专题2-1 将军饮马等8类常见最值问题 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

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\l "_Tc152260202" 题型二 双动点最值问题（两次对称）
\l "_Tc152260203" 题型三 动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）
\l "_Tc152260204" 题型四 垂线段最短
\l "_Tc152260205" 题型五 相对运动平移型将军饮马
\l "_Tc152260206" 题型六 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马
\l "_Tc152260207" 题型七 化斜为直，斜大于直
\l "_Tc152260208" 题型八 构造二次函数模型求最值
一、单动点问题
【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB
【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB'
【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大
原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB'
【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
问题解决：作B关于直线l的对称点B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|
原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB'
二、双动点问题（作两次对称）
【问题5】在直线，上分别求点M，N，使△PMN周长最小
问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，
原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段P'P''的长
【问题6】P，Q为定点，在直线，上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小
问题解决：分别作点P，Q关于直线，的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N
原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ
【问题7】A，B分别为，上的定点，M，N分别为，上的动点，求最小值
问题解决：分别作，关于，的对称点，，则，，即所求
原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B'
三、动线段问题（造桥选址）
【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值
问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B'，连接B'M，当AB'M共线时有最小值
原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN
【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值
问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B'关于直线l的对称点B''，当共线有最小值
原理：通过平移构造平行四边，

四、垂线段最短
【问题10】在直线，上分别求点A，B，使PB＋AB最小
问题解决：作关于的对称点，作于A，交于B，即所求
原理：点到直线，垂线段最短，
五、相对运动，平移型将军饮马
【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值
问题解决：相对运动或构造平行四边形
策略一：相对运动思想
过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题
策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.
六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹
【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点轨迹？
问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．
原理：由手拉手可知，故,故Q点轨迹为直线
七、化斜为直，斜大于直
【问题13】已知：是斜边上的高
（1）求的最大值；（2）若，求的最大值
问题解决：取BC中点M，（1）则；（2）
八、构造二次函数求最值
这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．
【问题14】正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 .
问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到，进而根据相似比得到，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案
【详解】易知，，
，，∴，，
∴，
，在时有最大值，最大值为
题型一 两定一动型（线段和差最值问题）
（2023·西安·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点M在边上，，P为正方形内（含边上）一点，且，G为边上一动点，连接，则的最小值为 ．

【答案】3
【分析】先确定组成点P的所有点为过的中点E，F的线段，作点M关于的对称点，连接，证明的长为的最小值，因此求出的长即可．
【详解】解：过点P作，分别交于点E，F，
∵四边形是正方形，
∴四边形和四边形都是矩形，
∵，正方形的边长为4，
∴，
解得，
∴，

作点M关于的对称点，连接，
则，
∴，
∴的最小值为的长，
∵，
∴的最小值为3
透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
【答案】13
【详解】∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3＋AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝13（cm）．
如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC′与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再根据勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，
则AC′与OB的交点即所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，
过点C′作C′D⊥OA于D，
∵点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°，
∴∠OCC′=90°-30°=60°，
OC=1，CC′=2×1×=1，
∴CD=，C′D=，
∵顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），∠OAB=90°，
∴AC=3-1=2，
∴AD=2+=，
在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′===
如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160B．150C．140D．130
【答案】A
【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，
∵，，，
∴，，，
在中，根据勾股定理得，
∴，
即PA+PB的最小值是；
如图所示，延长AB交MN于点，
∵，，
∴当点P运动到点时，最大，
过点B作，则，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴，
即，∴
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．动点P满足S△PBC＝S矩形ABCD．则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为 。

【答案】
【解答】解：设△PBC中BC边上的高是h．
∵S△PBC＝S矩形ABCD．
∴BC•h＝AB•BC，
∴h＝AB＝2，
∴动点P在与BC平行且与BC的距离是2的直线l上，如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．
在Rt△BCE中，∵BC＝5，BE＝2+2＝4，
∴CE＝＝＝，
即PB+PC的最小值为
（2023·泰州·三模）如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为 ．

【答案】10
【分析】过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，易知四边形、、为矩形，证明，由相似三角形的性质可得；设两点运动时间为，则，，易得，；作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可得，故当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，由勾股定理求得的值，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，

易知四边形、、为矩形，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设两点运动时间为，则，，
则有，即，
∵，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
作点关于直线的对称点，如图，
则，，
由轴对称的性质可得，
当三点共线时，的值最小，即取最小值，
此时，在中，，
∴的最小值为
已知满足，则S的最小值为 ．
【答案】5
【分析】根据表示平面内点与之间的距离，表示平面内点与之间的距离，得出当点在与之间的线段上时，这两个距离之和最小，求出这个最小距离即可．
【详解】解：∵表示平面内点与之间的距离，表示平面内点与之间的距离，
∴表示这两个距离之和，
∵两点之间线段最短，
∴当点在与之间的线段上时，这两个距离之和最小，
∴的最小值为．
探究式子的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取，作于．于，且，，点在上，设，则，于是，，，因此，可求得的最小值为 ，已知，则的最大值是 ．

