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专题2-7 二次函数中的最值问题 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）
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这是一份专题2-7 二次函数中的最值问题 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用），文件包含专题2-7二次函数中的最值问题原卷版docx、专题2-7二次函数中的最值问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共92页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc153829372" 题型一 【铅垂高系列】
\l "_Tc153829373" 2023·四川凉山·中考真题
\l "_Tc153829374" 2022·天津·中考真题
\l "_Tc153829375" 2022·湖北襄阳·统考中考真题
\l "_Tc153829376" 2023·湖南娄底·中考真题
\l "_Tc153829377" 2023·湖南中考真题
\l "_Tc153829378" 2023·青海西宁·中考真题
\l "_Tc153829379" 2023·四川广安·中考真题
\l "_Tc153829380" 2023·湖南永州·中考真题
\l "_Tc153829381" 2022·四川广元·中考真题
\l "_Tc153829382" 题型二 【线段和差最值篇】
\l "_Tc153829383" 2023·湖南张家界中考真题
\l "_Tc153829384" 2022·山东淄博·统考中考真题
\l "_Tc153829385" 2022·四川遂宁中考真题
\l "_Tc153829386" 题型三 【构造二次函数模型求最值】
\l "_Tc153829387" 2023·山东东营·中考真题
\l "_Tc153829388" 2023·四川巴中·中考真题
\l "_Tc153829389" 2023·湖南张家界中考真题
\l "_Tc153829390" 2023·山东聊城·中考真题
\l "_Tc153829391" 2022·湖北襄阳中考真题
\l "_Tc153829392" 2023·湖北荆州中考真题
\l "_Tc153829393" 2022·江苏连云港中考真题
\l "_Tc153829394" 2022·湖南岳阳·中考真题
\l "_Tc153829395" 2023·宁夏·中考真题
\l "_Tc153829396" 2023·湖北襄阳中考真题
\l "_Tc153829397" 题型四 【加权线段最值】
\l "_Tc153829398" 2023·四川内江·中考真题
\l "_Tc153829399" 2023·黑龙江绥化·中考真题
\l "_Tc153829400" 题型五 【几何构造最值篇】
\l "_Tc153829401" 2022·天津·统考中考真题
一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问
母题：如图，已知抛物线过A（4，0）、B（0，4）、C（－2，0）三点，P是抛物线上一点
求抛物线解析式
【答案】
【铅垂高系列】
本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是比较特殊所以单独拿出来
（☆）若P在直线AB上方，求四边形PBCA面积最大值，
【答案】16 补充二级结论
【思路分析】先分离出面积为定值的△ABC，△ABC面积为12
设P，
(上面的点减去下面的点)
当时，PH取最大值2，此时△APB面积为：(AO是△PBH，△PAH两个三角形高之和)
（☆）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，F在线段AB上，求PF最大值
【答案】
【思路分析】过P作PH平行y轴，H在AB上
导角可知△PFH~△AOB为等腰直角三角形，PH取最大时，PF也取到最大
（★）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，交线段AB于F，作PE∥y轴交AB于E，求△PEF周长和面积的最大值
【答案】2＋2和1
【思路分析】△PEF形状固定，
若P在直线AB上方，连接OP，交AB于D，求的最大值
【答案】
【思路分析】化斜为直，平行线，构造8字相似转换
（★☆）若P在直线AB上方，连接CP，交AB于D，△PDA面积为S1，△CDA面积为S2，求的最小值
【答案】
【思路分析】化斜为自
第一步：面积比转换为共线的边之比
第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比
（★☆）点D是点B关于关于x轴的对称点，连接CD，点P是第一象限上一点，求△PCD面积最大值
【答案】12
【思路分析】
过动点P作y轴平行线交对边(延长)于点H
推导过程如下：以PH为底，设△PHC的高为h1，△PDH的高为
【几何构造最值篇】
（☆）点E是对称轴与x轴交点，过E作一条任意直线l，（点B、C分别在直线l的异侧），设C、B两点到直线l的距离分别为m、n，求m＋n的最大值
【答案】2
【思路分析】
特殊位置时有最小值，大多数题目都是共线时有最值，所以要重点去分析共线时的情况
（☆）已知线段BC上有两点E(1，3)，F(3， 1)，试在x，y轴上有两动点M和N，使得四边形FMNE周长最小。
【答案】
【思路分析】作两次对称即可，普通将军饮马问题，
（★）若y轴上有两点M（0，a）和N（0，a＋2），求△CMN周长的最小值
【答案】
【思路分析】造桥选址问题，C点向上平移2个单位，得到平行四边形，
故，接下来就是常规的将军饮马了
（★☆）点D为抛物线顶点，直线AD上有一点Q，连接BQ，将△BDQ沿BQ折叠得△BD’Q，
求OD’的最小值
连接OD’，M是线段OD’的中点，求AM的最小值
【答案】①4－；②
【思路分析】(1)D’轨迹为圆（2）把A点变为中点，则AM是中位线，点圆最值问题
（★★☆）（隐圆）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DE⊥x轴于点E，设△ADE的内心为I，试求BI的最小值．
【答案】
【思路分析】易知△ADI≌△AOI(SAS)，∠AID＝∠AIO＝135°，而OA为定线段
则点I在以OA为弦，所含的圆周角等于135°的圆弧上，设该圆的圆心为F，连接FO，FA，∠OFA＝90°，故，
