第3章函数与基本初等函数 第3节函数的奇偶性、周期性与对称性 2025年高考总复习数学配人教版(适用于新高考新教材)ppt

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1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.2.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题.3.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
　此为奇偶函数定义域关于原点对称的原因
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
微点拨1.函数图象关于y轴对称,必为偶函数;关于原点对称,必为奇函数.互为充要条件.2.若f(x)≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下:
3.几个常见的奇函数、偶函数:y=ax+a-x(a>0,a≠1),y=lga(1+x)+lga(1-x) (a>0,a≠1)为偶函数;y=ax-a-x(a>0,a≠1),
4.多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0(n∈N*)为偶函数时,奇次项系数全为0,只含有偶次项;f(x)为奇函数时,偶次项系数全为0,只含有奇次项.微思考存在既是奇函数又是偶函数的函数吗?唯一吗?
提示 存在既是奇函数又是偶函数的函数,但不唯一.如果函数y=f(x)是偶函数,那么有f(x)=f(-x),而它又是奇函数,那么f(x)=-f(-x),因此必有f(x)=-f(x),则f(x)=0,则既是奇函数又是偶函数的函数的函数值只能为零,但其解析式的
2.函数的周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=　　　,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数　　　就叫做这个函数的周期. 
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 
并非所有周期函数都有最小正周期
微点拨若T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.
常用结论1.关于函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,那么一定有f(0)=0;如果函数f(x)是偶函数,那么f(-x)=f(x)=f(|x|).(2)如果函数f(x)不是常数函数,当f(x)是奇函数时,它在两个对称的区间上具有相同的单调性;当f(x)是偶函数时,它在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.(4)如果f(x)=g(x)+m(m为常数)且g(x)为奇函数,那么f(x)+f(-x)=2m.(5)如果奇函数f(x)存在最大值与最小值,那么它的最大值与最小值之和等于零.
2.关于函数周期性的常用结论(a,b为非零常数)(1)若f(x+a)=-f(x),则周期T=2a.
(4)若f(x+a)=f(x+b),则周期T=|a-b|.(5)若函数f(x)图象的对称轴有直线x=a和x=b,那么周期T=2|a-b|.
3.关于函数图象对称性的常用结论(1)若对于R上的任意x都有f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(a-x)=-f(a+x)或f(2a-x)=-f(x)或f(-x)=-f(2a+x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
2.若f(x)是奇函数,则有f(0)=0.(　　)3.若f(x)是奇函数,则y=-|f(x)|为偶函数.(　　)4.若f(x)满足f(x-1)=f(x+2),则函数f(x)的周期为3.(　　)
题组二回源教材5.(人教B版必修第一册117页习题3-1B第8题改编)已知函数f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函数,则实数a的值为　　　　　. 
解析 (方法一)由题意得f(1)=a+2,f(-1)=-a+6,因为f(x)是偶函数,所以f(1)=f(-1),即a+2=-a+6,解得a=2.(方法二)f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3,因为f(x)是偶函数,所以a-2=0,解得a=2.
6.(人教A版必修第一册86页习题3.2第11题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(x)的解析式为　 . 
解析 设x<0,则-x>0,于是f(-x)=-x(1-x),又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x) =x(1-x),故函数解析式为f(x)=
题组三连线高考7.(2021·全国乙,理4)设函数f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是(　　)A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1
解析 函数f(x)= ,故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1).将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B.
8.(2020·全国Ⅱ,理9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(　　)
考点一函数的奇偶性及其应用(多考向探究预测)
考向1函数奇偶性的判断例1(1)(多选题)(2024·浙江绍兴模拟)已知函数f(x)=2x-2-x,函数g(x)=cs 2x,则下列结论中正确的是(　　)A.f(x)g(x)是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.g(f(x))是偶函数
解析 易知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且分别为奇函数和偶函数.由于f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A错误;由于f(-x)-|g(-x)|=-f(x)-|g(x)|≠f(x)-|g(x)|≠-[f(x)-|g(x)|],所以f(x)-|g(x)|是非奇非偶函数,故B错误;由于|f(-x)|+g(-x)=|-f(x)|+g(x)=|f(x)|+g(x),所以|f(x)|+g(x)是偶函数,故C正确;由于g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x)),所以g(f(x))是偶函数,故D正确,故选CD.
解析 ①函数的定义域为{x|x≠2},关于原点不对称,所以f(x)为非奇非偶函数;②由4-x2>0,解得-2④(方法一　定义法)当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)为奇函数.
(方法二　图象法)作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.
解析 由于y= ,y=x是奇函数,所以f(x)是偶函数,选项A和D中的函数是奇函数,选项C中的函数是非奇非偶函数,只有选项B中的函数是偶函数,故选B.
考向2函数奇偶性的应用例2(1)(2023·全国乙,理4)已知f(x)= 是偶函数,则a=(　　)A.-2B.-1C.1D.2
解析 方法一:由题意,知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)(2020江苏,7)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时, ,则f(-8)的值是　　　　. 
