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专题2-2 费马点与加权费马点详细总结 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）
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这是一份专题2-2 费马点与加权费马点详细总结 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用），文件包含专题2-2费马点与加权费马点详细总结原卷版docx、专题2-2费马点与加权费马点详细总结解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \f \n \h \z \u \l "_Tc152243998" 知识点梳理
\l "_Tc152243999" 【常规费马点】
\l "_Tc152244000" 【加权费马点】
\l "_Tc152244001" 题型一 普通费马点最值问题
\l "_Tc152244002" 题型二 加权费马点·单系数型
\l "_Tc152244003" 题型三 加权费马点·多系数型
知识点梳理
【常规费马点】
【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，
当的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数.
【问题处理】如图1，将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A’CP’，则△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，又∵∠PCP’ ＝60°，∴△PCP’是等边三角形，∴PP’＝PC， ∴PA＋PB＋PC＝ P’A’＋PB＋PP’，
如图2，当且仅当点B、P、P’、A’共线时，PA＋PB＋PC最小，最小值为A’B，此时∠BPC＝∠APC＝∠APB＝120°
【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论：
对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心；
对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．
【如何作费马点】如图3，连接AA’，我们发现△ACA’为等边三角形，点P在A’B上，同理，我们可以得到等边△BAB’，点P也在CB’上，因此，我们可以以△ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交点即为费马点。（最大角小于120°时）
【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．
【答案】
【分析】如图，以AC为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！
如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，即可得出结果．
【练习1】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．
【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF
∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
【加权费马点】
如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。
【类型一 单系数类】
当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，
一种是旋转特殊角度：对应旋转90°，对应旋转120°
另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比
【例3】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求的最小值
【简析】本题有2种解题策略，旋转特殊角和旋转放缩
【策略一：旋转特殊角】如图1，△APC绕点C逆时针旋转90°，易知P’P＝PC， A’B即为所求
方法一：如图2，B，P，P’，A’共线时取最小，此时∠BPC＝∠APC＝135°，易知BP＝A’P’＝2，
PC＝CH－PH＝，∴PP’＝，PB＋PP’＋A’P’＝
方法二：作AH⊥BC于H，易知∠A’CH＝30°，∴AH＝2，CH＝，由勾股可得A’B＝
【策略二：旋转放缩】可按如下方法去旋转放缩（方法不唯一）
如图4，将三角形BPC绕点B旋转45°，再扩大为原来的倍，得到
则
补充：也可以按图5方式旋转
【练习2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，P为三角形ABC内部一点，求的最小值
【策略一：旋转特殊角】如图1，△APC绕点C逆时针旋转120°，则有PP’＝PC，
【策略二：旋转放缩】如图2，△APC绕点A逆时针旋转30°，再扩大为原来的倍，
则，计算略
【类型二 多系数类】
其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。
以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？我们总结了以下方法：
1. 将最小系数提到括号外；
2. 中间大小的系数确定放缩比例；
3. 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所在的三角形。
【例3】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则（1）的最小值为________；（2）的最小值为________
【简答】（1）将最小系数提到括号外，得到
中间大小系数为，故放大倍数为倍，最大系数在PC前面，故以点C为旋转中心，旋转△PBC．
如图1，将△PBC绕点C逆时针旋转90°，并放大为倍，，．
．
（2）将最小系数提到括号外，得到，
如图2，将△APB绕点C逆时针旋转90°，并放大为倍，，．
【练习3】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则的最小值为________．
【简答】将△PAC绕点C顺时针旋转90°并放大2倍，得到，
，，，
，，由勾股定理可得，的最小值为.
