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八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)专题19三角形的内角和综合题(原卷版+解析)
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这是一份八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)专题19三角形的内角和综合题(原卷版+解析)，共32页。
专题19 三角形的内角和（综合题）易错点拨知识点01：三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为 细节剖析：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出 ②已知三角形三个内角的关系，可以求出 ③求一个三角形 知识点02：三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.细节剖析：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是 ；③另一条边是三角形 三角形每个顶点处有两个外角，它们是 ．所以三角形共有 ，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有 2．性质：（1）三角形的一个外角等于 ． （2）三角形的一个外角 任意一个与它不相邻的内角．细节剖析：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于 细节剖析：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是 ，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是 易错题专训一．选择题1．（2022秋•海淀区校级期中）如图，∠C＝∠A＝90°，∠B＝25°，则∠D的度数是（ ）A．55° B．35° C．25° D．20°2．（2022秋•荆州月考）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（ ）A．105° B．90° C．75° D．60°3．（2022秋•东丽区期中）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝15：3：2，则∠α的度数为（ ）A．80° B．60° C．90° D．45°4．（2022春•淇滨区期末）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°5．（2023秋•铜官区校级期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（ ）A．120° B．110° C．100° D．90°6．（2022秋•黄骅市校级期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（ ）A．60° B．10° C．45° D．10°或60°二．填空题7．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是 ，∠BOA的度数是 ．8．（2022春•东海县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝68°，点D．E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝ ．9．（2023秋•肥西县期末）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 ．10．（2020秋•江津区期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，则∠BED＝ ．11．（2023秋•海淀区校级期中）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM．AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为 ．12．（2020春•阳城县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，点D、E分别在线段AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使B落在B′处，B′D、B′E分别交AC于F、G．若∠ADF＝70°，则∠CGE的度数为 °．13．（2020秋•綦江区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝ ．三．解答题14．（2022秋•荆州月考）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝44°，若∠C的三分线CD交AB于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，若∠A＝63°，求∠BPC的度数．15．（2023秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝ °，△AOB （填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．16．（2022秋•渝北区月考）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．17．（2022春•绿园区期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、B均不与点O重合．【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝ °．②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．18．（2019秋•黄冈月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）若∠BAD＝60°，求∠CDE的度数；（2）猜想∠CDE与∠BAD的数量关系，并说明理由．19．（2020秋•海淀区校级期中）如图锐角∠EAF，B、C分别为AE、AF上一点．（1）如图1，∠EAF＝50°，连接BC，∠CBA＝α，∠BCA＝β，外角∠CBE的平分线与∠FCB的角平分线交于点P，则α+β＝ °，∠P＝ °；（2）Q为∠EAF内部一点（Q不在CB上），连接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分线分别为BM、CN．①如图2，若∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，BM与CN交于点P，则∠BPC的度数为 ；②探究猜想，如图3，若∠CQB和∠EAF相等，BM与CN有怎样的位置关系？请证明你的猜想；③BM与CN可能垂直吗？若不能，说明理由；若能，写出此时∠CQB与∠EAF的数量关系．20．（2023秋•锦州期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC的度数为 ；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示） 专题19 三角形的内角和（综合题）易错点拨知识点01：三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．细节剖析：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．知识点02：三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.细节剖析：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．细节剖析：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.细节剖析：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．易错题专训一．选择题1．（2022秋•海淀区校级期中）如图，∠C＝∠A＝90°，∠B＝25°，则∠D的度数是（ ）A．55° B．35° C．25° D．20°【易错思路引导】记AD和BC相交于点O，再根据三角形内角和定理求解即可．【规范解答】解：如图，记AD和BC相交于点O，在△AOB与△COD中，∵∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝∠COD，∠B＝25°，∴∠D＝∠B＝25°．故选：C．【考察注意点】本题考查的是三角形内角和定理，对顶角的性质，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．2．