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专题2-3 八种隐圆类最值问题，圆来如此简单 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）
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这是一份专题2-3 八种隐圆类最值问题，圆来如此简单 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用），文件包含专题2-3八种隐圆类最值问题圆来如此简单原卷版docx、专题2-3八种隐圆类最值问题圆来如此简单解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共105页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc152271350" 知识点梳理
\l "_Tc152271351" 题型一 定点定长得圆
\l "_Tc152271352" 2023年湖北省鄂州市中考数学真题
\l "_Tc152271353" 2023·邵阳市中考真题
\l "_Tc152271354" 2023·广西南宁市二模
\l "_Tc152271355" 2022·辽宁抚顺·中考真题
\l "_Tc152271356" 2022·长春·中考真题
\l "_Tc152271357" 题型二 直角的对边是直径
\l "_Tc152271358" 2023·菏泽市中考真题
\l "_Tc152271359" 2022·通辽·中考真题
\l "_Tc152271360" 2023·汕头市金平区一模
\l "_Tc152271361" 2023·广州市天河区三模
\l "_Tc152271362" 2022·成都市成华区二诊
\l "_Tc152271363" 题型三 对角互补得圆
\l "_Tc152271364" 2023年·广元市一模
\l "_Tc152271365" 题型四 定弦定角得圆
\l "_Tc152271366" 2023·成都市新都区二模
\l "_Tc152271367" 2023·成都市金牛区二模
\l "_Tc152271368" 2023·达州·中考真题
\l "_Tc152271369" 题型五 四点共圆
\l "_Tc152271370" 题型六 相切时取到最值
\l "_Tc152271371" 2023·随州市中考真题
\l "_Tc152271372" 2022·江苏无锡·中考真题
\l "_Tc152271373" 2022扬州中考真题
\l "_Tc152271374" 题型七 定角定高面积最小、周长最小问题
\l "_Tc152271375" 题型八 米勒角（最大张角）模型
\l "_Tc152271376" 徐州中考
知识点梳理
一、定点定长得圆
在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算
二、直角的对边是直径
前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°
今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)
三、对角互补
前世：在⊙O上任意四点A，B，C，D所围成的四边形对角互补
今生：若四边形ABCD对角互补，则A，B，C，D四点共圆
四、定弦定角模型
定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．
前世：在⊙O中，若弦AB长度固定则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)
今生：若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的点，C在⊙O的优弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动)
五、四点共圆模型
前世:在⊙O中，ABCD是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD)
今生:若四边形ABCD中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用
六、定角定高（探照灯模型）
什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则△ABC的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。
问题解决：如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。
所谓定角定高是指三角形的一条边和这条边上的高是定值．一般是考查直角三角形，此时我们可以取斜边中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及斜垂关系来解决面积最小值问题；通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的问题．这类问题都是在等腰时取得最小值．
当定角不是直角时，通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的方法仍然适用，而面积最小值可以通过构造三角形的外心或外接圆来解决．
七、米勒角（最大张角）问题
【问题提出】己知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时，∠APB最大?
米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题.
米勒定理：
已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。
知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角＞圆外角，即
问题解决
证明：在直线l上任取一点Q（不与P点重合），连接AQ、BQ，∠AQB即为圆O的圆外角
∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大
∴当圆与直线l相切时，∠APB最大
题型一 定点定长得圆
如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【思路点拨】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段长即可．
【详解】解：连接AM，如图所示：
∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵在矩形ABCD中，AC＝，
AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2
如图 ，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF= 2，G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为？
【答案】4
【简析】简单：G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A'，则，当A'、P、G三点共线时，最短，又因为为固定点，G在圆上运动，可知当A'、G、D三点共线时，此时A'G最短，为4
2023年湖北省鄂州市中考数学真题
如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路点拨】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵点为平面内一动点，，
∴点在以点为圆心，为半径的上，
在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴轴，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
同理可得，，
∴即，
解得，
∴，∴当线段取最大值时，点的坐标是
2023·邵阳市中考真题
如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】根据折叠的性质得出在为圆心，为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解．
【详解】解：∵在矩形中，，
∴，，
如图所示，当点在上时，
∵
∴在为圆心，为半径的弧上运动，
当三点共线时，最短，
此时，
当点在上时，如图所示，
此时
当在上时，如图所示，此时
综上所述，的最小值为
2023·广西南宁市二模
在矩形中，，将绕点B顺时针旋转α（）得到，连接，若的最小值为2，则的长为 ．
【答案】4
【思路点拨】根据三角形不等式得到，当点B，点E，点D三点共线时，取得最小值，得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】∵，
∴当点B，点E，点D三点共线时，取得最小值，
∵,
∴的最小值为2，
∴，
∵矩形，，
∴
∴
2022·辽宁抚顺·中考真题
如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ．
【答案】
【详解】解：①分析所求线段端点：是定点、是动点；②动点的轨迹：正方形的边长为10，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则，因此动点轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，如图所示：
③最值模型为点圆模型；④最小值对应的线段为；⑤求线段长，连接，如图所示：
在中，，正方形的边长为10，点G是边的中点，则，根据勾股定理可得，
当三点共线时，最小为，
接下来，求的长：连接，如图所示
根据翻折可知，设，则根据等面积法可知，即整理得，解得
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边AD、BC上的动点，且CF＝2AE，连接EF，将四边形ABFE沿EF翻折，点A、B的对应点分别为A'、B'，连接A'D，则A'D的最小值为___________．
A
D
E
A′
B
C
F
B′
【答案】 EQ \F(eq \r(,73)－5, 3 )
提示：连接AC交EF于点O，连接OA'、OD，作OH⊥AD于H
A
D
E
A′
O
B
C
F
B′
H
则△AOE∽△COF
∵CF＝2AE，∴CO＝2AO，∴A'O＝AO＝ EQ \F(1, 3 ) AC＝ EQ \F(5, 3 )
∴AH＝ EQ \F(4, 5 ) AO＝ EQ \F(4, 3 )，OH＝ EQ \F(3, 5 ) AO＝1
∴DH＝AD－AH＝4－ EQ \F(4, 3 ) ＝ EQ \F(8, 3 )，OD＝ eq \r(,OH 2＋DH 2 )＝ EQ \F(eq \r(,73), 3 )
∴A'D≥OD－OA'＝ EQ \F(eq \r(,73)－5, 3 )
如图，半圆O的直径AB的长为6，长度为2的弦CD在半圆上滑动，E是CD的中点，DF⊥AB于F，连接AC、EF，当线段EF的长最大时，AC的长为___________．
A
B
O
C
D
E
F
【答案】2eq \r(,3)
提示：连接OD、OE，取OD的中点M，连接ME、MF
A
B
O
C
D
E
F
M
A
B
O
C
D
E
F
M
H
则OE⊥CD，ME＝MF＝ EQ \F(1, 2 ) OD
EF≤ME＋MF＝OD，当E、M、F三点共线时EF最大
此时四边形EOFD为矩形，CD∥AB
连接OC，作CH⊥AB于H
则OH＝ EQ \F(1, 2 ) CD＝1，AH＝2，CH＝2eq \r(,2)，AC＝2eq \r(,3)
2022·长春·中考真题
如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．
(1)点D到边的距离为__________；
(2)用含t的代数式表示线段的长；
(3)连结，当线段最短时，求的面积；
(4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值．
【答案】(1)3
(2)当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，；
(3)
(4)或
【思路点拨】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解；
（3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解；
（4）分两种情况讨论：当点位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点（）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接DM，
∵AB=4，，点M为边的中点，
∴AM=BM=2，DM⊥AB，
∴，
即点D到边的距离为3；
故答案为：3
（2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，
；
当1＜t≤2时，点P在BD边上，；
综上所述，当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，；
（3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，
∵作点A关于直线的对称点，
∴A′M=AM=2，
∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，
∴当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，
∴，
根据题意得：，，
由（1）得：DM⊥AB，
∵PE⊥DM，
∴PE∥AB，
∴△PDE∽△ADM，
∴，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
∴，解得：，
∴，
∴；
（4）解：如图，
当点M、、C三点共线时，且点位于M、C之间时，此时点P在AD上，
连接A A′， A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM，
∵AB为直径，
∴∠A =90°，即A A′⊥A′B，
∴PM∥A′B，
∴∠PMF=∠AB A′，
过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，
在中，AB∥DC，
∵DM⊥AB，
∴DM∥CN，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴CN=DM=3，MN=CD=4，
∴CM=5，
∴，
∵ M=2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即PF=3FM，
∵，，
∴，
∴，即AF=2FM，
∵AM=2，
∴，
∴，解得：；
如图，当点（）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，，
过点作于点G′，则，取的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB 于点K，过点P作PT⊥AB于点T，
同理：，
∵HK⊥AB，，
∴HK∥A′′G′，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即MT=3PT，
∵，，
∴，
∴，
∵MT+BT=BM=2，
∴，
∴，解得：；
综上所述，t的值为或
题型二 直角的对边是直径
如图，在中，，，为上的一个动点，以为直径的与相切于点，交于点，则的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】取的中点F，连接，，CF，则．由与相切，可得，通过解直角三角形可得，，．根据是的直径，可得是直角三角形，从而，因此，即的最小值为．
【详解】取的中点F，连接，，CF，则
∵与相切，
∴，即，
∵，，
∴，
．
∵点F是的中点，
∴，
∴在中，．