【构造二次函数模型求最值】
（☆）P在第一象限，作PQ∥x轴交抛物线于Q，过P、Q作x轴垂线交x轴于H、G两点，求矩形PQGH周长的最大值
【答案】
【思路分析】设点坐标，用字母表示长和宽
设，则，而P和Q点到对称轴的距离为，则，PQGH的周长为：
（★）在线段AC上有一点D，AB上有一点E，且DE∥BC，求△BDE面积的最大值
【答案】3
【思路分析】易知△ADE∽△ACB，利用相似比得出高之比
设AD＝3m，则E点到x轴的距离为2m，△BDE的面积为：
（★★☆）P是第一象限上一点，线段PC交BC于点D，交y轴于点E，△ADP和△BDE的面积分别为S1、S2，求S1－S2的最大值
【答案】
设，
则
（★★☆）抛物线对称交抛物线于点D，交x轴于点E，M是线段DE上的动点，
N(n，0)为x轴上一点，且BM⊥NM．
求n的变化范围
当n取最大值时，将直线BN向上平移t个单位，使线段BN与抛物线有两个交点，求t的取值范围．
【答案】（1），（2）
【思路分析】①由勾股定理构造出关于n的函数模型，
【详解】①设M坐标为(1，m)
∵，
整理得：，由可知，
②⇒设平移后：
分析：向上平移当N点落在抛物线上时，恰好有2个交点，
此时N点坐标为，则
继续向上平移，当△＝0，此时只有一个交点
综上
【加权线段最值】
（★） 若y轴上有一动点M，求AM＋BM的最小值及M点坐标
【答案】，M（0，2）
【思路分析】胡不归问题，作垂直代换加权线段即可
作MH⊥BC于H，则，AG即所求
【法一：等面积】，再由相似求出M点坐标
法二：，再由三角函数求M点坐标
法三：求出AG解析式
（★）若动点 D 从点 A 出发先以V1的速度朝 x 轴负方向运动到 G，再以V2的速度向B 点运动，且V1＝ 2V2，当运动时间最短时，求点 G 的坐标（V1为定值）
【答案】
【思路分析】还是胡不归问题，只不过需要翻译成加权线段和
【简析】设运动总时间为t，
以A为顶点，在x轴下方构造一个30°的角，作垂线即可进行代换，，当时取到最小值．
（☆☆）将线段CO绕O点进行旋转，得线段C’O，在旋转过程中，求＋的最小值．
【答案】
【思路分析】通过构造子母型相似代换，阿氏圆模型
取点，通过SAS可知，相似比为2，故，
＋＝
（★☆）点D（3，4），G是x轴上一动点，求GD－AG的最小值
【答案】
【思路分析】相减型胡不归，反方向构造相关角
如图，作于E，易知，，
当G，D，E三点共线时取到最小值，此时，，
题型一 【铅垂高系列】
2023·四川凉山·中考真题
如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点，取得最大值时，求的值和的最大值
【答案】(1)
(2)①当时，有最大值，最大值为；②或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴抛物线顶点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，
∴，设直线的解析式为，
∴，∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，与直线交于点
∴，
∴ ，
∵，∴当时，有最大值，最大值为；
2022·广东·统考中考真题）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1)
(2)2；P（-1，0）
【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．
【详解】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，
顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，
∵P在线段AB上，
∴，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
2022·天津·中考真题
已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
(1)若，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标
【答案】(1)①；②点M的坐标为，点G的坐标为；
【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；
（2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标；
【详解】（1）①∵抛物线与x轴相交于点，
∴．又，得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴点P的坐标为．
②当时，由，
解得．
∴点B的坐标为．
设经过B，P两点的直线的解析式为，
有解得
∴直线的解析式为．
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示：
∴点M的坐标为，点G的坐标为．
∴．
∴当时，有最大值1．
此时，点M的坐标为，点G的坐标为．
2022·湖北襄阳·统考中考真题
在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．
(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
【答案】（1）∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，-2m）．
∵，
∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）．
令x=0，则，
∴．
①当m=2时，-2m=-4，则，
∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②由上可知，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为，
如图，过点P作轴交直线AB于点E．
设点P的横坐标为t，
∴，，
∴，
∴△PAB的面积=，
∵-1＜0，∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）
2023·湖南娄底·中考真题
如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．
(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点,当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值.
