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2024年新高考数学题型全归纳讲义第十三讲向量性质与基本定理应用(原卷版+解析)
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这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第十三讲向量性质与基本定理应用(原卷版+解析)，共49页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25082" 题型01向量夹角：模型夹角 PAGEREF _Tc25082 \h 1
\l "_Tc21286" 题型02向量夹角：坐标型 PAGEREF _Tc21286 \h 2
\l "_Tc17232" 题型03向量夹角：复合型 PAGEREF _Tc17232 \h 3
\l "_Tc11827" 题型04向量夹角：恒成立与最值型 PAGEREF _Tc11827 \h 3
\l "_Tc26640" 题型05投影与投影向量：投影数量 PAGEREF _Tc26640 \h 4
\l "_Tc1241" 题型06投影与投影向量：投影向量 PAGEREF _Tc1241 \h 5
\l "_Tc24977" 题型07线性运算：鸡爪基础型 PAGEREF _Tc24977 \h 6
\l "_Tc15262" 题型08线性运算：四边形 PAGEREF _Tc15262 \h 7
\l "_Tc137" 题型09基底：换基底型 PAGEREF _Tc137 \h 8
\l "_Tc3460" 题型10基底：两线交点型 PAGEREF _Tc3460 \h 8
\l "_Tc5256" 题型11基底：面积比值型 PAGEREF _Tc5256 \h 10
\l "_Tc29200" 题型12基底：赵爽弦图型 PAGEREF _Tc29200 \h 10
\l "_Tc19568" 题型13数量积最值范围 PAGEREF _Tc19568 \h 11
\l "_Tc17496" 题型14范围最值型：建系法11
\l "_Tc26546" 高考练场 PAGEREF _Tc26546 \h 12
热点题型归纳
题型01 向量夹角：模型夹角
【解题攻略】
【典例1-1】．（2022·辽宁·模拟预测）已知向量，满足，，则，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知为非零向量，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·甘肃·一模（文））向量，满足，，，则向量，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·广西南宁·一模（文））若两个向量满足，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·广西·高三阶段练习（文））已知单位向量，，，则与的夹角为（ ）．
A．30°B．60°C．120°D．150°
题型02向量夹角：坐标型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·江西·高三阶段练习（理））已知向量，若，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高三）已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）若，，且，的夹角的余弦值为，则等于（ ）
A．2B．C．或D．2或
题型03向量夹角：复合型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·河南·光山一中高三阶段练习）已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·四川省成都市新都一中高三）已知，，则向量与的夹角为（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
【变式1-1】．（2020·云南德宏·高三 （理））已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习（理））已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
题型04 向量夹角：恒成立与最值型
【解题攻略】
【典例1-1】已知向量，满足|，，且对任意的实数x，不等式恒成立，设，的夹角为，则的值为（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【典例1-2】设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】已知向量，，，，的夹角为，若存在实数m，使得，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】已知平面向量，满足，且对任意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
题型05 投影与投影向量：投影数量
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影的数量为（ ）
A． B． C． D．1
【典例1-2】已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知向量，，若向量在向量方向上的投影为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·辽宁丹东·统考一模）向量，，则在方向上投影的数量为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．1D．2
题型06投影与投影向量：投影向量
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2023·广西·模拟预测）向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
题型07线性运算：鸡爪基础型
【解题攻略】
【典例1-1】已知为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】如图，若，，，点B是线段AC上一点，且．若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式1-1】在中，为边的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．不确定
【变式1-2】如图，在中，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-3】设为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型08 线性运算：四边形
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（ ）
A．B．C．D．1
【典例1-2】（2023春·河北石家庄·高三校联考）如图，在平行四边形中，，，，若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2023春·海南·高三校）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）在平行四边形中，是线段的中点，若，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式1-3】（2023秋·新疆博尔塔拉·高三校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
题型09基底：换基底型
【解题攻略】
【典例1-1】设向量是平面内一个基底,且,则向量可以用另一个基底表示,即________.
【典例1-2】已知若以与为一组基底,则用与表示________.
【变式1-1】若是一组基底，向量 (x，y∈R)，则称(x，y)为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为(－2，2)，则在另一组基底下的坐标为________
【变式1-2】设是平面内一组基底，且，，则向量可以表示为另一组基底的线性组合，即=____.
【变式1-3】已知与不平行，且，，，若以、为一组基底，则用、可表示为______
题型10 基底：两线交点型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023·高一课时练习）如图，在中，AD是BC边上的中线，是AD上的一点，且，连接CF并延长交AB于，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）在△中，已知，，且AD与BC的交点为M，E是OA中点，又直线ME与线段OB交于点F，若，则实数的值为 ．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7＝5，＝4，EF交AC于点K，，则实数λ的值为 .
【变式1-3】（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末）在中，，D是AC的中点，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
题型11基底：面积比值型
【典例1-1】（2023春·全国·高三专题练习）设、为 内的两点，且满足， ，则 ．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为 ．
【变式1-1】（2023春·全国·高三专题练习）四边形中，，，则四边形面积为（ ）
A．B．C．2D．
【变式1-2】（2023春·四川南充·高三校考阶段练习）已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023春·高三单元测试）已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
题型12基底：赵爽弦图型
【典例1-1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为__________.
【典例1-2】赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________．
【变式1-1】《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若，，G，F两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（ ）
A．9B．4C．3D．8
【变式1-2】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
题型13 数量积最值范围
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．D．3
【典例1-2】（2023·河北沧州·校考三模）在中，若，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知定点，为坐标原点，点是圆上的一点，且圆的半径为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023秋·云南大理·高三云南省下关第一中学校考开学考试）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）
A．8B．4C．16D．12
【变式1-3】（2023春·北京海淀·高三清华附中校考）已知，，，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．4
题型14 范围最值型：建系法
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．,D．,
【典例1-2】（2023春·广东东莞·高三东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在扇形中，，，M是OA中点，点P在弧AB上，则的最小值为（ ）
A．0B．2C．D．
【变式1-1】（2023秋·江西抚州·高三江西省乐安县第二中学校考开学考试）在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知长方形ABCD的边长，P，Q分别是线段BC，CD上的动点，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2023春·湖南永州·高三永州市第一中学校考开学考试）已知是边长为4的等边三角形，为所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
高考练场
1.（2023·全国·高三专题练习）若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校高三阶段练习）已知，那么的夹角（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高三阶段练习）设向量，，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4.．已知向量、，满足，，若对任意模为2的向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5.（2022上·北京·高三阶段练习）已知，则向量在方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．D．
6.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
7.在中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
8.（2022春·陕西安康·高三校考）如图，在梯形中，，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
9.若是一个基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.现已知，，，，向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______.
10.．如图，在中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则在上的投影为（ ）
A．B．C．D．
11.（2021秋·湖南·高三周南中学校联考开学考试）在中，为上一点，，为上任一点，，，（，），若，则当取最小值时，四边形的面积与的面积之比等于 ．
12.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（ ）
A．B．C．1D．2
13.（2022春·高三单元测试）若平面向量满足，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14.（2023春·浙江台州·高三温岭中学校考）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
求平面向量夹角的方法模长型）：
定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
求平面向量夹角的方法（坐标型）：
坐标法：若非零向量、，则.
复合型向量夹角计算，和简单向量夹角计算一样，多了一个复杂的求分母计算
cs〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
向量型恒成立：
通过模计算，转化为函数恒成立。
通过向量几何意义，转化为图形恒成立
若、，则
a在b方向上的投影为： |a|cs θ ＝ eq \f(a·b,|b|)
若、，则a在b上的投影向量：
鸡爪型是向量线性运算基础：
若D点在BC线段上，且满足,则有
四边形基底线性运算，可以用基底推导，也可以通过特殊化构造坐标系设点计算
若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.
特别提醒：不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底、线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.