题型一 普通费马点最值问题
（2021滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P是△ABC内一点，则的最小值为_________．
C
A
B
P
【答案】
【解析】将△ABP绕点A顺时针旋转60°到△AB′P′，连接P′P，B′C．
P'
B'
C
A
B
P
则AB′＝AB＝2，PB＝P′B′，∠BAB′＝60°，PA＝P′A，∠PAP′＝60°，
∴△P′PA是等边三角形，∴PA＝P′P．
∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴AC＝＝，
∴B′C＝＝．
∵PA＋PB＋PC＝P′P＋P′B′＋PC≥B′C，
∴PA＋PB＋PC的最小值为．
问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA＋PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．
【解析】过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，根据∠NMG＝75°，∠GMH＝60°，可得∠HMQ＝45°，
∴△MHQ是等腰直角三角形， ∴MQ＝HQ＝4， ∴NH＝
如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
【解析】如图1，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA＋PB＋PC的最小值．
考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，所以构造特殊直角三角形
如图2，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，
图1 图2
已知，在△ABC中，∠ACB＝30° ，AC＝4，AB＝点P是△ABC内一动点，则PA＋PB＋PC的最小值为________
原图 图1
【解析】如图1，将△APC逆时针旋转30°，得△AP’C’，BC’即PA＋PB＋PC最小值，考虑到 ∠BCA＝30°，∴∠BCC’＝90°，作AH⊥BC，可得BC＝3，∴BC’＝
如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【解析】如图1，依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD＝GF∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF
如图2，过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．FG＝4＋
A、B、C、D四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度（AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ）最小，则应当如何修建？最小长度是多少？
【解析】如图1，△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A’P’B；同样，将△DCQ绕点C顺时针旋转60°，得到△D’CQ’，连结A’A、D’D，则△ABA’、 △DCD’均为等边三角形，连结PP’、QQ’，则△BPP’，
△QCQ’均为等边三角形， AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ＝A’P’＋PP’＋PQ＋QQ’＋DQ’
如图2，当点A’，P’，P，Q，Q’，D’共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段A’D’的长，此时点P，Q在A’D’上，最小值为．
2023·随州中考真题
1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A．
(2)
(3)
【解题思路】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可，
（3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴为等边三角形；
∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，
∵，
∴，
又∵
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，
过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值为
总的铺设成本（元）
广东省江门市一模
如图，在中，，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是 ．
【答案】
【分析】将绕着点A顺时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N，由旋转的性质可得，，，，，易得是等边三角形，可得，进而得到，当点H、E、P、C共线时，有最小值，再求出和的长度，由勾股定理可求解．
【详解】解：将绕着点A顺时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N，
∴，，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当点H、E、P、C共线时，有最小值．
∵，，
∴，
∴，
∴ ．
在中，，
即点P到三个顶点之和的最小值是
武汉中考
问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．
【答案】
【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！
如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）
过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，
根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，
∴△MHQ是等腰直角三角形，
∴MQ=HQ=4，
∴NH=．
2023·四川宜宾·中考真题
如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：
①当时，；
②当的面积为时，；
③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②
【解题思路】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，得到，判断③．
【详解】解：∵抛物线经过点，顶点为，
∴对称轴，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，
由图象可得：当时，；
∴①正确，符合题意；
∵抛物线与x轴的另一交点坐标为，
∴设抛物线为，
当时，，当时，，
∴，，
如图所示，过点M作平行于y轴的直线l，过点A作，过点B作，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当是，，
∴，
∴，
∴，
解得：，故②正确；
∵点B是抛物线与y轴的交点，
∴当时，，
∴，
∵为直角三角形，
当时，
∴，
∵，，，
∴，整理得：，
解得：或（舍）
∴，
当时，
∴，
∴，整理得：
解得：或（舍）
∴，
当时，
∴，
∴，无解；
以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，如图所示，
则，为等边三角形，
∴，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
当时，
∵，
当时，
，此时不符合题意，故③错误；
故答案为：①②．
一题四问，从特殊到一般
背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)；(4)．
【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；
（2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可；
（3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；
（4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可．
【详解】（1）解：连结PP′，
∵≌，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，
，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案为150°；
（2）证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵，
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∴点P在CB′上，
∴过的费马点．
（3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴最小=CB′=；
（4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，
∴AB′=，
∴最小=AB′=．
题型二 加权费马点·单系数型
2023·武汉·慧泉中学校月考
如图，中，，，点P为内一点，连接，则的最小值为 .
【答案】
【分析】作辅助线如详解图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得，于是所求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短可得的最小值即为线段的长，然后求出的长即可解决问题.