【答案】
【分析】作关于的对称点，连接交于，连接，利用勾股定理求的最小值即可；构造图形如图，过点作交于，求的最大值结合三角形的三边关系，根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，
，
则，，
此时的值最小为：，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，
如图，，
，
则，
，
的最大值为的长度，
过点作交于，
则四边形为矩形，
，
，
，
的最大值为
如图，A、B两点在直线外的同侧，A到的距离，B到的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ．
【答案】10
【分析】延长交于点，过点B作，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长．最后根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，延长交于点，过点B作，
∵，
∴当点P运动到点时，最大，即为的长．
∵，
∴，
∴，
∴的最大值等于10
已知：如图，在矩形中，．动点为矩形内一点，且满足，则周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点作，交于点，交于点，由，可得，过点作，交于点，交于点，作点关于的对称点，连接与交点即为所求点，在△中，，，即可求．
【详解】解：过点作，交于点，交于点，
，
，
，
，
，
过点作，交于点，交于点，作点关于的对称点，连接与交点即为所求点，
，
，
，
，
在△中，，，
，
周长的最小值，
故答案为．
2022·绥化·中考真题
在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
【答案】(1)；
【详解】（1）解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，
∴把，代入得，
，解得，，
∴一次函数解析式为
过点P作轴于点H，
∵
∴
又
∴
∴
∴，
∴
∴
∵在双曲线上，
∴
∴
（2）解：作点K关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则（1，-2），OM=1，
连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，
设直线的解析式为
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为
当时，，解得，，∴∴
∴，，
∴
题型二 双动点最值问题（两次对称）
如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为 。

【答案】6
【解答】解：延长AD至A′，使AD＝DA′，延长AB至E′，使BE＝BE′，连接A′E′，
交BC于M，交DC于N，此时AN＝A′N，EM＝E′M，四边形AEMN周长＝AN+MN+ME+AE＝A′E′+AE，根据两点之间线段最短，A′E′+AE就是四边形AEMN周长的最小值；
∵AD＝2，AE＝BE＝1，
∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1，
∴AE′＝3，AA′＝4，
∴A′E′＝＝5，
∴四边形AEMN周长的最小值为5+1＝6．
（2023·淄博·一模）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时， °．
【答案】100
【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，
由对称性知：，，
，
∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小；
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：．
四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 。
【答案】70
【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，
连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝125°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．
∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°
（2023·西安·二模）如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ．

【答案】
【分析】如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接，，由对称的性质可得，，，，则，可知当四点共线时，的周长最小为，如图，过作的延长线于，由，可得，则，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接，，

由对称的性质可得，，，，
∴，
∴当四点共线时，的周长最小为，
如图，过作的延长线于，
∵，
∴，
∴，，
∴，由勾股定理得
如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是 ．

【答案】
【分析】作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，则的周长，故当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，证明是等边三角形，得到；过D作交直线于P，由平行四边形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质得到，则，，即可得到点P与点B重合，则，由此即可得到答案．
【详解】解：作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，
由作图得：，，
∴的周长，
∴当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
过D作交直线于P，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴点P与点B重合，
∴，
∴
∴的周长最小值为，

题型三 动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）
鞍山·中考真题
如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为 ．
【答案】（-1，0）
【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．
【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，
可知四边形B′B″DC为平行四边形，
则B′C=B″D，
由对称性质可得：BC=B′C，
∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，
则此时AB″最小，即AD+BC最小，
∵A（3，6），B（-2，2），
∴B′（-2，-2），
∴B″（-1，-2），
设直线AB″的表达式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线AB″的表达式为：y=2x，
令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），
∴点C坐标为（-1，0），
故答案为：（-1，0）．
聊城·中考真题
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 ．

【答案】
【详解】解：如图所示，∵D（0，4），
∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），
∴ED=EH，
将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），
∴EF=HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EH=FG，
∴FG =ED，
∵B（-4，6），
∴BD=，
又∵EF＝3，
∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,
要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，
而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，
设直线BG的解析式为：
∵B（-4，6），G（-3，-4），
∴，
∴，
∴，
当y=0时，，
∴，
∴
故答案为：．
如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，
是等腰直角三角形，
，，
将直线：向上平移个单位长度得到直线，
，，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，
点，点，
，
折线的长的最小值为
广西来宾中考真题
如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
【答案】．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
由平移的性质可知：,
∴四边形的周长为；
要使其周长最小，则应使的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；
∴，，
将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：，
将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，,
∴，
当B、E、三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为：，
∴，当时，∴
∴，
将E点坐标代入解析式可得：，
解得：，此时，
此时四边形的周长为；
当时，，，，，
此时四边形的周长为：
；
∵，
∴当时，其周长最小，所以抛物线向右平移了个单位，所以其解析式为：
题型四 垂线段最短
（2023下·湛江·二模）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ．

