四川省南充高级中学2023届高三上学期第二次模拟考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省南充高级中学2023届高三上学期第二次模拟考试数学（文）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,,则集合M和集合N的关系是( )
A.B.C.D.
2．已知,则“” 是“与的夹角为钝角”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3．已知复数z满足，则( )
A.1B.C.D.
4．若,则( )
A.B.C.7D.-7
5．基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与,T近似满足.有学者基于已有数据估计出,.据此,在新冠肺 炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(参考数据:)( )
A.1.5天B.2天C.2.5天D.3.5天
6．函数的图象大致是( )
A.B.
C.D.
7．已知函数是R上的偶函数, 且的图象关于点对称,当时,,则的值为( )
A.-2B.1C.-1D.2
8．已知函数,现将的图向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍, 纵坐标不变,得到函数的图象, 则( )
A.B.-1C.1D.
9．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 其中俯视图的右边为一个半圆, 则此几何体的体积为( )
A.B.C.D.
10．在中,, 若不等式恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.B.
C.D.
11．已知函数, 方程恰有两个不同的实数根,,则的最小值与最大值的和 ( )
A.B.2C.D.
12．已知,,,则( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．记为正项等比数列的前n项和,若,,则的值为__________.
14．已知向量, ,若,则______________
15．棱长为6的正方体内有一个棱长为a的正四面体,且该四面体可以在正方体内任意转动,则a的最大值为______________.
16．已知函数，关于x的方程有三个不等的实根，则实数m的取值范围是_________.
三、解答题
17．随着飞盘运动在网络上火爆起来后,一些年轻人的热情被点燃正值暑假期间,飞盘运动迎来了众多的青少年. 某飞盘运动俱乐部为了解中学生对飞盘运动是否有兴趣,从某中学随机抽取 男生和女生各50人进行调查,对飞盘运动有兴趣的人数占总人数的,女生中有 5 人对飞盘运动没有兴趣.
（1）完成下面2×2列联表,并判断是否有99.9%把握认为对飞盘运动是否有兴趣与性别有关？
（2）按性别用分层抽样的方法从对飞盘运动有兴趣的学生中抽取5人,若从这5人中随机选出2人作为飞盘运动的宣传员,求选出的2人中至少有一位是女生的概率.
附:, 其中.
18．已知向量，，函数.
（1）求的最小正周期及图象的对称轴方程；
（2）若，求的值域.
19．如图, 在直三棱柱中,点E为的中点, 点F在上, 且.
（1）证明:平面平面;
（2）若,,且三棱锥的体积为,求.
20．已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍, 且过点.
（1）求椭圆E的方程.
（2）设椭圆E的下顶点为点A, 若不过点A且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于P,Q两点,直线AP,AQ分别与x轴交于M,N两点. 若M,N的横坐标之积是2,证明:直线l过定点.
21．已知函数 ,.
（1）已知恒成立,求a的值;
（2）当时,,求a的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中,设曲线的参数方程为(t为参数), 以坐标原点O为极点, 以x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程;
(2)若曲线上恰有三个点到曲线的距离为,求实数a的值.
23．已知函数,且的解集为.
(1)求m的值;
(2)若正实数a 、b 、c满足, 求证:.
参考答案
1．答案：C
解析：可通过数轴判断两集合元素之间存在的关系, 再确认M 、N集合之间的关系
将M 、N集合呈现在数轴中, 可观察出M集合元素都在N集合中, 或,
注意元素与集合之间的关系为属于或不属于 集合间的关系不能用属于.
结合题目选项,
故选：C.
2．答案：C
解析：,,
设与的夹角为,
则
若, 则, 当时,,
当且时,与的夹角为钝角.
故 “” 是 “与的夹角为钝角” 的必要不充分条件.
故选：C.
3．答案：D
解析：由可得，
所以
故选：D
4．答案：B
解析：因为，，所以，,
所以，
故选:B.
5．答案：B
解析：因为，，，所以，
所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t天，
则，所以，所以，
所以天.
故选:B.
6．答案：A
解析：因为,
所以为奇函数,所以排除B,D,
又, 所以排除C.
故选：A.
7．答案：C
解析：因为是R上的偶函数，所以，
又的图象关于点对称，则，
所以，则，得，
即，所以是周期函数，且周期，
由时，，则，，，，则，
则.
8．答案：C
解析：将的图向左平移个单位长度,
再将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数,
所以.
故选：C.
9．答案：B
解析：由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的,
故其体积为,
故选：B.
10．答案：A
解析：因为，
所以，
所以.
