2023年中考数学压轴真题汇编(全国通用)2.1两条直线的位置关系(分层练习)(原卷版+解析)

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基础篇
一、单选题
1．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．过两点有且只有一条直线B．两点之间线段最短
C．一个角的补角一定大于这个角D．钝角的补角一定是锐角
2．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）已知与互余，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，直线a，b被直线c所截，则与是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角
4．（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）已知的余角为35°，则的补角度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，直线a、b被直线c所截，的同位角是（ ）
A．B．C．D．以上都不是
6．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）若一个锐角的补角比这个锐角的4倍少，则这个锐角为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2022秋·浙江金华·七年级统考期末）已知与互余，，则___________．
8．（2023秋·天津东丽·七年级统考期末）一个角的度数为，这个角的余角的度数是________．
9．（2023秋·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，若，则____________.
10．（2022春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）要从小河a引水到村庄A，且距离最短，如图所示设计并作出的是最短路线，理由是_____．
三、解答题
11．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，点A、B、C在一条直线上，已知，，则与垂直吗？请说明理由．
12．（2023秋·安徽淮南·七年级统考期末）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．
(1)当时，求的度数；
(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由．
提升篇
一、填空题
1．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）若一个角的补角等于这个角的余角的5倍，则这个角为___________．（用度、分、秒的形式表示）
2．（2023春·湖南株洲·七年级统考阶段练习）如图，于点，经过点，，___________．
3．（2022春·广东河源·七年级校考期末）如图，中，，P为直线上一动点，连，则线段的最小值是______．
4．（2023秋·湖南常德·七年级校考期末）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②，③；④，正确的有___________．（填序号，多选）
5．（2023春·七年级课时练习）龙岗某校积极响应“双减”政策，开展课后延时服务，七年级某数学兴趣小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线的垂足O处，并使两条直角边落在直线上，若将绕着点O顺时针旋转一个小于的角得到，射线是的角平分线且满足，则__________．
二、解答题
6．（四川省南充市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，点在直线上，与互补，分别是，的平分线．
(1)当时，求，的度数．
(2)若，求的度数．
7．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点O在直线上，，射线分别平分和：
(1)若，求的度数；
(2)请写出图中所有与互余的角，并说明理由．
8．（四川省南充市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）在桌上放置一副三角板（忽略厚度），有两个角的顶点重合于一点，，．
(1)如图1，当重合时，写出图中互补的角（写出三对即可）．
(2)绕着点O转动三角板（两个三角板有重叠），的大小是否发生变化？若不发生变化，求出它的值；若发生变化，说明理由．
(3)在（2）的条件下，当时，求的度数．
第二章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
基础篇
一、单选题
1．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．过两点有且只有一条直线B．两点之间线段最短
C．一个角的补角一定大于这个角D．钝角的补角一定是锐角
【答案】C
【分析】分别根据直线的定义，补角的定义以及线段的性质判断即可．
【详解】解：A．两点确定一条直线，故正确，不合题意．
B．两点之间线段最短，故正确，不合题意；
C．一个角的补角不一定大于这个角，比如，的补角为，但是，故错误，符合题意；
D．钝角的补角一定是锐角，故正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线的定义，补角的定义以及线段的性质，熟记相关定义是解答本题的关键．
2．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）已知与互余，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据余角的定义即可得到答案．
【详解】解：∵与互余，
∴，
∵，
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了余角，熟练掌握两个角的和是，则两个角互为余角是解题的关键．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，直线a，b被直线c所截，则与是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角
【答案】C
【分析】根据同旁内角的定义可判断．
【详解】∵和都在直线c的下侧，且和在直线a、b之内
∴和是同旁内角的关系
故选：C．
【点睛】本题考查同旁内角的理解，解题的关键是根据定义来判断．
4．（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）已知的余角为35°，则的补角度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据余角的定义得出，再由补角的定义即可求出答案．
【详解】解：∵的余角为35°，
∴
∴的补角．
故选B．
【点睛】本题考查余角和补角的计算，掌握余角和补角的定义是解题关键．
5．（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，直线a、b被直线c所截，的同位角是（ ）
A．B．C．D．以上都不是
【答案】B
【分析】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角即可得出答案．
【详解】解：的同位角是，
故选：B．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成“ “形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形是解题的关键．
6．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）若一个锐角的补角比这个锐角的4倍少，则这个锐角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先设出这个角，再表示出这个角的补角，根据题干中的等量关系进行计算即可求解．
【详解】解：设这个锐角为x，则这个锐角的补角为，
由题意可知：
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查补角，解题的关键是根据假设表示出补角列出方程．
二、填空题
7．（2022秋·浙江金华·七年级统考期末）已知与互余，，则___________．
【答案】
【分析】根据与互余，可得，再进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵与互余，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了互余，角的加减运算，掌握互余的含义，角的四则运算的运算法则是解题关键．
8．（2023秋·天津东丽·七年级统考期末）一个角的度数为，这个角的余角的度数是________．
【答案】
【分析】利用余角的定义直接计算求解即可.