（2022秋•荆州月考）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（ ）A．105° B．90° C．75° D．60°【易错思路引导】根据三角形外角的性质解答即可．【规范解答】解：由图可知∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，∵∠AEB＝∠DBC+∠ACB，∴∠AEB＝30°+45°＝75°．故选：C．【考察注意点】本题考查了三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．要注意：一副三角尺的度数：30°，45°，60°，90°．3．（2022秋•东丽区期中）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝15：3：2，则∠α的度数为（ ）A．80° B．60° C．90° D．45°【易错思路引导】根据题意可得，若∠1：∠2：∠3＝15：3：2，则∠1＝135°，∠3＝18°，根据折叠的性质，翻折变换的特点即可求解．【规范解答】解：∵∠1：∠2：∠3＝15：3：2，∴∠1＝135°，∠3＝18°，∴∠DCA＝18°，∠EAB＝135°∵∠PAC＝360°﹣2∠1＝90°∴∠EPD＝∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠DCA＝72°．由翻折的性质可知∠E＝∠3＝18°．∴∠α＝180°﹣72°﹣18°＝90°．故选：C．【考察注意点】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．4．（2022春•淇滨区期末）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°【易错思路引导】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出∠ABN，再根据角平分线的定义求出∠ABE和∠BAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．【规范解答】解：根据三角形的外角性质，可得∠ABN＝∠AOB+∠BAO，∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，∴∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO，∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝（∠AOB+∠BAO）﹣∠BAO＝∠AOB，∵∠MON＝90°，∴∠AOB＝90°，∴∠C＝×90°＝45°．故选：B．【考察注意点】本题怎样考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．5．（2023秋•铜官区校级期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（ ）A．120° B．110° C．100° D．90°【易错思路引导】由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2＝2∠A得到∠A＝60°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．【规范解答】解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A，∵∠1+∠2＝120°，∴∠A＝60°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°．故选：A．【考察注意点】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．6．（2022秋•黄骅市校级期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（ ）A．60° B．10° C．45° D．10°或60°【易错思路引导】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．【规范解答】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，∠BCD的度数为60°或10°，故选：D．【考察注意点】本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是解决本题的关键．二．填空题7．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是 5° ，∠BOA的度数是 125° ．【易错思路引导】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求，因为AE是角平分线，∠BAC＝50°，所以∠CAE＝25°，进而可求∠DAE的度数；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．【规范解答】解：如图：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∴∠CAE＝∠BAO＝25°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝25°﹣20°＝5°；∵∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．故答案为：5°，125°．【考察注意点】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义．8．（2022春•东海县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝68°，点D．E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝ 44° ．【易错思路引导】先利用平角用∠1表示出∠BDF，再利用三角形的内角和定理及推论用∠1表示出∠CEF，两式相减可得结论．【规范解答】解：如图：∵∠C＝90°，∠B＝68°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝22°．∵△DEF是由△DEA折叠成的，∴∠1＝∠2，∠3＝∠DEF．∵∠BDF+∠1+∠2＝180°，∴∠BDF＝180°﹣2∠1．∵∠CEF+∠CED＝∠DEF，∠CED＝∠1+∠A，∠3+∠1+∠A＝180°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠CED＝∠3﹣∠CED，＝180°﹣∠1﹣∠A﹣∠1﹣∠A＝180°﹣2∠1﹣44°＝136°﹣2∠1．∴∠BDF﹣∠CEF＝180°﹣2∠1﹣（136°﹣2∠1）＝180°﹣2∠1﹣136°+2∠1＝44°．故答案为：44°．【考察注意点】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和等于180°”、折叠的性质是解决本题的关键．9．（2023秋•肥西县期末）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 42°或84°或92° ．【易错思路引导】分42°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．【规范解答】解：①42°角是α，则友好角度数为42°；②42°角是β，则α＝2β＝84°，∴友好角α＝84°；③42°角既不是α也不是β，则α+β+42°＝180°，所以，α+α+42°＝180°，解得α＝92°，综上所述，友好角度数为42°或84°或92°．故答案为：42°或84°或92°．【考察注意点】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．10．（2020秋•江津区期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，则∠BED＝ 102° ．【易错思路引导】首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得38+x+x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数．【规范解答】解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，∴∠B＝39°，设∠C＝∠D＝x°，则39+x+x＝117，解得：x＝39，∴∠D＝39°，∴∠BED＝180°﹣39°﹣39°＝102°．故答案为：102°．【考察注意点】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11．（2023秋•海淀区校级期中）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM．AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为 50° ．