【答案】(1)，
(2)当时，的面积由最大值，最大值为
【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解；
（2）由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解；
【详解】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，
∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，∵，∴当时，的面积有最大值，最大值为
2023·湖南中考真题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的长，根据二次函数的性质求得的最大值，根据即可求解；
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
则，，
∴，当时，取得最大值为，
∵，
∴当取得最大值时，最大，
∴，∴面积的最大值
2023·青海西宁·中考真题
如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．
(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值是，此时的P点坐标是
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解．
【详解】（1）解：设直线l的解析式为，
把A，B两点的坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线l的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
把A，B两点坐标代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵ ，
∴．
∵在中，
∴．
∵轴，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
设点P的坐标为，则，
∴．
∵，∴当时，有最大值是，此时最大，
∴，
当时，， ∴，
∴的最大值是，此时的P点坐标是．
2023·四川广安·中考真题
如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为，此时
【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可；
（2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；
【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数经过点，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，∴；
设直线的解析式为，∴，∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，∴当时，最大，最大值为，∴此时点P的坐标为
2023·湖南永州·中考真题
如图，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，直线交于点，求的最大值；
【答案】(1),(2),(3)
【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，，值，即可求出抛物线解析式．
（2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用表达长度，在观察图形可知，将其和长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值．
【详解】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，
，，，
，，抛物线的解析式为：．
故答案为：．
（2）解：过点作轴于点，如图所示，
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
，，
设直线的解析式为：，则，，
直线的解析式为：．
在直线上，，
在直线上，的解析式为：，
，．
，
．
，
．
，，
当时， 有最大值，且最大值为： ．故答案为：．
2022·四川广元·中考真题
在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
(1)求a，b满足的关系式及c的值；
(2)当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
【答案】(1)2a=b+1，c=-2；(2)△PAB的周长最小值是2+2；(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为．
【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；
（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，
∴，∴2a=b+1，c=-2；
（2）解：当a=时，则b=-，∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，
抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A的坐标为(-2，0)，∴点C的坐标为(4，0) ，
△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，
∵点A、C关于直线x=1对称，
∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
由勾股定理得BC=2，AB=2，
∴△PAB的周长最小值是：2+2．
（3）解：当a=1时，b=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，
∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED=EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ=QE=-(t2+2t)= -(t+1)2+，
当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）．
已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接，点P在线段下方的抛物线上运动．
(1)如图1，连接，，若，求点P的坐标．
(2)如图2，过点P作轴交于点Q，交于点H，求周长的最大值．
【答案】(1)或；(2)最大值为；
【分析】（1）如图，作轴，交直线于点D，由，得，，待定系数法确定直线解析式为，设，则，，得，解得或3，于是或．
（2）如图，可证得是等腰直角三角形，，周长，同（1），设，周长，得当时，最大值为．
【详解】（1）解：如图，作轴，交直线于点D，
由，时，，得，
，则，解得或，得,
设直线解析式为，则，解得
∴
设，则，
∴，
解得，或3，或
∴或．
（2）解：如图，，
∴
∵轴
∴
∴
∴
∴周长
同（1），设，则，
∴周长
∴当时，点P在线段下方的抛物线上，此时周长有最大值，最大值为．
题型二 【线段和差最值篇】
2023·湖南张家界中考真题
如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；(2)如图，求周长的最小值；
【答案】(1),(2)
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，∵O、E关于直线对称，∴四边形为正方形，
∴， 连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
2022·四川遂宁中考真题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值
【答案】(1)
(2)周长的最小值为
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，连接、、，由对称的性质可知当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度，再证明为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可；
【详解】（1）∵，在上，
∴，∴，∴抛物线的解析式为．
（2）如图，设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，
连接、、，
由对称的性质可知，，
的周长为，
∴当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度．
令，则，解得，．
∴B的坐标为，
∴，为等腰直角三角形．
∵BC垂直平分，且D的坐标为，
∴．
又∵D、关于x轴对称，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
2022·山东淄博·统考中考真题
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值
【答案】(1)y =x²+2x+3
(2)最大值
【分析】（1）利用顶点式可得结论；
（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J，设，，推出最大时，的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论；
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为D（1，4），
∴根据顶点式，抛物线的解析式为；
（2）解：如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，
BD交PM于点J，设，
点，在直线l：上，∴，∴，
∴直线DT的解析式为，
令，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴最大时，的值最大，
∵，，∴直线BD的解析式为，
∴，∴，
∵
，
∵二次项系数，
∴时，最大，最大值为11，∴的最大值
题型三 【构造二次函数模型求最值】
2023·山东东营·中考真题
如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，∴点C的坐标为．将点C坐标代入表达式，得，解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，∴．
当时，．
∴矩形的周长为．
∵，∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
2023·四川巴中·中考真题
在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，进而分别表示出，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质，，即可求得最大值；
【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为
对称轴为
与x轴另一交点为
∴设抛物线为
∴抛物线的表达式为
（2）在抛物线上
∴设
在第一象限
∴当时，有最大值为
2023·湖南张家界中考真题
如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
如图，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】，
【分析】由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．
【详解】由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入中，，解得，
∴直线的表达式为，
同理可得：直线的表达式为，
∵，
∴设直线表达式为，
由（1）设，代入直线的表达式
得：，
∴直线的表达式为：，
由，得，
∴，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当时，此时P点为.
