浙江省宁波市慈溪市八年级2022-2023学年下学期期末数学试题

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温馨提示：
1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟．
2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．
3．考试期间不能使用计算器．
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列图形中属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据定义逐一判断即可．
【详解】A．此图形不是中心对称图形，不符合题意；
B．此图形不是中心对称图形，不符合题意；
C．此图形不是中心对称图形，不符合题意；
D．此图形是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形定义，解题的关键是找出对称中心．
2. 如图，在▱ABCD中，下列说法一定正确的是( )

A. AC＝BDB. AC⊥BDC. AB＝CDD. AB＝BC
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵平行四边形的两组对边分别平行且相等，对角线互相平分，
∴C正确，其余不一定正确，
故选C．
3. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）．
A. 点在它的图象上B. 它的图象在第二、四象限
C. 当时，随的增大而增大D. 当时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】对于反比例函数，可得，时，，图象在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：对于反比例函数，
A. 当时，，则点在它的图象上，故该选项正确，不符合题意；
B. ，则它的图象在第二、四象限，故该选项正确，不符合题意；
C. 当时，随的增大而增大，故该选项正确，不符合题意；
D. 当时，随的增大而增大，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
4. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：由题意得，
，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
5. 关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A. B. C. 9D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
6. 八年级六位数学老师今年的年龄分别为28，30，30，38，50，52，则5年前这六位老师的年龄数据中没有改变的是（ ）
A. 方差B. 中位数C. 平均数D. 众数
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数，中位数，众数以及方差的意义分别进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵八年级六位数学老师今年的年龄分别为28，30，30，38，50，52，
∴5年前这六位老师的年龄数据会改变的是平均数、众数和中位数，不会改变的是方差．
故选：A．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数以及方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．众数是一组数据中出现次数最多的数．
7. 如图，在中，平分交于点E，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，，，根据可得，根据角平分线的定义可得，最后根据可得．
【详解】解：在中，，
，
，
平分，
，
在中，，
．
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质，解题的关键是掌握平行四边形中对边平行，两直线平行，同旁内角互补．
8. 把一元二次方程配方可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把二次项系数化为1，然后利用配方法可对各选项进行判断．
【详解】解：，
两边同除以2得：，
移项，两边加上得：，
配方得，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
9. 用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于”，应该先假设这个三角形中（ ）
A. 没有一个内角小于B. 每一个内角都小于
C. 至多有一个内角不小于D. 每一内角都大于
【答案】B
【解析】
【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．
【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”时，
应先假设：每一个内角都小于，
故选：B．
【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
10. 四边形和都是正方形，E在上，连接交对角线于点H，交于点I．若要求两正方形的面积之和，则只需知道（ ）

A. 的长B. 的长C. 的长D. 的长
【答案】C
【解析】
【分析】延长，分别交于点，设正方形的边长为，正方形的边长为，且，则两正方形的面积之和为，先根据正方形的性质、勾股定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，延长，分别交于点，

设正方形的边长为，正方形的边长为，且，
则两正方形的面积之和为，
∵四边形和都是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
又，
，
在和中，，
，
，
，
，
则要求两正方形的面积之和，只需知道的长，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 比较大小：3__________（填“>”、“=”或“<”） ．
【答案】<
【解析】
【分析】由题意知，，，由，可得，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
∵，
∴，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了实数的大小比较．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
12. 已知n边形的内角和为1800°，那么n的值为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式求解即可．
【详解】由题意可得：，
解得，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．
13. 某地教育局的教师招聘考试按笔试成绩，面试成绩计算综合成绩，甲的笔试成绩为87分，面试成绩为90分，则其综合成绩为__________分．
【答案】88.8
【解析】
【分析】根据加权平均数求解即可．
【详解】解：根据题意：甲的综合成绩为分；
故答案为：88.8．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟知加权平均数的计算公式，准确计算是解题的关键．
14. 若是方程的一个根，则代数式的值是__________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据方程的根的定义，把代入方程求出的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴,
整理得，，
∴,
．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，利用整体思想求出的值，然后整体代入是解题的关键．
15. 如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明四边形是菱形，则，设，则，在中，由勾股定理可得，解方程求出，即可得到重叠部分的四边形周长．
【详解】解：如图所示，
由题意得，矩形矩形，
∴，，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形的面积＝，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理可得，，
则，
解得，
即，
∴四边形的周长．
故答案为：
【点睛】此题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形是菱形是解题的关键．
16. 如图，直线交反比例函数的图象于两点（点在第一象限，且点在点的左侧），交轴于点，交轴于点，连接并延长交该反比例函数图象的另一支于点，连接交轴于点，连接，且．

（1）若，则__________．
（2）若，则的值为__________．
【答案】 ①. ②. 10
【解析】
【分析】（1）作轴于，轴于，则，从而得到，由可得，设的横坐标为，则的坐标为，，从而可得的坐标为，进而可得，由，进行计算即可得到答案；
（2）设点坐标为，则点坐标为，的坐标为，用待定系数法求出直线为：，从而得到，由，进行计算即可得到答案．
【详解】解：作轴于，轴于，
，
则，
，
，
，
（1）设的横坐标为，
则的坐标为，，
，
的坐标为，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）设点坐标为，则点坐标为，
为关于原点的对称点，
的坐标为，
设直线为：，
，
解得：，
直线为：，
当时，，
，
，
，
故答案：10．
【点睛】本题考查了平行线成比例的性质、反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、点关于原点对称的性质，熟练掌握平行线成比例的性质、反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、点关于原点对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
三、解答题（第17、18题各6分，第19题7分，第20、21题各8分，第22题9分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用二次根式的乘除法的法则运算，再将各项化简为最简二次根式即可．
（2）利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再计算加减即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
【点睛】本题考查二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键．
18. 如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L”形．