【易错思路引导】根据角平分线定义得出∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，根据三角形外角性质得出2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，求出∠A＝2∠D，即可求出答案．【规范解答】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，∴∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，∵∠MBC＝2∠CBE＝∠A+∠ACB，∠CBE＝∠D+∠DCB，∴2∠CBE＝∠D+∠DCB，∴∠MBC＝2∠D+∠ACB，∴2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，∴∠A＝2∠D，∵∠A＝100°，∴∠D＝50°．故答案为：50°．【考察注意点】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用，解决问题的关键是求出∠A＝2∠D．12．（2020春•阳城县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，点D、E分别在线段AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使B落在B′处，B′D、B′E分别交AC于F、G．若∠ADF＝70°，则∠CGE的度数为 50 °．【易错思路引导】连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC＝∠DB'E＝60°，再根据三角形外角性质，即可得到∠ADF+∠CEG＝60°+60°＝120°，进而得出∠CEG＝50°，再根据三角形内角和定理，即可得到△CEG中，∠CGE＝180°﹣50°﹣80°＝50°．【规范解答】解：如图，连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC＝∠DB'E＝60°，∵∠ADF是△BDB'的外角，∠CEG是△BEB'的外角，∴∠ADF+∠CEG＝60°+60°＝120°，又∵∠ADF＝70°，∴∠CEG＝50°，又∵∠C＝80°，∴△CEG中，∠CGE＝180°﹣50°﹣80°＝50°，故答案为：50．【考察注意点】本题考查了翻折变换的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理的运用；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．13．（2020秋•綦江区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝ 22° ．【易错思路引导】根据折叠的性质即可得到AD＝PD＝BD，可得CD＝AB＝AD＝BD，根据∠ACD＝∠A＝34°，∠BCD＝∠B＝56°，即可得出∠BCP＝2∠BCD＝112°，即可得出∠ACP＝112°﹣90°＝22°．【规范解答】解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∴D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠A＝34°，∠BCD＝∠B＝56°，∴∠BCP＝2∠BCD＝112°，∴∠ACP＝112°﹣90°＝22°，故答案为：22°．【考察注意点】本题主要考查了折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．三．解答题14．（2022秋•荆州月考）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝44°，若∠C的三分线CD交AB于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，若∠A＝63°，求∠BPC的度数．【易错思路引导】（1）分BD是“邻AB三分线”、BD是“邻BC三分线”两种情况，根据三角形的外角性质计算即可；（2）根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝117°，根据“邻三分线”的定义计算即可．【规范解答】解：（1）∵∠A＝70°，∠B＝44°，∴∠ACB＝66°，①当CD是“邻AC三分线”时，∠ACD＝∠ACB＝22°，∠BDC＝∠ACD+∠A＝22°+70°＝92°；②当CD是“邻BC三分线”时，∠ACD＝∠ACB＝44°，∠BDC＝∠ACD+∠A＝44°+70°＝114°；综上所述，∠BDC的度数92°或114°；（2）∵BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵∠A＝63°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝117°，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝39°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝141°．【考察注意点】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻AB三分线”、“邻BC三分线”的定义是解题的关键．15．（2023秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝ 18 °，△AOB 是 （填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【易错思路引导】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“完美三角形”的概念判断；（2）根据“完美三角形”的概念证明即可；应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“完美三角形”的定义求解即可．【规范解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，∵∠MON＝4∠ABO，∴△AOB为“完美三角形”，故答案为：18；是；（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，∴△AOC是“完美三角形”；应用拓展：∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“完美三角形”，∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝30°或∠B＝80°．【考察注意点】本题考查的是三角形内角和定理、“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．16．（2022秋•渝北区月考）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．【易错思路引导】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数；（2）过点A作AG∥BC，则∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，依此即可求解．【规范解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝120°，∴∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，又∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，又∵∠BDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠BAD＝60°；（2）如图2：过点A作AG∥BC，则∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，则∠FAD+∠C＝β﹣∠DBC＝β﹣∠ABC＝β﹣α．【考察注意点】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．17．（2022春•绿园区期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、B均不与点O重合．【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝ 25 °．②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．【易错思路引导】【探究】①先利用直角三角形两个锐角互余求出∠OBA，再利用角平分线的定义求出∠ABI即可；②不变，理由与①类似；【拓展】不变，利用三角形的外角求出∠ABM，再利用角平分线的定义求出∠ABC和∠BAD即可，可得∠ADB＝∠AOB．