海南省部分学校2024届高三上学期学业水平诊断（一）数学试卷(含答案)

这是一份海南省部分学校2024届高三上学期学业水平诊断（一）数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，则( )
A.B.C.D.
2．若，使得，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．函数的零点所在的区间是( )
A.B.C.D.
4．比尔-朗伯定律是一条有关光吸收的物理定律，常用来描述光在透明介质中传播时的衰减规律，其数学表达式可写为，其中和I表示光在穿过介质前、后的强度（单位：lx），x是光在介质中传播的距离（单位：m），其中k是取决于介质特性的常数.若某处湖面的阳光强度为，对于此湖中的水取，则此湖中20 m深处的阳光强度约为（参考数据：）( )
A.1500 lxB.2000 lxC.3000 lxD.4000 lx
5．已知函数的部分图象如图所示，则的所有可能取值的集合为( )
A.B.C.D.
6．若，且，则( )
A.B.C.D.
7．已知，，，则( )
A.B.C.D.
8．已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数( )
A.0B.1C.2D.3
二、多项选择题
9．已知，，若，则( )
A.B.
C.的最小值为8D.的最大值为
10．已知函数，则( )
A.的最小正周期为π
B.的图象关于直线对称
C.的零点是
D.的单调递增区间为
11．古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，a，b，c分别为的三个内角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在中，，且的面积为，则( )
A.角A，B，C构成等差数列B.的周长为36
C.的内切圆面积为D.边上的中线长度为
12．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，则( )
A.函数的图象关于点对称
B.函数的图象关于直线对称
C.
D.
三、填空题
13．已知函数（），写出一个同时满足下列性质①②的的值：___________.
①当时，；②在上单调递减.
14．已知，则___________.
15．设且，若函数在上单调递增，则a的取值范围是___________.
16．已知函数，若关于x的方程有4个不相等的实数根、、、，则的取值范围是___________.
四、解答题
17．在数列中，，是的前n项和，且数列是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18．国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求图中a的值；
（2）求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；
（3）现要从年龄在与的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率.
19．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B的值；
（2）若，且的面积为1，求的周长.
20．如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
21．已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离是.
（1）求p的值；
（2）已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段的中垂线与E的准线l交于点P，且线段的中点为M，设，求实数的取值范围.
22．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若，函数，且对任意，恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意知，
，所以.
故选：A.
2．答案：B
解析：因为，使得，又因为，所以，
所以实数a的取值范围为.
故选：B.
3．答案：C
解析：易知函数在R上单调递增，
又，，
由函数的零点存在定理可知，函数的零点所在的一个区间是.
故选：C.
4．答案：D
解析：由，得，所以，代入所给数据得.
故选：D
5．答案：B
解析：由图可知，的最小正周期为，所以.
当时，，得，此时；
当时，，得，此时.
故只有一个值.
故选：B.
6．答案：D
解析：，，即，，
，得，，
或，
，且，由三角函数定义知，
，故.
故选：D.
7．答案：C
解析：由题意可得，，，
，
，故.
故选：C.
8．答案：B
解析：由题意知，
因为与曲线相切，
所以，整理得，
同理，
则a，b是方程的两个实数根，
所以，
所以.
故选：B.
9．答案：ABC
解析：对于A和B中，因为，且，可得且，
即，所以，且，，所以A、B正确；
对于C中，由，
当且仅当，且，即，时，取“=”号，所以C正确；
对于D中，由，即，当且仅当，且，即，时，取“=”号，所以D错误.
故选：ABC.
10．答案：AC
解析：.
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，当时，，所以不是的图象的对称轴，故B错误；
对于C，由，可得，所以，
所以，故C正确；
对于D，由，得，
所以函数的单调递增区间为，故D错误.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：对于A，由正弦定理可知，
设，，，
由余弦定理可得，
所以，，故角A，B，C构成等差数列，故A正确；
对于B，根据海伦公式得，，得，
所以，，，所以的周长为，故B错误；
对于C，设内切圆的半径为r，则，得，
所以的内切圆面积为，故C正确；
对于D，设的中点为D，则，
在中，，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：BCD
解析：对于A中，由为奇函数得，
因此，所以的图象关于点对称，所以A错误；
对于B中，由为偶函数得，于是，即，所以的图象关于直线对称，所以B正确；
对于C中，，
从而，所以以4为周期，可得，
由中，令，得，所以C正确；
对于D中，由前面的分析可得，，
所以，
所以D正确.
故选：BCD.
13．答案：（负奇数均可）
解析：由①：当时，，则为奇数，由②：在上单调递减，则，所以可以取任意负奇数，不妨取.
故答案为：（负奇数均可）.
14．答案：/0.6
解析：因为，则.
故答案为：.
15．答案：
解析：由题意知：，
当时，，，所以，所以在上单调递减；
当时，，，要使，则，整理得，
所以，解得.
故答案为：.
16．答案：
解析：由的解析式作出的大致图象，如图所示：
方程有4个不等实数根等价于的图象与直线有4个不同的公共点，
则，不妨令，
则由图可知，，，
所以，，
由，得.
所以，
设，则，
根据对勾函数单调性知在区间上单调递增，所以，
即的取值范围是.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知得，，
所以，①
当时，，②
，得，
也符合该式，
所以.
（2）由（1）得，
所以，③
，④
，得
.
故.
18．答案：（1）
（2）平均数为；中位数约为42.1
（3）
解析：（1）由图可知，
解得.
（2）平均数为.
设中位数为x，由已知可得.
且，
解得，即中位数约为42.1.
（3）年龄在和这两组的人数分别为30，20，
则年龄在的应抽取3人，年龄在的应抽取2人，
设“从这5人中任选3人，年龄在内的至少有2人”为事件A，
则.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
由正弦定理得，
，
由余弦定理知，
又，.
（2）由（1）得，
.
由余弦定理可得，
，.
，
，
的周长为.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在直三棱柱中，平面，
又平面，，
又，，，平面，
平面.
又平面，.
，N分别为，的中点，
，.
，，
，
，，
又，，平面.
平面.
（2）平面，，以A为原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.
，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则即可取.
由（1）知平面，
故可取平面的法向量.
，
二面角的正弦值为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）E的焦点为，
双曲线的渐近线方程为，不妨取，即.
由点到直线的距离公式得，
得.
（2）由（1）知，，l：.
设直线的方程为，
联立消去x并整理，得，
设，，则，，
，
.
易得M点的坐标为，
的中垂线方程为，
令得，
，
从而，
，
实数的取值范围为.
22．答案：（1）在区间和上单调递减，在区间上单调递增
（2）
解析：（1）（1）.
令，得或，
当或时，，当时，，
所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增.
（2）当时，，
.
.
当时，，所以恒成立，等价于恒成立.
由（1）知，，在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，即.
令函数，，则，
所以，
所以m的取值范围是.