【答案】
【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作，

平分，
，
，
∴，
，
，
∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
，
，
即的最小值为
如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，点A为射线OM上一点，OA＝4，点E，F分别为射线OP，OM上的动点，连接AE，EF，则AE＋EF的最小值为_________．
M
F
O
A
E
N
P
【答案】
【解析】在ON上截取OG＝OF，连接EG，过点A作AH⊥ON于点H．
M
F
O
A
E
G
N
P
H
∵OG＝OF，∠EOG＝∠EOF，OE＝OE，
∴△OEG≌△OEF，∴EG＝EF，
∴AE＋EF＝AE＋EG≥AH．
∵∠MON＝45°，OA＝4，∴AH＝＝．
2022·贵州毕节·中考真题
如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵,
∴,
∴，
∴，∴，∴则PQ的最小值为
2022铜仁
如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内，点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN＋NP的最小值为_________．
M
D
C
B
A
P
N
E
【答案】
【解析】分别过点M，N作CD的垂线，垂足为M，N．
M
D
C
B
A
P
N
G
H
E
由题意，∠EMC＝∠D＝90°，MC＝DC＝2．
∵NP∥EM，∴∠NPC＝∠EMC＝90°．
∵∠ECM＝∠ECD，∴NP＝NH，
∴MN＋NP＝MN＋NH≥MG．
∵点E为AD的中点，∴tan∠ECD＝，
∴由12345模型可知tan∠DCM＝，
∴sin∠DCM＝，∴MG＝＝，
∴MN＋NP的最小值为．
（2023·鸡西·三模）如图，在矩形中，于点，，，、分别是、上的动点，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】根据矩形的性质和解直角三角形可得，利用勾股定理得到，可得，如图，延长至点，使，过点作于点，交于点，连接，可得点和点关于对称，根据垂线段最短可得的最小值为，然后在中，利用，即可得出答案．
【详解】解：∵在矩形中，，，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，
如图，延长至点，使，过点作于点，交于点，连接，
∵，
∴点和点关于对称，
∴，，
∴，
∴，当点，，共线时，的最小值为，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE，将△DEC绕点C旋转，在旋转过程中，直线AD与BE相交于点H，如图2，则AH的最大值为_________．
A
B
C
E
D
A
B
C
D
E
H
图2
图1
【答案】
【解析】如图1，过点C作直线BH的垂线，垂足为G．
则CG≤CE，sin∠CBH＝≤＝，
A
B
C
D
E
H
G
图1
图2
A
B
C
E
H
D
∴∠CBH≤30°，∴当∠CBH为30°时，∠ABH最大．
∵＝＝，∠ACD＝∠BCE＝90°－∠BCD，
∴△ACD∽△BCE，∴∠CAH＝∠CBH，
∴∠AHB＝∠ACB＝90°，
∴AH＝AB·sin∠ABH，∴此时AH最大．
如图2，此时CE⊥BE，∠DCE＝∠CEH＝∠DHE＝90°，
∴四边形CDHE是矩形，∴∠CDH＝90°，DH＝CE＝＝2，
∴∠ADC＝90°，AD＝＝，
∴AH的最大值为．
题型五 相对运动平移型将军饮马
如图，在矩形中，，把边沿对角线平移，点分别对应点，的最小值为 ．

【答案】
【分析】
先证明四边形是平行四边形
法一：过C作BD的平行线l，可以理解为点C相对线段AB是在直线l上运动，把B关于l对称得到点E，AE即所求
法二：作点关于的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值为，通过证明，可得，通过证明，可得，最后由勾股定理即可得到答案．
法一简析
【详解】
法二：解：根据题意可得：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
如图所示，作点关于的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值为，
，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为
如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是 。

【答案】
【解答】如图所示，过P作x轴的平行线l，作点A关于l的对称点A'，连接A'P，则AP＝A'P，
∴当A'，P，B在同一直线上时，AP+BP的最小值等于线段BA'的长，
过A作AD⊥BC于D，
∴AD∥y轴，
∵A′A∥y轴，
∴A′、A、D三点共线，
∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，
∴AD＝BD＝1，P（0，3），
∴A'D＝AA'+AD＝2×（3﹣1）+1＝5，
∴Rt△BA'D中，BA'＝＝＝，
∴PA+PB的最小值是．
如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是 。

【答案】
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，
∴AC＝6，AC⊥BD，BO＝DO，
∴AO＝AC＝3，
∴BD＝＝18，
∵ED＝OF，
∴EF＝OD＝9，
如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝9，连接CH交BD于E，当CHE三点贡共线时，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形FEHA是平行四边形，
∴FA＝EH，
∵EA＝EC，
∴AF+AE＝EH+CE＝CH，
∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝＝3，
∴AE+AF的最小值3，∴△AEF的周长的最小值＝3+9
广东省深圳市宝安区一模
如图，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN，连接AN，则AM＋AN的最小值是________．

【答案】3
【详解】
法一：相对于MN，A点在平行于BD的直线上运动
法二：MN=AB=,那么根据题意当AM⊥MN时，AM+AN最短.
∵∠CDB=（已求），DC∥AB
∴∠MBA=∠CDB=
∵AM⊥MN,MN∥AB
∴∠MAB=
∵AB=
∴AM=1
∴在Rt△AMN中，利用勾股定理得
则AM+AN=1+2=3
∴当BN⊥CD时，AM+AN有最小值3
如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线AC翻折，得到△AB′C，再将△AB′C在直线AC上平移，得到△A′B″C′，则△BB″C′的周长的最小值为 。
【答案】
【解答】解：连接AB″．
∵AB＝B″C′，AB∥B″C′，
∴四边形ABC′B″是平行四边形，
∴AB″＝BC′，
∴△BC′B″的周长＝BB″+BC′+B″C′＝AB″+BB″+2，
∵AB″+BB″最小时，△BC′B″的周长最小，
作点A关于直线B′B″的对称点T，连接BT交B′B″于B′″，连接AB″′，此时AB′″+BB′″的值最小，设AT交B′B″于E．则AE＝AB′•sin60°＝，∴AT＝2AE＝2，
过点T作TP⊥AB交BA的延长线于P．则AP＝AT•cS30°＝3，PT＝AT＝，
∴．
∴BB″+BC′+B″C′的最小值为
2023·齐齐哈尔·中考真题
如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且．