【规范解答】解：【探究】①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝50°，∵BI平分∠ABO，∴∠ABI＝∠ABO＝25°；故答案为：25；②不变，∠AIB＝135°．∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴，，∴＝＝，∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，∴∠AOB＝90°，∴．【拓展】不变，∠ADB＝45°，理由如下：∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA＝∠MBA，∠BAI＝∠BAO，∵∠CBA＝∠ADB+∠BAD，∠AOB＝90°，∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．【考察注意点】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，以及分类讨论的数学思想是解题的关键．18．（2019秋•黄冈月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）若∠BAD＝60°，求∠CDE的度数；（2）猜想∠CDE与∠BAD的数量关系，并说明理由．【易错思路引导】（1）根据三角形的外角的性质，求出∠ADC和∠ADE，结合图形计算即可；（2）设∠BAD＝x，根据三角形的外角的性质求出∠ADC和∠ADE，结合图形计算即可．【规范解答】解：（1）∵∠BAD＝60°，∠B＝∠C，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝60°+∠B，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠B﹣60°＝120°﹣2∠B，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°+2∠B）＝30°+∠B，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝（60°+∠B）﹣（30°+∠B）＝30°；（2）∠BAD＝2∠CDE，理由：设∠BAD＝x，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠B+x，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠C﹣x，∴∠ADE＝∠AED＝∠C+x，∴∠CDE＝∠B+x﹣（∠C+x）＝x，∴∠BAD＝2∠CDE．【考察注意点】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．19．（2020秋•海淀区校级期中）如图锐角∠EAF，B、C分别为AE、AF上一点．（1）如图1，∠EAF＝50°，连接BC，∠CBA＝α，∠BCA＝β，外角∠CBE的平分线与∠FCB的角平分线交于点P，则α+β＝ 130° °，∠P＝ 65° °；（2）Q为∠EAF内部一点（Q不在CB上），连接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分线分别为BM、CN．①如图2，若∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，BM与CN交于点P，则∠BPC的度数为 25° ；②探究猜想，如图3，若∠CQB和∠EAF相等，BM与CN有怎样的位置关系？请证明你的猜想；③BM与CN可能垂直吗？若不能，说明理由；若能，写出此时∠CQB与∠EAF的数量关系．【易错思路引导】（1）由∠EAF＝50°，利用三角形内角和定理可得角的度数；（2）①根据已知条件∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，结合角平分线定义求解∠FCQ+∠EBQ，再利用四边形内角和求∠BPC的度数；②延长BQ交CN于H，设∠EAF＝∠CQB＝x°，利用外角性质得∠CQB＝∠HCQ+∠CHQ＝x°，证明∠MBQ＝∠CHQ；③延长BQ交AF于G，设∠EAF＝x°，∠CQB＝y°，证明∠ABQ+∠ACQ＝y°﹣x°，再利用平角，角平分线定义求解：∠QCD+∠QBD＝180°﹣（x°﹣y°），再利用四边形内角和求得y°+180°﹣（y°﹣x°）+90°＝360°，整理得出最后结论．【规范解答】（1）解：∵∠EAF＝50°，∴α+β＝180°﹣50°＝130°，∴∠FCB+∠EBC＝360°﹣（α+β）＝230°，∵CP、BP分别平分∠FCB、∠EBC，∴∠PCB＝∠FCB，∠＝∠EBC，∴∠PCB+∠PBC＝115°，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝65°，故答案为：130°，65°．（2）①如图2∵∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，∴∠ACQ+∠ABQ＝210°，∴∠FCQ+∠EBQ＝150°，∵CP、BP分别平分∠FCB、∠EBC，∴∠PCQ+∠PBQ＝75°，∴∠ACP+∠ABP＝285°，∴∠P＝25°，故答案为：25°.②如图所示：猜想：BM与CN平行．证明：延长BQ交CN于H，设∠EAF＝∠CQB＝x°，∴∠ACQ+∠ABQ＝360°﹣2x°，∴∠FCQ+∠EBQ＝360°﹣（360°﹣2x°）＝2x，∵CN、BM分别平分∠FCQ、∠EBQ，∴∠HCQ+∠MBQ＝×2x°＝x°，∵∠CQB＝∠HCQ+∠CHQ＝x°，∴∠MBQ＝∠CHQ，∴BM∥CN，③BM与CN能垂直，理由如下：设∠EAF＝x°，∠CQB＝y°，延长BQ交AF于G，∵∠CGQ＝∠A+∠QBA＝x°+∠QBA，y°＝∠CGB+∠ACQ，∴y°＝x°+∠ABQ+∠ACQ，∴∠ABQ+∠ACQ＝y°﹣x°，∵CN、BM分别平分∠FCQ、∠EBQ，∴∠QCD+∠QBD＝（360°﹣∠ACQ﹣∠ABQ）＝180°﹣（x°﹣y°），∵y°+∠QCD+∠QBD+90°＝360°，∴y°+180°﹣（y°﹣x°）+90°＝360°，∴x°+y°＝180°，∴∠EAF+∠CQB＝180°．【考察注意点】本题考查了角平分线的定义、平角定义、三角形、四边形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的判定，掌握这些定理性质的熟练应用，作出辅助线，证明等边三角形及性质的应用是解题关键．20．（2023秋•锦州期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC的度数为 85° ；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）【易错思路引导】（1）根据题意可BD是“邻BC三分线”可求得∠ABD的度数，再利用三角形外角的性质可求解；（2）结合（1）根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝135°，即可求∠A的度数；（3）分2种情况进行画图计算：情况一：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC＝∠A，可求解；情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC＝∠A+∠ABC可求解．【规范解答】解：（1）∵∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，∠ABC＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠A＝70°，∴∠BDC＝70°+15°＝85°，故答案为：85°；（2）∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵∠BPC＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，∴∠ABC+∠ACB＝135°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°；（3）如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，∵∠CBP＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，∴∠ACD＝∠P+∠ABC，即∠ACD＝3∠P+∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，∴∠BPC＝∠A＝m°；如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，∵∠CBP＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，∴∠ACD＝∠P+∠ABC，即2∠ACD＝3∠P+∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，∴∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+20°．综上所述：∠BPC的度数为：m°或m°+20°．【考察注意点】本题考查了三角形外角的性质，列代数式，利用分类讨论思想是解决本题的关键