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，即的最小值为
（2021威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF，连接DE与AF交于点G，连接BG，则BG的最小值为_________．
C
B
G
D
A
E
F
【答案】
【解析】取AD的中点M，连接BM，GM，
C
B
M
G
D
A
E
F
则DM＝AM＝＝＝1，
∴BM＝＝＝．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°．
∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF，
∴∠ADE＝∠BAF．
∵∠BAF＋∠DAF＝90°，
∴∠ADE＋∠DAF＝90°，∴∠DGA＝90°．
∵GM＝＝1．
∵BG＋GM≥BM，∴BG≥BM－GM，
∴BG的最小值为．
（2023·嘉兴·二模）在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】作于，取中点，连接，，由直角三角形的性质求出的长，的长，的长，的长，得到的长，由勾股定理求出的长，由，即可求出的最小值．
【详解】解：如图，作于，取中点，连接，，
，，，
，，
是中点，
，
，是中点，
，，
是的中点，
，
，，
，
，
，
，的最小值是
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝6，OC＝4，点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使得边EF经过点B，当点F到原点O的距离最大时，点F的坐标为___________．
x
B
A
O
D
C
y
E
F
【答案】（ EQ \F(24, 5 )， EQ \F(32, 5 )）
提示：取BC中点M，连接OF、OM、FM
x
B
A
O
D
C
y
E
F
M
G
H
则FM＝CM＝ EQ \F(1, 2 ) BC＝3，OM＝eq \r(,CM 2＋CO 2 )＝5
OF≤OM＋FM＝8，当点F在OM延长线上时OF最大
作CG⊥OF于G，FH⊥BC于H
则△FMH≌△CMG（AAS），∴FH＝CG，MH＝MG
在△COM中，由面积法可得CG＝ EQ \F(12, 5 )，勾股得MG＝ EQ \F(9, 5 )
∴FH＝ EQ \F(12, 5 )，MH＝ EQ \F(9, 5 )，∴F（ EQ \F(24, 5 )， EQ \F(32, 5 )）
2023·菏泽市中考真题
如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，
∴，，
∴，
的最小值为
（2023·武汉·一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的面积是 ．
【答案】
【思路点拨】取中点O，连接，，由即可得到，再由，可得当点P在线段上时，有最小值，然后利用直角三角形的性质可得，即可推出，则是等边三角形，求得的面积，根据可得．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，，
∵，
∴，
∴点P在以为直径的圆上运动，
在中，，
∴当点P在线段上时，有最小值，
∵点O是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
2022·通辽·中考真题
如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为 ．
【答案】
【思路点拨】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位置，进而求出点P的运动路径长．
【详解】解：为的直径，
∴
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为，连接交于点，连接
∴当点三点共线时，即点P在点处时，CP有最小值，
∵
∴
在中，
∴∠
∴
∴两点距离最小时，点P的运动路径长为
（2023·广州·三模）如图，矩形中，，，点E、F分别是线段上的动点，且，过D作的垂线，垂足为H．
（1）当时， ．
（2）当E在上运动时，的最小值为 ．
【答案】 1
【思路点拨】（1）过点F作于M，由条件可得四边形是矩形，由题意可得，从而问题解决；
（2）连接交于点O，可证明，易得，由知，，即点H在以中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，的值最小，由三角函数知识即可求得此时最小值．
【详解】解：（1）过点F作于M，如图，
则；
∵四边形为矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：45；
（2）连接交于点O，如图，
由矩形性质知：，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵，设中点为M，
∴，
即点H在以点M为圆心，1为半径的圆上运动，
由于点E在边上运动，
∴当点E与点A重合时，即与重合时，的值最小，
∵，，
∴，
即的最小值为1
（2023·安阳·一模）如图，正方形的边长为，点E是边上的一个动点，点F是边上的一个动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】连接，，，设与的交点为点O，得到平行四边形，点O是的中点，连接，则经过点O，且，G在以BO为直径的圆上运动，取的中点H，连接，根据三角形三边不等关系式，计算最值即可．
【详解】如图，连接，，，设与的交点为点O，
∵正方形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点O是的中点，连接，
∵正方形，
∴点O是的中点，且，
取的中点H，连接，
∵，
∴，
∵
∴当三点共线时，取得最小值，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，，
∴长的最小值为
（2023·深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】连接，根据矩形的性质可得，，根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，推得，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点共线时，的值最小，由此可解答．
【详解】解：如图1，连接，
四边形是矩形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图2：
当，，三点共线时，的值最小，
∴，
∴，∴的最小值为
2023·汕头市金平区一模
如图，的直径，点C为中点，弦经过点C，且．点F为上一动点，连接．于点G．若，在点F运动过程中，线段的长度的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】如图，连接，，取的中点，由．可得在以R为圆心，为直径的圆上运动，（圆的一部分）当，O，G三点共线时，最小，再求解，，可得，，则，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，，取的中点，
∵．
∴在以R为圆心，为直径的圆上运动，（圆的一部分）
当，O，G三点共线时，最小，
∵，点C为中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，∴
2023·广州市天河区三模
如图，矩形中，，，点E、F分别是线段上的动点，且，过D作的垂线，垂足为H．
（1）当时， ．
（2）当E在上运动时，的最小值为 ．
【答案】 1
【思路点拨】（1）过点F作于M，由条件可得四边形是矩形，由题意可得，从而问题解决；
（2）连接交于点O，可证明，易得，由知，，即点H在以中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，的值最小，由三角函数知识即可求得此时最小值．
【详解】解：（1）过点F作于M，如图，
则；
∵四边形为矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：45；
（2）连接交于点O，如图，
由矩形性质知：，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵，设中点为M，
∴，
即点H在以点M为圆心，1为半径的圆上运动，
由于点E在边上运动，
∴当点E与点A重合时，即与重合时，的值最小，
∵，，
∴，即的最小值为1
2022·成都市成华区二诊
如图，在中，．若点为平面上一个动点，且满足，则线段长度的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】
【思路点拨】根据题意进行分类讨论，即当点D在AC右侧时，点D在上运动；当点D在AC左侧时，点D在上运动，再分别计算即可．
【详解】①如图，
以AC为底边，在AC的右侧作等腰三角形AOC，使
则
以O为圆心，以CO长为半径画优弧，连接BO交于点E
则当点D在AC右侧时，点D在上运动
过点O作于F
过点O作于M
四边形MCFO为矩形
在中，
当点D于点E不重合时，
当点D于点E重合时，
当B、D、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最小值为
②如图，
以AC为底边，在AC的左侧作等腰三角形AC，使
则
以为圆心，以C长为半径画优弧，连接B并延长交于点E
则当点D在AC左侧时，点D在上运动
过点O作于F
同①可求
在中，
当点D于点E不重合时，
当点D于点E重合时，
当B、D、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最大值为
故答案为：，
如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为 ．
【答案】/
【思路点拨】连接，根据矩形的性质可得，，根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，推得，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点共线时，的值最小，由此可解答．
【详解】解：如图1，连接，
四边形是矩形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图2：
当，，三点共线时，的值最小，
∴，
∴，∴的最小值为
如图，在矩形中，，E，F分别为，边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，易得四边形为矩形，，推出和的长，根据，得到当O，H，D共线时，最小，进行求解即可．
【详解】解：连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N．
则：，
∵矩形，，E，F分别为，边的中点，
∴，，，，
∴四边形为矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时最小，
∴DH的最小值为
题型三 对角互补得圆
（2023·广东深圳·统考二模）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【思路点拨】如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在∠ABC的平分线上，当CG⊥BG时，CG最小，此时，画出图2，根据△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，证明△EGB≌△FGC，可得BE=CF，设AB=m，根据BE∶AB=1∶3，可得CF=BE=m，根据含30度角的直角三角形可得AD，进而可得结论．
【详解】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∵O是EF的中点，
∴OB=OE=OF
∵∠EGF=90°，O是EF的中点，
∴OG=OE=OF
∴OB=OG=OE=OF
∴B，E，G，在以O为圆心的圆上，
∴∠EBG=∠EFG,
∵∠EGF=90°， EG=FG，
∴∠GEF=∠GFE=45°
∴∠EBG=45°
∴BG平分∠ABC，
∴点G在∠ABC的平分线上，
当CG⊥BG时，CG最小，
此时，如图2，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°，
∵CG⊥BG
∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90°
∴BG=CG
∵∠EGF=∠BGC=90°
∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF,
∴∠EGB=∠FGC,
在△EGB和△FGC中，
∴△EGB≌△FGC(SAS)，
∴BE=CF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC
设AB=m
∵BE∶AB=1∶3
∴CF=BE=m，
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠ACB =30°
∴AC =2AB= 2m
∴BC= ，
∴AD=m，∴
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝__________.
解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．
∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，
∴四边形EFCB对角互补，
∴B，C，F，E四点共圆，
∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，
∵OB＝OF，
∴OE＝OB＝OF＝OC，
∴B，C，F，E四点在以O为圆心的圆上，
∴∠EBF＝∠ECF，
∴tan∠EBF＝tan∠ACD，
∴
如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．
解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O，
连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF，
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD为等边三角形，
∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，
∴∠AFD＝90°，则DF＝，
∵EF是△AOC的中位线，
∴EF＝OC＝1，
在△DEF中，DF﹣EF≤DE，
∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为
．
2023年·广元市一模
如图，正方形的边长为4，点E是边上的动点，过点E作交于点F，点G在上，且，点M、N分别为、的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】如图，连接，交于点，证明，，连接，，而，，证明，，可得，，，在以为直径的圆上，，则在线段上运动，当时，最短，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，交于点，
∵正方形的边长为4，
∴，，
连接，，而，，
∴为等腰直角三角形，
∵点M为的中点，
∴，，
∴，
∴，，，在以为直径的圆上，
∴，
∴在线段上运动，
当时，最短，
∵为的中点，
∴，此时为等腰直角三角形，∴
（2023·广东深圳·统考二模）如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为 ．
【答案】
【思路点拨】如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．说明，，，四点共圆，求出，利用三角形三边关系可得结论．
【详解】解：如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴点在的外接圆上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为