将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______．
【答案】，
【分析】设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点，由平移的性质可知，，的值最小就是最小值，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．
【详解】，，
补充求解过程如下：
设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：

由平移的性质可知，，
∴的值最小就是最小值，
显然点在直线上运用，
作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，

∵点C关于直线对称的对称的点是点，
∴，
∴，
设直线的解析式是：
将点，代入得：，解得：
直线的解析式是：
令，解得：，∴，
∴平移的距离是
又∵，
∴平移前的抛物线的坐标是
∴新抛物线的顶点坐标为即
故答案是：，．
题型六 通过瓜豆得出轨迹后将军饮马
（2023·徐州·模拟预测）等边边长为6，是中点，在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小．
【详解】解：如图，连接，
、都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
如图，作点关于的对称点，连接，，则，，
当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，
，
．
周长：．
故答案为：．
如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接、，则的最小值是（ ）

A．4B．C．8D．
【答案】B
【分析】在y轴的正半轴上截取，使得，连接、，首先证明，点B在直线上运动，作点O关于直线的对称点E，连接交于点T，当点B与T重合时，的值最小，再利用勾股定理进行求值即可．
【详解】解：如图，在y轴的正半轴上截取，使得，连接、，且的延长线与x轴交于点M，
∴、是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴,
∴点B在直线上运动，
作点O关于直线的对称点E，与交于点F，连接、连接交于点T，
当点B与T重合时，的值最小，
∵,，
∴，
根据对称得：，，，
∴，
∴、
∵，
∴，
∴的最小值为：，
故选：B．

在中，斜边，，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE＋CE的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，取AB的中点T，连接DT，CT，证明△DBT≌△EBC（SAS），推出DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，TL，则DB=DL，由DT+DB=DT+DL≥LT=，可得结论．
【详解】解：如图，取AB的中点T，连接DT，CT，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵AT=TB，
∴CT=AT=TB，
∴△BCT是等边三角形，
∴∠TBC=∠DBE=60°，
∴∠DBT=∠EBC，
在△DBT和△EBC中，
∴△DBT≌△EBC（SAS），
∴DT=CE，
欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，
作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，TL，则DB=DL，
∵AC⊥BL，CL=CB，
∴AL=AB，
∵∠ABL=60°，
∴△ABL是等边三角形，
∵AT=TB=1，
∴LT⊥AB，
∴LT=BT=，
∵DT+DB=DT+DL≥LT=，
∴DT+DB的最小值为，
∴BE+EC的最小值为．
陕西榆林·二模
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为 ．
【答案】
【分析】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN．证明∠HTC＝45°，推出点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD．当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小．
【详解】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN．
∵△ABH，△AMN都是等腰直角三角形，
∴AH＝AB，AN＝AM，∠BAH＝∠MAN＝45°，
∴＝，∠BAM＝∠HAN，
∴△BAM∽△HAN，
∴∠AHN＝∠B＝90°，
∵∠AHB＝45°，
∴∠NHC＝45°，
∴点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD．
当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小，
∵AB＝CD＝4，BH＝4，BC＝9，
∴CH＝CT＝5，DT＝TJ＝1，
∵∠CTH＝∠HTJ＝45°，
∴∠CTJ＝90°，∴CJ＝＝＝
2022·淮安·中考真题
二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长．

【答案】
【分析】由题意可知Q点在平行于的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，再求．
【详解】解：∵，点与点关于轴对称，
∴，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作点关于的对称点，连接与交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
同理可求直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴，
∵，
∴.
题型七 化斜为直，斜大于直
台州·中考真题
如图，直线，分别为直线上的动点，连接，线段交直线于点．设直线与之间的距离为m，直线与之间的距离为n，若，，且，则m＋n的最大值为_____．
【答案】
延长AB，CG＝BD＝10，取CG中点M，BF≤BM＝5⇒m＋n≤
如图，等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则CE的最大值为_________．
A
F
B
D
E
C
【答案】 16－
【解析】过点E作EH⊥BC于点H．
A
F
B
H
D
E
C
∵等边△ABC的边长为4，∴∠B＝60°，AC＝4．
由题意， EF＝AE．
设CE＝2x，则EF＝AE＝4－2x，则EH＝．
∵EF≥EH，∴4－2x≥，
解得x≤8－，∴CE≤16－，∴CE的最大值为16－．
如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段PQ长度的最小值为 。
【解答】显然AB//QC,所以PQ≥CD=
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是边AB上一动点，Q是边BC上一动点，且始终有∠CPQ＝90°，则线段CQ长的取值范围为 .