专题19 三角形的内角和（综合题）易错点拨知识点01：三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为 细节剖析：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出 ②已知三角形三个内角的关系，可以求出 ③求一个三角形 知识点02：三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.细节剖析：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是 ；③另一条边是三角形 三角形每个顶点处有两个外角，它们是 ．所以三角形共有 ，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有 2．性质：（1）三角形的一个外角等于 ． （2）三角形的一个外角 任意一个与它不相邻的内角．细节剖析：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于 细节剖析：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是 ，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是 易错题专训一．选择题1．（2022秋•海淀区校级期中）如图，∠C＝∠A＝90°，∠B＝25°，则∠D的度数是（ ）A．55° B．35° C．25° D．20°2．（2022秋•荆州月考）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（ ）A．105° B．90° C．75° D．60°3．（2022秋•东丽区期中）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝15：3：2，则∠α的度数为（ ）A．80° B．60° C．90° D．45°4．（2022春•淇滨区期末）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°5．（2023秋•铜官区校级期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（ ）A．120° B．110° C．100° D．90°6．（2022秋•黄骅市校级期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（ ）A．60° B．10° C．45° D．10°或60°二．填空题7．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是 ，∠BOA的度数是 ．8．（2022春•东海县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝68°，点D．E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝ ．9．（2023秋•肥西县期末）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 ．10．（2020秋•江津区期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，则∠BED＝ ．11．（2023秋•海淀区校级期中）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM．AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为 ．12．（2020春•阳城县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，点D、E分别在线段AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使B落在B′处，B′D、B′E分别交AC于F、G．若∠ADF＝70°，则∠CGE的度数为 °．13．（2020秋•綦江区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝ ．三．解答题14．（2022秋•荆州月考）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝44°，若∠C的三分线CD交AB于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，若∠A＝63°，求∠BPC的度数．15．（2023秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝ °，△AOB （填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．16．（2022秋•渝北区月考）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．17．（2022春•绿园区期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、B均不与点O重合．【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝ °．②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．18．（2019秋•黄冈月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）若∠BAD＝60°，求∠CDE的度数；（2）猜想∠CDE与∠BAD的数量关系，并说明理由．19．（2020秋•海淀区校级期中）如图锐角∠EAF，B、C分别为AE、AF上一点．（1）如图1，∠EAF＝50°，连接BC，∠CBA＝α，∠BCA＝β，外角∠CBE的平分线与∠FCB的角平分线交于点P，则α+β＝ °，∠P＝ °；（2）Q为∠EAF内部一点（Q不在CB上），连接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分线分别为BM、CN．①如图2，若∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，BM与CN交于点P，则∠BPC的度数为 ；②探究猜想，如图3，若∠CQB和∠EAF相等，BM与CN有怎样的位置关系？请证明你的猜想；③BM与CN可能垂直吗？若不能，说明理由；若能，写出此时∠CQB与∠EAF的数量关系．20．（2023秋•锦州期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC的度数为 ；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示） 专题19 三角形的内角和（综合题）易错点拨知识点01：三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．细节剖析：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．知识点02：三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.细节剖析：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．细节剖析：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.细节剖析：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．易错题专训一．选择题1．（2022秋•海淀区校级期中）如图，∠C＝∠A＝90°，∠B＝25°，则∠D的度数是（ ）A．55° B．35° C．25° D．20°【易错思路引导】记AD和BC相交于点O，再根据三角形内角和定理求解即可．【规范解答】解：如图，记AD和BC相交于点O，在△AOB与△COD中，∵∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝∠COD，∠B＝25°，∴∠D＝∠B＝25°．故选：C．【考察注意点】本题考查的是三角形内角和定理，对顶角的性质，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．2．（2022秋•荆州月考）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（ ）A．105° B．90° C．75° D．60°【易错思路引导】根据三角形外角的性质解答即可．【规范解答】解：由图可知∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，∵∠AEB＝∠DBC+∠ACB，∴∠AEB＝30°+45°＝75°．