离为：
，
所以，
由题意，
所以，
故答案为：8.
27．（2023·广东茂名·统考一模）过四点、、、中的三点的一个圆的方程为______（写出一个即可）.
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用圆的一般式方程求过三点的圆.
【详解】过，，时，设圆的方程为，
则，解得，
圆的方程是：，即；
同理可得：
过、、时，圆的方程是：；
过，，时，圆的方程是：；
过，，时，圆的方程是：.
故答案为：.（、、、写其中一个即可）
28．（2023·广东·统考一模）在平面直角坐标系中，等边三角形的边所在直线斜率为，则边所在直线斜率的一个可能值为___________.
【答案】或
【分析】由等边三角形的性质和直线的倾斜角与斜率的关系以及两角和与差的正切公式，得出边所在直线斜率.
【详解】设直线的倾斜角为，由已知得，设直线的倾斜角为，
则，因为在等边三角形中，，所以，
当，，
所以
当，，
所以
综上，或，
故答案为：或
29．（2023·广东·统考一模）已知动圆经过点及原点,点是圆与圆的一个公共点,则当最小时,圆的半径为___________.
【答案】5
【分析】利用两圆的位置关系确定两圆内切时最小,根据位置关系可得圆的半径.
【详解】如图:
记圆半径为R,,则,,
所以,
当最小时,最大,此时两圆内切.
由已知设动圆的圆心为,
又圆心可得
即,
解得,所以,即圆的半径为5.
故答案为:5.
30．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为__________．
【答案】##.
【分析】先结合椭圆的定义表示出，化简后结合的范围可求出的最值，然后列方程可表示出的关系，从而可求出椭圆的离心率.
【详解】因为，
所以，
所以当时，取得最大值，
因为，所以的最小值为，
因为的最大值是它的最小值的2倍，
所以，
所以，所以，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：.