【答案】
【解答】由解析提示可知：，解得：,所以
如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为 ．

【答案】6
【解答】解：如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，
∵∠BAC＝30°，
∴OE＝OA，
∵AB＝AC＝12，
∵AO＝AC＝×12＝6，
∴OE＝3，
∴PQ的最小值＝2OE＝6
连云港·中考真题
如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是 ．
【答案】3
【解析】简析1 如图2，分别过点A、P作BD的垂线，垂足依次为E、G，则△AET∽△PGT，故＝，从而＝＝1＋＝1＋，又AE＝，要使最大，只要使PG最大，即点P到BD的距离最大；过点C作C⊥BD于点，交⊙C于另一点，易知即为PG的最大值，此时＝2C＝2AE，因此的最大值为3；

图2 图3
简析2 如图3，过点P作AD的平行线，交直线BD于点Q，则△ADT∽△PQT，故＝＝1＋＝1＋＝1＋．再作PG⊥BD于点G，易得PQ＝PG，从而＝1＋PG，要使最大，只要使PG最大，即点P到BD的距离最大，下略；
简析3 如图4，过点P作BD的平行线，交AD的延长线于点Q，则＝＝，要使最大，只要使AQ最大；向上平移BD，使其再次与⊙C相切，切点为，且交AD的延长线于点Q'，此时AQ'即为AQ的最大值；连接P'C并延长，交BD于点G'，再作DH⊥P'Q'于点H，可证DH＝P'G'＝2CG'＝，则DQ'＝DH＝6，故AQ'＝9，即AQ的最大值为9，的最大值为3；

图4 图5
简析4 如图5，连接PB、PD，同上可证＝1＋，要使最大，只需使最大；易证＝，且＝，故＝＝＝，即＝，要使最大，只需使S△PBD最大，即点P到BD的距离最大，下略．
反思：这里提供的四种解法，都是借助相似或面积法转化目标线段比(即)．方法一最为直接，轻松转化为所谓“圆线距离”；方法二通过作“横平坚直辅助线”，构造相似，将“斜接段之比”(即)转化为“直线段之比”(即)，再借助“定角定比”，将“直距离”(即PQ)转化为“斜距离”(即PG)；方法三依然通过作平行线构造相似，将“斜线段之比”(即)转化为“直载段之比”(即)．再借助平移变换，找到相切位置即为所求最大位置；方法四则是将线段比转化为面积比，通过面积法解决问题．四种解法，各有千秋，殊途同归，并且有许多共通之处．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC边上一动点，过点D作DE⊥BD交AB于点E．当点D从点A运动到点C时，AE的最大值为_________，点E运动的路径长为_________．
C
D
B
E
A
【答案】，
【解析】取BE的中点F，连接DF，过点F作FG⊥AC于点G．
C
G
D
B
E
A
F
则DF≥FG，BE＝2DF．
当DF⊥AC时DF最小，BE最小，AE最大．
∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4．
设DF＝x，则BF＝x，AF＝2x，AE＝x，AB＝3x＝4，
∴x＝，∴AE＝，＝，
∴AE的最大值为，点E运动的路径长为．
题型八 构造二次函数模型求最值
2023·辽宁大连一模
如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转 90°得到，连接．则的最小值是
【答案】
【分析】过点C作轴交x轴于D，设，利用一线三垂直模型证明推出，根据勾股定理表示出，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：如图1所示，过点C作轴交x轴于D，设，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为18，∴的最小值是．
如图，△ABC和△ABD是两个全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝eq \r(,3)，BC＝BD＝1．若P、Q分别是边AC、AD上的动点，且始终保持PC＝QA，连接PQ交AB于点M，则AM长度的最大值为_____________．
A
B
D
C
Q
P
M
【答案】 EQ \F(3, 4 )
提示：分别过P、Q作AB的垂线，垂足分别为E、F
A
B
D
C
Q
P
M
F
E
由已知条件得，∠CAB＝∠DAB＝30°，∠CAD＝60°
设AP＝x，则AQ＝PC＝ eq \r(,3)－x
则S△PAQ ＝ EQ \F(1, 2 ) AM·PE＋ EQ \F(1, 2 ) AM·QF＝ EQ \F(1, 4 ) AM·AP＋ EQ \F(1, 4 ) AM·AQ