变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：.
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
求最值基本思维：
（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
（3） 具有特殊条件向量，可以考虑三角换元求最值
第十三讲 向量性质与基本定理应用
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25082" 题型01向量夹角：模型夹角 PAGEREF _Tc25082 \h 1
\l "_Tc21286" 题型02向量夹角：坐标型 PAGEREF _Tc21286 \h 3
\l "_Tc17232" 题型03向量夹角：复合型 PAGEREF _Tc17232 \h 4
\l "_Tc11827" 题型04向量夹角：恒成立与最值型 PAGEREF _Tc11827 \h 6
\l "_Tc26640" 题型05投影与投影向量：投影数量 PAGEREF _Tc26640 \h 9
\l "_Tc1241" 题型06投影与投影向量：投影向量 PAGEREF _Tc1241 \h 10
\l "_Tc24977" 题型07线性运算：鸡爪基础型 PAGEREF _Tc24977 \h 12
\l "_Tc15262" 题型08线性运算：四边形 PAGEREF _Tc15262 \h 14
\l "_Tc137" 题型09基底：换基底型 PAGEREF _Tc137 \h 16
\l "_Tc3460" 题型10基底：两线交点型 PAGEREF _Tc3460 \h 17
\l "_Tc5256" 题型11基底：面积比值型 PAGEREF _Tc5256 \h 20
\l "_Tc29200" 题型12基底：赵爽弦图型 PAGEREF _Tc29200 \h 23
\l "_Tc19568" 题型13数量积最值范围 PAGEREF _Tc19568 \h 26
\l "_Tc17496" 题型14范围最值型：建系法 PAGEREF _Tc17496 \h 28
\l "_Tc26546" 高考练场 PAGEREF _Tc26546 \h 31
热点题型归纳
题型01 向量夹角：模型夹角
【解题攻略】
【典例1-1】．（2022·辽宁·模拟预测）已知向量，满足，，则，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的运算律及数量积的夹角公式即得.
【详解】由，得，
即，
所以，
所以．
故选：A．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知为非零向量，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将两边平方，再结合数量积的运算解出夹角的余弦值即可.
【详解】将等式两边平方，得，即，
将代入，得.
故选：B.
【变式1-1】（2022·甘肃·一模（文））向量，满足，，，则向量，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的运算律求出，再根据夹角公式求出，从而得解；
【详解】解：因为，，，所以，即，即，所以，设与的夹角为，则，因为，所以；
故选：D
【变式1-2】（2022·广西南宁·一模（文））若两个向量满足，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依据向量夹角的余弦公式即可求得与的夹角.
【详解】，又
则，即与的夹角是
故选：C
【变式1-3】（2022·广西·高三阶段练习（文））已知单位向量，，，则与的夹角为（ ）．
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【分析】根据向量的数量积的运算可求得，再利用向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以,
故选:C
题型02向量夹角：坐标型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·江西·高三阶段练习（理））已知向量，若，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出向量，再用夹角公式求出向量与的夹角.
【详解】因为，且，所以得，
即则，又，所以
即与的夹角为．故选：B
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，再根据向量夹角的坐标表示得到不等式，再用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：因为平面向量与的夹角为，且，所以，即，所以，因为为整数，且，，所以共有种可能，又因为，，所以或，①当时，由，即，所以或或或，满足题意；
②当时，由，即，所以或，满足题意；
故或或或或或共种情况符合题意，所以的概率为；
故选：D
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】且与不同向，进而求解即可得答案.
【详解】解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，
由，共线得，得，故.故选:D.
【变式1-2】（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高三）已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合向量坐标运算的余弦夹角公式即可求解.
【详解】设与的夹角为，因为，，所以．
故选：B
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）若，，且，的夹角的余弦值为，则等于（ ）
A．2B．C．或D．2或
【答案】C
【分析】根据，解得即可得出答案.
【详解】解：因为，，
所以，
解得：或.故选：C.
题型03向量夹角：复合型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·河南·光山一中高三阶段练习）已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据，，为单位向量，变形后平方可得：，，，利用夹角公式求出与夹角的余弦值.
【详解】
，，为单位向量.
对两边平方，即，可得：；
由可得：，两边平方，可得：；
由可得：，两边平方，可得：，所以．
．
故选：A
【典例1-2】（2022·四川省成都市新都一中高三）已知，，则向量与的夹角为（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
【答案】A
【分析】
结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的余弦值，进而可得到结果.
【详解】
因为，，
所以，，
设向量与的夹角为，则
，
因为，所以，故向量与的夹角为，
故选：A.
【变式1-1】．（2020·云南德宏·高三 （理））已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
将向量用坐标表示，求得的值，结合平面向量数量积定义即可求得与夹角的余弦值.
【详解】
设，与为，则，解得，
又，且，∴，
∴，，
∵，即，
解得.故选：B.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先表示出的坐标，再根据向量的夹角公式列出关于m的方程，解得答案.
【详解】
由题意得，
故 ，
解得 ，其中不合题意，舍去，
故，故选：D
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习（理））已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
变形可得出，可得出，利用平面向量数量积的运算可求得的值，即可得解.
【详解】
依题意，，则，即，
即，解得.故选：C.
题型04 向量夹角：恒成立与最值型
【解题攻略】
【典例1-1】已知向量，满足|，，且对任意的实数x，不等式恒成立，设，的夹角为，则的值为（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【答案】C
【分析】因为对任意实数，不等式恒成立，所以对任意实数恒成立，，即，结合已知可得的值，解可得的值，进而计算可得答案.
【详解】对任意实数，不等式恒成立
对任意实数恒成立
，即又，
即，解得
又，，故选：C.
【典例1-2】设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据为单位向量，设，且，得到的坐标，再根据，得到x的范围，然后利用求解.
【详解】因为为单位向量，不妨设，且，所以，
又因为，所以，化简得，所以，
，，当时，，故选：C
【变式1-1】已知向量，，，，的夹角为，若存在实数m，使得，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据，可得，即，则只要，求得即可的解.
【详解】解：由，得，又，所以，
若存在实数m，使得，则，
因为，所以，故.故选：C．
【变式1-2】已知平面向量，满足，且对任意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可设，由题意求出，根据向量的几何意义找到向量对应的点所在的区域，结合向量夹角的含义，找到与夹角最大时或夹角无限小时的位置，即可求得答案.
【详解】由题意可设，则
由于对任意实数，有，故恒成立，
即对任意实数恒成立，故，
即 ，
所以向量对应的点位于如图所示的直线 外部的阴影区域内
（含边界直线），设 ，，则,
故，
不妨假设向量对应的点在上部分区域内，
则由图可以看到当对应的点位于B处，即在直线上，
且当时，最大，此时，
所以 ，即最小值为，
由图可以看到，当B点沿直线向外运动或在阴影部分中向远处运动时，
可以无限趋近于0，故，因此的范围是，
当B点位于直线上或下方的区域内时，同理可求得的范围是，故选：D
【变式1-3】已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意有，
则．
又因为，所以，所以．
故选：C.
题型05 投影与投影向量：投影数量
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影的数量为（ ）
A．B．
C．D．1
【答案】D
【分析】根据向量在向量上的投影的数量为即可求解.
【详解】由题意可得，，
故向量在向量上的投影的数量为．
故选:D.
【典例1-2】已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小.
【详解】记向量与向量的夹角为，
在上的投影为.
在上的投影为，，，.故选：B.29.
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知向量，，若向量在向量方向上的投影为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量投影求解参数值即可.
【详解】由题，向量在向量方向上的投影为，
解得．
故选：C．
【变式1-2】（2023·辽宁丹东·统考一模）向量，，则在方向上投影的数量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用投影数量的定义及向量夹角坐标公式求在方向上投影的数量.
【详解】由题设，在方向上投影的数量为.