故选：C．【考察注意点】本题考查了三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．要注意：一副三角尺的度数：30°，45°，60°，90°．3．（2022秋•东丽区期中）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝15：3：2，则∠α的度数为（ ）A．80° B．60° C．90° D．45°【易错思路引导】根据题意可得，若∠1：∠2：∠3＝15：3：2，则∠1＝135°，∠3＝18°，根据折叠的性质，翻折变换的特点即可求解．【规范解答】解：∵∠1：∠2：∠3＝15：3：2，∴∠1＝135°，∠3＝18°，∴∠DCA＝18°，∠EAB＝135°∵∠PAC＝360°﹣2∠1＝90°∴∠EPD＝∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠DCA＝72°．由翻折的性质可知∠E＝∠3＝18°．∴∠α＝180°﹣72°﹣18°＝90°．故选：C．【考察注意点】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．4．（2022春•淇滨区期末）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°【易错思路引导】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出∠ABN，再根据角平分线的定义求出∠ABE和∠BAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．【规范解答】解：根据三角形的外角性质，可得∠ABN＝∠AOB+∠BAO，∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，∴∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO，∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝（∠AOB+∠BAO）﹣∠BAO＝∠AOB，∵∠MON＝90°，∴∠AOB＝90°，∴∠C＝×90°＝45°．故选：B．【考察注意点】本题怎样考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．5．（2023秋•铜官区校级期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（ ）A．120° B．110° C．100° D．90°【易错思路引导】由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2＝2∠A得到∠A＝60°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．【规范解答】解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A，∵∠1+∠2＝120°，∴∠A＝60°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°．故选：A．【考察注意点】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．6．（2022秋•黄骅市校级期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（ ）A．60° B．10° C．45° D．10°或60°【易错思路引导】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．【规范解答】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，∠BCD的度数为60°或10°，故选：D．【考察注意点】本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是解决本题的关键．二．填空题7．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是 5° ，∠BOA的度数是 125° ．【易错思路引导】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求，因为AE是角平分线，∠BAC＝50°，所以∠CAE＝25°，进而可求∠DAE的度数；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．【规范解答】解：如图：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∴∠CAE＝∠BAO＝25°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝25°﹣20°＝5°；∵∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．故答案为：5°，125°．【考察注意点】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义．8．（2022春•东海县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝68°，点D．E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝ 44° ．【易错思路引导】先利用平角用∠1表示出∠BDF，再利用三角形的内角和定理及推论用∠1表示出∠CEF，两式相减可得结论．【规范解答】解：如图：∵∠C＝90°，∠B＝68°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝22°．∵△DEF是由△DEA折叠成的，∴∠1＝∠2，∠3＝∠DEF．∵∠BDF+∠1+∠2＝180°，∴∠BDF＝180°﹣2∠1．∵∠CEF+∠CED＝∠DEF，∠CED＝∠1+∠A，∠3+∠1+∠A＝180°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠CED＝∠3﹣∠CED，＝180°﹣∠1﹣∠A﹣∠1﹣∠A＝180°﹣2∠1﹣44°＝136°﹣2∠1．∴∠BDF﹣∠CEF＝180°﹣2∠1﹣（136°﹣2∠1）＝180°﹣2∠1﹣136°+2∠1＝44°．故答案为：44°．【考察注意点】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和等于180°”、折叠的性质是解决本题的关键．9．（2023秋•肥西县期末）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 42°或84°或92° ．【易错思路引导】分42°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．【规范解答】解：①42°角是α，则友好角度数为42°；②42°角是β，则α＝2β＝84°，∴友好角α＝84°；③42°角既不是α也不是β，则α+β+42°＝180°，所以，α+α+42°＝180°，解得α＝92°，综上所述，友好角度数为42°或84°或92°．故答案为：42°或84°或92°．【考察注意点】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．10．（2020秋•江津区期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，则∠BED＝ 102° ．【易错思路引导】首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得38+x+x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数．【规范解答】解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，∴∠B＝39°，设∠C＝∠D＝x°，则39+x+x＝117，解得：x＝39，∴∠D＝39°，∴∠BED＝180°﹣39°﹣39°＝102°．故答案为：102°．【考察注意点】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11．（2023秋•海淀区校级期中）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM．AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为 50° ．【易错思路引导】根据角平分线定义得出∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，根据三角形外角性质得出2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，求出∠A＝2∠D，即可求出答案．