2024八下第22章四边形阶段方法技巧训练一专训2常用构造中位线的五种方法（冀教版）

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专训2　常用构造中位线的五种方法名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线． 连接两点构造三角形的中位线1．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．(第1题) 已知角平分线和垂直构造中位线2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．(第2题)3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．(第3题) 倍长法构造三角形的中位线4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝eq \f(1,2)CF.【导学号：54274020】(第4题) 已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE＝eq \r(2)MN.(第5题) 已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN＝eq \f(1,3)AC.(第6题)答案1．(1)证明：如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PMeq \f(1,2)CD，PNeq \f(1,2)AE.∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.∴PM＝PN.(2)解：如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，AE交BD于Q.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.又∵∠DQH＝∠BQA，∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.易证四边形PFHG为平行四边形，∴∠MPN＝120°.(第1题)2．解：如图，延长BD，CA交于N.(第2题)由题易知∠NAD＝∠BAD，∠ADN＝∠ADB＝90°.又∵AD＝AD，∴△AND≌△ABD.∴DN＝DB，AN＝AB.又∵M为BC的中点，∴DM为△BNC的中位线，∴DM＝eq \f(1,2)NC＝eq \f(1,2)(AN＋AC)＝eq \f(1,2)(AB＋AC)＝15.3．解：如图，延长BD交AC于点F，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．∴AF＝AB＝6，BD＝FD.∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．∴DE＝eq \f(1,2)CF＝eq \f(1,2)×4＝2.　(第3题)4．证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME＝eq \f(1,2)AN.(第4题)∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，　∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.　又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN.在△BCF和△BAN中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝BN，,∠CBF＝∠ABN，,BC＝BA，))∴△BCF≌△BAN.∴CF＝AN.∴ME＝eq \f(1,2)AN＝eq \f(1,2)CF.5．证明：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，则MH＝eq \f(1,2)BF，NH＝eq \f(1,2)AE.∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF.∴MH＝NH.∵点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点，∴MH∥BF，NH∥AE.∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°.∴NH＝eq \f(\r(2),2)MN.∴AE＝2NH＝2×eq \f(\r(2),2)MN＝eq \r(2)MN.(第5题)　(第6题)6．证明：如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．又∵H为NC的中点，∴DH∥BN.又∵PD∥EH，∴四边形PDHE是平行四边形．∴HE＝PD.∵P为AD的中点，∴AP＝PD.∴AP＝EH，易证△APN≌△HEN，∴AN＝HN.∴AN＝HN＝HC，∴AN＝eq \f(1,3)AC.