故选：B
【变式1-3】（2022上·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据向量投影数量公式，代入即可得解.
【详解】向量在向量方向上的投影数量为，
故选：B
题型06投影与投影向量：投影向量
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直求出后，利用向量的坐标运算写出的坐标，再根据投影向量的概念即可求解.
【详解】依题意得，所以，解得，
所以，所以，
则向量在向量上的投影向量为．
故选：D．
【典例1-2】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出的坐标，然后利用投影向量的公式求解即可.
【详解】由已知，
则在上的投影向量为.
故选：D.
【变式1-1】（2023·广西·模拟预测）向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由投影向量的定义求在方向上的投影向量.
【详解】因为，，则，
所以在方向上的投影向量为．
故选：C
【变式1-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，，则向量在向量上的数量投影为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由平面向量的坐标运算、投影向量的计算公式即可求解．
【详解】因为，，所以，
则在上的投影向量的模为
，
则在上的投影向量为.
故选：A．
题型07线性运算：鸡爪基础型
【解题攻略】
【典例1-1】已知为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.
【详解】由题意作出图形,如图,则
，故选：A.
【典例1-2】如图，若，，，点B是线段AC上一点，且．若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为.
所以，即，.
故选：B
【变式1-1】在中，为边的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】C
【分析】结合已知条件，利用向量表示，根据平面向量基本定理求即可.
【详解】因为为边的中点，所以，
所以，因为，不共线，
由平面向量基本定理可得，
所以，故选：C.
【变式1-2】如图，在中，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】利用条件，将 作为基底表示即可求解作答 .
【详解】由题意， ，
；
故选：A.
【变式1-3】设为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】运用平面向量加法规则计算.
【详解】
依题意作上图，则 ；
故选：D.
题型08 线性运算：四边形
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.
【详解】因为，则，
整理得，可得，
所以.
故选：A.
【典例1-2】（2023春·河北石家庄·高三校联考）如图，在平行四边形中，，，，若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】运用向量加、减、数乘运算即可求得结果.
【详解】由，得，所以.
由，得，所以.
因为，所以.
所以，
所以，即.
故选：A.
【变式1-1】（2023春·海南·高三校）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】由题意，点为的中点，点是线段上的一点，且，
则，
因为，且，
则有 .
故选：D.
【变式1-2】．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）在平行四边形中，是线段的中点，若，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】由向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，即可确定参数值.
【详解】由，
所以，则.
故选：C
【变式1-3】（2023秋·新疆博尔塔拉·高三校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算求解.
【详解】解：，
，，，故选：C
题型09基底：换基底型
【解题攻略】
【典例1-1】设向量是平面内一个基底,且,则向量可以用另一个基底表示,即________.
【答案】
【解析】设，将代入，利用向量基本定理，得出的关系式，求解，即可得出结论.
【详解】设,因为,
所以,因为不共线,
所以解得,.故答案为:.
【典例1-2】已知若以与为一组基底,则用与表示________.
【答案】
【分析】由与为一组基低，故、不共线，从而、不共线
再根据平面向量的基本定理不妨设，
把采用对应系数相等即可求解.
【详解】因为与为一组基底，故、不共线，从而、不共线，
令 则
即
令解得 ，所以故答案为：
【变式1-1】若是一组基底，向量 (x，y∈R)，则称(x，y)为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为(－2，2)，则在另一组基底下的坐标为________
【答案】(0，2)
【解析】先求出的坐标，再设，即可建立方程组求出.
【详解】因为在基底下的坐标为(－2，2)，
即，
令，
所以，即，
所以在基底下的坐标为(0，2)
故答案为：(0，2).
【变式1-2】设是平面内一组基底，且，，则向量可以表示为另一组基底的线性组合，即=____.
【答案】
【分析】设，代入，，结合向量运算及向量相等可列方程解出m、n，即可求
【详解】设，
因为，，所以，
因为不共线，所以，解得，故.
故答案为：
【变式1-3】已知与不平行，且，，，若以、为一组基底，则用、可表示为______
【答案】
【分析】设，化简可得，再根据与不平行，可得，解方程组，即可求出结果.
【详解】设，则
所以.又与不平行，所以，解得，
所以.故答案为：.
题型10 基底：两线交点型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，再根据平面向量基本定理分别表示，进而根据向量共线设，代入向量可得，进而得到.
【详解】设，则，又，
设，则，
故，即，故.故选：C
【典例1-2】（2023·高一课时练习）如图，在中，AD是BC边上的中线，是AD上的一点，且，连接CF并延长交AB于，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，运用平面向量基本定理和向量共线建立关系，解出比值即可得出结果.
【详解】设，，因为，所以，
因为，所以，
又，
又因为，所以，得到，消得到，所以.
故选：D.
【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）在△中，已知，，且AD与BC的交点为M，E是OA中点，又直线ME与线段OB交于点F，若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】由向量共线定理的推论可知：，，根据已知条件及平面向量基本定理列方程组求参数值即可.
【详解】由题设，可得如下示意图，且，
且，
且，
所以，可得，即，
所以，可得.故答案为：.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7＝5，＝4，EF交AC于点K，，则实数λ的值为 .
【答案】－
【分析】由平面向量基本定理得到，由向量共线定理得推论得到方程，求出实数λ的值.
【详解】因为，所以. 又E，F，K三点共线，所以，解得：λ＝－.故答案为：－
【变式1-3】（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末）在中，，D是AC的中点，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】根据向量的数量、位置关系，结合加减法的几何意义用表示出，即可得答案.
【详解】
，
所以，故，则.
故选：C
题型11基底：面积比值型
【典例1-1】（2023春·全国·高三专题练习）设、为 内的两点，且满足， ，则 ．
【答案】
【分析】作图，由题意分析 内部的几何关系即可求解.
【详解】由题意作下图：
取的中点，连接，则
； ，
故且 ,
延长AP与BC交于F点，则 ，∴ ，
，∴F点是EC的中点，
，故答案为：．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为 ．
【答案】/0.4
【分析】根据给定的向量等式，确定点M的位置，再借助面积关系计算作答.
【详解】因，则，即，
于是得点在边上，并且，有，
所以与的面积之比为.
故答案为：
【变式1-1】（2023春·全国·高三专题练习）四边形中，，，则四边形面积为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据单位向量结合向量线性运算分析可得四边形为菱形，，再根据模长运算可得，结合菱形的性质求四边形的面积.
【详解】若，则四边形为平行四边形，且，
可知表示分别与同向的单位向量，
若，则对角线为的角平分线，
故四边形为菱形，则，
故，则，
∵，即，
解得，故，
且，则，
即为等边三角形，则，且，
∴四边形面积.
故选：A.
【变式1-2】（2023春·四川南充·高三校考阶段练习）已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简得到，，确定为靠近的四等分点，计算得到答案.
【详解】，故，即，
故，即，
故三点共线，且为靠近的四等分点，
设为中点，则，
，故.
故选：A
【变式1-3】（2023春·高三单元测试）已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】如图，分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到，由于正三角形，结合题目中的面积关系得到，，由面积之比，分所成的比，从而得出的值．
【详解】， ．如图，，分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，，故，
在正三角形中，，
，
且三角形与三角形的底边相等，面积之比为,
所以，得.故选：B.
题型12基底：赵爽弦图型
【典例1-1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由题意，利用平面向量基本定理，数形结合与临界值法，即可求解.
【详解】过点作，分别交于点，
过点作，交的延长线于点，
过点作，交的延长线于点，如图，
由
可知，点在线段上运动（不含端点）.
当点与点重合时，，可知.
当点与点重合时，，可知.
故的取值范围为.
故答案为：
【典例1-2】赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________．
【答案】
【分析】设，建立如图所示的直角坐标系，结合余弦定理和正弦定理解三角形，利用坐标法即可得出结果.