．
2023·山东聊城·中考真题
如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)时，有最大值，最大值为．
【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；
（2）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为．
【详解】（1）将，代入，得，解得
∴抛物线解析式为：
（2）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线：
同理由点，，可求得直线 ：
设点，，
则，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵，∴时，，有最大值，最大值为．
2022·湖北襄阳中考真题
在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．
在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．
【答案】(2)①或；②13
【分析】对于（2），由（1）可知，点B，C的坐标，再根据点C在线段MB上，分两种情况讨论，求出①的答案即可；对于②，根据①中的情况分别表示BC，再配方二次函数的性质求出答案即可．
【详解】知B（0，-2m），C（0，-m2+2），
①∵y轴上有一点，点C在线段MB上，
∴需分两种情况讨论：
当时，解得：，
当时，解得：，
∴m的取值范围是或；
②当时，
∵，
∴当m=1时，BC的最大值为3；
当时，
∴，
当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13，
∴BC的最大值是13．
2023·湖北荆州中考真题
已知：关于的函数．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)0或2或
(2)①6，②存在，
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值．
（2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积．
②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．
【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，，．
综上所述，或0．故答案为：0或2或．
（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．
依题意得：，解得：
抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，，，当时，有最大值，最大值为．
2022·江苏连云港中考真题
已知二次函数，其中．
(1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；
(2)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)最大值为
【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，可以推出,由此即可求解．
【详解】（1）解：将代入，
解得．
由，则符合题意，
∴，
∴．
（2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴二次函数的顶点在第三象限．
（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为
当时，，
∴．
将代入，
解得．
∵在轴的负半轴上，
∴．
∴．
过点作，垂足为，
∵，
∴．
在中，
,
∴当时，此时，面积有最大值，最大值为．
2022·湖南岳阳·中考真题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
(3)如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．
①求点和点的坐标；
②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值．
【答案】(1)，(2)，(3)①或；②16
【分析】（1）将点和点代入，即可求解；
（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
（3）①通过联立方程组，求出点和点坐标即可；
②求出直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，，则，，可求，，由，分别求出的最大值4，的最大值4，即可求解．
【详解】（1）解：将点和点代入，
∴，解得，
∴．
（2）∵，
∴抛物线的顶点，
∵顶点关于原点的对称点为，
∴抛物线的解析式为，
∴．
（3）由题意可得，抛物线的解析式为，
①联立方程组，
解得或，
∴或；
②设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图所示：
设，，
则，，
∴，
，
∵，，
∴当时，有最大值，
当时，有最大值，
∵，
∴当最大时，四边形面积的最大值为16．
2023·宁夏·中考真题
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点，的最小值为
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
（2）当时，，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
（3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，
∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，点的坐标是（1，4），．过程见解析
【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果；
（3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．
【详解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，
-9+6m+3m=0，
∴m=1，
∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），
∴当2x+3=0时，即时，，
∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）如图，
连接OP，
设点P（m，-m2+2m+3），
设PD的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴，
∴PD的解析式为：y＝，
当x＝0时，y＝，
∴点N的坐标是（0，），
∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，
∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵
，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，
∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，
，
∴＝＝，
∴当时，，
当时，，∴点的坐标是（1，4）．
2023·湖北襄阳中考真题
在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．
(1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．
①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
②时，的最小值为2，求的值；
③当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
(2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①抛物线的解析式为，顶点的坐标为；②的值为或1；③取得最大值
(2)的取值范围为或