解析 ∵y=f(x)是奇函数,
(3)(2024·安徽定远模拟)已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当0解析 设-1≤x<0时,则0<-x≤1,于是f(-x)=-x(-x-1)=x2+x,由于f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-x.
规律方法与函数奇偶性有关的问题及解题策略
例3(1)(2024·山西朔州模拟)已知函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),当x∈[-3,0)时, f(x)=2x,则f(2 023)=(　　)
解析 因为f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)的周期为6,所以f(2 023)=f(337×6+1)=f(1)=f(-2+3)=-f(-2)=-2-2= ,故选B.
考点三函数性质的综合应用(多考向探究预测)
考向1函数奇偶性与单调性的综合例4(1)(2024·广东东莞模拟)已知函数f(x)=x2+2|x|,则f(x-1)>f(-1)的解集为(　　)A.(2,+∞)B.(-∞,0)C.(0,2)D.(-∞,0)∪(2,+∞)
解析 易知函数f(x)为偶函数,又当x>0时,f(x)=x2+2x在区间(0,+∞)上单调递增,所以由f(x-1)>f(-1)得f(|x-1|)>f(1),因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即不等式的解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选D.
(2)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,∴f(x)在区间(0,+∞)上也单调递减.
∴满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选D.
考向2函数奇偶性与周期性的综合例5(2021·新高考Ⅱ,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,则(　　)B.f(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0
解析 (方法一)因为f(2x+1)是奇函数,所以f(-2x+1)=-f(2x+1),且有f(2×0+1)=f(1)=0,又因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1,代入得f(3)=f(1)=0,在f(-2x+1)=-f(2x+1)中,令x=1代入得f(-1)=-f(3)=0,故一定有f(-1)=0,故选B.
(方法二)因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(2x)的图象关于点( ,0)对称,从而f(x)的图象关于点(1,0)对称,于是函数f(x)的周期为T=4|2-1|=4.由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.(方法三)因为函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,所
变式探究(变结论)本例中,若条件不变,试求 =　　　　. 
解析 由本例解答可知,f(1)=0,f(3)=0,又函数周期为4,所以f(5)=f(7)=f(9)=f(11)=…=f(2m-1)=0(m∈N*),于是 f(2k-1) =f(1)+f(3)+f(5)+…+f(19)=0.
[对点训练2](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)是偶函数,且当x∈(0,1]时,f(x)=x2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023)=(　　)A.-1B.0C.1D.1 012
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)①,且f(0)=0,又f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),即f(x)=f(2-x)②,所以f(2)=f(0)=0,由①②可得-f(-x)=f(2-x),所以-f(2-x)=f(4-x),则f(-x)=f(4-x),则函数f(x)的周期为4.因为当x∈(0,1]时,f(x)=x2,则f(1)=1,所以f(-1)=-f(1)=-1=f(3),所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023)=506[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]=0,故选B.
考向3函数多种性质的综合例6(2024·陕西渭南模拟)已知函数f(x)满足:①定义域为R;②f(x+1)为偶函数;③f(x+2)为奇函数;④对任意的x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,都有(x1-x2)(f(x1)-
解析 ∵f(x+1)在R上为偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),∴f(x)图象关于直线x=1对称.∵f(x+2)在R上为奇函数,∴f(x+2)+f(-x+2)=0,∴f(x)图象关于点(2,0)对称,且f(2)=0.又f(x+1)=f(-x+1),∴f(x)=f(-x+2)①,又f(x+2)+f(-x+2)=0,∴f(-x+2)=-f(x+2)②,由①②得f(x)=-f(x+2)③,由③得f(x+2)=-f(x+4)④,由③④得f(x)=f(x+4),∴f(x)的一个周期为T=4,且f(0)=0,f(x)图象关于(0,0)对称.又对任意x1,x2∈[0,1],都有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,∴f(x)在区间[0,1]上单调递增.可得函数f(x)在一个周期内的大致图象如下,
[对点训练3](多选题)(2024·河南洛阳模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+2)=-f(x),且f(x)在区间[-1,0]上单调递增,则下列结论中正确的是(　 　)A.f(x)是周期函数B.f(x)的图象关于直线x=1对称C.f(x)在[1,2]上单调递增D.f(2)=f(0)
解析 由于f(x+y)=f(x)+f(y),取x=y=0得f(0)=0;取y=-x,则有f(x-x)=f(0) =f(x)+f(-x)=0,即函数f(x)是R上的奇函数,由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2) =f(x),因此函数f(x)是以4为周期的周期函数,故A正确;f(x+2)=-f(x)=f(-x),因此f(x)的图象关于直线x=1对称,故B正确;因为f(x)在区间[-1,0]上单调递增,则f(x)在区间[0,1]上单调递增,于是得f(x)在区间[1,2]上单调递减,故C错误;由f(x+2)=-f(x),得f(2)=-f(0)=0=f(0),故D正确,故选ABD.