【详解】设，则如图：由题可知：，
由所以，则
所以，又
所以
所以，即
所以，又
所以，所以故答案为：.
【变式1-1】《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若，，G，F两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（ ）
A．9B．4C．3D．8
【答案】B
【分析】先在中，利用余弦定理求解，再在中结合勾股定理求解，继而分析即得解.
【详解】由条件可得.在中，由余弦定理得，
∴，∴，，
∴，
∴“勾股圆方图”中小正方形的边长为，∴面积为4.故选：B
【变式1-2】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.
【详解】由题意,
即，
所以 故选：A.
题型13 数量积最值范围
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．D．3
【答案】D
【分析】设，求得，得到，以与交点为原点，建立平面直角坐标系，设，求得，进而求得的最大值为.
【详解】由，可得，设，
可得
，所以，
因为，所以，以与交点为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设，且，则，，，当时，.故选：D.
【典例1-2】（2023·河北沧州·校考三模）在中，若，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形外心的性质，结合正弦定理、平面向量数量积的定义、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以为的外心，且为外接圆上一动点，
又，，
所以外接圆的半径.
如图，作，垂足为，则.
所以，当与圆相切时，取最值，即在处取最大值6，
在处取最小值，
故选：B
【变式1-1】（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知定点，为坐标原点，点是圆上的一点，且圆的半径为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平面向量数量积的运算性质可得，利用当点为线段与圆的交点时，取最大值即可得解.
【详解】由题意可知，，则
，
当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立.
因此，的最大值为.故选：C.
【变式1-2】（2023秋·云南大理·高三云南省下关第一中学校考开学考试）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）
A．8B．4C．16D．12
【答案】A
【分析】先根据，得到，再根据，得到，进而求出的取值范围，再根据，即可求解．
【详解】因为，所以，所以，
由，所以，化简得到，
所以，则，当且仅当时，等号成立，
所以，则的最小值为.
故选：A
【变式1-3】（2023春·北京海淀·高三清华附中校考）已知，，，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根据数量积的运算律得到，则，结合余弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，即，
即，即，
所以，
所以
，
因为，
所以当时取最大值，最大值为.
故选：B
题型14 范围最值型：建系法
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．,D．,
【答案】A
【分析】令，，，,，应用向量线性运算坐标表示得到坐标，坐标公式求模，设，应用辅助角公式及正弦型函数性质求范围即可.
【详解】设，，，设，,，
所以，
所以，
设，,，则，其中，所以，
所以,，故,，
所以,，即,.
故选：
【典例1-2】（2023春·广东东莞·高三东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在扇形中，，，M是OA中点，点P在弧AB上，则的最小值为（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，再借助平面向量数量积的坐标表示，结合正弦函数性质求解作答.
【详解】如图，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，设，，
于是，
所以
，其中锐角满足，
因此当，即时，.
所以的最小值为.故选：D
【变式1-1】（2023秋·江西抚州·高三江西省乐安县第二中学校考开学考试）在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，建立合适的直角坐标系，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.
【详解】因为三角形中，，
所以是边长为2的等边三角形，则
以为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系如图，
则，设，则，
故，
显然当时，取得最小值，故选：B.
【变式1-2】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知长方形ABCD的边长，P，Q分别是线段BC，CD上的动点，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意建立直角坐标系，利用正切函数的和差公式得到，从而求得，再利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.
【详解】设A点为坐标原点，分别以AB，AD为x，y轴建立坐标系，如图，
不妨设，则，
因为，所以，又，
所以，则，
所以，解得，
当且仅当时，等号成立，所以，
则的最小值为.故选：D.
【变式1-3】（2023春·湖南永州·高三永州市第一中学校考开学考试）已知是边长为4的等边三角形，为所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】取中点，以为原点，，为，轴建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，设，
则，，，
所以，
所以，
当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为，故选：B
高考练场
1.（2023·全国·高三专题练习）若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据向量夹角公式即可求得向量与的夹角.
【详解】由，可得
则，则
又，则故选：B
2.（2021·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校高三阶段练习）已知，那么的夹角（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，利用数量积的定义即可求出.
【详解】，
，
，
，.
故选：D.
3.（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高三阶段练习）设向量，，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由向量夹角的坐标运算可直接求得结果.
【详解】
，.
故选：B.
4.．已知向量、，满足，，若对任意模为2的向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量不等式得到，平方得到，代入数据计算得到得到答案.
【详解】解：由，，若对任意模为2的向量，均有
可得：
可得:,
平方得到，即
故选：B
5.（2022上·北京·高三阶段练习）已知，则向量在方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】代入向量投影的计算公式即可求出结果.
【详解】向量在方向上的投影数量为，
故选：B.
6.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出和所成的角并求出所成角的余弦值，即可求出在上的投影向量.
【详解】由题意，，设和所成的角为θ，
则，
∴在上的投影向量为：.故选：C.
7.在中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量线性运算化简已知等式可整理得到，由此可得结果.
【详解】，
，，即.
故选：B.
8.（2022春·陕西安康·高三校考）如图，在梯形中，，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由题意得E为中点，
故
，故选：C
9.若是一个基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.现已知，，，，向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______.
【答案】
【解析】设，根据坐标运算建立、的方程组，解出这两个未知数，即可得出在基底下的坐标.
【详解】在基底下的坐标为，.
设，则，解得，
在基底下的坐标为.故答案为：.
10.．如图，在中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则在上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合向量运算以及向量投影的计算公式计算出正确答案.
【详解】，
由于是三角形的中线，所以是三角形的重心，
所以,
则，
，
，
.
所以在上的投影为.故选：A
11.（2021秋·湖南·高三周南中学校联考开学考试）在中，为上一点，，为上任一点，，，（，），若，则当取最小值时，四边形的面积与的面积之比等于 ．
【答案】/1:6
【分析】根据题意，由向量的数乘和加减法运算得出，再由三点共线关系可得，根据基本不等式中“1”的妙用，可知当，时，取得最小值，最后根据进行化简运算，即可求出结果.
【详解】解：由题意可知：，
而，，三点共线，则：，据此有：
，
当且仅当，时等号成立，取到最小值，
此时，，
所以.
故答案为：.
12.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理，将用表示出来，求出，的值，即可求解．
【详解】由题意可得，
因为是平行四边形，所以，所以，所以，
因为，所以，
则．故选:D
13.（2022春·高三单元测试）若平面向量满足，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，，可得，令，，然后由可得，再利用可求得，从而可求出的范围.
【详解】因为，，所以，
令，则，令，
则由，得，
所以，
因为，所以，
解得，
所以.
故选：A.
14.（2023春·浙江台州·高三温岭中学校考）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过数量积定义得出与重合时取得最大值，与重合时，取得最小值，然后建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标法求数量积．
【详解】如图，过作于，则，当与同向时为正，当与反向时为负，
分别过作，，为垂足，
则得当与重合（即与重合）时，取得最大值，当与重合（即与重合）时，取得最小值，
是正六边形，因此以为轴，为建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，是中点，则，
，，，
，，
所以的范围是，
故选：B．
求平面向量夹角的方法模长型）：
定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
求平面向量夹角的方法（坐标型）：
坐标法：若非零向量、，则.
复合型向量夹角计算，和简单向量夹角计算一样，多了一个复杂的求分母计算
cs〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
向量型恒成立：
通过模计算，转化为函数恒成立。
通过向量几何意义，转化为图形恒成立
若、，则
a在b方向上的投影为： |a|cs θ ＝ eq \f(a·b,|b|)
若、，则a在b上的投影向量：
鸡爪型是向量线性运算基础：
若D点在BC线段上，且满足,则有
四边形基底线性运算，可以用基底推导，也可以通过特殊化构造坐标系设点计算
若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.
特别提醒：不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底、线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.
变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：.