【详解】解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，过点E作交的延长线于点F，过点A作于点M，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即的最小值为的长（当点E、D、P、B四点共线时取最小值），
∵中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则在直角三角形中，，
∴，∴
西安市铁一中二模
已知，如图在中，，，，在内部有一点D，连接DA、DB、DC．则的最小值是 ．
【答案】．
【分析】把△CDB顺时针旋转90°到△CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E，则CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°，可求DD′= ，在Rt△CEB′中，可求CE，AE= ，BE= ，当点A、D、D′、B′四点在一直线时，AB′最短，可求AB′=BD++AD=．
【详解】解：把△CDB顺时针旋转90°到△CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E，
则CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°，
∴DD′=CD÷cs45°=，
∵，，
∴，
在Rt△CEB′中，
∴CE=B′C·cs60°=5，
∴AE=AC+CE=6+，
∴BE= B′C·sin60°=5，
当点A、D、D′、B′四点在一直线时，AB′最短，
∴AB′最短=，
AB′=B′D′+D′D+AD=BD++AD=．
故答案为：．
2023·成都市郫都区中考二模
如图，矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点．将沿着翻折，使得点落在点处，若点是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在点为圆心，为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算答出答案即可．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，
连接，连接，
则，，共线，，
，
，
点是的中点，
，
，
，
由折叠成，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
，
两点间线段最短，
，
即
，
，
则的最小值为．
故答案为：．
题型三 加权费马点·多系数型
在边长为4的正△ABC中有一点P，连接PA、PB、PC，求（AP＋BP＋PC）²的最小值
【解析】如图1，△APC绕点C逆时针旋转90°，取P’C，A’C的中点M，N
易知PM＝PC， MN＝P’A’＝PA，
则AP＋BP＋PC＝MN＋BP＋PM≤BN，BN²＝20＋即为所求
在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求3AP＋4BP＋PC的最小值
【解析】如图1，△APC绕点C逆时针旋转90°，在P’C，A’C上取M，N，使CM＝CP’，CN＝CA’，
易知PM＝PC， MN＝P’A’＝PA， 3AP＋4BP＋5PC＝4（MN＋BP＋PM）≤ BN
成都七中育才学校月考
在中，，，的角平分线交于，过作射线的垂线，垂足为，连接，当取大值时，在内部取点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】延长交于点，过点作边上的高，得出，则，根据是的角平分线，得出，设，则，过点分别作的垂线，垂足为，得出，，则当最大时，取得最大值，进而可得当时，取得最大值，则，延长至，使得，作，，连接，构造，可得，进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作边上的高，
∵的角平分线交于，
∴
又
∴，
∴，
则
∵是的角平分线，设到的距离为，则到的距离也为，
∴
∴，
设，则
∵
∴，
过点分别作的垂线，垂足为
∴，
∴
∴，
∴
∵
∴当最大时，取得最大值，
设边上的高为
∴
∴
∴当时，取得最大值，
则，则是等腰直角三角形，则，
如图所示，延长至，使得，作，，连接
∴
∴
∴
在中，
∴
当三点共线时，最小，此时如图所示，过点作于点，
∵，
∴
∴
在中，
一题八问，练到位
如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求：
（1）的最小值；
（2）的最小值
（3）的最小值；
（4）的最小值
（5）的最小值；
（6）的最小值
（7）的最小值；
（8）的最小值
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）
【分析】（1）将绕点B顺时针旋转得到，则，，，可以推出为等边三角形，得到，则，即可得到A、P、、四点共线时，最小，最小值为，然后证明，由此利用勾股定理求解即可；
（2）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，从而得到，则当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；
（3）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，则，故当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；
（4）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接，先证明，则可以得到，故当，，，共线时最小，最小为，然后证明，即可利用勾股定理求解；
（5）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，然后证明，由此求解即可；
（6）由可由（5）得：的最小值为26；
（7）由可由（4）得的最小值为；
（8）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．在中，，，过点作交BC延长线于E，然后求出，的长，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为
同理可证为等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值为；
（2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵∠ACB=30°，
∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，
∴∠CAE=30°，
∴
∴，，
∴，
∴的最小值为；
（3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
过点C作于E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵∠ACB=30°，
∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，
∴
∴，
∴
∴，
∴的最小值为；
（4）如图3-8，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接
由旋转的性质得，，，，
∴，，，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当，，，共线时最小，最小为，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（5）如图3-10，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，
同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，
∵，在中，，
，
最小为；
（6）∵
∴由（5）得：的最小值为26；
（7）∵
∴由（4）得的最小值为；
（8）如图3-12，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，
同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．
在中，，，
过点作交BC延长线于E，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，的最小值为．
TOC \ "1-3" \f \n \h \z \u \l "_Tc152243998" 知识点梳理
\l "_Tc152243999" 【常规费马点】
\l "_Tc152244000" 【加权费马点】
\l "_Tc152244001" 题型一 普通费马点最值问题
\l "_Tc152244002" 题型二 加权费马点·单系数型
\l "_Tc152244003" 题型三 加权费马点·多系数型
知识点梳理
【常规费马点】
【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，
当的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数.
