山东省菏泽市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

这是一份山东省菏泽市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，是平面上的非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．将向量绕坐标原点O逆时针旋转60°得到，则（ ）
A．1B．C．2D．
5．如图，在中，，，P为上一点，且，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．桂林日月塔又称金塔银塔，情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称．如图1，这是金银塔中的金塔，㭉数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为60°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，米，，则该塔的高度（ ）
A．米B．米C．50米D．米
7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形
8．如图，圆M为的外接圆，，，N为边的中点，则（ ）
A．10B．13C．18D．26
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，，，则符合条件的有两个
D．对任意，都有
10．下列说法中错误的是（ ）
A．若，都是非零向量，则“”是“与共线”的充要条件
B．若，都是非零向量，且，则
C．若单位向量，，满足，则
D．若I为三角形外心，且，则B为三角形的垂心
11．如下图，在平行四边形中，对角线与交于点O，则以下说法正确的有（ ）
A．恒有成立
B．若，，，则平行四边形的面积为
C．恒有成立
D．若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数m的取值范围为______．
13．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周䯓算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为23°和83°．设表高为1米，则影差______米
（参考数据：，）
14．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若是锐角三角形且角，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）已知，．
（1）若，且A、B、C三点共线，求m的值．
（2）当实数k为何值时，与垂直?
16．（本小题满分15分）如图，在中，，，点D在线段上，且．求：
（1）的长；
（2）的大小．
17．（本小题满分15分）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子•离娄章句上》。“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点A，B，C都在圆周上，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
（1）求；
（2）若的面积为，且，求的周长
18．（本小题满分17分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①是的平分线；②D为线段的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
19．（本小题满分17分）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4．
（1）若，，求的面积；
（2）若，求的最大值．
菏泽一中八一路高一下学期第一次月考
数学试题答案
1．B 2．D 3．C 4．B
5．D 因为，所以，
所以，
因为，所以，
即，因为P，C，D三点共线，所以，解得，
所以，，
，．
6．B 由题意可知，，，
设米，则在中，米，
在中，米．由余弦定理可得
，即，解得．因为米，所以米．
7．B 因为，所以，
因为，所以，所以，所以；
因为，所以，所以，所以，所以，所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，所以，
则是直角三角形，故选：B
8．B ∵N是边的中点，可得，∵M是的外接圆的圆心，
∴，同理可得，
∴．
9．对于A选项，由，根据正弦定理得，（r为外接圆半径），即则，故A正确；
对于B，，
所以，
所以，
所以，，三个数有0个或2个为负数，又因A，B，C最多一个钝角，
所以，，，即A，B，C都是锐角，
所以一定为锐角三角形，故B正确；
对于C，由正弦定理得，则，
又，则，知满足条件的三角形只有一个，故C错误；
对于D，因为，所以，又函数在上单调递减，
所以，所以，故D正确；
故选：ABD
10．AC 于A项，由与共线，可取，则，
因，，故，故A项错误；
对于B项，由两边平方，展开得，
化简得：，即，故B项正确；
对于C项，由可得：，两边平方，
因，，是单位向量，则，解得，
又由可得：，两边平方，，
因，，是单位向量，则，解得，
则，故C项错误；
对于D项，如图，因，，故由可得：，
故得点I为边的中点，即三角形的外心为的中点，
即，故得，即B为三角形的垂心，故D项正确．
故选：AC．
11．ABC 设，，以其为基底，，，
则，
故A正确；由，
所以，，
故B正确；∵，∴，
故C正确；由C项可得，
故D错误．故选：ABC
12． 因为与所成的角为锐角，故且，不共线同向．
故即．若，共线，则即，
故实数m的取值范围为．
故答案为：．
13．2.232 在中，（米）．
在中，由正弦定理，得，
即，
所以（米）．因为，
且，
所以，所以（米）．
14． 解：由正弦定理可得，，
因为是锐角三角形，
所以即即即，
所以，所以，所以的取值范围为．
15．（1）由题意可得，，，且A、B、C三点共线，则可得，
即，解得；
（2）由题意可得，，，
因为与垂直，则可得，解得．
16．（1）设，，
则，
∴，故．
（2）设，则为向量与的夹角．
∵，
∴，即．
17．（1）设的外接圆半径为R，则，
由正弦定理，可得．
（2）∵，则，故C为锐角，∴，
由面积公式，即，可得，
由余弦定理，即，
可得，解得，故的周长为．
18．（1）解：由正弦定理知，，
∵，代入上式得，
∵，∴，，∵，∴．
（2）若选①：由平分得，，
∴，即．
在中，由余弦定理得，
又，∴，联立得，
解得，（舍去），∴．
若选②：因为，，，得，在中，由余弦定理得，即，联立，可得，
∴．
19．（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得．
在中，，则，解得．
又，所以；在中，，，，所以．
（2）设，．
又，所以．
因为，所以．
在中，，由正弦定理得，
即，解得．
在中，，由正弦定理得，
即，解得，
所以．
又，所以，
当且仅当，即时，取得最大值1，
所以的最大值为．