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
求最值基本思维：
（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
（3） 具有特殊条件向量，可以考虑三角换元求最值
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25082" 题型01向量夹角：模型夹角 PAGEREF _Tc25082 \h 1
\l "_Tc21286" 题型02向量夹角：坐标型 PAGEREF _Tc21286 \h 2
\l "_Tc17232" 题型03向量夹角：复合型 PAGEREF _Tc17232 \h 3
\l "_Tc11827" 题型04向量夹角：恒成立与最值型 PAGEREF _Tc11827 \h 3
\l "_Tc26640" 题型05投影与投影向量：投影数量 PAGEREF _Tc26640 \h 4
\l "_Tc1241" 题型06投影与投影向量：投影向量 PAGEREF _Tc1241 \h 5
\l "_Tc24977" 题型07线性运算：鸡爪基础型 PAGEREF _Tc24977 \h 6
\l "_Tc15262" 题型08线性运算：四边形 PAGEREF _Tc15262 \h 7
\l "_Tc137" 题型09基底：换基底型 PAGEREF _Tc137 \h 8
\l "_Tc3460" 题型10基底：两线交点型 PAGEREF _Tc3460 \h 8
\l "_Tc5256" 题型11基底：面积比值型 PAGEREF _Tc5256 \h 10
\l "_Tc29200" 题型12基底：赵爽弦图型 PAGEREF _Tc29200 \h 10
\l "_Tc19568" 题型13数量积最值范围 PAGEREF _Tc19568 \h 11
\l "_Tc17496" 题型14范围最值型：建系法11
\l "_Tc26546" 高考练场 PAGEREF _Tc26546 \h 12
热点题型归纳
题型01 向量夹角：模型夹角
【解题攻略】
【典例1-1】．（2022·辽宁·模拟预测）已知向量，满足，，则，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知为非零向量，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·甘肃·一模（文））向量，满足，，，则向量，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·广西南宁·一模（文））若两个向量满足，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·广西·高三阶段练习（文））已知单位向量，，，则与的夹角为（ ）．
A．30°B．60°C．120°D．150°
题型02向量夹角：坐标型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·江西·高三阶段练习（理））已知向量，若，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高三）已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）若，，且，的夹角的余弦值为，则等于（ ）
A．2B．C．或D．2或
题型03向量夹角：复合型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·河南·光山一中高三阶段练习）已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·四川省成都市新都一中高三）已知，，则向量与的夹角为（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
【变式1-1】．（2020·云南德宏·高三 （理））已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习（理））已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
题型04 向量夹角：恒成立与最值型
【解题攻略】
【典例1-1】已知向量，满足|，，且对任意的实数x，不等式恒成立，设，的夹角为，则的值为（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【典例1-2】设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】已知向量，，，，的夹角为，若存在实数m，使得，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】已知平面向量，满足，且对任意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
题型05 投影与投影向量：投影数量
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影的数量为（ ）
A． B． C． D．1
【典例1-2】已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知向量，，若向量在向量方向上的投影为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·辽宁丹东·统考一模）向量，，则在方向上投影的数量为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．1D．2
题型06投影与投影向量：投影向量
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2023·广西·模拟预测）向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
题型07线性运算：鸡爪基础型
【解题攻略】
【典例1-1】已知为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】如图，若，，，点B是线段AC上一点，且．若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式1-1】在中，为边的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．不确定
【变式1-2】如图，在中，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-3】设为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型08 线性运算：四边形
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（ ）
A．B．C．D．1
【典例1-2】（2023春·河北石家庄·高三校联考）如图，在平行四边形中，，，，若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2023春·海南·高三校）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）在平行四边形中，是线段的中点，若，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式1-3】（2023秋·新疆博尔塔拉·高三校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
题型09基底：换基底型
【解题攻略】
【典例1-1】设向量是平面内一个基底,且,则向量可以用另一个基底表示,即________.
【典例1-2】已知若以与为一组基底,则用与表示________.
【变式1-1】若是一组基底，向量 (x，y∈R)，则称(x，y)为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为(－2，2)，则在另一组基底下的坐标为________
【变式1-2】设是平面内一组基底，且，，则向量可以表示为另一组基底的线性组合，即=____.
【变式1-3】已知与不平行，且，，，若以、为一组基底，则用、可表示为______
题型10 基底：两线交点型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023·高一课时练习）如图，在中，AD是BC边上的中线，是AD上的一点，且，连接CF并延长交AB于，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）在△中，已知，，且AD与BC的交点为M，E是OA中点，又直线ME与线段OB交于点F，若，则实数的值为 ．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7＝5，＝4，EF交AC于点K，，则实数λ的值为 .
【变式1-3】（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末）在中，，D是AC的中点，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
题型11基底：面积比值型
【典例1-1】（2023春·全国·高三专题练习）设、为 内的两点，且满足， ，则 ．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为 ．
【变式1-1】（2023春·全国·高三专题练习）四边形中，，，则四边形面积为（ ）
A．B．C．2D．
【变式1-2】（2023春·四川南充·高三校考阶段练习）已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023春·高三单元测试）已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
题型12基底：赵爽弦图型
【典例1-1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为__________.
【典例1-2】赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________．
【变式1-1】《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若，，G，F两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（ ）
A．9B．4C．3D．8
【变式1-2】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
题型13 数量积最值范围
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．D．3
【典例1-2】（2023·河北沧州·校考三模）在中，若，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知定点，为坐标原点，点是圆上的一点，且圆的半径为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023秋·云南大理·高三云南省下关第一中学校考开学考试）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）
A．8B．4C．16D．12
【变式1-3】（2023春·北京海淀·高三清华附中校考）已知，，，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．4
题型14 范围最值型：建系法
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．,D．,
【典例1-2】（2023春·广东东莞·高三东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在扇形中，，，M是OA中点，点P在弧AB上，则的最小值为（ ）
A．0B．2C．D．
【变式1-1】（2023秋·江西抚州·高三江西省乐安县第二中学校考开学考试）在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知长方形ABCD的边长，P，Q分别是线段BC，CD上的动点，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2023春·湖南永州·高三永州市第一中学校考开学考试）已知是边长为4的等边三角形，为所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
高考练场
1.（2023·全国·高三专题练习）若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校高三阶段练习）已知，那么的夹角（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高三阶段练习）设向量，，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4.．已知向量、，满足，，若对任意模为2的向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5.（2022上·北京·高三阶段练习）已知，则向量在方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．D．
6.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
7.在中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
8.（2022春·陕西安康·高三校考）如图，在梯形中，，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
9.若是一个基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.现已知，，，，向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______.
10.．如图，在中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则在上的投影为（ ）
A．B．C．D．
11.（2021秋·湖南·高三周南中学校联考开学考试）在中，为上一点，，为上任一点，，，（，），若，则当取最小值时，四边形的面积与的面积之比等于 ．
12.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（ ）
A．B．C．1D．2
13.（2022春·高三单元测试）若平面向量满足，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14.（2023春·浙江台州·高三温岭中学校考）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
求平面向量夹角的方法模长型）：
定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
求平面向量夹角的方法（坐标型）：
坐标法：若非零向量、，则.
复合型向量夹角计算，和简单向量夹角计算一样，多了一个复杂的求分母计算
cs〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
向量型恒成立：
通过模计算，转化为函数恒成立。
通过向量几何意义，转化为图形恒成立
若、，则
a在b方向上的投影为： |a|cs θ ＝ eq \f(a·b,|b|)
若、，则a在b上的投影向量：
鸡爪型是向量线性运算基础：
若D点在BC线段上，且满足,则有
四边形基底线性运算，可以用基底推导，也可以通过特殊化构造坐标系设点计算
若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.
特别提醒：不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底、线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.
变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：.
