新民市第一高级中学2023-2024学年高二下学期期初考试数学试卷(含答案)

这是一份新民市第一高级中学2023-2024学年高二下学期期初考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )
A.B.C.D.
2．在空间直角坐标系中，四面体的顶点坐标分别是，，，.则点B到面ACD的距离是( )
A.B.C.D.
3．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A.B.
C.或D.或
4．已知圆，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为( )
A.B.C.D.
5．已知F为双曲线的左焦点，P，Q为双曲线C右支上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点在线段PQ上，则的周长为( )
A.28B.36C.44D.48
6．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A.1440种B.960种C.720种D.480种
7．某学校高三模拟考试中数学成绩X服从正态分布，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( )人.
参考数据:，
A.261B.341C.477D.683
8．已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系，高三某次模考中，5名学生的数学和地理成绩如下表：
现已知其线性回归方程为，则“”代表该生的地理成绩为( )
A.76C.73D.72.5
二、多项选择题
9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是( )
A.B.
C.向量与的夹角是D.与所成角的余弦值为
10．已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是( )
A.的长轴长与的实轴长相等B.的短轴长与的虚轴长相等
C.焦距相等D.离心率不相等
11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论:①从中任取3球，恰有一个白球的概率是;②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为;③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为;④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.则其中正确命题的序号是( )
A.①B.②C.③D.④
三、填空题
12．已知P是椭圆上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为__________.
13．设，则__________.
四、双空题
14．直线l过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则__________，__________.
五、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，E为CD的中点.
（1）求证:平面PAC；
（2）若，，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值.
16．已知椭圆（）经过两点，.
（1）求椭圆E的方程;
（2）已知直线与x轴交于点，与椭圆E交于两个不同的点，，O是坐标原点，求的面积S.
17．已知OA，OB，OC两两垂直，，，M为OB的中点，点N在AC上，.
（1）求MN的长;
（2）求二面角的余弦值.
（3）若点P在线段BC上，设，当时，求实数的值.
18．已知抛物线的焦点为F，原点为O，过F作倾斜角为的直线l交抛物线C于A，B两点.
（1）过A点作抛物线准线的垂线，垂足为，若直线的斜率为，且，求抛物线的方程;
（2）当直线l的倾斜角为多大时，AB的长度最小.
19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
参考答案
1．答案：C
解析：设向量在基底下的坐标为，则，又向量在基底下的坐标为，则，
所以解得，
所以向量在基底下的坐标为.
2．答案：A
解析：由题意，，，设平面ACD的一个法向量为，则，取，则，
，即B到平面ACD的距离是.
3．答案：D
解析：当直线过原点时，其斜率为，故直线方程为;
当直线不过原点时，设直线方程为，代入点可得，解得，故直线方程为.综上，可知所求直线方程为或.
4．答案：B
解析：圆C的方程可化为，所以当时圆C的面积最大.即圆心C的坐标为.
5．答案：C
解析：如图所示:
双曲线的左焦点为，
点是双曲线的右焦点，又，虚轴长为，.
①，②，①+②得，
的周长.
6．答案：B
解析：5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有种不同的排法，选B.
7．答案：B
解析：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人.
8．答案：A
解析：，，
所以.
9．答案：AB
解析：以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是，
可设棱长为1，则，
，
而，所以A正确.
，所以B正确.
向量，显然为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是，向量与的夹角是，则C不正确又，则，，，所以，所以D不正确.
10．答案：CD
解析：由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，当时，，，双曲线的焦点在x轴上，其实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为.故的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等，与的焦距相等，离心率不相等.
11．答案：ABD
解析：①从中任取3个球，恰有一个白球的概率是，故①正确;②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰有两次取白球的概率是，故②正确;
③从中不放回的取球2次，每次任取一球，则在第一次取到红球后，此时袋中还有3个红球2个白球，则第二次再次取到红球的概率为，故③错误;
④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到红球的概率为，所以至少有一次取到红球的概率为，故④正确，
12．答案：/
解析：因为E的离心率为，所以，解得:，设，则，所以，
所以，.
13．答案：-63
解析：由，
令，得，
令，得，
所以.
14．答案：2；1
解析：方法一：由题意知，从而，所以抛物线方程为.当直线斜率不存在时:代入，解得，从而.当直线斜率存在时:设的方程为，联立，整理，得，设，，则从而.
方法二：例上，，即可得结果.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）平面，平面，，又正方形中，，，，平面PAC，所以平面PAC.
（2）以点A为坐标原点，分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知:
，，，，，
则，，，，
设平面PBC的法向量为，
则，
令，得到，，
设平面PCD的一个法向量为，
则，
令，得到，，
设平面PBC与平面PCD夹角为，
.
所以平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为椭圆过两点，，代入可得，解得，，所以椭圆E的方程为.
（2）联立方程组，消去x得，解得，，所以的面积为.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）以O为原点，以OA，OB，OC分别为x，y，z轴，建立直角坐标系:
则，，，，，，
所以，，，
所以.
（2）设平面的一个法向量为:，
则，即，
令，则，，，
又平面AOB的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则.
（3）设点，因为，
所以，即，
解得，所以，
因为，
所以，即，解得.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）准线与x轴的交点为M，则由几何性质得，，
且，
为等边三角形，得，
抛物线方程为.
（2），直线l的方程可设为，由得，
设，，则，得，所以，当且仅当等号成立，
.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）记事件M：甲连胜四场只能是前四场全胜，则.
（2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为，
需要进行第五场比赛的概率为.
（3）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，记事件M：甲赢，记事件N：丙赢，
则甲赢的基本事件包括BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，
甲赢的概率为.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
丙赢的概率为.
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
100
105
90
85
80
地理成绩y
75
68
64
62