【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；
②分三种情况：当，即时，随增大而减小，当时，则若时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可；
③把代入，可得，设点，可得，进而可得，利用二次函数的性质即可求得答案；
（2）利用配方法可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，可得，，分两种情况：当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，则，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，同理可求得答案．
【详解】（1）∵抛物线经过原点，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
①抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
②当，即时，随增大而减小，
由题意得：，
解得：，（舍去），
∴的值为，
当时，则若时，的最小值为，不符合题意，
当时，随增大而增大，
由题意得：，
解得：（舍去），，
∴的值为1，
综上所述，的值为或1；
③由题意得：当时，则，
∵经过点，
∴，可得，
∴，
由，可得，，
设点，且，
∵轴，
∴，
可得：，则，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值；
（2）∵，
∴，
∵直线：经过点、，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴，
联立方程得：，
解得：，，
当时，，
∴，
当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，如图，
则，，
∵，
∴，
即，
∴，
化简得：，
令，
解得：（舍去），，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，如图，
则，，
∵，
∴，
即，
∴，
化简得：，
令，
解得：，（舍去），∴，∵，
∴，∴；综上所述，的取值范围为或．
题型四 【加权线段最值】
2023·四川内江·中考真题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
【答案】(1)
(2)存在，的最大值为，
(3)或
【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得 ，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有，解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，，．
故的最大值为，．
2023·黑龙江绥化·中考真题
如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．
(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)当时，的最大值为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把，，代入
得 ，解得
∴
把代入得
∴
（2）∵向右平移8个单位长度得到抛物线
当，即
解得：
∴，
∵过，，三点
∴
在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点
∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又
∴是等腰直角三角形
∴
∵点在抛物线上，且横坐标为
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴当时，的最大值为．
题型五 【几何构造最值篇】
2022·天津·统考中考真题
已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【答案】(1)①；②点M的坐标为，点G的坐标为；
(2)点和点；
【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；
（2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标；
【详解】（1）①∵抛物线与x轴相交于点，
∴．又，得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴点P的坐标为．
（2）由（1）知，又，
∴．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点P的坐标为．
∵直线与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为．
作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示：
得点的坐标为，点的坐标为．
当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，
此时，．
延长与直线相交于点H，则．
在中，．
∴．
解得（舍）．
∴点的坐标为，点的坐标为．
则直线的解析式为．
∴点和点．
\l "_Tc153829372" 题型一 【铅垂高系列】
\l "_Tc153829373" 2023·四川凉山·中考真题
\l "_Tc153829374" 2022·天津·中考真题
\l "_Tc153829375" 2022·湖北襄阳·统考中考真题
\l "_Tc153829376" 2023·湖南娄底·中考真题
\l "_Tc153829377" 2023·湖南中考真题
\l "_Tc153829378" 2023·青海西宁·中考真题
\l "_Tc153829379" 2023·四川广安·中考真题
\l "_Tc153829380" 2023·湖南永州·中考真题
\l "_Tc153829381" 2022·四川广元·中考真题
\l "_Tc153829382" 题型二 【线段和差最值篇】
\l "_Tc153829383" 2023·湖南张家界中考真题
\l "_Tc153829384" 2022·山东淄博·统考中考真题
\l "_Tc153829385" 2022·四川遂宁中考真题
\l "_Tc153829386" 题型三 【构造二次函数模型求最值】
\l "_Tc153829387" 2023·山东东营·中考真题
\l "_Tc153829388" 2023·四川巴中·中考真题
\l "_Tc153829389" 2023·湖南张家界中考真题
\l "_Tc153829390" 2023·山东聊城·中考真题
\l "_Tc153829391" 2022·湖北襄阳中考真题
\l "_Tc153829392" 2023·湖北荆州中考真题
\l "_Tc153829393" 2022·江苏连云港中考真题
\l "_Tc153829394" 2022·湖南岳阳·中考真题
\l "_Tc153829395" 2023·宁夏·中考真题
\l "_Tc153829396" 2023·湖北襄阳中考真题
\l "_Tc153829397" 题型四 【加权线段最值】
\l "_Tc153829398" 2023·四川内江·中考真题
\l "_Tc153829399" 2023·黑龙江绥化·中考真题
\l "_Tc153829400" 题型五 【几何构造最值篇】
\l "_Tc153829401" 2022·天津·统考中考真题
一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问
母题：如图，已知抛物线过A（4，0）、B（0，4）、C（－2，0）三点，P是抛物线上一点
求抛物线解析式
【答案】
【铅垂高系列】
本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是比较特殊所以单独拿出来
（☆）若P在直线AB上方，求四边形PBCA面积最大值，
【答案】16 补充二级结论
【思路分析】先分离出面积为定值的△ABC，△ABC面积为12
设P，
(上面的点减去下面的点)
当时，PH取最大值2，此时△APB面积为：(AO是△PBH，△PAH两个三角形高之和)
（☆）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，F在线段AB上，求PF最大值