因为，，，
所以，
所以，
当且仅当，时等号成立.
要使不等式恒成立，则，
解得，
所以实数t的取值范围是.
故选:A.
11．答案：C
解析：作出函数的图象如下图所示:
由图象可知, 当时,直线与函数的图象有两个交点,,
, 则, 可得, 则,
构造函数, 其中,则.
当时, ,此时函数单调递减;
当时,,此时函数单调递增.
所以, ,,,
显然,.
因此,的最大值和最小值之和为.
故选：C.
12．答案：C
解析：
13．答案：2
设正项等比数列的公比为q，因为为正项等比数列的前n项和，且，，所以，即所以，所以((舍去))，又，所以的值为2.
故答案为:2.
14．答案：7
解析：
15．答案：
解析：由题意得，该正四面体在棱长为6的正方体的内切球内，
故该四面体内接于球时棱长最大，因为棱长为6的正方体的内切球半径为
如图，设正四面体，O为底面ABC的中心，
连接PO，则底面ABC，则可知,
正四面体的高,
利用勾股定理可知，解得:
故答案为:.
16．答案：
解析：由题意得，，当时，，递增；当时，，递减，且；可知函数的图象如图所示，
有三个不等的实根，即为有两个不等的实根，令，则有两个不等的实根，则，所以不妨令，则，，解得.
17．答案：（1）列联表见解析,有的把握认为对飞盘运动是否有兴趣与性别有关;
（2）.
解析：（1）依题意, 对飞盘运动有兴趣的人数为,
而女生中有5人对飞盘运动没有兴趣,列联表如下:
的观测值:,
所以有的把握认为对飞盘运动是否有兴趣与性别有关.
（2）用分层抽样的方法从对飞盘运动有兴趣的学生中抽取5人,
其中男生有人, 记为A,B,女生有3人, 记为c,d,e,
从这5人中随机选出2人的不同结果有: AB,Ac,Ad,Ae,Bc,Bd,Be,cd,ce,de,共10个,
其中, 至少有一位是女生的结果有: Ac,Ad,Ae,Bc,Bd,Be,cd,ce,de,共9个,
所以选出的2人中至少有一位是女生的概率.
18．答案：（1），对称轴方程为，
（2）
解析：（1），的最小正周期，
令，，可得，即图象的对称轴方程为，.
（2），，
，可得.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）证明: 在直三棱柱中,
平面,,
点E为的中点,,,,,
,,平面,平面,
平面,平面平面.
（2）,为正三角形,
设, 则,
由 (1) 可得,平面,
依题意得, 故点F到平面的距离为：,
,
,
三棱锥的体积为,,,.
20．答案：（1）
（2）证明见解析.
解析：（1）依题意,,
椭圆E方程为:,又椭圆E过,
于是有 ,解得,,
所以椭圆E的方程为.
（2）由（1） 知 ,
依题意, 设直线l的方程为,,,
直线AP的方程为,
令, 得点M的横坐标为,
同理得点N的横坐标为,
由消去y并整理得,,
,
即,,,
因此,,
即, 解得,
直线l的方程为,l过定点, 所以直线l过定点.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意, 函数定义域为R,,,
令, 即,,求导得,
当时,,函数在R上单调递增,
当时,,不符合题意,
当时, 当时,,
当时, ,即函数在上递减,在上递增,
于是得,因此,
令 ,,
当时, ,
当时,,即函数在上递增,在上递减,
因此,
即,,而,
则有,,所以.
（2）依题意,,,
,
令,,则,
令,, 则,
即函数在上单调递增,
于是得,,
即, 则有,,
令,, 有,
即函数在上单调递增,
则,,
即, 从而得,
函数在上单调递增, 则有,
显然当时,
函数的值域为,
于是得函数在上的值域为,
当时,,
函数在上单调递增,
因此,, 则,
当时, 则存在,使得,
显然函数在上单调递增,
即当时,,则函数在上单调递减,
当时,,与已知矛盾,所以a的取值范围是.
22．答案：(1)
(2)
解析：由已知得代入,消去参数t得 曲线的普通方程为.
(2)由曲线的极坐标方程得,
又，,
所以,即,
所以曲线是圆心为,半径等于的圆.
因为曲线上恰有三个点到曲线的距离为,
所以圆心到直线的距离,
即,解得.
23．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由可得: ,
即, 即或
的解集为，且，;
(2)由（1）知:，，，，，，
，
有兴趣
没兴趣
合计
男
女
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
有兴趣
没兴趣
合计
男
30
20
50
女
45
5
50
合计
75
25
100