四川省南充市2024届高三高考适应性考试（二诊）理科数学试题及答案

这是一份四川省南充市2024届高三高考适应性考试（二诊）理科数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
4．设是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于点对称
6．若复数，且z和在复平面内所对应的点分别为P，Q，O为坐标原点，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知点为可行域内任意一点，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数．设时，取得最大值．则（ ）
A．B．C．D．
9．执行下面的程序框图，则输出的（ ）
A．37B．46C．48D．60
10．三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数在区间上有且仅有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（ ）个．
①
②
③若点与点关于轴对称，则的面积为
④当时，内切圆的面积为
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．已知，则
14．已知x，y是实数，，且，则的最小值为
15．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．则的最大值为
16．“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：
设是坐标平面内的两点，则A，B两点间的曼哈顿距离为．
在平面直角坐标系中中，下列说法中正确说法的序号为
①．若，则；
②．若O为坐标原点，且动点P满足：，则P的轨迹长度为；
③．设是坐标平面内的定点，动点N满足：，则N的轨迹是以点为顶点的正方形；
④．设，则动点构成的平面区域的面积为10．
三、解答题
17．在数列中，是其前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，恒成立，求的取值范围．
18．如图所示，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值；
19．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)设临界值时，将2个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于A型手机，求芯片生产商的损失（单位：元）的分布列及期望；
(2)设且，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产：
方案一：将芯片不作该指标检测，Ⅰ级品直接应用于A型手机，Ⅱ级品直接应用于B型手机；
方案二：重新检测该芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；
请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
20．如图，已知四边形的四个顶点都在抛物线上，且A，B在第一象限，轴，抛物线在点A处的切线为l，且．

(1)设直线的斜率分别为k和，求的值；
(2)P为与的交点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围．
21．设函数，．
(1)若函数在区间是单调函数，求的取值范围；
(2)设，证明函数在区间上存在最小值，且
22．在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为．
(1)求曲线C在直角坐标系中的普通方程；
(2)已知，直线与曲线C交于A，B两点，求的值．
23．已知函数．
(1)当时，画出的图象，并根据图象写出函数的值域；
(2)若关于x的不等式有解，求a的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】
解出一元二次不等式，由集合的并集运算求解即可.
【详解】集合，所以解得：，
所以，又，
所以.
故选：A
2．B
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若曲线是焦点在轴的双曲线，则，，所以，故必要性成立，
若，满足，但是曲线是焦点在轴的双曲线，故充分性不成立，
所以“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的必要不充分条件.
故选：B
3．D
【分析】
根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数的定义域为，又为奇函数，又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；
对于D：定义域为，又为奇函数，
且在上函数是上凸递增，故D正确.
故选：D
4．C
【分析】
根据线线，线面，和面面的位置关系，即可判断选项.
【详解】A.如果是平行直线，那么与不一定垂直，故A错误；
B. 若，则或，故B错误；
C. 若，则，若，则，故C正确；
D.若是平行直线，则与有可能不平行，故D错误.
故选：C
5．A
【分析】
先求的对称中心，结合图象变换可得答案.
【详解】因为，所以，即的图象关于原点对称，
函数的图象可由的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
所以函数的图象关于点对称.
故选：A.
6．D
【分析】
由求出，得到,，再由即可求出结果.
【详解】因为，，
所以z和在复平面内所对应的点分别为,,故,,
.
故选：D.
7．C
【分析】
列出满足可行域的点的坐标，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】可行域内的点有，，，，，，，，共个，
其中满足的有，，，共个，
所以所求的概率.
故选：C
8．C
【分析】
利用辅助角公式求出，再利用和角公式可得答案.
【详解】，其中；
所以，，取得最大值，
由题意，即.
.
故选：C
9．C
【分析】
由程序框图一步一步计算求解即可.
【详解】初始值，成立，所以，此时成立，
，成立，所以，此时成立，
，，所以此时成立，
，成立，所以，此时成立，
，成立，所以，此时成立，
，，所以此时成立，
，成立，所以，此时成立，
，成立，所以，此时成立，
，，所以此时成立，
，成立，所以，此时成立，
，成立，所以，此时不成立，故输出，
故选：C
10．B
【分析】
由已知可得三棱锥为正三棱锥，即可得三棱锥的高，设点在底面上的射影为，即可得，进而可得点的轨迹及其长度.
【详解】
如图所示，
由，，
可知三棱锥为正三棱锥，
设中点为，
则，，，
设点在底面上的射影为，
则平面，，
又为内部及边界上的动点，，
所以，
所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内部及边界上的部分，
如图所示，

，
，
即，，
所以点的轨迹长度为，
故选：B.
11．A
【分析】
先求导数，利用导数在所给区间上有两个变号零点可求答案.
【详解】，因为有且仅有两个极值点，
所以有两个变号零点，即在所给区间上有两个不等实数根.
令，则，上式可化为，其中；
令，则，
令，则，即为增函数，
又，所以时，，为减函数；时，，为增函数；
因为，所以.
故选：A.
12．B
【分析】
首先推导出椭圆的焦半径公式及相关性质，从而判断①②③，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出，，设内切圆的半径为，由求出，即可判断④.
【详解】在中，由余弦定理，
即，
整理得，同理可得，
所以，，

