2024八下第22章四边形阶段方法技巧训练二专训3正方形性质与判定的灵活运用（冀教版）

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专训3　正方形性质与判定的灵活运用名师点金：正方形既是菱形，又是矩形，它具有菱形、矩形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需判定它既是菱形又是矩形即可． 利用正方形的性质证明线段位置关系1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE，其延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.(第1题) 利用正方形的性质解决线段和差倍分问题2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.【导学号：54274025】(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．(第2题) 利用正方形的判定和性质探究正方形的条件3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD.(2)当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明理由．(3)若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．(第3题) 正方形的性质与判定的综合运用4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为正方形ABCD面积的一半？并说明理由．(第4题)答案1．证明：∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.∴∠AOE＝∠DOF＝90°.∵DE＝CF，∴OE＝OF.∴△AOE≌△DOF.∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠FDO＝90°.∴∠DFO＋∠FAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.2．解：(1)仍有BM＋DN＝MN成立．证明如下： 过点A作AE⊥AN，交CB的延长线于点E, 易证△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN. 又∵∠EAM＝∠NAM＝45°，AM＝AM，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN .(第2题)(2)DN－BM＝MN.理由如下： 如图，在DN上截取DE＝BM，连接AE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD.又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°.∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.∴DN－BM＝MN.3．(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)解：四边形BECD是菱形．理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形BECD是菱形．(3)解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵点D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形．即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．4．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.∴在任何运动时刻，四边形PQRS总是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何运动时刻，四边形PQRS总是正方形．(2)解：当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于正方形ABCD的面积．(3)解：当P，Q，R，S四个小球滚动到正方形ABCD各边中点时，四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半．理由：设正方形ABCD的边长为a.当PS2＝eq \f(1,2)a2时，在Rt△APS中，AS＝a－SD＝a－AP.由勾股定理，得AS2＋AP2＝PS2，即(a－AP)2＋AP2＝eq \f(1,2)a2，解得AP＝eq \f(1,2)a.同理可得BQ＝CR＝SD＝eq \f(1,2)a.∴当P，Q，R，S四个小球滚动到正方形ABCD各边中点时，四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半．