＝ EQ \F(1, 4 ) AM( AP＋AQ )＝ EQ \F(1, 4 ) AM( x＋ eq \r(,3)－x )＝ EQ \F(eq \r(,3), 4 )AM
又S△PAQ ＝ EQ \F(1, 2 ) AP·AQ·sin60°＝ EQ \F(1, 2 ) x( eq \r(,3)－x )· EQ \F(eq \r(,3), 2 )＝－ EQ \F(eq \r(,3), 4 )( x 2－ eq \r(,3)x )
∴ EQ \F(eq \r(,3), 4 )AM＝－ EQ \F(eq \r(,3), 4 )( x 2－ eq \r(,3)x )，∴AM＝－( x 2－ eq \r(,3)x )＝－( x－ EQ \F(eq \r(,3), 2 ))2＋ EQ \F(3, 4 )
∴当x＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) 时，AM的长取得最大值 EQ \F(3, 4 )
（2023·江苏淮安·一模）如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为 时，的面积最大．
【答案】4
【详解】解：根据题意得：，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大
无锡中考真题
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，点D是AB边上的一个动点，连接CD，以CD为边向上作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为___________．
E
F
B
C
D
A
【答案】 EQ \F(3, 2 )
提示：作CG⊥BA交BA的延长线于点G，作EH⊥BA交BA的延长线于点H
E
F
H
B
C
D
A
G
M
则△CDG≌△DEH，∴DG＝EH
∵∠BAC＝120°，∴∠CAG＝60°
作AM⊥BC于M
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BM＝ EQ \F(1, 2 ) BC＝2
∴AM＝ EQ \F(2eq \r(,3), 3 )，AB＝AC＝ EQ \F(4eq \r(,3), 3 )，AG＝ EQ \F(1, 2 ) AC＝ EQ \F(2eq \r(,3), 3 )，BG＝2eq \r(,3)
∴S△BDE ＝ EQ \F(1, 2 ) BD·EH＝ EQ \F(1, 2 )( 2eq \r(,3)－DG )·DG＝－ EQ \F(1, 2 ) DG 2＋eq \r(,3)DG＝－ EQ \F(1, 2 )( DG－eq \r(,3) )2＋ EQ \F(3, 2 )
∴当DG＝eq \r(,3)时，△BDE的面积有最大值为 EQ \F(3, 2 )
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 ，△BDE面积的最大值为 ．
【答案】 10
【分析】如图，过点作于，过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出，继而根据勾股定理求出，从而求得的长，然后证明，根据全等三角形的性质可得，设，则，继而根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质即可求得答案．
【详解】如图，过点作于，过点作于，过点作于，
，，，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
设，则，
，
，
的最大值为，
故答案为，．
（2022·江苏泰州·二模）如图①，等边△ABC中，点P为AB边上的任意一点，且∠CPD=60°，PD交AC于点D，设AP =x，AD=y，如图②是y关于x的函数图象，则图象顶点的坐标为 ．
【答案】（2，1）
【分析】根据题意得：AB=4，根据等边三角形的性质和∠CPD=60°，可得PB=4-x，∠BCP=∠B，可证得△DAP∽PBC，从而得到y关于x的函数为，即可求解．
【详解】解： 根据题意得：AB=4，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，BC=AB=4，
∵AP =x，AD=y，
∴PB=4-x，
∵∠CPD=60°，
∴∠CPD=∠B，
∵∠APC=∠APD+∠CPD，∠APC=∠B+∠BCP，
∴∠BCP=∠B，
∴△DAP∽PBC，
∴，即，
∴y关于x的函数为，
∴图象顶点的坐标为（2，1）
（2023·辽宁营口·二模）如图①，在钝角三角形中，，D为边上一动点（C点除外），以点D为直角顶点，以为一条直角边作等腰直角三角形，连接．设，，若y关于x的函数图象如图②所示，则的面积为 ．