【问题处理】如图1，将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A’CP’，则△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，又∵∠PCP’ ＝60°，∴△PCP’是等边三角形，∴PP’＝PC， ∴PA＋PB＋PC＝ P’A’＋PB＋PP’，
如图2，当且仅当点B、P、P’、A’共线时，PA＋PB＋PC最小，最小值为A’B，此时∠BPC＝∠APC＝∠APB＝120°
【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论：
对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心；
对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．
【如何作费马点】如图3，连接AA’，我们发现△ACA’为等边三角形，点P在A’B上，同理，我们可以得到等边△BAB’，点P也在CB’上，因此，我们可以以△ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交点即为费马点。（最大角小于120°时）
【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．
【答案】
【分析】如图，以AC为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！
如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，即可得出结果．
【练习1】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．
【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF
∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
【加权费马点】
如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。
【类型一 单系数类】
当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，
一种是旋转特殊角度：对应旋转90°，对应旋转120°
另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比
【例3】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求的最小值
【简析】本题有2种解题策略，旋转特殊角和旋转放缩
【策略一：旋转特殊角】如图1，△APC绕点C逆时针旋转90°，易知P’P＝PC， A’B即为所求
方法一：如图2，B，P，P’，A’共线时取最小，此时∠BPC＝∠APC＝135°，易知BP＝A’P’＝2，
PC＝CH－PH＝，∴PP’＝，PB＋PP’＋A’P’＝
方法二：作AH⊥BC于H，易知∠A’CH＝30°，∴AH＝2，CH＝，由勾股可得A’B＝
【策略二：旋转放缩】可按如下方法去旋转放缩（方法不唯一）
如图4，将三角形BPC绕点B旋转45°，再扩大为原来的倍，得到
则
补充：也可以按图5方式旋转
【练习2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，P为三角形ABC内部一点，求的最小值
【策略一：旋转特殊角】如图1，△APC绕点C逆时针旋转120°，则有PP’＝PC，
【策略二：旋转放缩】如图2，△APC绕点A逆时针旋转30°，再扩大为原来的倍，
则，计算略
【类型二 多系数类】
其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。
以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？我们总结了以下方法：
1. 将最小系数提到括号外；
2. 中间大小的系数确定放缩比例；
3. 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所在的三角形。
【例3】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则（1）的最小值为________；（2）的最小值为________
【简答】（1）将最小系数提到括号外，得到
中间大小系数为，故放大倍数为倍，最大系数在PC前面，故以点C为旋转中心，旋转△PBC．
如图1，将△PBC绕点C逆时针旋转90°，并放大为倍，，．
．
（2）将最小系数提到括号外，得到，
如图2，将△APB绕点C逆时针旋转90°，并放大为倍，，．
【练习3】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则的最小值为________．
【简答】将△PAC绕点C顺时针旋转90°并放大2倍，得到，
，，，
，，由勾股定理可得，的最小值为.