【规范解答】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，∴∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，∵∠MBC＝2∠CBE＝∠A+∠ACB，∠CBE＝∠D+∠DCB，∴2∠CBE＝∠D+∠DCB，∴∠MBC＝2∠D+∠ACB，∴2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，∴∠A＝2∠D，∵∠A＝100°，∴∠D＝50°．故答案为：50°．【考察注意点】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用，解决问题的关键是求出∠A＝2∠D．12．（2020春•阳城县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，点D、E分别在线段AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使B落在B′处，B′D、B′E分别交AC于F、G．若∠ADF＝70°，则∠CGE的度数为 50 °．【易错思路引导】连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC＝∠DB'E＝60°，再根据三角形外角性质，即可得到∠ADF+∠CEG＝60°+60°＝120°，进而得出∠CEG＝50°，再根据三角形内角和定理，即可得到△CEG中，∠CGE＝180°﹣50°﹣80°＝50°．【规范解答】解：如图，连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC＝∠DB'E＝60°，∵∠ADF是△BDB'的外角，∠CEG是△BEB'的外角，∴∠ADF+∠CEG＝60°+60°＝120°，又∵∠ADF＝70°，∴∠CEG＝50°，又∵∠C＝80°，∴△CEG中，∠CGE＝180°﹣50°﹣80°＝50°，故答案为：50．【考察注意点】本题考查了翻折变换的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理的运用；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．13．（2020秋•綦江区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝ 22° ．【易错思路引导】根据折叠的性质即可得到AD＝PD＝BD，可得CD＝AB＝AD＝BD，根据∠ACD＝∠A＝34°，∠BCD＝∠B＝56°，即可得出∠BCP＝2∠BCD＝112°，即可得出∠ACP＝112°﹣90°＝22°．【规范解答】解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∴D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠A＝34°，∠BCD＝∠B＝56°，∴∠BCP＝2∠BCD＝112°，∴∠ACP＝112°﹣90°＝22°，故答案为：22°．【考察注意点】本题主要考查了折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．三．解答题14．（2022秋•荆州月考）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝44°，若∠C的三分线CD交AB于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，若∠A＝63°，求∠BPC的度数．【易错思路引导】（1）分BD是“邻AB三分线”、BD是“邻BC三分线”两种情况，根据三角形的外角性质计算即可；（2）根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝117°，根据“邻三分线”的定义计算即可．【规范解答】解：（1）∵∠A＝70°，∠B＝44°，∴∠ACB＝66°，①当CD是“邻AC三分线”时，∠ACD＝∠ACB＝22°，∠BDC＝∠ACD+∠A＝22°+70°＝92°；②当CD是“邻BC三分线”时，∠ACD＝∠ACB＝44°，∠BDC＝∠ACD+∠A＝44°+70°＝114°；综上所述，∠BDC的度数92°或114°；（2）∵BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵∠A＝63°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝117°，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝39°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝141°．【考察注意点】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻AB三分线”、“邻BC三分线”的定义是解题的关键．15．（2023秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝ 18 °，△AOB 是 （填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【易错思路引导】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“完美三角形”的概念判断；（2）根据“完美三角形”的概念证明即可；应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“完美三角形”的定义求解即可．【规范解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，∵∠MON＝4∠ABO，∴△AOB为“完美三角形”，故答案为：18；是；（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，∴△AOC是“完美三角形”；应用拓展：∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“完美三角形”，∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝30°或∠B＝80°．【考察注意点】本题考查的是三角形内角和定理、“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．16．（2022秋•渝北区月考）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．【易错思路引导】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数；（2）过点A作AG∥BC，则∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，依此即可求解．【规范解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝120°，∴∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，又∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，又∵∠BDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠BAD＝60°；（2）如图2：过点A作AG∥BC，则∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，则∠FAD+∠C＝β﹣∠DBC＝β﹣∠ABC＝β﹣α．【考察注意点】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．17．（2022春•绿园区期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、B均不与点O重合．【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝ 25 °．②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．【易错思路引导】【探究】①先利用直角三角形两个锐角互余求出∠OBA，再利用角平分线的定义求出∠ABI即可；②不变，理由与①类似；【拓展】不变，利用三角形的外角求出∠ABM，再利用角平分线的定义求出∠ABC和∠BAD即可，可得∠ADB＝∠AOB．【规范解答】解：【探究】①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝50°，∵BI平分∠ABO，∴∠ABI＝∠ABO＝25°；故答案为：25；②不变，∠AIB＝135°．∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴，，∴＝＝，∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，∴∠AOB＝90°，∴．【拓展】不变，∠ADB＝45°，理由如下：∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA＝∠MBA，∠BAI＝∠BAO，∵∠CBA＝∠ADB+∠BAD，∠AOB＝90°，∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．【考察注意点】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，以及分类讨论的数学思想是解题的关键．18．（2019秋•黄冈月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）若∠BAD＝60°，求∠CDE的度数；（2）猜想∠CDE与∠BAD的数量关系，并说明理由．【易错思路引导】（1）根据三角形的外角的性质，求出∠ADC和∠ADE，结合图形计算即可；（2）设∠BAD＝x，根据三角形的外角的性质求出∠ADC和∠ADE，结合图形计算即可．【规范解答】解：（1）∵∠BAD＝60°，∠B＝∠C，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝60°+∠B，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠B﹣60°＝120°﹣2∠B，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°+2∠B）＝30°+∠B，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝（60°+∠B）﹣（30°+∠B）＝30°；（2）∠BAD＝2∠CDE，理由：设∠BAD＝x，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠B+x，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠C﹣x，∴∠ADE＝∠AED＝∠C+x，∴∠CDE＝∠B+x﹣（∠C+x）＝x，∴∠BAD＝2∠CDE．【考察注意点】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．19．（2020秋•海淀区校级期中）如图锐角∠EAF，B、C分别为AE、AF上一点．（1）如图1，∠EAF＝50°，连接BC，∠CBA＝α，∠BCA＝β，外角∠CBE的平分线与∠FCB的角平分线交于点P，则α+β＝ 130° °，∠P＝ 65° °；（2）Q为∠EAF内部一点（Q不在CB上），连接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分线分别为BM、CN．①如图2，若∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，BM与CN交于点P，则∠BPC的度数为 25° ；②探究猜想，如图3，若∠CQB和∠EAF相等，BM与CN有怎样的位置关系？请证明你的猜想；③BM与CN可能垂直吗？若不能，说明理由；若能，写出此时∠CQB与∠EAF的数量关系．【易错思路引导】（1）由∠EAF＝50°，利用三角形内角和定理可得角的度数；（2）①根据已知条件∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，结合角平分线定义求解∠FCQ+∠EBQ，再利用四边形内角和求∠BPC的度数；②延长BQ交CN于H，设∠EAF＝∠CQB＝x°，利用外角性质得∠CQB＝∠HCQ+∠CHQ＝x°，证明∠MBQ＝∠CHQ；③延长BQ交AF于G，设∠EAF＝x°，∠CQB＝y°，证明∠ABQ+∠ACQ＝y°﹣x°，再利用平角，角平分线定义求解：∠QCD+∠QBD＝180°﹣（x°﹣y°），再利用四边形内角和求得y°+180°﹣（y°﹣x°）+90°＝360°，整理得出最后结论．【规范解答】（1）解：∵∠EAF＝50°，∴α+β＝180°﹣50°＝130°，∴∠FCB+∠EBC＝360°﹣（α+β）＝230°，∵CP、BP分别平分∠FCB、∠EBC，∴∠PCB＝∠FCB，∠＝∠EBC，∴∠PCB+∠PBC＝115°，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝65°，故答案为：130°，65°．（2）①如图2∵∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，∴∠ACQ+∠ABQ＝210°，∴∠FCQ+∠EBQ＝150°，∵CP、BP分别平分∠FCB、∠EBC，∴∠PCQ+∠PBQ＝75°，∴∠ACP+∠ABP＝285°，∴∠P＝25°，故答案为：25°.②如图所示：猜想：BM与CN平行．证明：延长BQ交CN于H，设∠EAF＝∠CQB＝x°，∴∠ACQ+∠ABQ＝360°﹣2x°，∴∠FCQ+∠EBQ＝360°﹣（360°﹣2x°）＝2x，∵CN、BM分别平分∠FCQ、∠EBQ，∴∠HCQ+∠MBQ＝×2x°＝x°，∵∠CQB＝∠HCQ+∠CHQ＝x°，∴∠MBQ＝∠CHQ，∴BM∥CN，③BM与CN能垂直，理由如下：设∠EAF＝x°，∠CQB＝y°，延长BQ交AF于G，∵∠CGQ＝∠A+∠QBA＝x°+∠QBA，y°＝∠CGB+∠ACQ，∴y°＝x°+∠ABQ+∠ACQ，∴∠ABQ+∠ACQ＝y°﹣x°，∵CN、BM分别平分∠FCQ、∠EBQ，∴∠QCD+∠QBD＝（360°﹣∠ACQ﹣∠ABQ）＝180°﹣（x°﹣y°），∵y°+∠QCD+∠QBD+90°＝360°，∴y°+180°﹣（y°﹣x°）+90°＝360°，∴x°+y°＝180°，∴∠EAF+∠CQB＝180°．【考察注意点】本题考查了角平分线的定义、平角定义、三角形、四边形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的判定，掌握这些定理性质的熟练应用，作出辅助线，证明等边三角形及性质的应用是解题关键．20．（2023秋•锦州期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC的度数为 85° ；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）【易错思路引导】（1）根据题意可BD是“邻BC三分线”可求得∠ABD的度数，再利用三角形外角的性质可求解；（2）结合（1）根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝135°，即可求∠A的度数；（3）分2种情况进行画图计算：情况一：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC＝∠A，可求解；情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC＝∠A+∠ABC可求解．【规范解答】解：（1）∵∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，∠ABC＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠A＝70°，∴∠BDC＝70°+15°＝85°，故答案为：85°；（2）∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵∠BPC＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，∴∠ABC+∠ACB＝135°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°；（3）如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，∵∠CBP＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，∴∠ACD＝∠P+∠ABC，即∠ACD＝3∠P+∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，∴∠BPC＝∠A＝m°；如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，∵∠CBP＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，∴∠ACD＝∠P+∠ABC，即2∠ACD＝3∠P+∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，∴∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+20°．综上所述：∠BPC的度数为：m°或m°+20°．【考察注意点】本题考查了三角形外角的性质，列代数式，利用分类讨论思想是解决本题的关键
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