题型四 定弦定角得圆
如图，在△ABC中，BC＝2，点D是BC的中点，∠DAC＝45°，则AB 2＋AC 2的最大值为___________．
D
B
C
A
【答案】6
提示：作△ADC的外接圆，作EC⊥BC交圆于点E，连接BE、CE、DE
D
B
C
A
H
E
作AH⊥BC于H，则DE是圆的直径
∵∠DEC＝∠DAC＝45°，∴△EDC是等腰直角三角形
∵BC＝2，∴BD＝DC＝1，∴DE＝eq \r(,2)DC＝eq \r(,2)
∵AB 2＝AH 2＋BH 2＝AH 2＋( 1＋DH )2，AC 2＝AH 2＋CH 2＝AH 2＋( 1－DH )2
∴AB 2＋AC 2＝AH 2＋( 1＋DH )2＋AH 2＋( 1－DH )2＝2＋2( AH 2＋DH 2 )
＝2＋2AD 2≤2＋2DE 2＝6
即AB 2＋AC 2的最大值为6
如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC内一点，∠BPC＝120°，连接AP，则AP长的最小值为___________．
A
B
C
P
【答案】2eq \r(,3)
提示：作BD⊥AC于D
∵∠BAC＝60°，∴AD＝ EQ \F(1, 2 ) AB＝ EQ \F(5, 2 )，BD＝ EQ \F(5eq \r(,3), 2 )
DC＝AC－AD＝ EQ \F(11, 2 )，BC＝eq \r(,BD 2＋DC 2 )＝7
∵∠BPC＝120°，∴点P在以BC为弦的一段圆弧上运动
A
B
C
O
P
D
E
H
设圆心为O，连接OA、OB、OC、OP
则∠OBP＝∠OPB，∠OPC＝∠OCP
∵∠OPB＋∠OPC＝120°，∴∠OBP＋∠OCP＝120°
∴∠BOC＝120°，∴OB＝OC＝OP＝ EQ \F(eq \r(,3), 3 ) BC＝ EQ \F(7eq \r(,3), 3 )
设圆弧交AC于点E，连接BE、OE
则OB＝OE，∠BEC＝∠BPC＝120°，∴∠AEB＝60°
∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE
∴△AOB≌△AOE，∠OAB＝∠OAE＝30°，∴AO⊥BE
设垂足为H，则BH＝ EQ \F(1, 2 ) AB＝ EQ \F(5, 2 )，AH＝ EQ \F(5eq \r(,3), 2 )
OH＝eq \r(,OB 2－BH 2 )＝ EQ \F(11eq \r(,3), 6 )，AO＝AH＋OH＝ EQ \F(13eq \r(,3), 3 )，
∴AP≥AO－OP＝2eq \r(,3)，即AP长的最小值为2eq \r(,3)
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且BD＝3DC，若AD＝1，则△ABC的面积的最大值为____________．
A
B
C
D
【答案】 EQ \F(4eq \r(,3), 3 )
提示：过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E
A
B
C
D
E
则△BDE∽△CDA
∵BD＝3DC，∴DE＝3AD＝3，∴AE＝4
∵∠BAC＝120°，∴∠ABE＝60°
∴△ABE是定边定角面积最大问题，a＝4，θ＝30°
∴△ABE的面积的最大值为： EQ \F(a 2, 4tanθ ) ＝4eq \r(,3)
∴△ABD的面积的最大值为eq \r(,3)，△ABD的面积的最大值为 EQ \F(4eq \r(,3), 3 )
如图，△ABC中，∠BAC＝30°，AD是中线，AD＝2，求△ABC面积的最大值．
A
B
C
D
【答案】延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE
A
B
C
D
E
则△ABD≌△ECD，∴AB＝CE，∠B＝∠DCE
∴AE＝2AD＝4，AB∥CE，∴∠ACE＝150°
∴点C在以AE为弦、圆周角为150°的一段圆弧上运动
当AC＝CE即AB＝AC时，△ABC的面积取得最大值
此时AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝15°
解△ABD，可得BD＝4－2eq \r(,3)，BC＝8－4eq \r(,3)
∴△ABC面积面积最大值为8－4eq \r(,3)
2023·成都市新都区二模
如图，在边长为的等边中，动点在边上（与点，均不重合），点在边上，且，与相交于点，连接当点在边上运动时，的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】作辅助线，建立全等三角形，证明和，证明，再作的外接圆，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，计算和的长，计算其差可得结论．
【详解】解：如图，过点作，过点作，
是等边三角形，
四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
如图，作的外接圆，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，
，
，
，
连接，交于，交于，此时最小，是的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为
2023·成都市金牛区二模
在菱形中，，点P是对角线上一动点，点Q是边上一动点，与始终相等，连结，交点为E，连结，则的最小值是 ．
【答案】
【思路点拨】先证明，根据定长定角构造辅助圆，当与相切时，最大，此时最小，设半径，然后利用解直角三角形和相似三角形的性质列出关于的方程，表示出即可求出的最小值．
【详解】解：∵在菱形中，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P在对角线上运动时，的大小保持不变，
作的外接圆，圆心为O，连接、连接交于点F，
则，，
当与相切时，最大，此时最小，
设，则菱形边长为，，
∴在中，
在中，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴的最小值是
2023·达州·中考真题
在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得，从而易证可得即勾股定理即可求得在中由三角形三边关系即可求解．
【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆；
，为的外接圆的圆心，
，，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
即，
由作图可知，在的垂直平分线上，
，
，
又为的外接圆的圆心，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
在中，
，
在中，
，
即最小值为，
故答案为：．
题型五 四点共圆
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一动点，BE⊥AD交AD的延长线于点E，则 EQ \F(DE, AD ) 的最大值为___________．
C
A
B
E
D
【答案】 EQ \F(1, 3 )
【解析】作△ABC的外接圆，则AB是圆的直径，点E在圆上
C
A
B
E
F
D
作EF⊥BC于F，则△ADC∽△EDF， EQ \F(DE, AD ) ＝ EQ \F(EF, AC )
当点E为弧BC中点时，EF最大， EQ \F(DE, AD ) 的值最大
圆的半径为 EQ \F(5, 2 )，此时EF＝ EQ \F(5, 2 ) － EQ \F(3, 2 ) ＝1， EQ \F(DE, AD ) ＝ EQ \F(1, 3 )
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝eq \r(,3)，AD⊥AC交BC于点D，点E是AB边上一动点，过A、D、E三点的圆交EC于点F，连接AF，则AF的最小值是___________．
A
B
C
E
D
F
【答案】eq \r(,7)－2
提示：连接DF，则∠EFD＝∠EAD＝120°－90°＝30°
A
B
C
E
D
F
O
H
∴∠DFC＝150°，∴点F在以DC为弦，圆心角为150°的圆弧上运动
取圆弧的圆心O，连接AO、CO、FO，作OH⊥BC于H
则∠COH＝30°
∵AB＝AC＝eq \r(,3)，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝30°
∴AD＝1，DC＝2，DH＝HC＝1，∴FO＝CO＝2
AO＝ eq \r(,AC 2＋CO 2 )＝eq \r(,7)
∴AF≥AO－FO＝eq \r(,7)－2
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一点，BD＝2DC，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，连接EF，则线段EF长的最小值为___________．
A
B
C
D
E
F
【答案】eq \r(,3)
提示：作△DEF的外接圆⊙O，连接OA、OD、OE、OF，作AG⊥BC于G，OH⊥EF于H
A
B
C
D
E
F
G
H
O
∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝30°
∴AG＝1
∵∠EDF＝120°，∴∠EOF＝120°
∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝30°
∵∠BAC＝120°，∴∠BAC＝∠EOF
∴O、A、E、F四点共圆（或推导相似）
∴∠OAF＝∠OEF＝30°
∴∠BAO＝150°，∴∠BAO＋∠B＝180°
∴AO∥BC，∴OD≥AG，∴OD≥1
∵OE＝OD，∴OE≥1，∴EH≥ EQ \F(eq \r(,3), 2 )，∴EF≥eq \r(,3)
题型六 相切时取到最值
如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD边上一动点，BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值为___________．
A
D
B
C
E
G
F
【答案】 EQ \F(9, 8 )
提示：∵BG⊥AE，∴点G在以AB为直径的一段圆弧上
A
D
B
C
E
G
F
O
显然当CG与圆弧相切时AF最大
设圆心为O，连接OF、OG、OC
则OG⊥CF，AF＝FG，OG＝ EQ \F(1, 2 ) AB＝3，CG＝BC＝8，∠FOC＝90°
OG 2＝CG·FG，3 2＝8FG，AF＝FG＝ EQ \F(9, 8 )，即AF的最大值为 EQ \F(9, 8 )
2023·随州市中考真题
如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．
【答案】
【思路点拨】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；
（2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值．
【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半，
∴的面积为，
在中，，
∴当最大时，即最大，
由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：
由题意可得：，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
2022·江苏无锡·中考真题
△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝ °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ．
【答案】 80 /
【思路点拨】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．
【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，
即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，，
∴△ACE≌△BCD（ SAS），
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，
∴∠EAC=20°，
∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
设BF与AC相交于点H，如图：
∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，
∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，
∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，
∴此时线段AF长度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，
∴BD=4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，
∵∠AFB=60°，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴FD=FE，
过点F作FG⊥DE于点G，
∴DG=GE=，
∴FE=DF==，
∴AF=AE-FE=4-
2022扬州中考真题
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，AB＝6，点D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AD，交AB于点E，则线段AE长度的最小值为_________．
C
B
D
A
E
【答案】4
【解析】取AE的中点F，连接DF，过点F作FG⊥BC于点G．
C
G
B
D
A
E
F
则DF≥FG，AE＝2DF．
当DF⊥BC时DF最小，AE最小．
∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°．
设DF＝x，则AF＝x，BF＝2x，AB＝3x＝6，
∴x＝2，∴AE＝2x＝4，
∴线段AE长度的最小值为4．
题型七 定角定高面积最小、周长最小问题
如图，点A是直线l外一点，AH⊥l于H，AH＝2，点B、C是直线l上的动点，且∠BAC＝90°，探究△ABC面积的最小值和周长的最小值，并说明理由．
A
B
C
H
l
【答案】取BC的中点D，连接AD，则BC＝2AD≥2AH
A
B′
B
C
H
(D)
l
m
E
S△ABC ＝ EQ \F(1, 2 ) BC·AH≥ EQ \F(1, 2 )·2AH·AH＝AH 2＝2 2
△ABC面积的最小值为4
此时△ABC是等腰直角三角形
下面来探究周长：
过点A作直线m∥l，作点B关于直线m的对称点B′，
连接AB′、B′B、B′C，B′B交直线m于点E
则AB＋AC＝AB′＋AC≥B′C
当B′、A、C三点在同一条直线上时，上式取等号
此时∠B′AE＋∠EAH＋∠CAH＝180°
∵∠EAH＝∠AHC＝90°，∴∠B′AE＋∠CAH＝90°
又∵∠B′AE＝∠BAE＝∠ABH＝∠CAH
∴2∠CAH＝90°，∴∠CAH＝45°，∴∠BAH＝45°
∴此时△ABC是等腰直角三角形，点D与点H重合，BC也同时取得最小值
AB＝AC＝eq \r(,2)AH＝2eq \r(,2)，BC＝2AH＝4
AB＋AC＋BC＝2eq \r(,2)＋2eq \r(,2)＋4＝4eq \r(,2)＋4
△ABC周长的最小值为4eq \r(,2)＋4
如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ．
【答案】
解：作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝
OB＝r，
∴BC＝r，∵OA+OE≥AD，∴r+
r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴，
∴△ABC的面积的最小值为.
