山东省部分学校2024届高三3月调研数学试卷（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷）及答案

这是一份山东省部分学校2024届高三3月调研数学试卷（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷）及答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
3．若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．若，且，则
D．若，则
5．甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知正实数满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．设函数，则（ ）
A．是偶函数B．在上单调递增
C．的最小值为D．在上有个零点
10．据国家统计局网站2023年9月15日消息，8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长（同比一般情况下是指本年第N月与去年的第N月比）.其中，除汽车以外的消费品零售额为33820亿元，增长.1∼8月份，社会消费品零售总额为302281亿元，同比增长.其中，除汽车以外的消费品零售额为271888亿元，增长．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速如下：
则下列说法正确的是（ ）
A．2023年1~8月份，社会消费品零售总额的月平均值约为25422.6亿元
B．2022年8月份，社会消费品零售总额约为36264.8亿元
C．除掉2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的最大值和最小值所得数据的标准差比原数据的标准差小
D．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的极差比中位数的8倍还多
11．在空间直角坐标系中，，，，，在球的球面上，则（ ）
A．平面
B．球的表面积等于
C．点到平面的距离等于
D．平面与平面的夹角的正弦值等于
三、填空题
12．设，则 ．
13．设双曲线的左、右焦点分别为，，为的左顶点，，为双曲线一条渐近线上的两点，四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为 ．
14．已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是 ；最大值是 .
四、解答题
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)若，求角C的大小；
(2)求证：，，成等差数列.
16．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．
(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；
(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．
17．将数列从首项开始从左到右依次排列，得到数组，，，…，，然后执行以下操作：将移到右侧，然后剔除，再将移到右侧，然后剔除，继续以上操作，即将最左边的数移到最右边，然后剔除新数组最左边的数，直到剩下最后一个数．若令此操作为，则，且确定的值可确定的值，如，，．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)若，证明：．
18．设异面直线与所成的角为，公垂线段为，且，、分别直线m、n上的动点，且，为线段中点，建立适当的平面直角坐标系可确定点的轨迹方程．
(1)请根据自己建立的平面直角坐标系求出．
(2)为的任意内接三角形，点为的外心，若直线的斜率存在，分别为，，，，证明：为定值．
19．如图①，将个完全一样质量均匀长为的长方体条状积木，一个叠一个，从桌子边缘往外延伸，最多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢？这就是著名的“里拉斜塔问题”．
解决方案如下：如图②，若，则当积木与桌缘垂直且积木重心恰与桌缘齐平时，其伸出桌外部分最长为，如图③，若，欲使整体伸出桌缘最远，在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时，可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平，然后设最下方积木伸出桌外的长度为，将最下方积木看成一个杠杆，将桌缘看成支点，由杠杆平衡原理可知，若积木恰好不掉下桌面，则上面积木的重力乘以力臂，等于最下方积木的重力乘以力臂，得出方程，求出．所以当叠放两个积木时，伸出桌外最远为，此时将两个积木看成整体，其重心恰与桌缘齐平．如图④，使前两块积木的中心与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平，便可求出时积木伸出桌外的最远距离．依此方法，可求出4个、5个直至个积木堆叠伸出桌外的最远距离．（参考数据：，为自然常数）
(1)分别求出和时，积木伸出桌外的最远距离．（用表示）；
(2)证明：当时，积木伸出桌外最远超过；
(3)证明：当时，积木伸出桌外最远不超过．
参考答案：
1．D
【分析】解出两个集合，然后根据交集的定义得出答案.
【详解】由题意得：或， ，
所以.
故选：D
2．B
【分析】
利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】
向量满足，
所以.
故选：B
3．D
【分析】
先求出，再由5个数均为正数，列d的不等式求解.
【详解】设5个正数组成数列，
则，
则，解得.
故选：D
4．D
【分析】
根据选项条件作出几何图形或几何模型，运用线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的性质和判定定理，即可推得结论或者说明结论不存在
【详解】
对于A项，因，
设,在平面过点作直线，过点作直线，则 ，
由可得，，故垂直于由直线和直线组成的平面，
由过一点有且只有一个平面与已知直线垂直的性质可知，
故有或，故A项正确；
对于B项，如图，，设，
由，则，同理，设构成平面，则，
设,则，
故得,故，B项正确；
对于C项，如图，因，，则；
又，则，故得：，故C项正确；
对于D项，如图，取平面为平面，平面为平面，取为，为，
因平面，平面,则，
又, 平面，故平面，
因平面，故,即，但与不垂直，故D项错误.