对于椭圆，则、、，
所以，，故①错误；
，故②正确；
所以，，
又
，
又，
所以，故③错误；
当时直线的方程为，
由，消去整理得，显然，
所以，，
又，，则，，
设内切圆的半径为，则，
所以，解得，
所以内切圆的面积，故④正确；

故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出椭圆焦半径公式（倾斜角形式），利用结论直接解决问题.
13．3
【分析】
利用向量平行的坐标表示可求答案.
【详解】因为
所以，解得.
故答案为：3
14．1
【分析】
利用基本不等式"1"的妙用求最值可求答案.
【详解】因为，且，所以，
因为，当且仅当时，取到等号，
所以，即的最小值为1.
故答案为：1
15．/
【分析】
先根据正弦定理化角为边，再利用余弦定理和基本不等式可求答案.
【详解】因为，所以由正弦定理可得.
由余弦定理，得，
整理得.
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，又，所以，即.
故答案为：.
16．①②③
【分析】
利用所给定义，结合图形，逐项验证即可得答案.
【详解】对于①，由定义可知，正确.
对于②，设，因为，所以；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
其图象如图，所以P的轨迹长度为，正确.
对于③，设，因为，所以；
当时，；当时，；
显然两直线垂直，且交点为.
当时，，与垂直，交点为.
当当时，，与垂直，交点为；
同时与垂直，交点.
因为这些交点围成的四边形的垂直，
所以N的轨迹是以点为顶点的正方形；
对于④，因为，所以；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
其图形如图中阴影部分，
其面积为四个全等正方形的面积和，面积为8，不正确.
故答案为：①②③
17．(1)
(2)
【分析】
（1）由，作差得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出其通项公式；
（2）由（1）求出，再根据指数函数的性质求出的最值，即可得解.
【详解】（1）因为，
当时，，解得；
当时，，所以，所以；
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1）可得，
又在上单调递减，则在上单调递增，
所以当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以当时取得最大值为，当时取得最小值为，
因为，恒成立，
所以，解得，
所以的取值范围为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）连接，连接，，根据线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角.
【详解】（1）
如图所示，连接，连接，，
，分别为，的中点，
且，
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
（2）
如图所示，
连接，取中点，连接，
由已知直四棱柱的底面为菱形，
平面，，
以点为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
又，，
，，，
，，，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)分布列见解析，
(2)，，方案二
【分析】（1）首先求出Ⅰ级品中该指标小于或等于的频率，依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（2）首先求出Ⅰ级品、Ⅱ级品中该指标小于或等于临界值的频率，即可求出损失费用的估计值的解析式，再求出值域，即可判断.
【详解】（1）当临界值时，Ⅰ级品中该指标小于或等于的频率为，
所以将个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于型手机，每部手机损失元的概率为，
所以芯片生产商的损失的可能取值为，，，
所以，，
，
所以的分布列为：
所以.
（2）当临界值且时，
若采用方案一：
Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值的频率为，
所以可以估计部型手机中有部手机芯片应用错误；
Ⅱ级品中该指标小于或等于临界值的频率为，
所以可以估计部型手机中有部手机芯片应用错误；
所以可以估计芯片生产商的损失费用，
即，，
因为，所以，
又采用方案二需要检测费用共万元，
故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二.
20．(1)0
(2)
【分析】
（1）首先分别设，，，根据条件，并由坐标表示斜率，即可求解；
（2）由已知条件求出直线的方程，再分别与抛物线的方程联立，可求出，并进一步求出，然后利用面积公式求出，结合的范围，即可求解.
【详解】（1）设，，，
由轴得，点的坐标为，
由得，，
所以抛物线在点处的切线斜率为，
又，由得，所以，
因为，，
所以；
（2）因为，所以，，
所以直线的方程为，即，
由，得，
所以，得，
又直线的方程为，即，
由，得，
所以，得，
所以直线的方程为，即，
所以，
由，即，解得：，
因为，，
所以，
，
所以，
又，所以，即的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立用解析思想解决几何问题，用点的坐标表示的坐标，从而达到解决几何问题的目的.
21．(1)或
(2)证明见解析
【分析】
（1）求导，根据导数判断函数单调性，进而可得参数取值范围；
（2）求导，根据零点存在定理可得函数单调性，进而可得最值.
【详解】（1）由已知的定义域为，
恒成立，
所以函数在和上单调递增，
又函数在区间是单调函数，
则或，
即或；
（2）由，，
得，，且，
设，由（1）得在上单调递增，
又，则，，
所以，使，即，
且当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
设，，则恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即.
【点睛】思路点睛：对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用
22．(1)
(2)5
【分析】
（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，即可求解；
（2）根据（1）的结果，直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，表示，即可求解.
【详解】（1）
由题意可知，，即，整理为；
（2）联立，整理为，
设点，，
所以，，
故，
，
，，
所以
，
.
23．(1)图象见解析，
(2)
【分析】
（1）分类讨论求出函数的解析式画图求值域即可；
（2）利用绝对值三角不等式求出函数的最小值，不等式有解的问题，只需，求解即可.
【详解】（1）当时，，
所以，作出图象如图所示：
函数的值域为：.
（2）关于x的不等式有解，
所以有解，
由绝对值三角不等式得，
所以，所以，
所以或，
所以a的取值范围为：.