．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝eq \r(,7)，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′（点A、B的对应点分别为A'、B′），CA′、CB′ 的延长线分別交直线m于点P、Q．试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．
m
B
Q
A
C
B′
D
A′
P
【答案】∵∠ACB＝90°，AB＝eq \r(,7)，AC＝2，∴BC＝eq \r(,AB 2－AC 2 )＝eq \r(,3)，S△ABC ＝ EQ \F(1, 2 ) AC·BC＝eq \r(,3)
∴S四边形PA′B′Q ＝S△PCQ － S△A′B′C ＝S△PCQ － S△ABC ＝S△PCQ －eq \r(,3)＝ EQ \F(1, 2 )×PQ×eq \r(,3)－eq \r(,3)＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) PQ－eq \r(,3)
∴当PQ最小时， S四边形PA′B′Q最小
取PQ中点D，连接CD，则PQ＝2CD≥2CB＝2eq \r(,3)
∴S四边形PA′B′Q ≥ EQ \F(eq \r(,3), 2 )×2eq \r(,3)－eq \r(,3)，∴S四边形PA′B′Q ≥3－eq \r(,3)
即四边形PA′B′Q的面积存在最小值，最小值为3－eq \r(,3)
如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点B、C是直线l上的两个动点，且∠BAC＝30°，求线段BC长度的最小值．
A
B
C
H
l
【答案】8－4eq \r(,3)
作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，作OG⊥BC于G
A
O
B
C
H
l
G
则OA＝OB＝OC，∠BOC＝2∠BAC＝60°
∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB，OG＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) OB
∵OA＋OG≥AH，AH＝2，∴OB＋ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) OB≥2
∴OB≥8－4eq \r(,3)，∴BC≥8－4eq \r(,3)
即线段BC长度的最小值为8－4eq \r(,3)
此时A、O、G三点共线，即点G与点H重合，点O落在AH上，AB＝AC，△ABC是等腰三角形
如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别是边BC、CD上的动点，∠EAF＝60°，求△AEF面积的最小值．
A
D
B
C
E
F
【答案】延长CD至G，使DG＝BE，则△ABE≌△ADG
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG
A
D
B
C
E
F
G
O
M
N
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠DAF＝30°
∴∠DAG＋∠DAF＝30°，即∠FAG＝30°
作EM⊥AF于M，GN⊥AF于N
则EM＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) AE，GN＝ EQ \F(1, 2 ) AG
∵S△AEF ＝ EQ \F(1, 2 ) AF·EM，S△AFG ＝ EQ \F(1, 2 ) AF·GN，∴S△AEF ＝eq \r(,3)S△AFG
∴当S△AFG最小时S△AEF最小
取△ABC的外心O，连接OA、OF、OG，作OH⊥FG于H
则OA＝OF＝OG，∠FOG＝2∠FAG＝60°
∴△OFG是等边三角形，∴FG＝OF，OH＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) OF
∵OA＋OH≥AD，AD＝1，∴OF＋ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) OF≥1
∴OF≥4－2eq \r(,3)，∴FG≥4－2eq \r(,3)
∵S△AFG ＝ EQ \F(1, 2 ) FG·AD ＝ EQ \F(1, 2 ) FG，∴S△AFG ≥2－eq \r(,3)
∴S△AEF ≥2eq \r(,3)－3
即△AEF面积的最小值为2eq \r(,3)－3
此时A、O、H三点共线，即点H与点D重合，AF＝AG，AE＝AF，△AEF是等边三角形
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是BC边上的一点，BD＝2，CD＝4，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，求△DEF的面积的最小值．
A
B
D
C
E
F
【答案】连接AD，作AM⊥BC于M，DH⊥AB于H，DG平分∠EDF交AB于G
A
B
D
C
E
F
G
H
M
则∠EDG＝∠FDG＝60°
∵BD＝2，CD＝4，∴BC＝6
∵AB＝AC，∴BM＝CM＝3，∴DM＝1
∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°
∴AM＝eq \r(,3)，∴∠ADM＝60°
∴∠ADG＝∠CDF，∠DAF＝90°
∴∠DAG＝30°，∴DA＝2DH，∠DFA＝∠DGH
∴△DGH∽△DFA，∴DF＝2DG，∴S△DEF ＝2S△DEG
问题转化为求△DEG的面积的最小值，而△DEG是定角定高
∴当DE＝DG时△DEG的面积最小，此时△DEG是等边三角形，易求其面积为 EQ \F(eq \r(,3), 3 )
∴△DEF的面积的最小值为 EQ \F(2eq \r(,3), 3 )
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，BD＝2．
（1）求△ABC周长的最小值；（2）当△ABC的周长最小时，求四边形ABCD面积的最大值．
A
B
C
D
【答案】（1）作线段BD关于AD的对称线段B′D，作线段BD关于CD的对称线段B″D
连接B′A、B″C、B′B″，
B′
B″
C
B
D
A
A
B
C
D
B′
B″
E
F
则B′D＝B″D＝BD＝2，∠ADB′＝∠ADB，∠CDB″＝∠CDB
∴∠B′DB″＝2∠ADB＋2∠CDB＝2∠ADC＝90°
∴B′B″＝eq \r(,2)B′D＝2eq \r(,2)
∴AB＋BC＋AC＝AB′＋AC＋B″C≥B′B″
∴△ABC周长的最小值为2eq \r(,2)
（2）当点A、C都落在线段B′B″上时，△ABC的周长最小
此时S四边形ABCD ＝S△ABD ＋S△BCD ＝S△AB′D ＋S△B″CD ＝S△B′DB″ －S△ACD
＝ EQ \F(1, 2 )×2×2－S△ACD ＝2－S△ACD
当S△ACD最小时，S四边形ABCD最大
作DE⊥AC于E，则DE＝ EQ \F(eq \r(,2), 2 ) B′D＝eq \r(,2)
在△ACD中，∠ADC＝45°，DE＝eq \r(,2)
问题转化为定角定高面积最小，当AD＝CD时△ACD的面积最小
此时∠ADE＝∠CDE＝22.5°
在ED上截取EF＝AE，连接AF
则∠AFE＝∠EAF＝45°，∴∠FAD＝∠ADE＝22.5°
∴DF＝AF＝eq \r(,2)EF，∴EF＋eq \r(,2)EF＝eq \r(,2)
∴EF＝2－eq \r(,2)，∴AC＝2AE＝2EF＝4－2eq \r(,2)
∴S△ACD ＝ EQ \F(1, 2 ) AC·DE＝ EQ \F(1, 2 )×( 4－2eq \r(,2) )×eq \r(,2)＝2eq \r(,2)－2
∴S四边形ABCD ＝2－S△ACD ＝4－2eq \r(,2)
即四边形ABCD面积的最大值为4－2eq \r(,2)
如图，在等边△ABC中，点D是BC边上的一点，BD＝2，CD＝4，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝90°，则△DEF的面积的最小值为___________．
A
B
D
C
E
F
【答案】24－12eq \r(,3)
提示：作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，在FC上取点P，连接DP，使∠PDF＝30°
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝30°，∴∠GDH＝120°
∵∠EDF＝90°，∴∠EDP＝120°
A
B
D
C
E
F
G
H
P
∴∠GDH＝∠EDP，∴∠EDG＝∠PDH
∴△DEG∽△DPH，∴ EQ \F(DE, DP ) ＝ EQ \F(DG, DH ) ＝ EQ \F(BD, CD ) ＝ EQ \F(2, 4 )
∴DE＝ EQ \F(1, 2 ) DP，∴S△DEF ＝ EQ \F(1, 2 ) DE·DF＝ EQ \F(1, 2 )× EQ \F(1, 2 ) DP·DF＝S△DPF
问题转化为求△DPF的面积的最小值，而△DPF是定角定高
∴当DP＝DF时△DPF的面积最小，易求其面积为24－12eq \r(,3)
∴△DEF的面积的最小值为24－12eq \r(,3)
题型八 米勒角（最大张角）模型
如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（ ）
A．2B．3C．D．
解：当△DBC∽△DCA时，∠ACB最大，
∴，
∴CD2＝BD•AD＝1×（1+4）＝5，
∴CD＝，
故球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为
如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP＝ ．
【答案】
解：作△PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动，
∵∠DOM＝2∠DPM，
∴当∠DOM最大时，∠DPM最大，
当⊙O与BC相切时，∠DOM最大，
∵M是CD的中点，CD＝4，
∴CM＝DM＝2，
连接OP，则OP⊥BC，
∵∠C＝90°，ON⊥CD，
∴四边形OPCN是矩形，
∴OP＝NC＝2+1＝3＝OM，
在Rt△MON中，由勾股定理得，
ON＝＝＝，
即PC＝，
∴BP＝BC﹣PC＝4﹣2，
故答案为：
．
在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使∠MPN最大，则P点的坐标为
解：过点M、N、P三点的圆的圆心在线段MN的中垂线：y＝﹣x+3上，
∠MPN为弦MN所对应的圆周角，
∴当圆的半径最小时有∠MPN最大，
∵P在x轴上运动，
∴当圆与x轴相切时，圆的半径最小，即此时∠MPN最大．
设此时P点坐标为：（p，0），
则圆心Q的坐标为（p，﹣p+3），
∵MQ＝PQ，
∴（1﹣p）2+（p+1）2＝（3﹣p）2，
解得：p＝1或p＝﹣6（舍），
∴P点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）．
如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米.
解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，
∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，
∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，
∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，
∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，
∴EF＝MF，
又∵EF⊥OB，
∴OB是⊙F的切线，切点为E，
∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，
此时OP＝20m，故答案为：20
已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C是x轴正半轴上一动点，当∠ ACB最大时，点C的坐标为____
【解答】解：过点A、B作⊙P，点⊙P与x轴相切于点C时，∠ACB最大，
连接PA、PB、PC，作PH⊥y轴于H，如图，
∵点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），
∴OA＝1，AB＝3﹣1＝2，
∵PH⊥AB，
∴AH＝BH＝1，
∴OH＝2，
∵点⊙P与x轴相切于点C，
∴PC⊥x轴，
∴四边形PCOH为矩形，
∴PC＝OH＝2，
∴PA＝2，
在Rt△PAH中，PH＝＝，
∴C点坐标为（，0）．
故答案为（，0）．
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC， ∴△ABF∽△FCE．
（2）取AE的中点O，连接OD、OF．
∵∠AFE＝∠ADE＝90°（对角互补），
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠AED＝∠AFD，
∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝． ∴当DE＝时，∠AED的值最大
辅助圆之定角定高求解探究
（1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图①中，即为所求．
（2）如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设．
，，，
，，
，，
，，，的最小值为，
，的最小值为．
（3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大，设，易知，，
，
，
四边形的面积的最大值．
问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB ＞ ∠ACB（填“＞”“＜”“＝”）；
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；
问题解决
（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB＝6米），下边沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的眼睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．
解：（1）∠AEB＞∠ACB，理由如下：
如图1，过点E作EF⊥AB于点F，
∵在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD中点，
∴四边形ADEF是正方形，
∴∠AEF＝45°，
同理，∠BEF＝45°，
∴∠AEB＝90°．
而在直角△ABC中，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＜90°，
∴∠AEB＞∠ACB．
故答案为：＞；
（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下：
假设P为CD的中点，如图2，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，
在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，
∵∠AFB是△EFB的外角，
∴∠AFB＞∠AEB，
∵∠AFB＝∠APB，
∴∠APB＞∠AEB，
故点P位于CD的中点时，∠APB最大：
（3）如图3，过点E作CE∥DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA＝CQ，
以点O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，此时点P即为小刚所站的位置，
由题意知DP＝OQ＝，
∵OA＝CQ＝BD+QB﹣CD＝BD+AB﹣CD，
BD＝11.6米，AB＝3米，CD＝EF＝1.6米，
∴OA＝11.6+3﹣1.6＝13米，
∴DP＝米，
即小刚与大楼AD之间的距离为4米时看广告牌效果最好．
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 ________，⊙C的半径是
②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为
解：（1）①∵点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0），
∴OA＝1，OB＝7．
∴AB＝6．
过点C作CD⊥AB于点D，如图，
则AD＝BD＝AB＝3．
∴OD＝AO+AD＝4．
∵∠APB＝45°，
∴∠ACB＝2∠APB＝90°，．
∵CD⊥AB，CA＝CB，
∴CD＝AB＝3．
∴C（4，3）．
∴AC＝，
∴⊙C的半径是3．
故答案为：（4，3）；3；
②y轴正半轴上有线段AB的“完美点”，理由：
设⊙C交y轴于点D，E，连接CD，CE，过点C作CG⊥CD于点G，CF⊥AB于点F，如图，
则∠AEB＝∠ADB＝∠APB＝45°．
∴D，E为y轴正半轴上线段AB的“完美点”．
则 EG＝DG＝DE，CD＝CE＝3．
∵CG⊥DE，CF⊥AB，∠O＝90°，
∴四边形OFCG为矩形．
∴CG＝OF＝4，OG＝CF＝3．
在Rt△CGE中，
∵EG2＝CE2﹣CG2，
∴EG＝＝．
∴GE＝DG＝．
∴OE＝OG﹣GE＝3﹣，OD＝OG+DG＝3+．
∴E（0，3﹣），D（0，3+）．
∴y轴正半轴上有线段AB的“完美点”，“完美点”的坐标为（0，3+）或（0，3﹣）；
（2）设⊙C与y轴负半轴切于点P，在y轴负半轴上任取一点Q（与点P不重合），
连接BQ，AQ，BQ与⊙C交于点D，连接AD，如图，
则∠APB＝∠ADB，
∵∠ADB＞∠AQB，
∴∠APB＞∠AQB．
∴当P运动到⊙C与y轴相切时，∠APB的度数最大．
连接PC并延长交⊙C于点E，连接AE，如图，
∵OP是⊙C的切线，
∴CP⊥OP，
∴∠OPA+∠ABE＝90°．
∵PE为⊙C的直径，
∴∠PAE＝90°，
∴∠APE+∠E＝90°，
∴∠OPA＝∠E，
∴∠E＝∠OBP，
∴∠OPA＝∠OPB，
∵∠AOP＝∠POB＝90°，
∴△OAP∽△OPB，
∴，
∴OP2＝OA•OB．
∴OP＝．
∴P（0，﹣）．故答案为（0，﹣）．
徐州中考
如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接．
（1）求的度数及点的坐标；
（2）的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，作于，于，于．
，
，，
，
，，
同理可证：，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
可以假设，
在上，
，
，
，
．
（2）定角定高模型
法二 设，，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积的最大值为．
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc152271350" 知识点梳理
\l "_Tc152271351" 题型一 定点定长得圆
\l "_Tc152271352" 2023年湖北省鄂州市中考数学真题
\l "_Tc152271353" 2023·邵阳市中考真题
\l "_Tc152271354" 2023·广西南宁市二模
\l "_Tc152271355" 2022·辽宁抚顺·中考真题
\l "_Tc152271356" 2022·长春·中考真题
\l "_Tc152271357" 题型二 直角的对边是直径
\l "_Tc152271358" 2023·菏泽市中考真题
\l "_Tc152271359" 2022·通辽·中考真题
\l "_Tc152271360" 2023·汕头市金平区一模
\l "_Tc152271361" 2023·广州市天河区三模
\l "_Tc152271362" 2022·成都市成华区二诊
\l "_Tc152271363" 题型三 对角互补得圆
\l "_Tc152271364" 2023年·广元市一模
\l "_Tc152271365" 题型四 定弦定角得圆
\l "_Tc152271366" 2023·成都市新都区二模
\l "_Tc152271367" 2023·成都市金牛区二模
\l "_Tc152271368" 2023·达州·中考真题
\l "_Tc152271369" 题型五 四点共圆
\l "_Tc152271370" 题型六 相切时取到最值
\l "_Tc152271371" 2023·随州市中考真题
\l "_Tc152271372" 2022·江苏无锡·中考真题
\l "_Tc152271373" 2022扬州中考真题
\l "_Tc152271374" 题型七 定角定高面积最小、周长最小问题
\l "_Tc152271375" 题型八 米勒角（最大张角）模型
\l "_Tc152271376" 徐州中考
知识点梳理
一、定点定长得圆
在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算
二、直角的对边是直径
前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°
今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)
三、对角互补
前世：在⊙O上任意四点A，B，C，D所围成的四边形对角互补
今生：若四边形ABCD对角互补，则A，B，C，D四点共圆
四、定弦定角模型
定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．
前世：在⊙O中，若弦AB长度固定则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)
今生：若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的点，C在⊙O的优弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动)
五、四点共圆模型
前世:在⊙O中，ABCD是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD)
今生:若四边形ABCD中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用
六、定角定高（探照灯模型）
什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则△ABC的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。
问题解决：如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。
所谓定角定高是指三角形的一条边和这条边上的高是定值．一般是考查直角三角形，此时我们可以取斜边中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及斜垂关系来解决面积最小值问题；通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的问题．这类问题都是在等腰时取得最小值．
当定角不是直角时，通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的方法仍然适用，而面积最小值可以通过构造三角形的外心或外接圆来解决．
七、米勒角（最大张角）问题
【问题提出】己知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时，∠APB最大?