故选：D.
5．C
【分析】
由排列组合知识结合概率公式即可得解.
【详解】因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择，
所以3科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案，
当分配方案为2，2，1时，共有种不同的选择方案；
当分配方案为3，1，1时，共有种不同的选择方案；
所以满足要求的不同选择种数为；
所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为.
故选：C.
6．A
【分析】
根据和差化积公式化简，得到，再利用正切二倍角公式求出答案.
【详解】
由和差化积公式，得，
，所以．
所以．
故选：A．
7．A
【分析】
由题意首先得出旋转后的直线为，然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解.
【详解】连接，设（即以轴正方向为始边，为终边的角），
由题意对于直线上任意一点，存在，使得，
则直线绕原点顺时针旋转后，点对应点为，即，
因为在直线上，所以满足
设，所以，
即所在直线方程为，
而圆的圆心，半径分别为，
若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，
所以圆心到直线的距离，解得.
故选：A.
【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线，从而即可顺利得解.
8．A
【分析】
由等式想到构造函数和，分别考查两函数的单调性和最值情况以及函数值大小关系，得到函数与的图象，由图可得，，再结合先放缩成，即，构造函数，判断其单调性得到其值域，从而得到，即得.
【详解】
因，由可得：，则．
由化简得：，分别设函数，．
由，，则当时，，当时，，
则在上递减,在上递增，故.
又，则当时，，当时，，
则在上递减；在上递增， 故．
由，则时，；时，；时，．函数与的图象如图．
令．由于，则，，排除C，D；
由于，，则．
令，其在R上单调递增．由于，则，
则有，即得．
综上，.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查构造函数利用其单调性等性质比较参数大小的问题,属于难度较大题.
解决的关键在于结合题设条件，构造相应的函数，通过研究函数的图象性质，如单调性，最值，值域以及两函数的函数值大小关系，得到自变量（参数）的范围.
9．ABC
【分析】
对A：利用奇偶性定义，即可判断；对B：根据复合函数单调性的判断方法，判断即可；对C：令，利用换元法即可求得结果；对D：先求在上的零点，结合其奇偶性即可判断.
【详解】对A：的定义域为，又，故为偶函数，A正确；
对B：令，显然是关于的单调增函数；
此时，其对称轴为，故是关于的单调增函数；
根据复合函数单调性可知，在单调递增，故B正确；
对C：由A可知，为偶函数，故在上的最小值即为其在上的最小值；
令，，则，
故的最小值也即的最小值；
又，当时，取得最小值为；
故的最小值为，C正确；
对D：由A可知，为偶函数，故只需先判断在上的零点个数；
当，令，即，
解得或，故可得，或，有个零点；
故在有个零点，D错误.
故选：ABC.
10．BC
【分析】
计算平均数判断A，根据社会消费品零售总额的增长率及2023年的数据计算判断B，根据标准差的含义判断C，分别计算极差和中位数即可判断D.
【详解】
对于A，由2023年1~8月份，社会消费品零售总额为302281亿元，
可得社会消费品零售总额的月平均值约为亿元，故A错误；
对于B，由2023年8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长，
可得2022年8月份，社会消费品零售总额约为亿元．故B正确；
对于C，由图表可知去掉，18.4数据更集中，标准差相对于原数据来说变小了，故C正确；
对于D，极差为，中位数为，
可得，，故D错误.
故选：BC
11．AC
【分析】
由球心F在平面ABC上的投影位置及D点求球心F的坐标和球半径，可得E点坐标，利用空间向量计算点到平面的距离和平面与平面的夹角的正弦值.
【详解】平面ABC的一个法向量，，
则，又因为平面ABC，所以平面ABC，A正确；
因为，，，则，球心F在平面上的投影点即外接圆圆心，
设，因为，则，
得，即，球半径，球F表面积，B错误；
由，，得，，
，，设平面ACE的一个法向量，
，所以，取，
，点到平面的距离等于，C正确；
同理可得平面的一个法向量 ，
平面与平面的夹角的余弦值等于，
正弦值等于，D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：注意到A，B，C三点共面，且平面ABC即为平面，所以易得球心F在平面ABC上的投影，将空间问题平面化.
12．10
【分析】
由复数四则运算以及模的运算公式即可求解.
【详解】由题意，所以.
故答案为：10.
13．
【分析】
根据给定条件，求出点的坐标，再借助诱导公式、同角公式求出的关系即可得解.
