浙江省温州市瓯海区瓯海区外国语学校八年级2022-2023学年下学期期末数学试题

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一、单选题
1. 当时，二次根式的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将代入计算即可得．
【详解】解：当时，，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．
2. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，
∴a可取的最大整数为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与，有如下关系：当，时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的计算公式及完全平方公式，平方差公式计算每一项即可．
【详解】解：A选项：不是同类二次根式无法合并，故错误；
B选项：，故错误；
C选项：，故错误；
D选项：，正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式的计算，能够熟练根据公式计算二次根式是解题关键．
4. 某食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如表所示，该食堂销售午餐盒饭的平均价格是（ ）
A. 10.2元B. 10元C. 9.8元D. 9.5元
【答案】C
【解析】
【分析】由加权平均数公式计算即可．
【详解】解：午餐盒饭的平均价格为：（元）
故选：C．
【点睛】本题考查了求加权平均数，掌握计算公式是关键．
5. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后解关于的一元二次方程即可．
【详解】解：把代入得，
解得，
即的值为2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6. 小明学习了物理中的欧姆定律发现：电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻．已知某滑动变阻器两端电压恒定，当变阻器的电阻调节为10Ω时，测得通过该变阻器的电流为24A，则通过该滑动变阻器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻，得到，根据题意，求出的值，得到电流I与电阻R成反比例函数关系，即可得出结论．
【详解】解：∵电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，
∴电流I与电阻R成反比例函数关系，
故答案A符合题意，
答案B是一次函数，故不符合题意，
答案C是正比例函数，故不符合题意，
答案D是二次函数，故不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查实际问题与函数图象．解题的关键是确定电流I与电阻R成反比例函数关系．
7. 爱思考的小美发现她家装修房子的某种地砖形状为菱形，她测得该菱形中，对角线AC的长为15cm，则该地砖的周长为（ ）
A. 15cmB. 45cmC. 45cmD. 60cm
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形的性质得AB=BC，∠BAC=∠BAD=，再证△ABC是等边三角形，得AB=AC=15cm，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴∠BAC=∠BAD=，AB=BC，
∴△ABD是等边三角形，
∴AC=AB，
∵AC=15cm，
∴AB=15cm，
∴菱形ABCD的周长=（cm），
即地砖的周长为60cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
8. 如图，小刚用四根长度相同的木条制成了可以活动的四边形学具，他先将学具活动成正方形，接着活动学具成菱形，且通过测量得到，若他想将四边形固定下来，需要再添加木条，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据正方形的性质求出，再根据菱形的性质求出，然后比较得出答案．
【详解】由题意得，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等，掌握和理解特殊平行四边形的性质是解题的关键．
9. 已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其图象如图所示．小慧想通过矫正治疗使近视眼镜的度数不超过度，则她需佩戴镜片的焦距应满足（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，待定系数法求得解析式，然后令，代入反比例函数，求得的值,结合函数图象即可求解．
【详解】解：设，将代入得，
，
∴
当时，，
根据函数图象可知，时，，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
10. 在矩形内放置四个正方形如图所示，点K，A，E，F，H，J分别在矩形的边上．若，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，，则三点共线，设正方形的边长为，正方形的边长为，由图形的对称性得出，即，由得出，，从而求出和的值，再证明，从而求出．
【详解】连接，，

∵四边形，是正方形．
∴．
∵，
∴．
∴三点共线．
由图形的对称性可知，，，，
连接交于点，则，过点作，延长交于点，则，过点作，
设正方形的边长为，正方形的边长为，
则，，，
，，
∵，，
∴．
又∵，，
∴．
∴，．
∴，即．
又∵，
∴．
∴，．
∴，．
∵，，
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
故选B．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质，矩形的性质，图形的对称性，全等三角形的判定与性质等知识，图形较为复杂，能正确添加辅助线构造全等三角形，得出方程求出两个小正方形的边长是解题的关键．
二、填空题
11. 代数式有意义，那么x的取值范围____________．
【答案】
【解析】
【分析】由代数式有意义，可得，再解不等式即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握“被开方数为非负数”是解本题的关键．
12. 为落实国家“双减”政策，七（1）班老师逐步减少学生作业量，学生完成作业的时间逐步减少．七（1）班班主任随机抽查了本班6位学生每天课外作业时间分别是（单位：分）：74，86，97，62，48，105，则这组数据的中位数是_____________
【答案】80
【解析】
【分析】根据中位数的定义，计算即可．
【详解】解：从小到大排列此数据为：48、62、74、86、97、105，处在第3、4位两个数的平均数为中位数．所以本题这组数据的中位数是．
故答案为：80．
【点睛】本题考查中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13. 关于一元二次方程＝的两根为________．
【答案】，
【解析】
【分析】整理成一般式后，利用公式法求解可得．
【详解】解：整理得：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键．
14. 有甲、乙两个样本，若，，则甲、乙中稳定性较好的是____________．
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差越小，越稳定进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴甲、乙中稳定性较好的是甲；
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了用方差判断稳定性，熟知方差越小，稳定性越好是解题的关键．
15. 求值：______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据积的乘方得到原式＝，然后利用平方差公式计算．
【详解】解：原式＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘方与幂的乘方是解决问题的关键．
16. 伊斯兰数学家塔比伊本库拉在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于的方程，其中为长方形，为正方形，且，，则几何图形中的某条线段就是方程的一个正根，则这个方程的正根是线段___________