米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题.
米勒定理：
已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。
知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角＞圆外角，即
问题解决
证明：在直线l上任取一点Q（不与P点重合），连接AQ、BQ，∠AQB即为圆O的圆外角
∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大
∴当圆与直线l相切时，∠APB最大
题型一 定点定长得圆
如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【思路点拨】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段长即可．
【详解】解：连接AM，如图所示：
∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵在矩形ABCD中，AC＝，
AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2
如图 ，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF= 2，G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为？
【答案】4
【简析】简单：G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A'，则，当A'、P、G三点共线时，最短，又因为为固定点，G在圆上运动，可知当A'、G、D三点共线时，此时A'G最短，为4
2023年湖北省鄂州市中考数学真题
如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路点拨】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵点为平面内一动点，，
∴点在以点为圆心，为半径的上，
在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴轴，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
同理可得，，
∴即，
解得，
∴，∴当线段取最大值时，点的坐标是
2023·邵阳市中考真题
如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】根据折叠的性质得出在为圆心，为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解．
【详解】解：∵在矩形中，，
∴，，
如图所示，当点在上时，
∵
∴在为圆心，为半径的弧上运动，
当三点共线时，最短，
此时，
当点在上时，如图所示，
此时
当在上时，如图所示，此时
综上所述，的最小值为
2023·广西南宁市二模
在矩形中，，将绕点B顺时针旋转α（）得到，连接，若的最小值为2，则的长为 ．
【答案】4
【思路点拨】根据三角形不等式得到，当点B，点E，点D三点共线时，取得最小值，得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】∵，
∴当点B，点E，点D三点共线时，取得最小值，
∵,
∴的最小值为2，
∴，
∵矩形，，
∴
∴
2022·辽宁抚顺·中考真题
如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ．
【答案】
【详解】解：①分析所求线段端点：是定点、是动点；②动点的轨迹：正方形的边长为10，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则，因此动点轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，如图所示：
③最值模型为点圆模型；④最小值对应的线段为；⑤求线段长，连接，如图所示：
在中，，正方形的边长为10，点G是边的中点，则，根据勾股定理可得，
当三点共线时，最小为，
接下来，求的长：连接，如图所示
根据翻折可知，设，则根据等面积法可知，即整理得，解得
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边AD、BC上的动点，且CF＝2AE，连接EF，将四边形ABFE沿EF翻折，点A、B的对应点分别为A'、B'，连接A'D，则A'D的最小值为___________．
A
D
E
A′
B
C
F
B′
【答案】 EQ \F(eq \r(,73)－5, 3 )
提示：连接AC交EF于点O，连接OA'、OD，作OH⊥AD于H
A
D
E
A′
O
B
C
F
B′
H
则△AOE∽△COF
∵CF＝2AE，∴CO＝2AO，∴A'O＝AO＝ EQ \F(1, 3 ) AC＝ EQ \F(5, 3 )
∴AH＝ EQ \F(4, 5 ) AO＝ EQ \F(4, 3 )，OH＝ EQ \F(3, 5 ) AO＝1
∴DH＝AD－AH＝4－ EQ \F(4, 3 ) ＝ EQ \F(8, 3 )，OD＝ eq \r(,OH 2＋DH 2 )＝ EQ \F(eq \r(,73), 3 )
∴A'D≥OD－OA'＝ EQ \F(eq \r(,73)－5, 3 )
如图，半圆O的直径AB的长为6，长度为2的弦CD在半圆上滑动，E是CD的中点，DF⊥AB于F，连接AC、EF，当线段EF的长最大时，AC的长为___________．
A
B
O
C
D
E
F
【答案】2eq \r(,3)
提示：连接OD、OE，取OD的中点M，连接ME、MF
A
B
O
C
D
E
F
M
A
B
O
C
D
E
F
M
H
则OE⊥CD，ME＝MF＝ EQ \F(1, 2 ) OD
EF≤ME＋MF＝OD，当E、M、F三点共线时EF最大
此时四边形EOFD为矩形，CD∥AB
连接OC，作CH⊥AB于H
则OH＝ EQ \F(1, 2 ) CD＝1，AH＝2，CH＝2eq \r(,2)，AC＝2eq \r(,3)
2022·长春·中考真题
如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．
(1)点D到边的距离为__________；
(2)用含t的代数式表示线段的长；
(3)连结，当线段最短时，求的面积；
(4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值．
【答案】(1)3
(2)当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，；
(3)
(4)或
【思路点拨】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解；
（3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解；
（4）分两种情况讨论：当点位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点（）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接DM，
∵AB=4，，点M为边的中点，
∴AM=BM=2，DM⊥AB，
∴，
即点D到边的距离为3；
故答案为：3
（2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，
；
当1＜t≤2时，点P在BD边上，；
综上所述，当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，；
（3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，
∵作点A关于直线的对称点，
∴A′M=AM=2，
∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，
∴当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，
∴，
根据题意得：，，
由（1）得：DM⊥AB，
∵PE⊥DM，
∴PE∥AB，
∴△PDE∽△ADM，
∴，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
∴，解得：，
∴，
∴；
（4）解：如图，
当点M、、C三点共线时，且点位于M、C之间时，此时点P在AD上，
连接A A′， A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM，
∵AB为直径，
∴∠A =90°，即A A′⊥A′B，
∴PM∥A′B，
∴∠PMF=∠AB A′，
过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，
在中，AB∥DC，
∵DM⊥AB，
∴DM∥CN，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴CN=DM=3，MN=CD=4，
∴CM=5，
∴，
∵ M=2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即PF=3FM，
∵，，
∴，
∴，即AF=2FM，
∵AM=2，
∴，
∴，解得：；
如图，当点（）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，，
过点作于点G′，则，取的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB 于点K，过点P作PT⊥AB于点T，
同理：，
∵HK⊥AB，，
∴HK∥A′′G′，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即MT=3PT，
∵，，
∴，
∴，
∵MT+BT=BM=2，
∴，
∴，解得：；
综上所述，t的值为或
题型二 直角的对边是直径
如图，在中，，，为上的一个动点，以为直径的与相切于点，交于点，则的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】取的中点F，连接，，CF，则．由与相切，可得，通过解直角三角形可得，，．根据是的直径，可得是直角三角形，从而，因此，即的最小值为．
【详解】取的中点F，连接，，CF，则
∵与相切，
∴，即，
∵，，
∴，
．
∵点F是的中点，
∴，
∴在中，．
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，即的最小值为
（2021威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF，连接DE与AF交于点G，连接BG，则BG的最小值为_________．
C
B
G
D
A
E
F
【答案】
【解析】取AD的中点M，连接BM，GM，
C
B
M
G
D
A
E
F
则DM＝AM＝＝＝1，
∴BM＝＝＝．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°．
∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF，
∴∠ADE＝∠BAF．
∵∠BAF＋∠DAF＝90°，
∴∠ADE＋∠DAF＝90°，∴∠DGA＝90°．
∵GM＝＝1．
∵BG＋GM≥BM，∴BG≥BM－GM，
∴BG的最小值为．
（2023·嘉兴·二模）在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】作于，取中点，连接，，由直角三角形的性质求出的长，的长，的长，的长，得到的长，由勾股定理求出的长，由，即可求出的最小值．
【详解】解：如图，作于，取中点，连接，，
，，，
，，
是中点，
，
，是中点，
，，
是的中点，
，
，，
，
，
，
，的最小值是
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝6，OC＝4，点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使得边EF经过点B，当点F到原点O的距离最大时，点F的坐标为___________．
x
B
A
O
D
C
y
E
F
【答案】（ EQ \F(24, 5 )， EQ \F(32, 5 )）
提示：取BC中点M，连接OF、OM、FM
x
B
A
O
D
C
y
E
F
M
G
H
则FM＝CM＝ EQ \F(1, 2 ) BC＝3，OM＝eq \r(,CM 2＋CO 2 )＝5
OF≤OM＋FM＝8，当点F在OM延长线上时OF最大
作CG⊥OF于G，FH⊥BC于H
则△FMH≌△CMG（AAS），∴FH＝CG，MH＝MG
在△COM中，由面积法可得CG＝ EQ \F(12, 5 )，勾股得MG＝ EQ \F(9, 5 )
∴FH＝ EQ \F(12, 5 )，MH＝ EQ \F(9, 5 )，∴F（ EQ \F(24, 5 )， EQ \F(32, 5 )）
2023·菏泽市中考真题
如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，
∴，，
∴，
的最小值为
（2023·武汉·一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的面积是 ．
【答案】
【思路点拨】取中点O，连接，，由即可得到，再由，可得当点P在线段上时，有最小值，然后利用直角三角形的性质可得，即可推出，则是等边三角形，求得的面积，根据可得．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，，
∵，
∴，
∴点P在以为直径的圆上运动，
在中，，
∴当点P在线段上时，有最小值，
∵点O是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
2022·通辽·中考真题
如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为 ．
【答案】
【思路点拨】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位置，进而求出点P的运动路径长．
【详解】解：为的直径，
∴
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为，连接交于点，连接
∴当点三点共线时，即点P在点处时，CP有最小值，
∵
∴
在中，
∴∠
∴
∴两点距离最小时，点P的运动路径长为
（2023·广州·三模）如图，矩形中，，，点E、F分别是线段上的动点，且，过D作的垂线，垂足为H．
（1）当时， ．
（2）当E在上运动时，的最小值为 ．
【答案】 1
【思路点拨】（1）过点F作于M，由条件可得四边形是矩形，由题意可得，从而问题解决；
（2）连接交于点O，可证明，易得，由知，，即点H在以中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，的值最小，由三角函数知识即可求得此时最小值．
【详解】解：（1）过点F作于M，如图，
则；
∵四边形为矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：45；
（2）连接交于点O，如图，
由矩形性质知：，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵，设中点为M，
∴，
即点H在以点M为圆心，1为半径的圆上运动，
由于点E在边上运动，
∴当点E与点A重合时，即与重合时，的值最小，
∵，，
∴，
即的最小值为1
（2023·安阳·一模）如图，正方形的边长为，点E是边上的一个动点，点F是边上的一个动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】连接，，，设与的交点为点O，得到平行四边形，点O是的中点，连接，则经过点O，且，G在以BO为直径的圆上运动，取的中点H，连接，根据三角形三边不等关系式，计算最值即可．
【详解】如图，连接，，，设与的交点为点O，
∵正方形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点O是的中点，连接，
∵正方形，
∴点O是的中点，且，
取的中点H，连接，
∵，
∴，
∵
∴当三点共线时，取得最小值，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，，
∴长的最小值为
（2023·深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】连接，根据矩形的性质可得，，根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，推得，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点共线时，的值最小，由此可解答．
【详解】解：如图1，连接，
四边形是矩形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图2：
当，，三点共线时，的值最小，
∴，
∴，∴的最小值为
2023·汕头市金平区一模
如图，的直径，点C为中点，弦经过点C，且．点F为上一动点，连接．于点G．若，在点F运动过程中，线段的长度的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】如图，连接，，取的中点，由．可得在以R为圆心，为直径的圆上运动，（圆的一部分）当，O，G三点共线时，最小，再求解，，可得，，则，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，，取的中点，
∵．
∴在以R为圆心，为直径的圆上运动，（圆的一部分）
当，O，G三点共线时，最小，
∵，点C为中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，∴
2023·广州市天河区三模
如图，矩形中，，，点E、F分别是线段上的动点，且，过D作的垂线，垂足为H．
（1）当时， ．
（2）当E在上运动时，的最小值为 ．
【答案】 1
【思路点拨】（1）过点F作于M，由条件可得四边形是矩形，由题意可得，从而问题解决；
（2）连接交于点O，可证明，易得，由知，，即点H在以中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，的值最小，由三角函数知识即可求得此时最小值．
【详解】解：（1）过点F作于M，如图，
则；
∵四边形为矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：45；
（2）连接交于点O，如图，
由矩形性质知：，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵，设中点为M，
∴，
即点H在以点M为圆心，1为半径的圆上运动，
由于点E在边上运动，
∴当点E与点A重合时，即与重合时，的值最小，
∵，，
∴，即的最小值为1
2022·成都市成华区二诊
如图，在中，．若点为平面上一个动点，且满足，则线段长度的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】
【思路点拨】根据题意进行分类讨论，即当点D在AC右侧时，点D在上运动；当点D在AC左侧时，点D在上运动，再分别计算即可．
【详解】①如图，
以AC为底边，在AC的右侧作等腰三角形AOC，使
则
以O为圆心，以CO长为半径画优弧，连接BO交于点E
则当点D在AC右侧时，点D在上运动
过点O作于F
过点O作于M
四边形MCFO为矩形
在中，
当点D于点E不重合时，
当点D于点E重合时，
当B、D、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最小值为
②如图，
以AC为底边，在AC的左侧作等腰三角形AC，使
则
以为圆心，以C长为半径画优弧，连接B并延长交于点E
则当点D在AC左侧时，点D在上运动
过点O作于F
同①可求
在中，
当点D于点E不重合时，
当点D于点E重合时，
当B、D、O三点共线时（此时，点D与E重合），BD有最大值为
故答案为：，
如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为 ．
【答案】/
【思路点拨】连接，根据矩形的性质可得，，根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，推得，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点共线时，的值最小，由此可解答．
【详解】解：如图1，连接，
四边形是矩形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图2：
当，，三点共线时，的值最小，
∴，
∴，∴的最小值为
如图，在矩形中，，E，F分别为，边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，易得四边形为矩形，，推出和的长，根据，得到当O，H，D共线时，最小，进行求解即可．
【详解】解：连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N．
则：，
∵矩形，，E，F分别为，边的中点，
∴，，，，
∴四边形为矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时最小，