题型一 普通费马点最值问题
（2021滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P是△ABC内一点，则的最小值为_________．
C
A
B
P
【答案】
【解析】将△ABP绕点A顺时针旋转60°到△AB′P′，连接P′P，B′C．
P'
B'
C
A
B
P
则AB′＝AB＝2，PB＝P′B′，∠BAB′＝60°，PA＝P′A，∠PAP′＝60°，
∴△P′PA是等边三角形，∴PA＝P′P．
∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴AC＝＝，
∴B′C＝＝．
∵PA＋PB＋PC＝P′P＋P′B′＋PC≥B′C，
∴PA＋PB＋PC的最小值为．
问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA＋PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．
【解析】过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，根据∠NMG＝75°，∠GMH＝60°，可得∠HMQ＝45°，
∴△MHQ是等腰直角三角形， ∴MQ＝HQ＝4， ∴NH＝
如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
【解析】如图1，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA＋PB＋PC的最小值．
考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，所以构造特殊直角三角形
如图2，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，
图1 图2
已知，在△ABC中，∠ACB＝30° ，AC＝4，AB＝点P是△ABC内一动点，则PA＋PB＋PC的最小值为________
原图 图1
【解析】如图1，将△APC逆时针旋转30°，得△AP’C’，BC’即PA＋PB＋PC最小值，考虑到 ∠BCA＝30°，∴∠BCC’＝90°，作AH⊥BC，可得BC＝3，∴BC’＝
如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【解析】如图1，依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD＝GF∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF
如图2，过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．FG＝4＋
A、B、C、D四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度（AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ）最小，则应当如何修建？最小长度是多少？
【解析】如图1，△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A’P’B；同样，将△DCQ绕点C顺时针旋转60°，得到△D’CQ’，连结A’A、D’D，则△ABA’、 △DCD’均为等边三角形，连结PP’、QQ’，则△BPP’，
△QCQ’均为等边三角形， AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ＝A’P’＋PP’＋PQ＋QQ’＋DQ’
如图2，当点A’，P’，P，Q，Q’，D’共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段A’D’的长，此时点P，Q在A’D’上，最小值为．
2023·随州中考真题
1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A．
(2)
(3)
【解题思路】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可，
（3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴为等边三角形；
∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，
∵，
∴，
又∵
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，
过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值为
总的铺设成本（元）
广东省江门市一模
如图，在中，，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是 ．
【答案】
【分析】将绕着点A顺时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N，由旋转的性质可得，，，，，易得是等边三角形，可得，进而得到，当点H、E、P、C共线时，有最小值，再求出和的长度，由勾股定理可求解．
【详解】解：将绕着点A顺时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N，
∴，，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当点H、E、P、C共线时，有最小值．
∵，，
∴，
∴，
∴ ．
在中，，
即点P到三个顶点之和的最小值是
武汉中考
问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．
【答案】
【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！
如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）
过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，
根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，
∴△MHQ是等腰直角三角形，
∴MQ=HQ=4，
∴NH=．
2023·四川宜宾·中考真题
如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：
①当时，；
②当的面积为时，；
③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②
【解题思路】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，得到，判断③．
【详解】解：∵抛物线经过点，顶点为，
∴对称轴，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，
由图象可得：当时，；
∴①正确，符合题意；
∵抛物线与x轴的另一交点坐标为，
∴设抛物线为，
当时，，当时，，
∴，，
如图所示，过点M作平行于y轴的直线l，过点A作，过点B作，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当是，，
∴，
∴，
∴，
解得：，故②正确；
∵点B是抛物线与y轴的交点，
∴当时，，
∴，
∵为直角三角形，
当时，
∴，
∵，，，
∴，整理得：，
解得：或（舍）
∴，
当时，
∴，
∴，整理得：
解得：或（舍）
∴，
当时，
∴，
∴，无解；
以点O为旋转中心，将顺时针旋转至，连接，，，如图所示，
则，为等边三角形，
∴，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
当时，
∵，
当时，
，此时不符合题意，故③错误；
故答案为：①②．
一题四问，从特殊到一般
背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)；(4)．
【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；
（2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可；
（3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；
（4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可．
【详解】（1）解：连结PP′，
∵≌，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，
，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案为150°；
（2）证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵，
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∴点P在CB′上，
∴过的费马点．
（3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴最小=CB′=；
（4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，
∴AB′=，
∴最小=AB′=．
题型二 加权费马点·单系数型
2023·武汉·慧泉中学校月考
如图，中，，，点P为内一点，连接，则的最小值为 .
【答案】
【分析】作辅助线如详解图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得，于是所求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短可得的最小值即为线段的长，然后求出的长即可解决问题.