【答案】##
【解析】
【分析】设正方形的边长为，则，根据，可得，所以，进而可得是方程的其中一个正根．
【详解】解：设正方形的边长为，
则，
，
，
，
则方程的其中一个正根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是理解一元二次方程定义．
17. 如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，点E是边上的动点，连接并延长交的延长线于点P，过点O作交于点F，交延长线于点Q，连接．若点恰好是中点时，则______．
【答案】
【解析】
【分析】作于H，由正方形的性质可以证明得到，因此是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求出，的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长．
【详解】解：作于，连接，
∵四边形是正方形，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，点是中点
∴，，，
∴，则，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，关键是证明，得到是等腰直角三角形．
18. 图（1）是一种便携式手推车，点O是竖直拉杆与挡板的连接点，竖直拉杆中部分可伸缩，当C，D重合时，拉杆缩至最短，运输货物时，拉杆伸至最长．拉杆的长70～120cm（含70cm，120cm），挡板长为50cm，可绕点O旋转，折叠后点A，D重合．现有两箱货物如图（2）方式放置，两个箱子的侧面均为正方形，为了避免货物掉落，在货物四周用绳子加固，四边形为菱形，则=___________cm；小聪在运输货物时，发现货物仍有掉落的危险，重新加固如图（3），若，=60cm，，则绳子最低点I到挡板的距离=___________cm．
【答案】 ① 40 ②.
【解析】
【分析】根据旋转与菱形的性质、利用勾股定理可以求出的长度；过J作于M，连接HF，然后证明四边形是平行四边形，得长度，求出，再利用三角形面积公式得出一元二次方程，即可得的长度．
【详解】解：如图（2），设，
则， ，
挡板长为50cm，可绕点O旋转，折叠后点A，D重合，
，
，
四边形为菱形，
，
在中，，
即：
解得或（舍去）
；
如图（3），过J作于M，连接HF，
，
，
，
且，
四边形是平行四边形，
，
，
，
设，
则，，
，
，
，
化简，得，
，
；
；
故答案为：40；．
【点睛】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、利用三角形面积公式得出一元二次方程等知识，熟练掌握并运用这些性质和添加适当的辅助线是解此题的关键．
三、解答题
19. 计算题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先进行二次根式的化简，再去掉括号合并即可；
（2）根据二次根式的运算顺序，先进行乘除运算，再合并即可．
【小问1详解】
原式
=；
【小问2详解】
原式
=．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
20. 如图在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请按要求在四边形的边上画格点M，N．

（1）在图1中作线段，使得平分．
（2）在图2中作四边形，且．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分，以上的格点线段为对角线作平行四边形即可求解；
（2）由题意可知M，N不能同时在，边上，若M，N在左侧，分情况当在上时，在上时；当在上时，在上时，利用勾股定理求解长度即可；若M，N在右侧，利用同样方法求解．
【小问1详解】
答案不唯一，如图．