【答案】
【思路分析】过P作PH平行y轴，H在AB上
导角可知△PFH~△AOB为等腰直角三角形，PH取最大时，PF也取到最大
（★）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，交线段AB于F，作PE∥y轴交AB于E，求△PEF周长和面积的最大值
【答案】2＋2和1
【思路分析】△PEF形状固定，
若P在直线AB上方，连接OP，交AB于D，求的最大值
【答案】
【思路分析】化斜为直，平行线，构造8字相似转换
（★☆）若P在直线AB上方，连接CP，交AB于D，△PDA面积为S1，△CDA面积为S2，求的最小值
【答案】
【思路分析】化斜为自
第一步：面积比转换为共线的边之比
第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比
（★☆）点D是点B关于关于x轴的对称点，连接CD，点P是第一象限上一点，求△PCD面积最大值
【答案】12
【思路分析】
过动点P作y轴平行线交对边(延长)于点H
推导过程如下：以PH为底，设△PHC的高为h1，△PDH的高为
【几何构造最值篇】
（☆）点E是对称轴与x轴交点，过E作一条任意直线l，（点B、C分别在直线l的异侧），设C、B两点到直线l的距离分别为m、n，求m＋n的最大值
【答案】2
【思路分析】
特殊位置时有最小值，大多数题目都是共线时有最值，所以要重点去分析共线时的情况
（☆）已知线段BC上有两点E(1，3)，F(3， 1)，试在x，y轴上有两动点M和N，使得四边形FMNE周长最小。
【答案】
【思路分析】作两次对称即可，普通将军饮马问题，
（★）若y轴上有两点M（0，a）和N（0，a＋2），求△CMN周长的最小值
【答案】
【思路分析】造桥选址问题，C点向上平移2个单位，得到平行四边形，
故，接下来就是常规的将军饮马了
（★☆）点D为抛物线顶点，直线AD上有一点Q，连接BQ，将△BDQ沿BQ折叠得△BD’Q，
求OD’的最小值
连接OD’，M是线段OD’的中点，求AM的最小值
【答案】①4－；②
【思路分析】(1)D’轨迹为圆（2）把A点变为中点，则AM是中位线，点圆最值问题
（★★☆）（隐圆）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DE⊥x轴于点E，设△ADE的内心为I，试求BI的最小值．
【答案】
【思路分析】易知△ADI≌△AOI(SAS)，∠AID＝∠AIO＝135°，而OA为定线段
则点I在以OA为弦，所含的圆周角等于135°的圆弧上，设该圆的圆心为F，连接FO，FA，∠OFA＝90°，故，
【构造二次函数模型求最值】
（☆）P在第一象限，作PQ∥x轴交抛物线于Q，过P、Q作x轴垂线交x轴于H、G两点，求矩形PQGH周长的最大值
【答案】
【思路分析】设点坐标，用字母表示长和宽
设，则，而P和Q点到对称轴的距离为，则，PQGH的周长为：
（★）在线段AC上有一点D，AB上有一点E，且DE∥BC，求△BDE面积的最大值
【答案】3
【思路分析】易知△ADE∽△ACB，利用相似比得出高之比
设AD＝3m，则E点到x轴的距离为2m，△BDE的面积为：
（★★☆）P是第一象限上一点，线段PC交BC于点D，交y轴于点E，△ADP和△BDE的面积分别为S1、S2，求S1－S2的最大值
【答案】
设，
则
（★★☆）抛物线对称交抛物线于点D，交x轴于点E，M是线段DE上的动点，
N(n，0)为x轴上一点，且BM⊥NM．
求n的变化范围
当n取最大值时，将直线BN向上平移t个单位，使线段BN与抛物线有两个交点，求t的取值范围．
【答案】（1），（2）
【思路分析】①由勾股定理构造出关于n的函数模型，
【详解】①设M坐标为(1，m)
∵，
整理得：，由可知，
②⇒设平移后：
分析：向上平移当N点落在抛物线上时，恰好有2个交点，
此时N点坐标为，则
继续向上平移，当△＝0，此时只有一个交点
综上
【加权线段最值】
（★） 若y轴上有一动点M，求AM＋BM的最小值及M点坐标
【答案】，M（0，2）
【思路分析】胡不归问题，作垂直代换加权线段即可
作MH⊥BC于H，则，AG即所求
【法一：等面积】，再由相似求出M点坐标
法二：，再由三角函数求M点坐标
法三：求出AG解析式
（★）若动点 D 从点 A 出发先以V1的速度朝 x 轴负方向运动到 G，再以V2的速度向B 点运动，且V1＝ 2V2，当运动时间最短时，求点 G 的坐标（V1为定值）
【答案】
【思路分析】还是胡不归问题，只不过需要翻译成加权线段和
【简析】设运动总时间为t，
以A为顶点，在x轴下方构造一个30°的角，作垂线即可进行代换，，当时取到最小值．
（☆☆）将线段CO绕O点进行旋转，得线段C’O，在旋转过程中，求＋的最小值．
【答案】
【思路分析】通过构造子母型相似代换，阿氏圆模型
取点，通过SAS可知，相似比为2，故，
＋＝
（★☆）点D（3，4），G是x轴上一动点，求GD－AG的最小值
【答案】
【思路分析】相减型胡不归，反方向构造相关角
如图，作于E，易知，，
当G，D，E三点共线时取到最小值，此时，，
题型一 【铅垂高系列】
2023·四川凉山·中考真题
如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点，取得最大值时，求的值和的最大值
【答案】(1)
(2)①当时，有最大值，最大值为；②或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴抛物线顶点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，
∴，设直线的解析式为，
∴，∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，与直线交于点
∴，
∴ ，
∵，∴当时，有最大值，最大值为；
2022·广东·统考中考真题）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1)
(2)2；P（-1，0）
【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．
【详解】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，
顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，
∵P在线段AB上，
∴，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
2022·天津·中考真题
已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
(1)若，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标
【答案】(1)①；②点M的坐标为，点G的坐标为；
【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；
（2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标；
【详解】（1）①∵抛物线与x轴相交于点，
∴．又，得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴点P的坐标为．
②当时，由，
解得．
∴点B的坐标为．
设经过B，P两点的直线的解析式为，
有解得
∴直线的解析式为．
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示：
∴点M的坐标为，点G的坐标为．
∴．
∴当时，有最大值1．
此时，点M的坐标为，点G的坐标为．
2022·湖北襄阳·统考中考真题
在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．
(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
【答案】（1）∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，-2m）．
∵，
∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）．
令x=0，则，
∴．
①当m=2时，-2m=-4，则，
∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②由上可知，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为，
