2023年中考数学压轴真题汇编(全国通用)4.6利用相似三角形测高(分层练习)(原卷版+解析)

这是一份2023年中考数学压轴真题汇编(全国通用)4.6利用相似三角形测高(分层练习)(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了6 利用相似三角形测高，5m，他的影长2，8米，甲树的影长为4，2米等内容，欢迎下载使用。
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2020·浙江嘉兴·八年级期末）直角三角形两条直角边长分别是5和12，则斜边上的高是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·云南省个旧市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3D．BC是△ABE的高
3．（2022·江苏·灌南县新知双语学校七年级阶段练习）如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，的高、相交于O，如果，那么的大小为（ ）
A．35°B．105°C．125°D．135°
5．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在中，，分别是边上的中线与高，，的面积为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，AD是高，角平分线BE交AD于点F，若∠BAC=60°，∠C=70°，则∠DFB的度数为（ ）
A．75°B．65°C．60°D．55°
二、填空题
7．（2020·山东·胶州市第七中学九年级阶段练习）小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.5m，他的影长2.0m，小红比小明矮30cm，此刻小红的影长为______m．
8．如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = ______米；
9．我军侦察员在距敌方100m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食E指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m.
10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长．
12．（2022·全国·九年级课时练习）下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度．
提升篇
一、填空题
1．（2021·山东泰安·九年级期末）小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为__________米．
2．（2022·全国·九年级单元测试）贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为________米（结果保留两位小数）。
3．（2020·湖南·株洲县教学研究室九年级期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度等于_______．
4．（2020·陕西·交大附中分校九年级阶段练习）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米
5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为_____海里．（结果保留根号）
二、解答题
6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，小明同学为了测量路灯的高度，先将长的竹竿竖直立在水平地面上的处，测得竹竿的影长，然后将竹竿向远离路灯的方向移动到处，即，测得竹竿的影长（、为竹竿）．求路灯的高度．
7．（2022·全国·九年级课时练习）枣庄某学校九年级一班进行课外实践活动，王嘉同学想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，王嘉边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得王嘉落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知王嘉的身高EF是1.7m，请你帮王嘉求出楼高AB．
8．（2022·全国·九年级单元测试）在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作；
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
(1)在横线上直接填写甲树的高度为_____________米；
(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．
题目
测量小河的宽度
测量目标示意图
相关数据
BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m
第四章 图形的相似
4.6 利用相似三角形测高
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2020·浙江嘉兴·八年级期末）直角三角形两条直角边长分别是5和12，则斜边上的高是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先利用勾股定理求出斜边，然后利用直角三角形的面积求高即可．
【详解】∵直角三角形两条直角边长分别是5和12，
∴斜边为，
设斜边上的高为h，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理和直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2021·云南省个旧市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3D．BC是△ABE的高
【答案】C
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：、，是的中线，正确；
、平分，是的角平分线，正确；
、是的角平分线，
，
是中线，
，
不正确，符合题意；
、，是的高，正确．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线，高线，中线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．
3．（2022·江苏·灌南县新知双语学校七年级阶段练习）如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由中线的性质可得，，由角平分线的定义可得；由AF是的高，可得．
【详解】解：是中线，
，，故A、D说法正确；
是角平分线，
，
，故C说法错误；
是的高，
，
，故B说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，的高、相交于O，如果，那么的大小为（ ）
A．35°B．105°C．125°D．135°
【答案】C
【分析】先根据三角形的内角和定理结合高的定义求得∠ABC+∠ACB、∠ABE、∠ACD的度数，即可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而可以求得结果．
【详解】解：∵∠A=55°，CD、BE是高
∴∠ABC+∠ACB=125°，∠AEB=∠ADC=90°
∴∠ABE=180°－∠AEB－∠A=35°，∠ACD=180°－∠ADC－∠A=35°
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）－（∠ABE＋∠ACD）=55°
∴∠BOC=180º－（∠OBC+∠OCB）=125°
故选C．
【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理和高，三角形的内角和定理是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握．
5．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在中，，分别是边上的中线与高，，的面积为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据三角形面积和高AE的长求出底边BC的长，再根据AD是中线得到CD=BC，求出CD的长．
【详解】解：∵S△ABC= =24， AE=8，
∴BC=6，
∵AD是BC上的中线，
∴CD=BC=3．
故选：B．
【点睛】此题考查三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出BC的长是解题关键．
6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，AD是高，角平分线BE交AD于点F，若∠BAC=60°，∠C=70°，则∠DFB的度数为（ ）
A．75°B．65°C．60°D．55°
【答案】B
【分析】由三角形内角和求出∠ABC=50°，由BE平分∠ABC可求∠EBC =，由高线AD⊥BC利用余角关系可求∠BFD=65°．
【详解】解：∵∠BAC=60°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-70°=50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC =，
∵AD⊥BC，
∴∠BFD= 90º-∠FBD=90°-25°=65°，
故选择：B．
【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线，高线，余角关系，掌握三角形内角和定理，角平分线定义，高线定义，余角关系性质是解题关键．
二、填空题
7．（2020·山东·胶州市第七中学九年级阶段练习）小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.5m，他的影长2.0m，小红比小明矮30cm，此刻小红的影长为______m．
【答案】1.6
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】解：根据题意知，小红的身高为150-30=120（厘米），
设小红的影长为x厘米
则，
解得：x=160，
∴小红的影长为1.6米，
故答案为1.6
【点睛】此题主要考查了平行投影，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．
8．如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = ______米；
【答案】80
【分析】过点C作CE⊥AB后，图中将有两个直角三角形．先在△BCE中，利用已知角的正切值求出CE，然后在△CEA中，利用已知角的正切值求出AE即可解决问题．
【详解】
解：作CE⊥AB，垂足为E．
在Rt△BCE中，BE=CD=20,CE=BE÷tan30°=20，
在Rt△ACE中，可得AE=CE×tan60°=20=60，
故AB=AE+EB=60+20=80（米）．
故答案为80
【点睛】本题考查仰角、俯角的定义，要求学生能借助角度构造直角三角形并解直角三角形．
9．我军侦察员在距敌方100m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食E指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m.