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
求最值基本思维：
（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
（3） 具有特殊条件向量，可以考虑三角换元求最值
第十三讲 向量性质与基本定理应用
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25082" 题型01向量夹角：模型夹角 PAGEREF _Tc25082 \h 1
\l "_Tc21286" 题型02向量夹角：坐标型 PAGEREF _Tc21286 \h 3
\l "_Tc17232" 题型03向量夹角：复合型 PAGEREF _Tc17232 \h 4
\l "_Tc11827" 题型04向量夹角：恒成立与最值型 PAGEREF _Tc11827 \h 6
\l "_Tc26640" 题型05投影与投影向量：投影数量 PAGEREF _Tc26640 \h 9
\l "_Tc1241" 题型06投影与投影向量：投影向量 PAGEREF _Tc1241 \h 10
\l "_Tc24977" 题型07线性运算：鸡爪基础型 PAGEREF _Tc24977 \h 12
\l "_Tc15262" 题型08线性运算：四边形 PAGEREF _Tc15262 \h 14
\l "_Tc137" 题型09基底：换基底型 PAGEREF _Tc137 \h 16
\l "_Tc3460" 题型10基底：两线交点型 PAGEREF _Tc3460 \h 17
\l "_Tc5256" 题型11基底：面积比值型 PAGEREF _Tc5256 \h 20
\l "_Tc29200" 题型12基底：赵爽弦图型 PAGEREF _Tc29200 \h 23
\l "_Tc19568" 题型13数量积最值范围 PAGEREF _Tc19568 \h 26
\l "_Tc17496" 题型14范围最值型：建系法 PAGEREF _Tc17496 \h 28
\l "_Tc26546" 高考练场 PAGEREF _Tc26546 \h 31
热点题型归纳
题型01 向量夹角：模型夹角
【解题攻略】
【典例1-1】．（2022·辽宁·模拟预测）已知向量，满足，，则，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的运算律及数量积的夹角公式即得.
【详解】由，得，
即，
所以，
所以．
故选：A．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知为非零向量，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将两边平方，再结合数量积的运算解出夹角的余弦值即可.
【详解】将等式两边平方，得，即，
将代入，得.
故选：B.
【变式1-1】（2022·甘肃·一模（文））向量，满足，，，则向量，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的运算律求出，再根据夹角公式求出，从而得解；
【详解】解：因为，，，所以，即，即，所以，设与的夹角为，则，因为，所以；
故选：D
【变式1-2】（2022·广西南宁·一模（文））若两个向量满足，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依据向量夹角的余弦公式即可求得与的夹角.
【详解】，又
则，即与的夹角是
故选：C
【变式1-3】（2022·广西·高三阶段练习（文））已知单位向量，，，则与的夹角为（ ）．
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【分析】根据向量的数量积的运算可求得，再利用向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以,
故选:C
题型02向量夹角：坐标型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·江西·高三阶段练习（理））已知向量，若，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出向量，再用夹角公式求出向量与的夹角.
【详解】因为，且，所以得，
即则，又，所以
即与的夹角为．故选：B
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，再根据向量夹角的坐标表示得到不等式，再用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：因为平面向量与的夹角为，且，所以，即，所以，因为为整数，且，，所以共有种可能，又因为，，所以或，①当时，由，即，所以或或或，满足题意；
②当时，由，即，所以或，满足题意；
故或或或或或共种情况符合题意，所以的概率为；
故选：D
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】且与不同向，进而求解即可得答案.
【详解】解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，
由，共线得，得，故.故选:D.
【变式1-2】（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高三）已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合向量坐标运算的余弦夹角公式即可求解.
【详解】设与的夹角为，因为，，所以．
故选：B
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）若，，且，的夹角的余弦值为，则等于（ ）
A．2B．C．或D．2或
【答案】C
【分析】根据，解得即可得出答案.
【详解】解：因为，，
所以，
解得：或.故选：C.
题型03向量夹角：复合型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·河南·光山一中高三阶段练习）已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据，，为单位向量，变形后平方可得：，，，利用夹角公式求出与夹角的余弦值.
【详解】
，，为单位向量.
对两边平方，即，可得：；
由可得：，两边平方，可得：；
由可得：，两边平方，可得：，所以．
．
故选：A
【典例1-2】（2022·四川省成都市新都一中高三）已知，，则向量与的夹角为（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
【答案】A
【分析】
结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的余弦值，进而可得到结果.
【详解】
因为，，
所以，，
设向量与的夹角为，则
，
因为，所以，故向量与的夹角为，
故选：A.
【变式1-1】．（2020·云南德宏·高三 （理））已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
将向量用坐标表示，求得的值，结合平面向量数量积定义即可求得与夹角的余弦值.
【详解】
设，与为，则，解得，
又，且，∴，
∴，，
∵，即，
解得.故选：B.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先表示出的坐标，再根据向量的夹角公式列出关于m的方程，解得答案.
【详解】
由题意得，
故 ，
解得 ，其中不合题意，舍去，
故，故选：D
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习（理））已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
变形可得出，可得出，利用平面向量数量积的运算可求得的值，即可得解.
【详解】
依题意，，则，即，
即，解得.故选：C.
题型04 向量夹角：恒成立与最值型
【解题攻略】
【典例1-1】已知向量，满足|，，且对任意的实数x，不等式恒成立，设，的夹角为，则的值为（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【答案】C
【分析】因为对任意实数，不等式恒成立，所以对任意实数恒成立，，即，结合已知可得的值，解可得的值，进而计算可得答案.
【详解】对任意实数，不等式恒成立
对任意实数恒成立
，即又，
即，解得
又，，故选：C.
【典例1-2】设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据为单位向量，设，且，得到的坐标，再根据，得到x的范围，然后利用求解.
【详解】因为为单位向量，不妨设，且，所以，
又因为，所以，化简得，所以，
，，当时，，故选：C
【变式1-1】已知向量，，，，的夹角为，若存在实数m，使得，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据，可得，即，则只要，求得即可的解.
【详解】解：由，得，又，所以，
若存在实数m，使得，则，
因为，所以，故.故选：C．
【变式1-2】已知平面向量，满足，且对任意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可设，由题意求出，根据向量的几何意义找到向量对应的点所在的区域，结合向量夹角的含义，找到与夹角最大时或夹角无限小时的位置，即可求得答案.
【详解】由题意可设，则
由于对任意实数，有，故恒成立，
即对任意实数恒成立，故，
即 ，
所以向量对应的点位于如图所示的直线 外部的阴影区域内
（含边界直线），设 ，，则,
故，
不妨假设向量对应的点在上部分区域内，
则由图可以看到当对应的点位于B处，即在直线上，
且当时，最大，此时，
所以 ，即最小值为，
由图可以看到，当B点沿直线向外运动或在阴影部分中向远处运动时，
可以无限趋近于0，故，因此的范围是，
当B点位于直线上或下方的区域内时，同理可求得的范围是，故选：D
【变式1-3】已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意有，
则．
又因为，所以，所以．
故选：C.
题型05 投影与投影向量：投影数量
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影的数量为（ ）
A．B．
C．D．1
【答案】D
【分析】根据向量在向量上的投影的数量为即可求解.
【详解】由题意可得，，
故向量在向量上的投影的数量为．
故选:D.
【典例1-2】已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小.
【详解】记向量与向量的夹角为，
在上的投影为.
在上的投影为，，，.故选：B.29.
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知向量，，若向量在向量方向上的投影为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量投影求解参数值即可.
【详解】由题，向量在向量方向上的投影为，
解得．
故选：C．
【变式1-2】（2023·辽宁丹东·统考一模）向量，，则在方向上投影的数量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用投影数量的定义及向量夹角坐标公式求在方向上投影的数量.
【详解】由题设，在方向上投影的数量为.
故选：B
【变式1-3】（2022上·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据向量投影数量公式，代入即可得解.