【答案】
【分析】由②知，最大为5，此时点D与点A重合，，过点E作，交延长线于G，根据等腰三角形的性质及三角形等面积法得出，过点B作，交延长线于H，则，再由全等三角形的判定和性质得出，即可求解三角形面积．
【详解】解：由②知，最大为5，此时点D与点A重合，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
过点E作，交延长线于G，

∴，
解得，
∴
过点B作，交延长线于H，则，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
已知△ABC的面积为2，∠A＝30°，点M、N分别是边AB、AC上的点，且MN将△ABC分成面积相等的两部分，则线段MN长的最小值为___________．
A
M
N
B
C
【答案】eq \r(,6)－eq \r(,2)
提示：过M作MH⊥AC于H，设MH＝x，则AH＝eq \r(,3)x
A
M
H
N
B
C
∵S△AMN ＝ EQ \F(1, 2 ) AN·MH＝ EQ \F(1, 2 ) S△ABC ＝1，∴AN＝ EQ \F(2, x ) ，HN＝ EQ \F(2, x ) －eq \r(,3)x
∴MN 2＝MH 2＋HN 2＝x 2＋( EQ \F(2, x ) －eq \r(,3)x )2＝( 2x－ EQ \F(2, x ) )2＋8－4eq \r(,3)≥8－4eq \r(,3)
∴当2x＝ EQ \F(2, x )，即x＝1，AM＝AN＝2时，MN 2有最小值为8－4eq \r(,3)
∴MN长的最小值为 eq \r(,6)－eq \r(,2)
如图，在锐角△ABC中，点D是AC边上的一个动点，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，连接BD、EF，当△DEF的面积最大时，下列说法正确的是（ ）
A．BD是AC边上的高B．BD是AC边上的中线
C．BD是∠ABC的角平分线D．EF∥AC
A
D
E
F
B
C
【答案】B
提示：作EH⊥DF交FD的延长线于点H
A
D
E
F
B
C
H
则S△DEF ＝ EQ \F(1, 2 ) DF·EH＝ EQ \F(1, 2 ) DF·DE·sin∠EDH＝ EQ \F(1, 2 ) DE·DF·sin∠ABC
∵sin∠ABC为定值，∴当DE·DF的值最大时，△DEF的面积最大
∵S△ABD ＝ EQ \F(1, 2 ) AB·DE，S△CBD ＝ EQ \F(1, 2 ) BC·DF，∴S△ABD·S△CBD ＝ EQ \F(1, 4 ) AB·BC·DE·DF
∵AB·BC为定值，∴此时S△ABD·S△CBD的值最大
设S△ABC ＝S，S△ABD ＝x，则S△CBD ＝S－x
∴S△ABD·S△CBD ＝x( S－x )＝－x 2＋Sx＝－( x－ EQ \F(S, 2 ) )2＋ EQ \F(S 2, 4 )
∴当x＝ EQ \F(S, 2 )，即BD是AC边上的中线时，S△ABD·S△CBD的值最大，△DEF的面积最大
如图，△ABC中，BC＝4，BC边上的高为3，矩形DEFG内接于△ABC，点D、G分别在边AB、AC上，边EF在边BC上，则EG长的最小值为___________．
A
B
C
E
F
D
G
【答案】 EQ \F(12, 5 )
提示：作AN⊥BC于点N，交DG于点M
A
B
C
E
F
D
G
M
N
A
B
C
E
F
D
G
H
N
M
设DG＝x，由△ADG∽△ABC得： EQ \F(AM, AN ) ＝ EQ \F(DG, BC )
∴ EQ \F(AM, 3 ) ＝ EQ \F(x, 4 ) ，∴AM＝ EQ \F(3, 4 ) x，∴DE＝MN＝3－ EQ \F(3, 4 ) x
∴EG 2＝DG 2＋DE 2＝x 2＋( 3－ EQ \F(3, 4 ) x )2＝ EQ \F(25, 16 ) x 2－ EQ \F(9, 2 ) x＋9＝ EQ \F(25, 16 )( x－ EQ \F(36, 25 ) )2＋ EQ \F(144, 25 )
∴当x＝ EQ \F(36, 25 ) 时，EG 2有最小值 EQ \F(144, 25 )，∴EG的长的最小值为 EQ \F(12, 5 )
注：本题也可用几何构造法解决，但不易想到．
过B作BH⊥BC，过A作AH⊥BH于H
延长GD交BH于M，连接HC交DG于N
则BE＝DM， EQ \F(DM, AH ) ＝ EQ \F(BD, BA ) ＝ EQ \F(NG, AH )
∴NG＝DM＝BE，∴四边形BENG是平行四边形
∴BN＝EG，当BN⊥HC时BN最小
由面积法可得，当BN⊥HC时BN＝ EQ \F(12, 5 )，∴EG长的最小值为 EQ \F(12, 5 )
如图，在□ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，点E、F分别是对角线AC和边BC延长线上的动点，且AE∶CF＝2∶3，连接EF交CD于点G，则线段CG长的最大值为___________．
A
D
B
C
F
E
G
【答案】30－12eq \r(,6)
提示：作EH⊥BC于H，EM⊥CD于M，FN⊥CD于N
A
D
B
C
H
F
E
M
N
G
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形
∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2
∴∠ACD＝∠DCF＝60°
由AE∶CF＝2∶3，设AE＝2x，则CF＝3x，EC＝2－2x
EH＝EM＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 )( 2－2x )，FN＝ EQ \F(3eq \r(,3), 2 ) x
∵S△CEF ＝S△CEG ＋ S△CFG，∴ EQ \F(1, 2 ) CF·EH＝ EQ \F(1, 2 ) CG·EM＋ EQ \F(1, 2 ) CG·FN
∴CF·EH＝CG·( EM＋FN )，∴3x· EQ \F(eq \r(,3), 2 )( 2－2x )＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 )( x＋2 )·CG
∴CG＝ EQ \F(－6x 2＋6x, x＋2 ) ＝ EQ \F(－6( x＋2 )2＋30x＋60－36, x＋2 ) ＝－6( x＋2 )－ EQ \F(36, x＋2 ) ＋30
＝－[ eq \r(, 6( x＋2 ) )－ EQ \F(6, eq \r(, x＋2 ) ) ]2＋30－12eq \r(,6)
∴线段CG长的最大值为30－12eq \r(,6)
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是对角线AC上一点，AP＝ EQ \F(1, 4 ) AC，过点P的直线分别交边AB、AD于点E、F，连接CE、CF，则四边形AECF的面积的最小值为___________．
A
D
F
C
B
E
P
【答案】6
提示：作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H
A
D
F
C
B
E
P
G
H
由AP＝ EQ \F(1, 4 ) AC可得AG＝PH＝ EQ \F(1, 4 ) AB＝ EQ \F(3, 4 )，AH＝PG＝ EQ \F(1, 4 ) AD＝1
设GE＝x，则AE＝x＋ EQ \F(3, 4 )
由△EGP∽△PHF，可得HF＝ EQ \F(3, 4x )，AF＝1＋ EQ \F(3, 4x )