∴DH的最小值为
题型三 对角互补得圆
（2023·广东深圳·统考二模）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【思路点拨】如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在∠ABC的平分线上，当CG⊥BG时，CG最小，此时，画出图2，根据△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，证明△EGB≌△FGC，可得BE=CF，设AB=m，根据BE∶AB=1∶3，可得CF=BE=m，根据含30度角的直角三角形可得AD，进而可得结论．
【详解】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∵O是EF的中点，
∴OB=OE=OF
∵∠EGF=90°，O是EF的中点，
∴OG=OE=OF
∴OB=OG=OE=OF
∴B，E，G，在以O为圆心的圆上，
∴∠EBG=∠EFG,
∵∠EGF=90°， EG=FG，
∴∠GEF=∠GFE=45°
∴∠EBG=45°
∴BG平分∠ABC，
∴点G在∠ABC的平分线上，
当CG⊥BG时，CG最小，
此时，如图2，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°，
∵CG⊥BG
∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90°
∴BG=CG
∵∠EGF=∠BGC=90°
∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF,
∴∠EGB=∠FGC,
在△EGB和△FGC中，
∴△EGB≌△FGC(SAS)，
∴BE=CF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC
设AB=m
∵BE∶AB=1∶3
∴CF=BE=m，
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠ACB =30°
∴AC =2AB= 2m
∴BC= ，
∴AD=m，∴
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝__________.
解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．
∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，
∴四边形EFCB对角互补，
∴B，C，F，E四点共圆，
∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，
∵OB＝OF，
∴OE＝OB＝OF＝OC，
∴B，C，F，E四点在以O为圆心的圆上，
∴∠EBF＝∠ECF，
∴tan∠EBF＝tan∠ACD，
∴
如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．
解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O，
连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF，
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD为等边三角形，
∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，
∴∠AFD＝90°，则DF＝，
∵EF是△AOC的中位线，
∴EF＝OC＝1，
在△DEF中，DF﹣EF≤DE，
∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为
．
2023年·广元市一模
如图，正方形的边长为4，点E是边上的动点，过点E作交于点F，点G在上，且，点M、N分别为、的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】如图，连接，交于点，证明，，连接，，而，，证明，，可得，，，在以为直径的圆上，，则在线段上运动，当时，最短，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，交于点，
∵正方形的边长为4，
∴，，
连接，，而，，
∴为等腰直角三角形，
∵点M为的中点，
∴，，
∴，
∴，，，在以为直径的圆上，
∴，
∴在线段上运动，
当时，最短，
∵为的中点，
∴，此时为等腰直角三角形，∴
（2023·广东深圳·统考二模）如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为 ．
【答案】
【思路点拨】如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．说明，，，四点共圆，求出，利用三角形三边关系可得结论．
【详解】解：如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴点在的外接圆上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为
题型四 定弦定角得圆
如图，在△ABC中，BC＝2，点D是BC的中点，∠DAC＝45°，则AB 2＋AC 2的最大值为___________．
D
B
C
A
【答案】6
提示：作△ADC的外接圆，作EC⊥BC交圆于点E，连接BE、CE、DE
D
B
C
A
H
E
作AH⊥BC于H，则DE是圆的直径
∵∠DEC＝∠DAC＝45°，∴△EDC是等腰直角三角形
∵BC＝2，∴BD＝DC＝1，∴DE＝eq \r(,2)DC＝eq \r(,2)
∵AB 2＝AH 2＋BH 2＝AH 2＋( 1＋DH )2，AC 2＝AH 2＋CH 2＝AH 2＋( 1－DH )2
∴AB 2＋AC 2＝AH 2＋( 1＋DH )2＋AH 2＋( 1－DH )2＝2＋2( AH 2＋DH 2 )
＝2＋2AD 2≤2＋2DE 2＝6
即AB 2＋AC 2的最大值为6
如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC内一点，∠BPC＝120°，连接AP，则AP长的最小值为___________．
A
B
C
P
【答案】2eq \r(,3)
提示：作BD⊥AC于D
∵∠BAC＝60°，∴AD＝ EQ \F(1, 2 ) AB＝ EQ \F(5, 2 )，BD＝ EQ \F(5eq \r(,3), 2 )
DC＝AC－AD＝ EQ \F(11, 2 )，BC＝eq \r(,BD 2＋DC 2 )＝7
∵∠BPC＝120°，∴点P在以BC为弦的一段圆弧上运动
A
B
C
O
P
D
E
H
设圆心为O，连接OA、OB、OC、OP
则∠OBP＝∠OPB，∠OPC＝∠OCP
∵∠OPB＋∠OPC＝120°，∴∠OBP＋∠OCP＝120°
∴∠BOC＝120°，∴OB＝OC＝OP＝ EQ \F(eq \r(,3), 3 ) BC＝ EQ \F(7eq \r(,3), 3 )
设圆弧交AC于点E，连接BE、OE
则OB＝OE，∠BEC＝∠BPC＝120°，∴∠AEB＝60°
∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE
∴△AOB≌△AOE，∠OAB＝∠OAE＝30°，∴AO⊥BE
设垂足为H，则BH＝ EQ \F(1, 2 ) AB＝ EQ \F(5, 2 )，AH＝ EQ \F(5eq \r(,3), 2 )
OH＝eq \r(,OB 2－BH 2 )＝ EQ \F(11eq \r(,3), 6 )，AO＝AH＋OH＝ EQ \F(13eq \r(,3), 3 )，
∴AP≥AO－OP＝2eq \r(,3)，即AP长的最小值为2eq \r(,3)
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且BD＝3DC，若AD＝1，则△ABC的面积的最大值为____________．
A
B
C
D
【答案】 EQ \F(4eq \r(,3), 3 )
提示：过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E
A
B
C
D
E
则△BDE∽△CDA
∵BD＝3DC，∴DE＝3AD＝3，∴AE＝4
∵∠BAC＝120°，∴∠ABE＝60°
∴△ABE是定边定角面积最大问题，a＝4，θ＝30°
∴△ABE的面积的最大值为： EQ \F(a 2, 4tanθ ) ＝4eq \r(,3)
∴△ABD的面积的最大值为eq \r(,3)，△ABD的面积的最大值为 EQ \F(4eq \r(,3), 3 )
如图，△ABC中，∠BAC＝30°，AD是中线，AD＝2，求△ABC面积的最大值．
A
B
C
D
【答案】延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE
A
B
C
D
E
则△ABD≌△ECD，∴AB＝CE，∠B＝∠DCE
∴AE＝2AD＝4，AB∥CE，∴∠ACE＝150°
∴点C在以AE为弦、圆周角为150°的一段圆弧上运动
当AC＝CE即AB＝AC时，△ABC的面积取得最大值
此时AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝15°
解△ABD，可得BD＝4－2eq \r(,3)，BC＝8－4eq \r(,3)
∴△ABC面积面积最大值为8－4eq \r(,3)
2023·成都市新都区二模
如图，在边长为的等边中，动点在边上（与点，均不重合），点在边上，且，与相交于点，连接当点在边上运动时，的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】作辅助线，建立全等三角形，证明和，证明，再作的外接圆，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，计算和的长，计算其差可得结论．
【详解】解：如图，过点作，过点作，
是等边三角形，
四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
如图，作的外接圆，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，
，
，
，
连接，交于，交于，此时最小，是的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为
2023·成都市金牛区二模
在菱形中，，点P是对角线上一动点，点Q是边上一动点，与始终相等，连结，交点为E，连结，则的最小值是 ．
【答案】
【思路点拨】先证明，根据定长定角构造辅助圆，当与相切时，最大，此时最小，设半径，然后利用解直角三角形和相似三角形的性质列出关于的方程，表示出即可求出的最小值．
【详解】解：∵在菱形中，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P在对角线上运动时，的大小保持不变，
作的外接圆，圆心为O，连接、连接交于点F，
则，，
当与相切时，最大，此时最小，
设，则菱形边长为，，
∴在中，
在中，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴的最小值是
2023·达州·中考真题
在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【思路点拨】如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得，从而易证可得即勾股定理即可求得在中由三角形三边关系即可求解．
【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆；
，为的外接圆的圆心，
，，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
即，
由作图可知，在的垂直平分线上，
，
，
又为的外接圆的圆心，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
在中，
，
在中，
，
即最小值为，
故答案为：．
题型五 四点共圆
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一动点，BE⊥AD交AD的延长线于点E，则 EQ \F(DE, AD ) 的最大值为___________．
C
A
B
E
D
【答案】 EQ \F(1, 3 )
【解析】作△ABC的外接圆，则AB是圆的直径，点E在圆上
C
A
B
E
F
D
作EF⊥BC于F，则△ADC∽△EDF， EQ \F(DE, AD ) ＝ EQ \F(EF, AC )
当点E为弧BC中点时，EF最大， EQ \F(DE, AD ) 的值最大
圆的半径为 EQ \F(5, 2 )，此时EF＝ EQ \F(5, 2 ) － EQ \F(3, 2 ) ＝1， EQ \F(DE, AD ) ＝ EQ \F(1, 3 )
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝eq \r(,3)，AD⊥AC交BC于点D，点E是AB边上一动点，过A、D、E三点的圆交EC于点F，连接AF，则AF的最小值是___________．
A
B
C
E
D
F
【答案】eq \r(,7)－2
提示：连接DF，则∠EFD＝∠EAD＝120°－90°＝30°
A
B
C
E
D
F
O
H
∴∠DFC＝150°，∴点F在以DC为弦，圆心角为150°的圆弧上运动
取圆弧的圆心O，连接AO、CO、FO，作OH⊥BC于H
则∠COH＝30°
∵AB＝AC＝eq \r(,3)，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝30°
∴AD＝1，DC＝2，DH＝HC＝1，∴FO＝CO＝2
AO＝ eq \r(,AC 2＋CO 2 )＝eq \r(,7)
∴AF≥AO－FO＝eq \r(,7)－2
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一点，BD＝2DC，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，连接EF，则线段EF长的最小值为___________．
A
B
C
D
E
F
【答案】eq \r(,3)
提示：作△DEF的外接圆⊙O，连接OA、OD、OE、OF，作AG⊥BC于G，OH⊥EF于H
A
B
C
D
E
F
G
H
O
∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝30°
∴AG＝1
∵∠EDF＝120°，∴∠EOF＝120°
∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝30°
∵∠BAC＝120°，∴∠BAC＝∠EOF
∴O、A、E、F四点共圆（或推导相似）
∴∠OAF＝∠OEF＝30°
∴∠BAO＝150°，∴∠BAO＋∠B＝180°
∴AO∥BC，∴OD≥AG，∴OD≥1
∵OE＝OD，∴OE≥1，∴EH≥ EQ \F(eq \r(,3), 2 )，∴EF≥eq \r(,3)
题型六 相切时取到最值
如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD边上一动点，BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值为___________．
A
D
B
C
E
G
F
【答案】 EQ \F(9, 8 )
提示：∵BG⊥AE，∴点G在以AB为直径的一段圆弧上
A
D
B
C
E
G
F
O
显然当CG与圆弧相切时AF最大
设圆心为O，连接OF、OG、OC
则OG⊥CF，AF＝FG，OG＝ EQ \F(1, 2 ) AB＝3，CG＝BC＝8，∠FOC＝90°
OG 2＝CG·FG，3 2＝8FG，AF＝FG＝ EQ \F(9, 8 )，即AF的最大值为 EQ \F(9, 8 )
2023·随州市中考真题
如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．
【答案】
【思路点拨】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；
（2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值．
【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半，
∴的面积为，
在中，，
∴当最大时，即最大，
由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：
由题意可得：，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
2022·江苏无锡·中考真题
△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝ °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ．
【答案】 80 /
【思路点拨】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．
【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，
即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，，
∴△ACE≌△BCD（ SAS），
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，
∴∠EAC=20°，
∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
设BF与AC相交于点H，如图：
∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，
∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，
∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，
∴此时线段AF长度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，
∴BD=4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，
∵∠AFB=60°，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴FD=FE，
过点F作FG⊥DE于点G，
∴DG=GE=，
∴FE=DF==，
∴AF=AE-FE=4-
2022扬州中考真题
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，AB＝6，点D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AD，交AB于点E，则线段AE长度的最小值为_________．
C
B
D
A
E
【答案】4
【解析】取AE的中点F，连接DF，过点F作FG⊥BC于点G．
C
G
B
D
A
E
F
则DF≥FG，AE＝2DF．
当DF⊥BC时DF最小，AE最小．
∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°．
设DF＝x，则AF＝x，BF＝2x，AB＝3x＝6，
∴x＝2，∴AE＝2x＝4，
∴线段AE长度的最小值为4．
题型七 定角定高面积最小、周长最小问题
如图，点A是直线l外一点，AH⊥l于H，AH＝2，点B、C是直线l上的动点，且∠BAC＝90°，探究△ABC面积的最小值和周长的最小值，并说明理由．
A
B
C
H
l
【答案】取BC的中点D，连接AD，则BC＝2AD≥2AH
A
B′
B
C
H
(D)
l
m
E
S△ABC ＝ EQ \F(1, 2 ) BC·AH≥ EQ \F(1, 2 )·2AH·AH＝AH 2＝2 2
△ABC面积的最小值为4
此时△ABC是等腰直角三角形
下面来探究周长：
过点A作直线m∥l，作点B关于直线m的对称点B′，
连接AB′、B′B、B′C，B′B交直线m于点E
则AB＋AC＝AB′＋AC≥B′C
当B′、A、C三点在同一条直线上时，上式取等号
此时∠B′AE＋∠EAH＋∠CAH＝180°
∵∠EAH＝∠AHC＝90°，∴∠B′AE＋∠CAH＝90°
又∵∠B′AE＝∠BAE＝∠ABH＝∠CAH
∴2∠CAH＝90°，∴∠CAH＝45°，∴∠BAH＝45°
∴此时△ABC是等腰直角三角形，点D与点H重合，BC也同时取得最小值
AB＝AC＝eq \r(,2)AH＝2eq \r(,2)，BC＝2AH＝4
AB＋AC＋BC＝2eq \r(,2)＋2eq \r(,2)＋4＝4eq \r(,2)＋4
△ABC周长的最小值为4eq \r(,2)＋4
如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ．
【答案】
解：作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝
OB＝r，
∴BC＝r，∵OA+OE≥AD，∴r+
r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴，
∴△ABC的面积的最小值为.
