第3章函数与基本初等函数 第4节幂函数、对勾函数及一次分式函数 2025年高考总复习数学配人教版(适用于新高考新教材)ppt

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1.通过具体实例,结合y=x, ,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.2.掌握对勾函数、一次分式函数的简单性质,能够运用这些性质解决相关问题.
1.幂函数(1)幂函数的概念
一般地,函数　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 
注意幂函数与指数函数的区别
微点拨幂函数解析式的特征:(1)自变量x处在幂的底数位置,幂指数α是常数;(2)xα的系数为1;(3)只有一项.
(2)常用5个简单幂函数的图象与性质
微思考幂函数的图象可以经过第四象限吗?
微点拨1.幂函数在(0,+∞)上都有定义;2.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;3.当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
提示 不可以.因为当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图象一定经过第一象限,且一定不经过第四象限.
2.对勾函数(1)对勾函数的定义:对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数,是形如f(x)=ax+ (a>0,b>0)的函数,因其图象的形状得名,又被称为“双勾函数”“对号函数”等.
(2)对勾函数的图象与性质
微思考在函数f(x)=x+ 中,若a<0,则其奇偶性与单调性怎样?
提示 若a<0,则f(x)=x+ 是奇函数,且在区间(-∞,0),(0,+∞)上均单调递增.
3.一次分式函数(1)一次分式函数的定义:形如y= (a≠0,ad≠bc)的函数称为一次分式函数.(2)一次分式函数的图象和性质
1.一般地,对于幂函数 (m∈Z,n∈N*,m与n互质),当m为偶数时,f(x)为偶函数;当m,n均为奇数时,f(x)为奇函数;当n为偶数时,f(x)为非奇非偶函数.2.对勾函数 (a>0,b>0)的极值与图象的拐点可以通过基本不等式求得.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.函数f(x)=2x4是幂函数.(　　)
4.幂函数的图象若与坐标轴有交点,则交点一定是原点.(　　)
题组二回源教材5.(人教A版必修第一册3.3节练习第1题)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, ),求这个函数的解析式.
6.(人教A版必修第一册3.3节例题)证明幂函数f(x)= 是增函数.
题组三连线高考7.(2023·天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则(　　)A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c
解析 因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D.
8.(2016·北京,文10)函数f(x)= (x≥2)的最大值为　　　　. 
解析 由于f(x)=1+ ,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,从而在[2,+∞)上单调递减,故最大值为f(2)=2.
考点一幂函数的概念、图象及性质
例1(1)(2024·山东济宁模拟)幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在区间(0,+∞)上单调递减,则下列说法正确的是(　　)A.m=4B.f(x)是减函数C.f(x)是奇函数D.f(x)是偶函数
解析 函数f(x)=(m2-3m-3)xm为幂函数,则m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1.当m=4时,f(x)=x4在区间(0,+∞)上单调递增,不合题意;当m=-1时,f(x)=x-1在区间(0,+∞)上单调递减,满足题意,所以A错误;又f(x)=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,但不是减函数,所以B错误;又因为f(-x)= =-f(x),所以f(x)是奇函数,故C正确,D错误,故选C.
(　　)A.c考点二对勾函数及其应用
A.有最小值4B.有最大值4C.无最小值D.有最大值5
考点三 一次分式函数及其应用
例3已知函数f(x)= 的定义域是{x|x∈R,x≠-3}.(1)求函数f(x)的值域;(2)若f(x)在(-∞,a)上单调递增,求实数a的取值范围.
解 依题意知,函数f(x)的定义域为{x|x∈R,x≠-3},所以a=3.
又因为f(x)在区间(-∞,a)上单调递增,所以a≤-3,即a的取值范围为(-∞,-3].
变式探究1(变结论)本例中,所有条件不变,则函数g(x)=f(sin x)的值域为　　　　. 
变式探究2(变结论)本例中,所有条件不变,则f(2 023)+f(2 024)+f(-2 029)+f(-2 030) =　　　　. 
解析 由于f(x)=2+ ,所以函数f(x)的图象关于点(-3,2)对称,因此f(x)+f(-6-x)=4,于是f(2 023)+f(-2 029)=f(2 024)+f(-2 030)=4,故f(2 023)+f(2 024)+f(-2 029)+f(-2 030)=8.
[对点训练2](2024·山东青岛模拟)已知函数y= ,x∈(a,b]的最小值为2,则a的取值范围是(　　)A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)
解析 由于y= ,所以函数在区间(-∞,-1)上单调递减且y<1,在(-1,+∞)上单调递减且y>1,又因为当y=2时x=2,因此要使函数在(a,b]上的最小值为2,应有b=2且-1≤a<2,即a的取值范围是[-1,2),故选D.