2023年福建省龙岩市长汀县中考一模数学试卷（附解析版）

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（考试时间：120分钟；满分150分）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 的倒数为（ ）
A. B. 3C. D.
2. 在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A 圆锥B. 正方体C. 三棱柱D. 圆柱
3. 某市有3万名学生参加中考，为了考察他们的数学考试成绩，抽样调查了2000名考生的数学成绩，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A. 3万名考生是总体B. 每名考生的数学成绩是个体
C. 2000名考生是总体的一个样本D. 2000名是样本容量
4. 下列运算正确是（ ）
A B. C. D.
5. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
A. 70°B. 75°C. 80°D. 85°
6. 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB'C'，连接CC'，若CC'//AB， 则∠CAB'的度数为 （ ）
A. 45°B. 60°C. 70°D. 90
7. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，且满足，，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
9. 如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'．当五边形A'B'BCD为正五边形时，即长为（ ）
A. 1B. C. D.
10. 已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分）
11. 不等式解集是______．
12. 小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中______.
13. 如图，在中，，把沿射线方向平移4个单位至处，与交于点．若，则图中阴影部分的面积为________．
14. 如图，在中，，，．是的内切圆，分别与、、相切于点、、，则圆心到顶点的距离________．
15. 如图，点、为反比例函数图象上的点，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点恰好为的中点，当的面积为时，的值为____________．
16. 如图，正方形中，是线段上一动点，连接交于点，过点作交于点，连接，，现有以下结论：①是等腰直角三角形；②；③点到的距离等于正方形的边长；④当点运动到的三等分点时，或．以上结论正确的有________．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，请在数，0，2中选取一个合适的数作为的值代入求值．
19. 如图，在中，点P，Q分别在边及的延长线上，且．
（1）实践与探索：利用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作，且点M在的上方；
②在上截取；
③连接．
（2）猜想与验证：试猜想线段和的数量关系，并证明你的猜想．
20. 如图，在平行四边形中，E是边上一点，连接，若，求证：．
21. 某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：．器乐，．舞蹈，．朗诵，．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有________人；扇形统计图中表示选项的扇形圆心角的度数是________，并补全条形统计图；
（2）该校共有名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
（3）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
22. 红灯笼，象征着阖家家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同， 已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．
①填空：与之间的函数关系式是___________；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元?
23. 如图，在中，，以为直径作，交于点F，过C点作交延长线于点D，E为上一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求的长．
24. 已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长？
（3）当时，求的最大值？
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，已知．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P为抛物线上的点，且点P的横坐标为3，F是抛物线上异于点P的点，连接，当，求点F的横坐标；
（3）如图2，点Q为直线上方抛物线上一点，交于点D，交于点E．记，，的面积分别为，，．求的最大值．