．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝eq \r(,7)，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′（点A、B的对应点分别为A'、B′），CA′、CB′ 的延长线分別交直线m于点P、Q．试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．
m
B
Q
A
C
B′
D
A′
P
【答案】∵∠ACB＝90°，AB＝eq \r(,7)，AC＝2，∴BC＝eq \r(,AB 2－AC 2 )＝eq \r(,3)，S△ABC ＝ EQ \F(1, 2 ) AC·BC＝eq \r(,3)
∴S四边形PA′B′Q ＝S△PCQ － S△A′B′C ＝S△PCQ － S△ABC ＝S△PCQ －eq \r(,3)＝ EQ \F(1, 2 )×PQ×eq \r(,3)－eq \r(,3)＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) PQ－eq \r(,3)
∴当PQ最小时， S四边形PA′B′Q最小
取PQ中点D，连接CD，则PQ＝2CD≥2CB＝2eq \r(,3)
∴S四边形PA′B′Q ≥ EQ \F(eq \r(,3), 2 )×2eq \r(,3)－eq \r(,3)，∴S四边形PA′B′Q ≥3－eq \r(,3)
即四边形PA′B′Q的面积存在最小值，最小值为3－eq \r(,3)
如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点B、C是直线l上的两个动点，且∠BAC＝30°，求线段BC长度的最小值．
A
B
C
H
l
【答案】8－4eq \r(,3)
作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，作OG⊥BC于G
A
O
B
C
H
l
G
则OA＝OB＝OC，∠BOC＝2∠BAC＝60°
∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB，OG＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) OB
∵OA＋OG≥AH，AH＝2，∴OB＋ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) OB≥2
∴OB≥8－4eq \r(,3)，∴BC≥8－4eq \r(,3)
即线段BC长度的最小值为8－4eq \r(,3)
此时A、O、G三点共线，即点G与点H重合，点O落在AH上，AB＝AC，△ABC是等腰三角形
如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别是边BC、CD上的动点，∠EAF＝60°，求△AEF面积的最小值．
A
D
B
C
E
F
【答案】延长CD至G，使DG＝BE，则△ABE≌△ADG
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG
A
D
B
C
E
F
G
O
M
N
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠DAF＝30°
∴∠DAG＋∠DAF＝30°，即∠FAG＝30°
作EM⊥AF于M，GN⊥AF于N
则EM＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) AE，GN＝ EQ \F(1, 2 ) AG
∵S△AEF ＝ EQ \F(1, 2 ) AF·EM，S△AFG ＝ EQ \F(1, 2 ) AF·GN，∴S△AEF ＝eq \r(,3)S△AFG
∴当S△AFG最小时S△AEF最小
取△ABC的外心O，连接OA、OF、OG，作OH⊥FG于H
则OA＝OF＝OG，∠FOG＝2∠FAG＝60°
∴△OFG是等边三角形，∴FG＝OF，OH＝ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) OF
∵OA＋OH≥AD，AD＝1，∴OF＋ EQ \F(eq \r(,3), 2 ) OF≥1
∴OF≥4－2eq \r(,3)，∴FG≥4－2eq \r(,3)
∵S△AFG ＝ EQ \F(1, 2 ) FG·AD ＝ EQ \F(1, 2 ) FG，∴S△AFG ≥2－eq \r(,3)
∴S△AEF ≥2eq \r(,3)－3
即△AEF面积的最小值为2eq \r(,3)－3
此时A、O、H三点共线，即点H与点D重合，AF＝AG，AE＝AF，△AEF是等边三角形
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是BC边上的一点，BD＝2，CD＝4，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，求△DEF的面积的最小值．
A
B
D
C
E
F
【答案】连接AD，作AM⊥BC于M，DH⊥AB于H，DG平分∠EDF交AB于G
A
B
D
C
E
F
G
H
M
则∠EDG＝∠FDG＝60°
∵BD＝2，CD＝4，∴BC＝6
∵AB＝AC，∴BM＝CM＝3，∴DM＝1
∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°
∴AM＝eq \r(,3)，∴∠ADM＝60°
∴∠ADG＝∠CDF，∠DAF＝90°
∴∠DAG＝30°，∴DA＝2DH，∠DFA＝∠DGH
∴△DGH∽△DFA，∴DF＝2DG，∴S△DEF ＝2S△DEG
问题转化为求△DEG的面积的最小值，而△DEG是定角定高
∴当DE＝DG时△DEG的面积最小，此时△DEG是等边三角形，易求其面积为 EQ \F(eq \r(,3), 3 )
∴△DEF的面积的最小值为 EQ \F(2eq \r(,3), 3 )
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，BD＝2．
（1）求△ABC周长的最小值；（2）当△ABC的周长最小时，求四边形ABCD面积的最大值．
A
B
C
D
【答案】（1）作线段BD关于AD的对称线段B′D，作线段BD关于CD的对称线段B″D
连接B′A、B″C、B′B″，
B′
B″
C
B
D
A
A
B
C
D
B′
B″
E
F
则B′D＝B″D＝BD＝2，∠ADB′＝∠ADB，∠CDB″＝∠CDB
∴∠B′DB″＝2∠ADB＋2∠CDB＝2∠ADC＝90°
∴B′B″＝eq \r(,2)B′D＝2eq \r(,2)
∴AB＋BC＋AC＝AB′＋AC＋B″C≥B′B″
∴△ABC周长的最小值为2eq \r(,2)
（2）当点A、C都落在线段B′B″上时，△ABC的周长最小
此时S四边形ABCD ＝S△ABD ＋S△BCD ＝S△AB′D ＋S△B″CD ＝S△B′DB″ －S△ACD
＝ EQ \F(1, 2 )×2×2－S△ACD ＝2－S△ACD
当S△ACD最小时，S四边形ABCD最大
作DE⊥AC于E，则DE＝ EQ \F(eq \r(,2), 2 ) B′D＝eq \r(,2)
在△ACD中，∠ADC＝45°，DE＝eq \r(,2)
问题转化为定角定高面积最小，当AD＝CD时△ACD的面积最小
此时∠ADE＝∠CDE＝22.5°
在ED上截取EF＝AE，连接AF
则∠AFE＝∠EAF＝45°，∴∠FAD＝∠ADE＝22.5°
∴DF＝AF＝eq \r(,2)EF，∴EF＋eq \r(,2)EF＝eq \r(,2)
∴EF＝2－eq \r(,2)，∴AC＝2AE＝2EF＝4－2eq \r(,2)
∴S△ACD ＝ EQ \F(1, 2 ) AC·DE＝ EQ \F(1, 2 )×( 4－2eq \r(,2) )×eq \r(,2)＝2eq \r(,2)－2
∴S四边形ABCD ＝2－S△ACD ＝4－2eq \r(,2)
即四边形ABCD面积的最大值为4－2eq \r(,2)
如图，在等边△ABC中，点D是BC边上的一点，BD＝2，CD＝4，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝90°，则△DEF的面积的最小值为___________．
A
B
D
C
E
F
【答案】24－12eq \r(,3)
提示：作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，在FC上取点P，连接DP，使∠PDF＝30°
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝30°，∴∠GDH＝120°
∵∠EDF＝90°，∴∠EDP＝120°
A
B
D
C
E
F
G
H
P
∴∠GDH＝∠EDP，∴∠EDG＝∠PDH
∴△DEG∽△DPH，∴ EQ \F(DE, DP ) ＝ EQ \F(DG, DH ) ＝ EQ \F(BD, CD ) ＝ EQ \F(2, 4 )
∴DE＝ EQ \F(1, 2 ) DP，∴S△DEF ＝ EQ \F(1, 2 ) DE·DF＝ EQ \F(1, 2 )× EQ \F(1, 2 ) DP·DF＝S△DPF
问题转化为求△DPF的面积的最小值，而△DPF是定角定高
∴当DP＝DF时△DPF的面积最小，易求其面积为24－12eq \r(,3)
∴△DEF的面积的最小值为24－12eq \r(,3)
题型八 米勒角（最大张角）模型
如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（ ）
A．2B．3C．D．
解：当△DBC∽△DCA时，∠ACB最大，
∴，
∴CD2＝BD•AD＝1×（1+4）＝5，
∴CD＝，
故球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为
如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP＝ ．
【答案】
解：作△PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动，
∵∠DOM＝2∠DPM，
∴当∠DOM最大时，∠DPM最大，
当⊙O与BC相切时，∠DOM最大，
∵M是CD的中点，CD＝4，
∴CM＝DM＝2，
连接OP，则OP⊥BC，
∵∠C＝90°，ON⊥CD，
∴四边形OPCN是矩形，
∴OP＝NC＝2+1＝3＝OM，
在Rt△MON中，由勾股定理得，
ON＝＝＝，
即PC＝，
∴BP＝BC﹣PC＝4﹣2，
故答案为：
．
在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使∠MPN最大，则P点的坐标为
解：过点M、N、P三点的圆的圆心在线段MN的中垂线：y＝﹣x+3上，
∠MPN为弦MN所对应的圆周角，
∴当圆的半径最小时有∠MPN最大，
∵P在x轴上运动，
∴当圆与x轴相切时，圆的半径最小，即此时∠MPN最大．
设此时P点坐标为：（p，0），
则圆心Q的坐标为（p，﹣p+3），
∵MQ＝PQ，
∴（1﹣p）2+（p+1）2＝（3﹣p）2，
解得：p＝1或p＝﹣6（舍），
∴P点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）．
如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米.
解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，
∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，
∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，
∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，
∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，
∴EF＝MF，
又∵EF⊥OB，
∴OB是⊙F的切线，切点为E，
∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，
此时OP＝20m，故答案为：20
已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C是x轴正半轴上一动点，当∠ ACB最大时，点C的坐标为____
【解答】解：过点A、B作⊙P，点⊙P与x轴相切于点C时，∠ACB最大，
连接PA、PB、PC，作PH⊥y轴于H，如图，
∵点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），
∴OA＝1，AB＝3﹣1＝2，
∵PH⊥AB，
∴AH＝BH＝1，
∴OH＝2，
∵点⊙P与x轴相切于点C，
∴PC⊥x轴，
∴四边形PCOH为矩形，
∴PC＝OH＝2，
∴PA＝2，
在Rt△PAH中，PH＝＝，
∴C点坐标为（，0）．
故答案为（，0）．
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC， ∴△ABF∽△FCE．
（2）取AE的中点O，连接OD、OF．
∵∠AFE＝∠ADE＝90°（对角互补），
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠AED＝∠AFD，
∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝． ∴当DE＝时，∠AED的值最大
辅助圆之定角定高求解探究
（1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图①中，即为所求．
（2）如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设．
，，，
，，
，，
，，，的最小值为，
，的最小值为．
（3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大，设，易知，，
，
，
四边形的面积的最大值．
问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB ＞ ∠ACB（填“＞”“＜”“＝”）；
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；
问题解决
（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB＝6米），下边沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的眼睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．
解：（1）∠AEB＞∠ACB，理由如下：
如图1，过点E作EF⊥AB于点F，
∵在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD中点，
∴四边形ADEF是正方形，
∴∠AEF＝45°，
同理，∠BEF＝45°，
∴∠AEB＝90°．
而在直角△ABC中，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＜90°，
∴∠AEB＞∠ACB．
故答案为：＞；
（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下：
假设P为CD的中点，如图2，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，
在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，
∵∠AFB是△EFB的外角，
∴∠AFB＞∠AEB，
∵∠AFB＝∠APB，
∴∠APB＞∠AEB，
故点P位于CD的中点时，∠APB最大：
（3）如图3，过点E作CE∥DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA＝CQ，
以点O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，此时点P即为小刚所站的位置，
由题意知DP＝OQ＝，
∵OA＝CQ＝BD+QB﹣CD＝BD+AB﹣CD，
BD＝11.6米，AB＝3米，CD＝EF＝1.6米，
∴OA＝11.6+3﹣1.6＝13米，
∴DP＝米，
即小刚与大楼AD之间的距离为4米时看广告牌效果最好．
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 ________，⊙C的半径是
②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为
解：（1）①∵点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0），
∴OA＝1，OB＝7．
∴AB＝6．
过点C作CD⊥AB于点D，如图，
则AD＝BD＝AB＝3．
∴OD＝AO+AD＝4．
∵∠APB＝45°，
∴∠ACB＝2∠APB＝90°，．
∵CD⊥AB，CA＝CB，
∴CD＝AB＝3．
∴C（4，3）．
∴AC＝，
∴⊙C的半径是3．
故答案为：（4，3）；3；
②y轴正半轴上有线段AB的“完美点”，理由：
设⊙C交y轴于点D，E，连接CD，CE，过点C作CG⊥CD于点G，CF⊥AB于点F，如图，
则∠AEB＝∠ADB＝∠APB＝45°．
∴D，E为y轴正半轴上线段AB的“完美点”．
则 EG＝DG＝DE，CD＝CE＝3．
∵CG⊥DE，CF⊥AB，∠O＝90°，
∴四边形OFCG为矩形．
∴CG＝OF＝4，OG＝CF＝3．
在Rt△CGE中，
∵EG2＝CE2﹣CG2，
∴EG＝＝．
∴GE＝DG＝．
∴OE＝OG﹣GE＝3﹣，OD＝OG+DG＝3+．
∴E（0，3﹣），D（0，3+）．
∴y轴正半轴上有线段AB的“完美点”，“完美点”的坐标为（0，3+）或（0，3﹣）；
（2）设⊙C与y轴负半轴切于点P，在y轴负半轴上任取一点Q（与点P不重合），
连接BQ，AQ，BQ与⊙C交于点D，连接AD，如图，
则∠APB＝∠ADB，
∵∠ADB＞∠AQB，
∴∠APB＞∠AQB．
∴当P运动到⊙C与y轴相切时，∠APB的度数最大．
连接PC并延长交⊙C于点E，连接AE，如图，
∵OP是⊙C的切线，
∴CP⊥OP，
∴∠OPA+∠ABE＝90°．
∵PE为⊙C的直径，
∴∠PAE＝90°，
∴∠APE+∠E＝90°，
∴∠OPA＝∠E，
∴∠E＝∠OBP，
∴∠OPA＝∠OPB，
∵∠AOP＝∠POB＝90°，
∴△OAP∽△OPB，
∴，
∴OP2＝OA•OB．
∴OP＝．
∴P（0，﹣）．故答案为（0，﹣）．
徐州中考
如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接．
（1）求的度数及点的坐标；
（2）的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，作于，于，于．
，
，，
，
，，
同理可证：，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
可以假设，
在上，
，
，
，
．
（2）定角定高模型
法二 设，，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积的最大值为．
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