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查余的定义和角度的计算，余角：如果两个角相加等于90°，那么这两个角互为余角．掌握概念和、是本题的解题关键.
9．（2023秋·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，若，则____________.
【答案】60
【分析】根据题意得到，再计算，然后根据进行计算即可．
【详解】解：∵，
而，
∴，
∴．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了余角和补角，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
10．（2022春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）要从小河a引水到村庄A，且距离最短，如图所示设计并作出的是最短路线，理由是_____．
【答案】垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【详解】解：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
因此过点A作河岸的垂线段，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
三、解答题
11．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，点A、B、C在一条直线上，已知，，则与垂直吗？请说明理由．
【答案】与垂直，理由见解析
【分析】根据平角的定义求出，即可判定垂直．
【详解】解：与垂直．
理由如下：∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平角的定义，垂直的定义，比较简单．根据平角的定义求出是解题的关键．
12．（2023秋·安徽淮南·七年级统考期末）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．
(1)当时，求的度数；
(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见详解
【分析】（1），，可求出的度数，平分，可求出的度数，根据平角即可求解；
（2），，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵OB平分，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查角的和、差、倍、分，理解图示中角度的数量关系，位置关系，互余、互补的运算是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）若一个角的补角等于这个角的余角的5倍，则这个角为___________．（用度、分、秒的形式表示）
【答案】
【分析】利用题中的关系“一个角的补角等于这个角的余角的5倍”作为相等关系列方程求解即可．
【详解】解：设这个角为x，则它的补角为，余角为，由题意得：
，
解得：．
即这个角的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了余角和补角的定义，一元一次方程的应用．解此题的关键是能准确的从题中找出各个量之间的数量关系，找出等量关系列方程，从而计算出结果．互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为．
2．（2023春·湖南株洲·七年级统考阶段练习）如图，于点，经过点，，___________．
【答案】##62度
【分析】先根据垂直的定义求出，再根据对顶角相等解答即可.
【详解】解：如图所示，
，
，
，
．
故答案为：.
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，余角的定义，垂线的定义，掌握相关基础知识是解题关键．
3．（2022春·广东河源·七年级校考期末）如图，中，，P为直线上一动点，连，则线段的最小值是______．
【答案】
【分析】根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可。
【详解】∵点到直线的距离，垂线段最短，
∴当时，的值最小，
在中，
∵，
∴，即：，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查垂线段最短，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
4．（2023秋·湖南常德·七年级校考期末）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②，③；④，正确的有___________．（填序号，多选）
【答案】①②④
【分析】由和互补，可得，即：，，再用不同的形式表示的余角．
【详解】解：和互补，
，
，
∴的余角为：，故①正确，
，故②正确，
，故④正确，
因此正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查互为余角、互为补角的意义，熟悉利用等式的性质进行变形和整体代入的方法是解题的关键．
5．（2023春·七年级课时练习）龙岗某校积极响应“双减”政策，开展课后延时服务，七年级某数学兴趣小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线的垂足O处，并使两条直角边落在直线上，若将绕着点O顺时针旋转一个小于的角得到，射线是的角平分线且满足，则__________．
【答案】或
【分析】分两种情况进行讨论，①当在内部时，②当在内部时，根据角平分线的定义，以及角度之间的和差关系，即可进行解答．
【详解】解：设，
①当在内部时，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，则，
∵，
∴，解得：
∴；
②当在内部时，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义以及角度之间的和差关系．
二、解答题
6．（四川省南充市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，点在直线上，与互补，分别是，的平分线．
(1)当时，求，的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据同角的补角相等，得出，根据已知条件得出，根据角平分线的定义，得出，，根据即可求解；
（2）由（1）得出，继而得出①，又②，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∵，
∴，
∵分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∴，；
（2）由（1）可知，
∵，
∴①，
又∵，
∴②，
①+②得，
∴．
【点睛】本题考查了同角的补角相等，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
7．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点O在直线上，，射线分别平分和：
(1)若，求的度数；
(2)请写出图中所有与互余的角，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是的余角，理由见解析
【分析】（1）先求出，再根据平角的定义求出，最后根据角平分线的定义即可得到；
（2）先证明，再由角平分线的定义和平角的定义推出，，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴
（2）解：是的余角，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是的余角．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，余角的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
8．（四川省南充市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）在桌上放置一副三角板（忽略厚度），有两个角的顶点重合于一点，，．
(1)如图1，当重合时，写出图中互补的角（写出三对即可）．
(2)绕着点O转动三角板（两个三角板有重叠），的大小是否发生变化？若不发生变化，求出它的值；若发生变化，说明理由．
(3)在（2）的条件下，当时，求的度数．
【答案】(1)与；与，与
(2)的大小不变，
(3)
【分析】（1）根据三角板中的角度，结合补角的定义，即可求解；
（2）根据，即可求解．
（3）根据题意，设，表示出，根据，列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵；
；
；
图中互补的角有与；与，与；
（2），
∵，
∴的大小不变，，
（3）解：设，
则，
∵，
∵，
∴，
解得：，
即：．
【点睛】本题考查了补角的定义，三角板中角度的计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．