（1）在图1中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
（2）在图2中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形是轴对称图形但不是中心对称图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形定义画图即可；
（2）根据轴对称图形和中心对称图形的定义画图即可．
【小问1详解】
解：如图1，作图不唯一，符合要求即可；
小问2详解】
解：如图2，作图不唯一，符合要求即可．
【点睛】本题考查基本作图-画轴对称图形和中心对称图形，解答的关键是理解并掌握它们的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：
∴，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴
∴，
∴，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解本题的关键．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．
20. 某学校调查九年级学生对“党的二十大”知识的了解情况，从九年级两班各随机抽取了10名学生进行测试，成绩整理、描述和统计如下（单位：分）
九（1）班10名学生的成绩是：96，83，96，86，99，98，92，100，89，81
九（2）班10名学生中成绩x在组中的数据是：94，90，92．
九年级（1）班、（2）班所抽取学生的成绩数据统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上表中a、b的值：__________，__________．
（2）有同学认为九（1）班的成绩更好，请结合表中数据，说说该同学的理由
（3）九（2）班共有50名学生，请估计该班“党的二十大”知识掌握情况为优秀的学生人数（成绩即为优秀）．
【答案】（1）92，96；
（2）九（1）班与九（2）班的平均成绩相同，但中位数更大、方差更小，说明九（1）班学生的中等水平比九（2）班高，并且成绩更为稳定
（3）35人
【解析】
【分析】（1）根据平均数和众数的定义进行计算即可；
（2）根据平均数，中位数，方差等进行分析即可；
（3）用总人数乘以优秀率即可求解．
【小问1详解】
解：九（1）班的平均数为：；
九（1）班抽取的10名学生成绩中，96出现的次数最多，故众数为：96；
故答案为：92，96．
【小问2详解】
九（1）班与九（2）班的平均成绩相同，但中位数更大、方差更小，说明九（1）班学生的中等水平比九（2）班高，并且成绩更为稳定．
【小问3详解】
九（2）班“党的二十大”知识掌握优秀的人数为（人）；
故九（2）班“党的二十大”知识掌握优秀的人数估计有35人．
【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差，用样本估计总体等，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的概念是解题的关键．
21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）根据图象，直接写出时的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数与一次函数解析式的交点列方程即可解答；
（2）由（1）可知，，再根据反比例函数与一元一次不等式即可解答．
【小问1详解】
解：∵反比例函数图象与一次函数图象交于两点，
∴，
∴，，
∴反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
解：∵反比例函数图象与一次函数图象交于两点，
∴，
∴，，
∴，，
∴由图象可知：或；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数解析式的交点，反比例函数与一元一次不等式，熟练运用反比例函数与一次函数解析式的交点列方程是解题的关键．
22. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率．
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客．经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为
（2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元
【解析】
【分析】（1）设4月份到6月份的月平均增长率为，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件，可列方程，求解即可；
（2）设该款吉祥物降价元，根据单个商品的利润销售量总利润列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为．
则
解得，（舍去）
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为．
【小问2详解】
解：设该款吉祥物降价元．
则
解得，（舍去）
∴元，
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
23. 如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，可得，然后证明四边形是平行四边形，再求出即可得出结论；
（2）过点O作于点F，可得F为的中点，根据三角形中位线定理求出，根据平行四边形的性质求出，再利用勾股定理计算即可．
【小问1详解】
证明：∵O为的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形矩形；
【小问2详解】
解：过点O作于点F，

∵四边形是矩形，
∴，，
∴F为的中点，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
24. 如图，已知，正方形的边长为4，点是边上一点，点P，Q分别在边和上，且．

（1）如图1，若点E是中点．
①当点P和点A重合时，画出图形，求的长，并说明理由．
②设，．请探究m，n之间的关系．
（2）如图2，，连接，若，，求的长．
（3）如图3，若点E是中点，连接．请直接写出所有情形下的最小值．
【答案】（1）①图见解析，，理由见解析；②或；
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）①证明，得到，根据E是中点，求出的长，即可得解；②分和两种情况进行讨论求解；
（2）利用，，以及，列出方程求出值，进而求出的值即可；
（3）将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点，则，四边形为平行四边形，则：，，得到，进而推出当三点共线时，的值最小，在中利用勾股定理求出的长，即可得出结果．
【小问1详解】
解：①如图，

∵四边形是正方形
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E是中点，
∴．
∴．
②当时，如图，过点P作于点R

∵
∴四边形ABRP是矩形，
∴，，
同（1）可得
∴，
∴．
当时，如图，

同理可得．
∴或．
【小问2详解】
∵四边形ABCD是正方形，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
类比（1）②得，，，
即或．
【小问3详解】
将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点，则，四边形为平行四边形，则：，，

∴，
∴当三点共线时，的值最小，
由（1）②可知：，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
即：的最小值为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度大，属于压轴题．熟练掌握相关性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．年级
平均数
中位数
众数
方差
九（1）班
a
94
b
42.8
九（2）班
92
93
100
50.4