如图，过点P作轴交直线AB于点E．
设点P的横坐标为t，
∴，，
∴，
∴△PAB的面积=，
∵-1＜0，∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）
2023·湖南娄底·中考真题
如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．
(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点,当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值.
【答案】(1)，
(2)当时，的面积由最大值，最大值为
【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解；
（2）由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解；
【详解】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，
∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，∵，∴当时，的面积有最大值，最大值为
2023·湖南中考真题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的长，根据二次函数的性质求得的最大值，根据即可求解；
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
则，，
∴，当时，取得最大值为，
∵，
∴当取得最大值时，最大，
∴，∴面积的最大值
2023·青海西宁·中考真题
如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．
(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值是，此时的P点坐标是
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解．
【详解】（1）解：设直线l的解析式为，
把A，B两点的坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线l的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
把A，B两点坐标代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵ ，
∴．
∵在中，
∴．
∵轴，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
设点P的坐标为，则，
∴．
∵，∴当时，有最大值是，此时最大，
∴，
当时，， ∴，
∴的最大值是，此时的P点坐标是．
2023·四川广安·中考真题
如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为，此时
【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可；
（2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；
【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数经过点，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，∴；
设直线的解析式为，∴，∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，∴当时，最大，最大值为，∴此时点P的坐标为
2023·湖南永州·中考真题
如图，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，直线交于点，求的最大值；
【答案】(1),(2),(3)
【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，，值，即可求出抛物线解析式．
（2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用表达长度，在观察图形可知，将其和长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值．
【详解】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，
，，，
，，抛物线的解析式为：．
故答案为：．
（2）解：过点作轴于点，如图所示，
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
，，
设直线的解析式为：，则，，
直线的解析式为：．
在直线上，，
在直线上，的解析式为：，
，．
，
．
，
．
，，
当时， 有最大值，且最大值为： ．故答案为：．
2022·四川广元·中考真题
在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
(1)求a，b满足的关系式及c的值；
(2)当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
【答案】(1)2a=b+1，c=-2；(2)△PAB的周长最小值是2+2；(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为．
【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；
（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，
∴，∴2a=b+1，c=-2；
（2）解：当a=时，则b=-，∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，
抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A的坐标为(-2，0)，∴点C的坐标为(4，0) ，
△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，
∵点A、C关于直线x=1对称，
∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
由勾股定理得BC=2，AB=2，
∴△PAB的周长最小值是：2+2．
（3）解：当a=1时，b=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，
∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED=EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ=QE=-(t2+2t)= -(t+1)2+，
当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）．
已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接，点P在线段下方的抛物线上运动．
(1)如图1，连接，，若，求点P的坐标．
(2)如图2，过点P作轴交于点Q，交于点H，求周长的最大值．
【答案】(1)或；(2)最大值为；
【分析】（1）如图，作轴，交直线于点D，由，得，，待定系数法确定直线解析式为，设，则，，得，解得或3，于是或．
（2）如图，可证得是等腰直角三角形，，周长，同（1），设，周长，得当时，最大值为．
【详解】（1）解：如图，作轴，交直线于点D，
由，时，，得，
，则，解得或，得,
设直线解析式为，则，解得
∴
设，则，
∴，
解得，或3，或
∴或．
（2）解：如图，，
∴
∵轴
∴
∴
∴
∴周长
同（1），设，则，
∴周长
∴当时，点P在线段下方的抛物线上，此时周长有最大值，最大值为．
题型二 【线段和差最值篇】
2023·湖南张家界中考真题
如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；(2)如图，求周长的最小值；
【答案】(1),(2)