【详解】解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，过点E作交的延长线于点F，过点A作于点M，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即的最小值为的长（当点E、D、P、B四点共线时取最小值），
∵中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则在直角三角形中，，
∴，∴
西安市铁一中二模
已知，如图在中，，，，在内部有一点D，连接DA、DB、DC．则的最小值是 ．
【答案】．
【分析】把△CDB顺时针旋转90°到△CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E，则CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°，可求DD′= ，在Rt△CEB′中，可求CE，AE= ，BE= ，当点A、D、D′、B′四点在一直线时，AB′最短，可求AB′=BD++AD=．
【详解】解：把△CDB顺时针旋转90°到△CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E，
则CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°，
∴DD′=CD÷cs45°=，
∵，，
∴，
在Rt△CEB′中，
∴CE=B′C·cs60°=5，
∴AE=AC+CE=6+，
∴BE= B′C·sin60°=5，
当点A、D、D′、B′四点在一直线时，AB′最短，
∴AB′最短=，
AB′=B′D′+D′D+AD=BD++AD=．
故答案为：．
2023·成都市郫都区中考二模
如图，矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点．将沿着翻折，使得点落在点处，若点是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在点为圆心，为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算答出答案即可．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，
连接，连接，
则，，共线，，
，
，
点是的中点，
，
，
，
由折叠成，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
，
两点间线段最短，
，
即
，
，
则的最小值为．
故答案为：．
题型三 加权费马点·多系数型
在边长为4的正△ABC中有一点P，连接PA、PB、PC，求（AP＋BP＋PC）²的最小值
【解析】如图1，△APC绕点C逆时针旋转90°，取P’C，A’C的中点M，N
易知PM＝PC， MN＝P’A’＝PA，
则AP＋BP＋PC＝MN＋BP＋PM≤BN，BN²＝20＋即为所求
在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求3AP＋4BP＋PC的最小值
【解析】如图1，△APC绕点C逆时针旋转90°，在P’C，A’C上取M，N，使CM＝CP’，CN＝CA’，
易知PM＝PC， MN＝P’A’＝PA， 3AP＋4BP＋5PC＝4（MN＋BP＋PM）≤ BN
成都七中育才学校月考
在中，，，的角平分线交于，过作射线的垂线，垂足为，连接，当取大值时，在内部取点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】延长交于点，过点作边上的高，得出，则，根据是的角平分线，得出，设，则，过点分别作的垂线，垂足为，得出，，则当最大时，取得最大值，进而可得当时，取得最大值，则，延长至，使得，作，，连接，构造，可得，进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作边上的高，
∵的角平分线交于，
∴
又
∴，
∴，
则
∵是的角平分线，设到的距离为，则到的距离也为，
∴
∴，
设，则
∵
∴，
过点分别作的垂线，垂足为
∴，
∴
∴，
∴
∵
∴当最大时，取得最大值，
设边上的高为
∴
∴
∴当时，取得最大值，
则，则是等腰直角三角形，则，
如图所示，延长至，使得，作，，连接
∴
∴
∴
在中，
∴
当三点共线时，最小，此时如图所示，过点作于点，
∵，
∴
∴
在中，
一题八问，练到位
如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求：
（1）的最小值；
（2）的最小值
（3）的最小值；
（4）的最小值
（5）的最小值；
（6）的最小值
（7）的最小值；
（8）的最小值
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）
【分析】（1）将绕点B顺时针旋转得到，则，，，可以推出为等边三角形，得到，则，即可得到A、P、、四点共线时，最小，最小值为，然后证明，由此利用勾股定理求解即可；
（2）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，从而得到，则当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；
（3）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，则，故当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；
（4）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接，先证明，则可以得到，故当，，，共线时最小，最小为，然后证明，即可利用勾股定理求解；
（5）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，然后证明，由此求解即可；
（6）由可由（5）得：的最小值为26；
（7）由可由（4）得的最小值为；
（8）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．在中，，，过点作交BC延长线于E，然后求出，的长，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为
同理可证为等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值为；
（2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵∠ACB=30°，
∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，
∴∠CAE=30°，
∴
∴，，
∴，
∴的最小值为；
（3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
过点C作于E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵∠ACB=30°，
∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，
∴
∴，
∴
∴，
∴的最小值为；
（4）如图3-8，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接
由旋转的性质得，，，，
∴，，，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当，，，共线时最小，最小为，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（5）如图3-10，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，
同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，
∵，在中，，
，
最小为；
（6）∵
∴由（5）得：的最小值为26；
（7）∵
∴由（4）得的最小值为；
（8）如图3-12，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，
同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．
在中，，，
过点作交BC延长线于E，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，的最小值为．
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