【答案】20
【分析】由题意知△ABC∽△ADE，然后根据相似三角形对边的比与对应高的比相等列式求解即可.
【详解】解：∵40cm=0.4m，8cm=0.08m
∵BC∥DE，AG⊥BC，AF⊥DE．
∴△ABC∽△ADE，
∴BC：DE=AG：AF，
∴0.08：DE=0.4：100，
∴DE=20m．
故答案为20．
【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求解即可．此题是实际应用题，解题时首先要理解题意，将实际问题转化为三角形相似问题求解；相似三角形的对应边成比例．
10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m．
【答案】7.5
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小颖同学的身高即可求得树高AB．
【详解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵DE＝8cm＝0.08m，DF＝10cm＝0.1m，AC＝1.5m，CD＝8m，
∴由勾股定理求得EF＝0.06m，
∴，
∴BC＝6米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（米）．
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长．
【答案】PQ的长为120m
【分析】证△PQR∽△PST，利用对应边成比例建立方程求解即可．
【详解】解：设PQ＝xm，
由题意可知QR∥ST，
∴△PQR∽△PST
∴．
∴，
解得：x＝120．
∴PQ的长为120m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用对应边成比例建立方程是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级课时练习）下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度．
【答案】10m
【分析】利用BC//DE，可得到△ABC∽△ADE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长．
【详解】解：∵BC//DE，
∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
即，
解得：AB＝10，
答：小河的宽度为10m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2021·山东泰安·九年级期末）小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为__________米．
【答案】2．
【分析】在同一时刻物高和影长成比例，列比例式求解即可．
【详解】解：设他的同学的影长为xm，
∵同一时刻物高与影长成比例，
∴，
解得，x=2,
经检验，x=2是原方程的解，
∴他的同学的影长为2m，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了同一时刻物高与影长成比例，利用同一时刻物高与影长成比例列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．
2．（2022·全国·九年级单元测试）贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为________米（结果保留两位小数）。
【答案】1.67
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设金老师的高度为xm，
则，
解得x=1.67．
故答案为：1.67．
【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力．
3．（2020·湖南·株洲县教学研究室九年级期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度等于_______．
【答案】
【分析】易证△ABE∽△DCE，即可求得．
【详解】∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
∴
即
故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
4．（2020·陕西·交大附中分校九年级阶段练习）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米
【答案】2.4
【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD=AB=3.5m，OD=OA=3m，CH=0.3m，
∴OC=0.5m，
∴，
∴DG=1.8m，
∵OE=0.6m，
∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m)．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为_____海里．（结果保留根号）
【答案】40
【分析】根据题意画出草图，再利用三角函数就可以求解出的距离．
【详解】解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，
∵PA＝80，∠PAC＝30°，
∴PC＝40海里，
在Rt△PBC中，PC＝40，∠PBC＝∠BPC＝45°，
∴PB＝40海里，
故答案为40．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，通过构造直角三角形，利用三角函数来计算未知量，此类题目应当引起注意，是经常的考题模式．
二、解答题
6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，小明同学为了测量路灯的高度，先将长的竹竿竖直立在水平地面上的处，测得竹竿的影长，然后将竹竿向远离路灯的方向移动到处，即，测得竹竿的影长（、为竹竿）．求路灯的高度．
【答案】路灯的高度为7m
【分析】先根据AB⊥OF，CD⊥OP可知△EAB∽△EPO，同理可得△FCD∽△FPO，再由相似三角形的对应边成比例即可得出OP的值．
【详解】解：由已知得，m，m，m，m，
，，，
∴在和中，
，
∴∽
∴，即，
∴，
在和中
，
∴∽，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，，即路灯的高度为．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）枣庄某学校九年级一班进行课外实践活动，王嘉同学想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，王嘉边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得王嘉落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知王嘉的身高EF是1.7m，请你帮王嘉求出楼高AB．
【答案】26.2米
【分析】过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，由四边形CDME、ACDN是矩形，得AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），得MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），依题意知，EF∥AB，则△DFM∽△DBN，解得BN＝25（m），即可AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．
【详解】解：过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，
∴四边形CDME、ACDN是矩形，
∴AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），
∴MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），
∴依题意知，EF∥AB，
∴△DFM∽△DBN，
∴，
即：，
∴BN＝25（m），
∴AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．
答：楼高为26.2m．
【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．
8．（2022·全国·九年级单元测试）在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作；
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
(1)在横线上直接填写甲树的高度为_____________米；
(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．
【答案】(1)5.1
(2)4.2米
【分析】（1）根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用比例式直接得出树高；
（2）根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案．
（1）
解：根据题意得：
解得：（米），
故答案为：5.1．
（2）
解：假设是乙树，
∴（米）（米）
∴，
∴，
∴（米），
∴，
∴（米），
答：乙树的高度为米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙时求出影长是解决问题的关键．
题目
测量小河的宽度
测量目标示意图
相关数据
BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m