浙江省湖州市南浔区八年级2022-2023学年下学期期末数学试题

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1.全卷分试题卷与答题卷两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分．
2.试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程；由此问题可求解．
【详解】解：A、是一元二次方程，故符合题意；
B、含有两个未知数，故不符合题意；
C、是一元一次方程，故不符合题意；
D、不是整式方程，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 下列用数学家命名图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. 笛卡尔心形线B. 谢尔宾斯基地毯
C. 赵爽弦图D. 斐波那契螺旋线
【答案】C
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据这一定义分析即可得出答案．
【详解】解： A项不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B项不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C项是中心对称图形，故此选项符合题意；
D项不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形是旋转180度后两部分完全重合是解题的关键．
3. 方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式计算方差：s2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+…+（xn﹣3）2]，其中“3”是这组数据的（ ）
A. 最小值B. 平均数C. 众数D. 中位数
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差公式的定义即可求解．
【详解】方差中“3”是这组数据的平均数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质．
4. 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（ ）
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数图象经过点，求出k值，继而判断图象所在象限．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求反比例函数解析式，解题的关键是掌握函数图象与比例系数的关系．
5. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A．，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故本选项符合题意；
B．，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．，被开方数含能开得尽得因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． ，被开方数含能开得尽得因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．.
【点睛】本题考查最简二次根式，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法必须满足两条，就是（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
6. 用反证法证明“在中，若，则”时，第一步应假设（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．
【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”，
第一步应是假设∠B=∠C，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
7. 如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，则∠A的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据四边形是平行四边形得，则．根据的平分线交于E，得，利用三角形内角和定理即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵平分线交于E，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
8. 已知：中，．求作：矩形．
以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①以点C为圆心，为半径画弧；
②以点A为圆心，为半径画弧；
③两弧在上方交于点D，连结、．
四边形即为所求（如图1）．

乙：①分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，相交于点E、F．作直线，交线段于点O；
②作射线，在上截取，使；
③连结、．
四边形即为所求（如图2）．

对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A. 甲对，乙不对B. 甲不对，乙对C. 两人都对D. 两人都不对
【答案】C
【解析】
【分析】先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确．先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确．
【详解】解：由甲同学的作业可知，，，
四边形是平行四边形，
又，
是矩形．
所以甲的作业正确；
由乙同学的作业可知，，，
四边形是平行四边形，
又，
是矩形．
所以乙的作业正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了作图复杂作图的应用及矩形的判定，从两位同学的作图语句中获取正确信息及熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
9. 若关于x的方程，有且只有一个x的值使等式成立，则k的值是（ ）
A. B. 1C. 1或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分当时，当时，结合根的判别式求解即可．
【详解】解：当时，，
则，
解得：；
当时，，
则在中，
，
解得：，
综上：k的值是或，
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解有且只有一个x的值使等式成立．
10. 将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形和正方形．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且，，，，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即，，，．若平分，正方形和正方形的边长比为，若“新型数学风车”的四个叶片面积和是，则正方形EFGH的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设正方形的边长为，则正方形的边长为，设，根据勾股定理列式解得；根据平分、，解得；根据，代入解得，再得到，最后根据计算即可．
【详解】四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放，形成正方形和正方形，正方形和正方形的边长比为，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，设，
在中，，
，
，
，
（舍去），，
，，
平分，
边上的高（角平分线上的点到角两边的距离相等），
，
，
，
，
，
，“新型数学风车”的四个叶片面积和是，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、列一元二次方程求解，根据勾股定理、面积法的等量关系列方程求解是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 当时，二次根式的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】将已知条件代入所求的代数式，然后开平方求值．
【详解】解：根据题意，得
当时，．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，掌握定义是解题的关键．
12. 如图，，点A在直线上，点B、C在直线上，．如果，，那么平行线、之间的距离为___________．

【答案】3
【解析】
【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．
【详解】解：，，，
，
平行线、之间的距离．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行线之间的距离，勾股定理，属于基础题，关键是掌握平行线之间距离的定义．
13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点O成中心对称，则点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质，横纵坐标互为相反数得出答案．
【详解】解：点的坐标是，点与点关于原点对称，
点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14. 已知是方程的根，代数式的值是___________．
【答案】9
【解析】
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可．
【详解】解：是方程的根，
，
，
．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15. 定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是___________．
【答案】2
【解析】
【分析】连接，，交于点M，根据三角形中位线定理得到，，，可得四边形是平行四边形，再根据“对垂四边形”的性质得到垂直线段，从而逐步证明四边形是正方形，最后计算面积即可．
详解】解：连接，，交于点M，
∵在四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，
∴，，，
∴，同理：，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是“对垂四边形”，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵四边形是“对垂四边形”，
∴，
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边形”，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
16. 如图，已知在平面直角坐标系中，点P在反比例函数图象上，点B为y轴负半轴上一点，连结交x轴于点A，点C为x轴负半轴上一点，连结和．若，，且的面积为3，则k的值是___________．

【答案】
【解析】
【分析】过作轴，垂足为，根据三线合一得到，证明，可得，，设，，得到点P的坐标，再根据的面积，可得，最后根据点P在反比例函数图象上，代入计算即可．
【详解】解：如图，过作轴，垂足为，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，，
则，，，
∴，
∵的面积为3，
∴，
∴，化简得：，
∵在上，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与几何图形的关系，全等三角形的判定和性质，三线合一，解题的关键是利用线段的长度表示出关键点的坐标．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先算乘方和开方，同时计算二次根式的乘法，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，线段的端点在格点上，请在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．