如图，以为对角线，可作平行四边形，则平分（其余同理）；
【小问2详解】
答案不唯一，如图．

∵M，N为格点且在方格纸的边上，，均为整数数，
又∵
∴M，N不能同时在，边上，
M，N在左侧，当在上时，在上时，，
则，代入，2，3，4，5，且为正整数
可得，，满足题意，即可作图，如上，即为所求；
当在上时，在上时，，
则，代入，2，3，4，5，6，且为正整数，，
可得，，满足题意，即可作图，如上，即为所求；
M，N在右侧，利用同样方法求解．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，平行四边形性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21. 快递使我们的生活更加便捷，可以说，快递改变了我们的生活．为了解我国的快递业务情况，我们收集了2022年11月全国31个省的快递业务数量（单位：亿件）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
a．2022年11月快递业务量排在前3位的省的数据分别为：
275.2，225，74.8
b．其余28个省份2022年11月的快递业务数量的数据的频数分布图如下：

c．2022年11月的快递业务数量的数据在这一组的是：
10.3，11，15.5，16.3，17.8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）2022年11月的31个省的快递业务数量的中位数为______；
（3）若设图中28个省份平均数为，方差为；设31个省份的平均数为，方差为，则______，______．（填“”“”或“”）．
【答案】（1）见解析 （2）11
（3）<，<
【解析】
【分析】（1）先求出数据在这一组的频数，再据此补全频数分布图即可；
（2）根据中位数计算公式求解即可；
（3）根据平均数与方差计算公式求出，，，，再比较即可．
【小问1详解】
解：数据在这一组的频数为：，
补全频数分布图如下：
【小问2详解】
解：把31个省的快递业务数量按从小到大排列，第16位数据在在这一组的第2个数据，
所以31个省的快递业务数量的中位数为11．
【小问3详解】
解：∵，，，
∴，
∵，，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查频数分布直方图，中位数，平均数，方差，熟练掌握中位数，平均数，方差的计算公式是解题的关键．
22. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？
【答案】（1）
（2）2元
【解析】
【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程求解即可；
（2）设每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【小问1详解】
解：设每次降价的百分率为，由题意，得
，
（不符合题意，舍去）．
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，两次下降的百分率为；
小问2详解】
解：设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由题意，得
，
解得：．
答：要使商场每天要想获得512元的利润，每件应降价2元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等量关系，列出方程，解答即可．
23. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明见解析；
（2）3
【解析】
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
24. 上午8点，某台风中心在A岛正南方向处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是（包含边界），请结合图象解答下列问题：
（1）台风的速度是_________，补给船在到达A岛前的速度是_________，图中点P的实际意义是_______________；
（2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？
（3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过、．求出图中补给船航行时间m的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间．
【答案】（1）20，60，补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；（2）8点12分；（3）补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间为小时．
【解析】
【分析】（1）首先根据图像为台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象，台风在上午8点距离A岛100km，即可得出线段DE为台风中心距离A岛的距离S和时间t的图象；补给船上午8点距离A岛40km，即可得出线段FG为补给船与A岛的距离S和时间t的图象，从图像获取信息即可求得各自的速度；由题目可知，补给船到达A岛后，还要去C港，此时与台风的图像相交，结合各自的速度，即可得出点P的实际意义；
（2）由台风影响的半径是（包含边界），即可画出此情况下的图形，利用勾股定理列出方程，求解即可得出答案；
（3）根据补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，即可列出方程，解出a，根据题目要求，补给船速度不超过且，列出不等式，再根据m为正整数，即可求出m；补给船受台风影响总时间为驶向C港受影响的时间加上驶向A岛受影响的时间，即可求得答案．
【详解】（1）由题分析得，线段DE为台风中心与A岛之间的距离S与时间t的图像，
∴台风的速度,
线段FG是补给船与A岛的距离S与时间t的图像，
∴补给船的速度，
∴点P表示：补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；
（2）如图所示开始受影响，即BH=100km，
设t小时后补给船开始受台风影响，
则
在中，由勾股定理得，
，

解得，（不合题意，舍去），
∴补给船出发（分钟），开始受台风影响，
∴从8点12分开始补给船开始受台风影响；
（3）由图可得，补给船离开A岛时，台风已经移动了1小时，
台风中心距离A岛的距离为：
，
由图可知，补给船离开A岛驶向C港的路程为120km，时间为，
故补给船离开A岛驶向C港的速度为：(km/h)，
∵补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，
∴
解得，
∵
∴，
由图可知，
去分母得，
解得：，
又∵补给船速度不超过，
∴
由图可知，
去分母得，
解得：
∴
∵m为正整数，
∴
当
即补给船驶出A岛到驶到C港之前受台风影响的时间为，
在补给船出发驶向A岛的过程中，有没有受台风影响，
∴补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间．
【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，勾股定理，一元二次方程的应用，解不等式组，解题关键是正确理解题意，能从函数图像中获取需要信息进行求解．品种
A
B
C
单价（元/份）
12
10
8
销售比例