【详解】令双曲线的半焦距为c，显然，
由双曲线的对称性，不妨令点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，
由四边形为矩形，得，令，则，，，
于是，则，，
，即直线的斜率，因此，即，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
14． 0
【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.
【详解】正方形ABCD的边长为1，可得，，
•0，
要使的最小，只需要
，此时只需要取
此时






等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正．
比如
则.
点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题．
【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）先利用诱导公式及正弦公式化角为边，再结合三角形的面积公式即可得解；
（2）先利用诱导公式及正弦公式化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简，再结合等差数列的定义即可得证.
【详解】（1）由得，，
由正弦定理得，即，
∵，∴，
∴，即，
∵，∴；
（2）由题意得，，
由正弦定理得，即，
又，
∴，即，
则，，成等差数列.
16．(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】
（1）由独立乘法、互斥加法得函数表达式，进一步即可求解最小值；
（2）的可能取值为1，2，3，4．有独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望.
【详解】（1）
由题可知，
因为，所以当时，的最小值为．
（2）
由题设知，的可能取值为1，2，3，4．
①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．
因此，，
②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．
因此，，
③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．
因此，，
④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．
因此，．
所以的分布列为
因此，的数学期望．
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）令，根据题意，经过次操作后，变成，即可得证；
（2）根据题意，结合数学归纳法的证明方法，即可得证；
（2）假设结论对成立，现在考虑实数，分为偶数和为奇数，两种情况分类讨论，结合数学归纳的证明方法，即可得证.
【详解】（1）解：不妨令，
根据题意，把数列，经过次操作后，变成，
即第项为，所以.
（2）解：当时，成立，
假设成立，即，
当时，可得，
综上可得，对于，都有.
（3）解：若时，结论显然成立，
假设结论对成立，现在考虑实数，
若为偶数，则，结论成立；
若为奇数，则，经过次操作变成，
再经过次操作，变成，这里由有个数，
第位是，所以，
所以，结论对于成立，
综上可得，当时，成立．
18．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】
（1）过作直线，求出点在直线确定的平面上的投影与点的距离，再建立坐标系，求出轨迹方程.
（2）设出点的坐标，及以点为圆心的圆的方程，利用点差法借助斜率坐标公式推理计算即得.
【详解】（1）过作直线，则直线的夹角为，令它们确定的平面为，有，
过作，交直线于点，连接，于是，而，则，
取的中点，而是线段的中点，连接，则，，
显然四边形为矩形，，而，因此，
点在移动过程中，点到平面的距离，于是点轨迹所在平面平行于，
点轨迹与点的轨迹形状完全相同，在平面内以直线相交构成的两组对顶角的平分线为坐标轴，
建立平面直角坐标系，其中轴与直线都成，令直线的方程分别为，
设，则，即，
由，得，于是，即，
所以方程为.
（2）设，则，
显然中任意两个都不相等，否则外心在轴上，直线斜率不存在，即，
设的外接圆方程为，
得，
两式相减得，
由，得，则有，同理，
两式相减得：，则
因此
，
所以，即为定值.
【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
19．(1)当时，最远距离为，当时，最远距离为
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】
（1）将前个看成一个整体，结合题意列式计算即可得；
（2）将前个看成一个整体，设第个积木伸出桌外的长度为，可得，即有当时，积木堆叠伸出桌外的最远距离为，构造函数，结合导数研究函数单调性可得，即可得，将代入即可得证；
（3）构造函数，结合导数研究函数单调性可得，故有，将代入即可得证.
【详解】（1）当时，有，则，，
当时，有，则，故，
故当时，积木伸出桌外的最远距离为，
当时，积木伸出桌外的最远距离为，
（2）当个积木堆叠伸出桌外时，前个看成一个整体，
设第个积木伸出桌外的长度为，则有，解得，
故当时，积木堆叠伸出桌外的最远距离为：
，
令，则，
故在上单调递增，故，
令，则有，即，
故，
即，又，故，
故，
即当时，积木伸出桌外最远超过；
（3）由（2）知，当时，积木堆叠伸出桌外的最远距离为：
，
令，
则，
故在上单调递增，故，
即有在上恒成立，
令，则有，
故，
即，则，
要证当时，积木伸出桌外最远不超过，
只需证， 即证，
由，故，
即只需证，由，
故，即得证.
【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，一个是由题意得到第个积木伸出桌外的长度为时，有，可得，即可得个积木堆叠伸出桌外的最远距离为，第二个是证明（2）、（3）问时，构造对应函数及，通过研究函数单调性，得到及.
1
2
3
4