（1）在图1中，以为边画一个面积为2的；
（2）在图2中，以为对角线画一个面积为2的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）画一个底为1，高为2的平行四边形即可；
（2）画一个底为1，高为2的平行四边形即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求；
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，掌握平行四边形的性质，学会利用数形结合的思想是解题的关键．
19. 已知反比例函数的图象经过点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若，是该反比例函数图象上的两个点，请比较，的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把点代入可得的值，进而可得函数的解析式；
（2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第二、四象限，再根据点B和点C横坐标即可比较大小．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象经过点，
，
这个函数的解析式为；
【小问2详解】
，
反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限随的增大而增大，
，
．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
20. 根据以下素材，探索完成“问题解决”中的任务1和任务2.
【答案】（1），，；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义即可求解．
（2）从众数，中位数、A等级的百分比、方差进行评论即可．
【详解】解：（1）由表可知：
七年级抽取的班级餐厨垃圾的平均数为：
，即；
八年级抽取的班级餐厨垃圾的质量从小到大排列为：
，，，，，，，，，，
则中位数为：；
八年级的数据中，A等级：的有2个，
∴A等级所占百分比；
（2）七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数．
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的高于八年级各班餐厨质量垃圾质量A等级的
八年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，关键在于根据图中信息结合统计相关知识的意义进行分析即可．
21. 如图，已知在矩形中，E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，连接和．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得到，利用证明，即可得到，根据对角线互相平分的四边形即可证明；
（2）根据平行四边形的性质和矩形的性质求出，，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出．
【小问1详解】
解：在矩形中，，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
22. 据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了．假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首．古镇附近某宾馆有50间房供游客居住．当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．
（1）求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率；
（2）为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为9450元．
【答案】（1）
（2）230元
【解析】
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2021年和2023年的游客人数列出方程，解之即可；
（2）设房价定为y元，根据居住的房间数乘以每间房间的利润等于总利润，列出方程，解之，取较小正数解即可．
【小问1详解】
解：设年平均增长率为x，
由题意可得：，
解得：，（舍），
∴年平均增长率为；
【小问2详解】
设房价定为y元，
由题意可得：，
解得：或，
∵尽可能让游客享受更低的单价，
∴，
即房价定为230元时，宾馆当天的利润为9450元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是等量关系，列出方程．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B在x轴的负半轴上，，，以线段AB为边向上作正方形ABCD，反比例函数的图象经过顶点C，且与边AD相交于点E．

（1）当时，求k的值及点E的坐标；
（2）连接OC，CE，OE．
①若的面积为，求该反比例函数的表达式；
②是否存在某一位置，使得．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）存在，当时，
【解析】
【分析】（1）当时，求得，，所以，则，再把代入求得即可得点E坐标；
（2）①由题意得，，，所以，从而可求得
当，再根据，即，求解即可得，从而得，所以，即可求解；
②由，，则，，，当时，则，即，化简整理，得，求解即可．
【小问1详解】
解：∵正方形ABCD，，
∴，
∵，
当时，
∴，，
∴；
∴，
令，则
∴；
【小问2详解】
解：①，，
∴，，，
∴
当时，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
②由①知，，
∴，，，
当时，，
∴
化简整理，得，
解得：，（舍去）
∴存在，当时，．
【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形，求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，勾股定理．熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象的性质是解题的关键．
24. 如图，已知在菱形中，，，对角线与交于点O，点E是射线上的一个动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，，．

（1）如图1，当点E在线段上运动时，
①求证：；
②当时，判断四边形的形状，并说明理由．
（2）在点E的整个运动过程中，将沿着DE翻折得到四边形，当四边形为菱形时，求出此时的面积．
【答案】（1）①见解析；②四边形是矩形，理由见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）①先利用菱形和旋转的性质证得，，，即可由定理得出结论；
②证明，得，再证明，得，又因为，可得四边形是平行四边形，进而推出，然后根据平行线的性质和三角形的内角和可求出，从而得出结论；
（2）分两种情况：当点E在线段上，四边形为菱形时；当点E在线段延长线上，四边形为菱形时；分别求解即可．
【小问1详解】
①证明：如图，

∵菱形
∴，，
∴，
由旋转可得：，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
②解：四边形是矩形．
理由：∵菱形
∴，，，
∴，
∵
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
由①知
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：当点E在线段上，四边形为菱形时，如图，过点F作于G，

∵菱形，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
由①知，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
当点E在线段延长线上，四边形为菱形时，如图，过点F作，交延长线于G，

同理可求得，，，
∴，
∴；
综上当四边形为菱形时，此时的面积为或．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形和矩形的判定，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．让学生了解班级粮食浪费现状，体会浪费粮食的危害
背景
为了解落实“光盘行动”的情况，某校同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．
素材1
从七、八年级中随机抽取了10个班的餐厨垃圾质量，数据如下（单位：）
七年级
八年级
素材2
餐厨垃圾质量用x表示，分四个等级：
A：；
B：；
C：；
D：．
（备注：餐厨垃圾质量越小，说明光盘行动落实越到位）
素材3
七八年级抽取的班级餐厨垃圾数据分析表
年级
平均数
中位数
众数
方差
A等级所占百分比
七年级
a
八年级
b
c
问题解决
任务1
数据处理
（1）求出素材3表格中的a，b，c的值；
任务2
数据分析
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好，请说明理由（写出一条理由即可）．