S△AEF ＝ EQ \F(1, 2 ) AE·AF＝ EQ \F(1, 2 )( x＋ EQ \F(3, 4 ) )( 1＋ EQ \F(3, 4x ) )＝ EQ \F(1, 2 )( x＋ EQ \F(9, 16x ) ＋ EQ \F(3, 2 ) )＝ EQ \F(1, 2 )( eq \r(, x )－ EQ \F(3, 4eq \r(, x ) ) )2＋ EQ \F(3, 2 )
∴△AEF的面积的最小值为 EQ \F(3, 2 )
∵AP＝ EQ \F(1, 4 ) AC，∴S四边形AECF ＝4S△AEF
∴四边形AECF的面积的最小值为6
如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在BC边上，点F在DC边上，∠EAF＝30°，过点F作FG∥BC，交AE于点G，则线段GF长的最小值为___________．
A
D
B
C
E
F
G
【答案】 EQ \F(8, 3 )
提示：延长AD到点H，连接FH，使∠H＝30°
A
D
B
C
E
F
G
H
∵∠EAF＝30°，∴∠EAF＝∠H
∵FG∥BC∥AD，∴∠AFG＝∠HAF
∴△AFG∽△HAF，∴ EQ \F(AF, GF ) ＝ EQ \F(AH, AF )，∴GF＝ EQ \F(AF 2, AH )
设DF＝x，则AF 2＝x 2＋4 2＝x 2＋16，AH＝eq \r(,3)x＋4
∴GF＝ EQ \F(x 2＋16, eq \r(,3)x＋4 ) ＝ EQ \F(( x＋ EQ \F(4, eq \r(,3) ) )2－ EQ \F(8, eq \r(,3) )( x＋ EQ \F(4, eq \r(,3) ) )＋ EQ \F(64, 3 ), eq \r(,3)( x＋ EQ \F(4, eq \r(,3) ) ) )＝ EQ \F(1, eq \r(,3) )[ x＋ EQ \F(4, eq \r(,3) ) ＋ EQ \F(64, 3( x＋ EQ \F(4, eq \r(,3) ) ) ) ]－ EQ \F(8, 3 )
＝ EQ \F(1, eq \r(,3) )( eq \r(, x＋ EQ \F(4, eq \r(,3) ) )－ EQ \F(8, eq \r(,3)·eq \r(, x＋ EQ \F(4, eq \r(,3) ) ) ) )2＋ EQ \F(8, 3 )≥ EQ \F(8, 3 )，∴GF长的最小值为 EQ \F(8, 3 )
如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2eq \r(,3)，点E是AB边上的一个动点，点M是CE的中点，将线段EM绕点E逆时针旋转60°得到线段EF，连接DE、DF，则△DEF的面积的最小值为___________．
A
D
B
C
E
F
M
【答案】 EQ \F(7eq \r(,3), 48 )
提示：连接FC、FM
A
D
B
C
E
F
M
G
H
由题意，EF＝EM，∠FEM＝60°，∴△EFM是等边三角形
∴FM＝EM＝CM，∠FME＝60°，∴∠MCF＝∠MFC＝30°
∴∠EFC＝90°，∴FC＝eq \r(,3)EF
过点F作AD的平行线，分别交BA、CD的延长线于点G、H
则△GEF∽△HFC，∴ EQ \F(CH, FG ) ＝ EQ \F(FH, EG ) ＝ EQ \F(FC, EF ) ＝eq \r(,3)
设FG＝x，则FH＝2eq \r(,3)－x，EG＝ EQ \F(eq \r(,3), 3 ) FH＝2－ EQ \F(eq \r(,3), 3 ) x
S△FEC ＝ EQ \F(1, 2 ) EF·FC＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) EF 2＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 )( FG 2＋EG 2 )＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 )[ x 2＋( 2－ EQ \F(eq \r(,3), 3 ) x )2]
S△DEF ＝S△FEC ＋ S△FDC － S△EDC
＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 )[ x 2＋( 2－ EQ \F(eq \r(,3), 3 ) x )2]＋ EQ \F(1, 2 )×2×( 2eq \r(,3)－x )－ EQ \F(1, 2 )×2×2eq \r(,3)
＝ EQ \F(2eq \r(,3), 3 ) x 2－3x＋2eq \r(,3)＝ EQ \F(2eq \r(,3), 3 )( x－ EQ \F(3eq \r(,3), 44 ) )2＋ EQ \F(7eq \r(,3), 48 )
当x＝ EQ \F(3eq \r(,3), 44 ) 时，BG＝CH＝eq \r(,3)x＝ EQ \F(9, 44 )，EG＝2－ EQ \F(eq \r(,3), 3 ) x＝ EQ \F(5, 44 )，AE＝BE＝1
即E是AB的中点，此时△DEF的面积最小，最小值为 EQ \F(7eq \r(,3), 48 )
2022广州市中考真题
如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)①四边形ABEF的面积为；②最小值为12
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s= S△ABD - S△DEF ，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°==，
∴BD=2BO=；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD=；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN=BE
∵，
∴MN=，
设BE=，则EN=，
∴EM=MN-EN=，
∵S菱形ABCD= AD▪MN=，
∴S△ABD= S菱形ABCD=，
∵BE=DF，
∴DF=，
∴S△DEF=DF ▪EM= =，
记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S△ABD - S△DEF =-（），
∵点E在BD上，且不在端点，∴0①当CE⊥AB时，
∵OB⊥AC，
∴点E是△ABC重心，
∴BE=CE=BO=，
此时 =，
∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为；
②作CH⊥AD于H，如图，
∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，
∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；
在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，
∵∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AH=DH=3，
∴CH=，
∵，
∴当，即BE=时， s达到最小值，
∵BE=DF，
∴DF=3，
此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，
∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，
∴CE+CF的值达到最小，
其最小值为CO+CH==12