【详解】向量在向量方向上的投影数量为，
故选：B
题型06投影与投影向量：投影向量
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直求出后，利用向量的坐标运算写出的坐标，再根据投影向量的概念即可求解.
【详解】依题意得，所以，解得，
所以，所以，
则向量在向量上的投影向量为．
故选：D．
【典例1-2】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出的坐标，然后利用投影向量的公式求解即可.
【详解】由已知，
则在上的投影向量为.
故选：D.
【变式1-1】（2023·广西·模拟预测）向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由投影向量的定义求在方向上的投影向量.
【详解】因为，，则，
所以在方向上的投影向量为．
故选：C
【变式1-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，，则向量在向量上的数量投影为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由平面向量的坐标运算、投影向量的计算公式即可求解．
【详解】因为，，所以，
则在上的投影向量的模为
，
则在上的投影向量为.
故选：A．
题型07线性运算：鸡爪基础型
【解题攻略】
【典例1-1】已知为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.
【详解】由题意作出图形,如图,则
，故选：A.
【典例1-2】如图，若，，，点B是线段AC上一点，且．若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为.
所以，即，.
故选：B
【变式1-1】在中，为边的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】C
【分析】结合已知条件，利用向量表示，根据平面向量基本定理求即可.
【详解】因为为边的中点，所以，
所以，因为，不共线，
由平面向量基本定理可得，
所以，故选：C.
【变式1-2】如图，在中，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】利用条件，将 作为基底表示即可求解作答 .
【详解】由题意， ，
；
故选：A.
【变式1-3】设为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】运用平面向量加法规则计算.
【详解】
依题意作上图，则 ；
故选：D.
题型08 线性运算：四边形
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.
【详解】因为，则，
整理得，可得，
所以.
故选：A.
【典例1-2】（2023春·河北石家庄·高三校联考）如图，在平行四边形中，，，，若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】运用向量加、减、数乘运算即可求得结果.
【详解】由，得，所以.
由，得，所以.
因为，所以.
所以，
所以，即.
故选：A.
【变式1-1】（2023春·海南·高三校）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】由题意，点为的中点，点是线段上的一点，且，
则，
因为，且，
则有 .
故选：D.
【变式1-2】．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）在平行四边形中，是线段的中点，若，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】由向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，即可确定参数值.
【详解】由，
所以，则.
故选：C
【变式1-3】（2023秋·新疆博尔塔拉·高三校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算求解.
【详解】解：，
，，，故选：C
题型09基底：换基底型
【解题攻略】
【典例1-1】设向量是平面内一个基底,且,则向量可以用另一个基底表示,即________.
【答案】
【解析】设，将代入，利用向量基本定理，得出的关系式，求解，即可得出结论.
【详解】设,因为,
所以,因为不共线,
所以解得,.故答案为:.
【典例1-2】已知若以与为一组基底,则用与表示________.
【答案】
【分析】由与为一组基低，故、不共线，从而、不共线
再根据平面向量的基本定理不妨设，
把采用对应系数相等即可求解.
【详解】因为与为一组基底，故、不共线，从而、不共线，
令 则
即
令解得 ，所以故答案为：
【变式1-1】若是一组基底，向量 (x，y∈R)，则称(x，y)为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为(－2，2)，则在另一组基底下的坐标为________
【答案】(0，2)
【解析】先求出的坐标，再设，即可建立方程组求出.
【详解】因为在基底下的坐标为(－2，2)，
即，
令，
所以，即，
所以在基底下的坐标为(0，2)
故答案为：(0，2).
【变式1-2】设是平面内一组基底，且，，则向量可以表示为另一组基底的线性组合，即=____.
【答案】
【分析】设，代入，，结合向量运算及向量相等可列方程解出m、n，即可求
【详解】设，
因为，，所以，
因为不共线，所以，解得，故.
故答案为：
【变式1-3】已知与不平行，且，，，若以、为一组基底，则用、可表示为______
【答案】
【分析】设，化简可得，再根据与不平行，可得，解方程组，即可求出结果.
【详解】设，则
所以.又与不平行，所以，解得，
所以.故答案为：.
题型10 基底：两线交点型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，再根据平面向量基本定理分别表示，进而根据向量共线设，代入向量可得，进而得到.
【详解】设，则，又，
设，则，
故，即，故.故选：C
【典例1-2】（2023·高一课时练习）如图，在中，AD是BC边上的中线，是AD上的一点，且，连接CF并延长交AB于，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，运用平面向量基本定理和向量共线建立关系，解出比值即可得出结果.
【详解】设，，因为，所以，
因为，所以，
又，
又因为，所以，得到，消得到，所以.
故选：D.
【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）在△中，已知，，且AD与BC的交点为M，E是OA中点，又直线ME与线段OB交于点F，若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】由向量共线定理的推论可知：，，根据已知条件及平面向量基本定理列方程组求参数值即可.
【详解】由题设，可得如下示意图，且，
且，
且，
所以，可得，即，
所以，可得.故答案为：.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7＝5，＝4，EF交AC于点K，，则实数λ的值为 .
【答案】－
【分析】由平面向量基本定理得到，由向量共线定理得推论得到方程，求出实数λ的值.
【详解】因为，所以. 又E，F，K三点共线，所以，解得：λ＝－.故答案为：－
【变式1-3】（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末）在中，，D是AC的中点，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】根据向量的数量、位置关系，结合加减法的几何意义用表示出，即可得答案.
【详解】
，
所以，故，则.
故选：C
题型11基底：面积比值型
【典例1-1】（2023春·全国·高三专题练习）设、为 内的两点，且满足， ，则 ．
【答案】
【分析】作图，由题意分析 内部的几何关系即可求解.
【详解】由题意作下图：
取的中点，连接，则
； ，
故且 ,
延长AP与BC交于F点，则 ，∴ ，
，∴F点是EC的中点，
，故答案为：．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为 ．
【答案】/0.4
【分析】根据给定的向量等式，确定点M的位置，再借助面积关系计算作答.
【详解】因，则，即，
于是得点在边上，并且，有，
所以与的面积之比为.
故答案为：
【变式1-1】（2023春·全国·高三专题练习）四边形中，，，则四边形面积为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据单位向量结合向量线性运算分析可得四边形为菱形，，再根据模长运算可得，结合菱形的性质求四边形的面积.
【详解】若，则四边形为平行四边形，且，
可知表示分别与同向的单位向量，
若，则对角线为的角平分线，
故四边形为菱形，则，
故，则，
∵，即，
解得，故，
且，则，
即为等边三角形，则，且，
∴四边形面积.
故选：A.
【变式1-2】（2023春·四川南充·高三校考阶段练习）已知点D、G为所在平面内的点，，，记分别为、的面积，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简得到，，确定为靠近的四等分点，计算得到答案.
【详解】，故，即，
故，即，
故三点共线，且为靠近的四等分点，
设为中点，则，
，故.
故选：A
【变式1-3】（2023春·高三单元测试）已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】如图，分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到，由于正三角形，结合题目中的面积关系得到，，由面积之比，分所成的比，从而得出的值．
【详解】， ．如图，，分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，，故，
在正三角形中，，
，
且三角形与三角形的底边相等，面积之比为,
所以，得.故选：B.
题型12基底：赵爽弦图型
【典例1-1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由题意，利用平面向量基本定理，数形结合与临界值法，即可求解.
【详解】过点作，分别交于点，
过点作，交的延长线于点，
过点作，交的延长线于点，如图，
由
可知，点在线段上运动（不含端点）.
当点与点重合时，，可知.
当点与点重合时，，可知.
故的取值范围为.
故答案为：
【典例1-2】赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________．
【答案】
【分析】设，建立如图所示的直角坐标系，结合余弦定理和正弦定理解三角形，利用坐标法即可得出结果.
【详解】设，则如图：由题可知：，
由所以，则
所以，又
所以
所以，即
所以，又
所以，所以故答案为：.
