资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩12页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
专题2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）
展开
这是一份专题2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用），文件包含专题2-5最值模型之阿氏圆与胡不归原卷版docx、专题2-5最值模型之阿氏圆与胡不归解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc153477096" 知识点梳理
\l "_Tc153477097" 模块一 胡不归模型
\l "_Tc153477098" 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线
\l "_Tc153477099" 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线
\l "_Tc153477100" 【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算
\l "_Tc153477101" 模块二 阿氏圆模型
\l "_Tc153477102" 【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）
\l "_Tc153477103" 【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）
\l "_Tc153477104" 【题型6】一内一外提系数
\l "_Tc153477105" 【题型7】隐圆型阿氏圆
知识点梳理
一、胡不归模型讲解
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．
，记，即求BC＋kAC的最小值．
构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC．
将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小．
二、阿氏圆模型讲解
【模型来源】
所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似．
【模型建立】
如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R＝OB，
连接 PA、PB，则当“PA＋PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC＝R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB＝PC。故本题求“PA＋PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA＋PC”值最小。
模块一 胡不归模型
【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线
2023·西安·二模
如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
2023·保定·一模
如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．
（1） °；
（2）的最小值为 ．
2023·湘西·中考真题
如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ．
2023·江苏宿迁中考模拟
如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为 秒．
2023·四川自贡·统考中考真题
如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．
2023·成都市七中校考
如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，沿直线翻折，点的对应点恰好落在对角线上，点的对应点为，点为线段上一动点，则的最小值为 ．
【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线
如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．
2023·广西二模
如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ．
如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为 3 ．
如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为
A．B．C．D．
如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是
A．B．C．D．8
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF＋FB的最小值是
如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .
【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算
2023·广东深圳·统考三模
如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，．
①求的值；
②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点落在点处，且，点是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点，连结．当的值最小时，求的长．
模块二 阿氏圆模型
【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）
如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
如图，在中，，，，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，．
求①；②；③；④的最小值．
如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ．
如图，正方形ABCD边长为2 eq \r(2)，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+eq \f( eq \r(2),2)PD的最小值为______．
如图，等边三角形ABC边长为4 eq \r(3)，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BP＋eq \f(1,2)CP的最小值为______________．
如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM＋eq \f(1,2)PN的最小值为_______________
2023·山东烟台·统考中考真题
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
如图1，抛物线y＝ax 2＋( a＋3 )x＋3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点E是线段OA上的一个动点，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当 EQ \F(MN, NE ) ＝ EQ \F(6, 5 ) 时，求点E的坐标；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，连接E′A、E′B，求E′A＋ EQ \F(2, 3 ) E′B的最小值．
y
B
O
A
E
P
M
N
图1
y
B
O
A
E
P
M
N
图2
E′
【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）
如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
如图，∠AOB=90°，OA=OB=1，圆O的半径为 eq \r(2)，P是圆O上一动点，PA+ eq \r(2)PB的最小值为________．
已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，2PA+PB的最小值为________．
【题型6】一内一外提系数
如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 ．
【解答】解：在上取点，使，
，
，
，
，
，
，
在延长线上取，
，
则，
又，
，
，
，
，
当为和圆的交点时最小，即最小，且值为，
，
的最小值为，
故答案为：．
如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 ，
的最小值是
【题型7】隐圆型阿氏圆
2023·咸阳·三模
如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．
2023·宿迁·三模
如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为 ．
如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 ．
如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．
如图，在平面直角坐标系中，、、、，是外部的第一象限内一动点，且，则的最小值是 ．
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc153477096" 知识点梳理
\l "_Tc153477097" 模块一 胡不归模型
\l "_Tc153477098" 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线
\l "_Tc153477099" 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线
\l "_Tc153477100" 【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算
\l "_Tc153477101" 模块二 阿氏圆模型
\l "_Tc153477102" 【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）
\l "_Tc153477103" 【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）
\l "_Tc153477104" 【题型6】一内一外提系数
\l "_Tc153477105" 【题型7】隐圆型阿氏圆
知识点梳理
一、胡不归模型讲解
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．
，记，即求BC＋kAC的最小值．
构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC．
将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小．
二、阿氏圆模型讲解
【模型来源】
所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似．
【模型建立】
如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R＝OB，
连接 PA、PB，则当“PA＋PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC＝R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB＝PC。故本题求“PA＋PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA＋PC”值最小。
模块一 胡不归模型
【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线
2023·西安·二模
如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
2023·保定·一模
如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．
（1） °；
（2）的最小值为 ．
2023·湘西·中考真题
如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ．
2023·江苏宿迁中考模拟
如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为 秒．
2023·四川自贡·统考中考真题
如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．
2023·成都市七中校考
如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，沿直线翻折，点的对应点恰好落在对角线上，点的对应点为，点为线段上一动点，则的最小值为 ．
【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线
如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．
2023·广西二模
如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ．
如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为 3 ．
如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为
A．B．C．D．
如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是
A．B．C．D．8
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF＋FB的最小值是
如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .
【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算
2023·广东深圳·统考三模
如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，．
①求的值；
②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点落在点处，且，点是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点，连结．当的值最小时，求的长．
模块二 阿氏圆模型
【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）
如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
如图，在中，，，，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，．
求①；②；③；④的最小值．
如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ．
如图，正方形ABCD边长为2 eq \r(2)，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+eq \f( eq \r(2),2)PD的最小值为______．
如图，等边三角形ABC边长为4 eq \r(3)，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BP＋eq \f(1,2)CP的最小值为______________．
如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM＋eq \f(1,2)PN的最小值为_______________
2023·山东烟台·统考中考真题
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
如图1，抛物线y＝ax 2＋( a＋3 )x＋3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点E是线段OA上的一个动点，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当 EQ \F(MN, NE ) ＝ EQ \F(6, 5 ) 时，求点E的坐标；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，连接E′A、E′B，求E′A＋ EQ \F(2, 3 ) E′B的最小值．
y
B
O
A
E
P
M
N
图1
y
B
O
A
E
P
M
N
图2
E′
【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）
如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
如图，∠AOB=90°，OA=OB=1，圆O的半径为 eq \r(2)，P是圆O上一动点，PA+ eq \r(2)PB的最小值为________．
已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，2PA+PB的最小值为________．
【题型6】一内一外提系数
如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 ．
【解答】解：在上取点，使，
，
，
，
，
，
，
在延长线上取，
，
则，
又，
，
，
，
，
当为和圆的交点时最小，即最小，且值为，
，
的最小值为，
故答案为：．
如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 ，
的最小值是
【题型7】隐圆型阿氏圆
2023·咸阳·三模
如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．
2023·宿迁·三模
如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为 ．
如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 ．
如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．
如图，在平面直角坐标系中，、、、，是外部的第一象限内一动点，且，则的最小值是 ．
相关试卷
最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题21 最值问题中的阿氏圆模型 （全国通用）： 这是一份最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题21 最值问题中的阿氏圆模型 （全国通用），文件包含专题21最值问题中的阿氏圆模型原卷版docx、专题21最值问题中的阿氏圆模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
专题28 最值模型之阿氏圆模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）： 这是一份专题28 最值模型之阿氏圆模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用），文件包含专题28最值模型之阿氏圆模型原卷版docx、专题28最值模型之阿氏圆模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
中考数学二轮专题复习——圆的最值模型之阿氏圆模型： 这是一份中考数学二轮专题复习——圆的最值模型之阿氏圆模型，共6页。