【变式1-1】《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若，，G，F两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（ ）
A．9B．4C．3D．8
【答案】B
【分析】先在中，利用余弦定理求解，再在中结合勾股定理求解，继而分析即得解.
【详解】由条件可得.在中，由余弦定理得，
∴，∴，，
∴，
∴“勾股圆方图”中小正方形的边长为，∴面积为4.故选：B
【变式1-2】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.
【详解】由题意,
即，
所以 故选：A.
题型13 数量积最值范围
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．D．3
【答案】D
【分析】设，求得，得到，以与交点为原点，建立平面直角坐标系，设，求得，进而求得的最大值为.
【详解】由，可得，设，
可得
，所以，
因为，所以，以与交点为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设，且，则，，，当时，.故选：D.
【典例1-2】（2023·河北沧州·校考三模）在中，若，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形外心的性质，结合正弦定理、平面向量数量积的定义、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以为的外心，且为外接圆上一动点，
又，，
所以外接圆的半径.
如图，作，垂足为，则.
所以，当与圆相切时，取最值，即在处取最大值6，
在处取最小值，
故选：B
【变式1-1】（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知定点，为坐标原点，点是圆上的一点，且圆的半径为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平面向量数量积的运算性质可得，利用当点为线段与圆的交点时，取最大值即可得解.
【详解】由题意可知，，则
，
当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立.
因此，的最大值为.故选：C.
【变式1-2】（2023秋·云南大理·高三云南省下关第一中学校考开学考试）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）
A．8B．4C．16D．12
【答案】A
【分析】先根据，得到，再根据，得到，进而求出的取值范围，再根据，即可求解．
【详解】因为，所以，所以，
由，所以，化简得到，
所以，则，当且仅当时，等号成立，
所以，则的最小值为.
故选：A
【变式1-3】（2023春·北京海淀·高三清华附中校考）已知，，，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根据数量积的运算律得到，则，结合余弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，即，
即，即，
所以，
所以
，
因为，
所以当时取最大值，最大值为.
故选：B
题型14 范围最值型：建系法
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．,D．,
【答案】A
【分析】令，，，,，应用向量线性运算坐标表示得到坐标，坐标公式求模，设，应用辅助角公式及正弦型函数性质求范围即可.
【详解】设，，，设，,，
所以，
所以，
设，,，则，其中，所以，
所以,，故,，
所以,，即,.
故选：
【典例1-2】（2023春·广东东莞·高三东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在扇形中，，，M是OA中点，点P在弧AB上，则的最小值为（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，再借助平面向量数量积的坐标表示，结合正弦函数性质求解作答.
【详解】如图，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，设，，
于是，
所以
，其中锐角满足，
因此当，即时，.
所以的最小值为.故选：D
【变式1-1】（2023秋·江西抚州·高三江西省乐安县第二中学校考开学考试）在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，建立合适的直角坐标系，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.
【详解】因为三角形中，，
所以是边长为2的等边三角形，则
以为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系如图，
则，设，则，
故，
显然当时，取得最小值，故选：B.
【变式1-2】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知长方形ABCD的边长，P，Q分别是线段BC，CD上的动点，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意建立直角坐标系，利用正切函数的和差公式得到，从而求得，再利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.
【详解】设A点为坐标原点，分别以AB，AD为x，y轴建立坐标系，如图，
不妨设，则，
因为，所以，又，
所以，则，
所以，解得，
当且仅当时，等号成立，所以，
则的最小值为.故选：D.
【变式1-3】（2023春·湖南永州·高三永州市第一中学校考开学考试）已知是边长为4的等边三角形，为所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】取中点，以为原点，，为，轴建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，设，
则，，，
所以，
所以，
当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为，故选：B
高考练场
1.（2023·全国·高三专题练习）若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据向量夹角公式即可求得向量与的夹角.
【详解】由，可得
则，则
又，则故选：B
2.（2021·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校高三阶段练习）已知，那么的夹角（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，利用数量积的定义即可求出.
【详解】，
，
，
，.
故选：D.
3.（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高三阶段练习）设向量，，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由向量夹角的坐标运算可直接求得结果.
【详解】
，.
故选：B.
4.．已知向量、，满足，，若对任意模为2的向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量不等式得到，平方得到，代入数据计算得到得到答案.
【详解】解：由，，若对任意模为2的向量，均有
可得：
可得:,
平方得到，即
故选：B
5.（2022上·北京·高三阶段练习）已知，则向量在方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】代入向量投影的计算公式即可求出结果.
【详解】向量在方向上的投影数量为，
故选：B.
6.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出和所成的角并求出所成角的余弦值，即可求出在上的投影向量.
【详解】由题意，，设和所成的角为θ，
则，
∴在上的投影向量为：.故选：C.
7.在中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量线性运算化简已知等式可整理得到，由此可得结果.
【详解】，
，，即.
故选：B.
8.（2022春·陕西安康·高三校考）如图，在梯形中，，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由题意得E为中点，
故
，故选：C
9.若是一个基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.现已知，，，，向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______.
【答案】
【解析】设，根据坐标运算建立、的方程组，解出这两个未知数，即可得出在基底下的坐标.
【详解】在基底下的坐标为，.
设，则，解得，
在基底下的坐标为.故答案为：.
10.．如图，在中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则在上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合向量运算以及向量投影的计算公式计算出正确答案.
【详解】，
由于是三角形的中线，所以是三角形的重心，
所以,
则，
，
，
.
所以在上的投影为.故选：A
11.（2021秋·湖南·高三周南中学校联考开学考试）在中，为上一点，，为上任一点，，，（，），若，则当取最小值时，四边形的面积与的面积之比等于 ．
【答案】/1:6
【分析】根据题意，由向量的数乘和加减法运算得出，再由三点共线关系可得，根据基本不等式中“1”的妙用，可知当，时，取得最小值，最后根据进行化简运算，即可求出结果.
【详解】解：由题意可知：，
而，，三点共线，则：，据此有：
，
当且仅当，时等号成立，取到最小值，
此时，，
所以.
故答案为：.
12.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理，将用表示出来，求出，的值，即可求解．
【详解】由题意可得，
因为是平行四边形，所以，所以，所以，
因为，所以，
则．故选:D
13.（2022春·高三单元测试）若平面向量满足，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，，可得，令，，然后由可得，再利用可求得，从而可求出的范围.
【详解】因为，，所以，
令，则，令，
则由，得，
所以，
因为，所以，
解得，
所以.
故选：A.
14.（2023春·浙江台州·高三温岭中学校考）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过数量积定义得出与重合时取得最大值，与重合时，取得最小值，然后建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标法求数量积．
【详解】如图，过作于，则，当与同向时为正，当与反向时为负，
分别过作，，为垂足，
则得当与重合（即与重合）时，取得最大值，当与重合（即与重合）时，取得最小值，
是正六边形，因此以为轴，为建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，是中点，则，
，，，
，，
所以的范围是，
故选：B．
求平面向量夹角的方法模长型）：
定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
求平面向量夹角的方法（坐标型）：
坐标法：若非零向量、，则.
复合型向量夹角计算，和简单向量夹角计算一样，多了一个复杂的求分母计算
cs〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
向量型恒成立：
通过模计算，转化为函数恒成立。
通过向量几何意义，转化为图形恒成立
若、，则
a在b方向上的投影为： |a|cs θ ＝ eq \f(a·b,|b|)
若、，则a在b上的投影向量：
鸡爪型是向量线性运算基础：
若D点在BC线段上，且满足,则有
四边形基底线性运算，可以用基底推导，也可以通过特殊化构造坐标系设点计算
若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.
特别提醒：不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底、线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.
变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：.
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
求最值基本思维：
（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
（3） 具有特殊条件向量，可以考虑三角换元求最值
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