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，∵O、E关于直线对称，∴四边形为正方形，
∴， 连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
2022·四川遂宁中考真题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值
【答案】(1)
(2)周长的最小值为
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，连接、、，由对称的性质可知当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度，再证明为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可；
【详解】（1）∵，在上，
∴，∴，∴抛物线的解析式为．
（2）如图，设为D关于直线的对称点，为D关于直线BC的对称点，
连接、、，
由对称的性质可知，，
的周长为，
∴当、E、F、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长度．
令，则，解得，．
∴B的坐标为，
∴，为等腰直角三角形．
∵BC垂直平分，且D的坐标为，
∴．
又∵D、关于x轴对称，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
2022·山东淄博·统考中考真题
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值
【答案】(1)y =x²+2x+3
(2)最大值
【分析】（1）利用顶点式可得结论；
（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J，设，，推出最大时，的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论；
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为D（1，4），
∴根据顶点式，抛物线的解析式为；
（2）解：如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，
BD交PM于点J，设，
点，在直线l：上，∴，∴，
∴直线DT的解析式为，
令，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴最大时，的值最大，
∵，，∴直线BD的解析式为，
∴，∴，
∵
，
∵二次项系数，
∴时，最大，最大值为11，∴的最大值
题型三 【构造二次函数模型求最值】
2023·山东东营·中考真题
如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，∴点C的坐标为．将点C坐标代入表达式，得，解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，∴．
当时，．
∴矩形的周长为．
∵，∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
2023·四川巴中·中考真题
在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，进而分别表示出，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质，，即可求得最大值；
【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为
对称轴为
与x轴另一交点为
∴设抛物线为
∴抛物线的表达式为
（2）在抛物线上
∴设
在第一象限
∴当时，有最大值为
2023·湖南张家界中考真题
如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
如图，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】，
【分析】由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．
【详解】由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入中，，解得，
∴直线的表达式为，
同理可得：直线的表达式为，
∵，
∴设直线表达式为，
由（1）设，代入直线的表达式
得：，
∴直线的表达式为：，
由，得，
∴，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当时，此时P点为.
．
2023·山东聊城·中考真题
如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)时，有最大值，最大值为．
【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；
（2）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为．
【详解】（1）将，代入，得，解得
∴抛物线解析式为：
（2）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线：
同理由点，，可求得直线 ：
设点，，
则，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵，∴时，，有最大值，最大值为．
2022·湖北襄阳中考真题
在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．
在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．
【答案】(2)①或；②13
【分析】对于（2），由（1）可知，点B，C的坐标，再根据点C在线段MB上，分两种情况讨论，求出①的答案即可；对于②，根据①中的情况分别表示BC，再配方二次函数的性质求出答案即可．
【详解】知B（0，-2m），C（0，-m2+2），
①∵y轴上有一点，点C在线段MB上，
∴需分两种情况讨论：
当时，解得：，
当时，解得：，
∴m的取值范围是或；
②当时，
∵，
∴当m=1时，BC的最大值为3；
当时，
∴，
当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13，
∴BC的最大值是13．
2023·湖北荆州中考真题
已知：关于的函数．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)0或2或
(2)①6，②存在，
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值．
（2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积．
②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．
【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，，．
综上所述，或0．故答案为：0或2或．
（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．
依题意得：，解得：
抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，，，当时，有最大值，最大值为．
2022·江苏连云港中考真题
已知二次函数，其中．
(1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；
(2)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)最大值为
【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，可以推出,由此即可求解．
【详解】（1）解：将代入，
解得．
由，则符合题意，
∴，
∴．
（2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴二次函数的顶点在第三象限．
（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为
当时，，
∴．
将代入，
解得．
∵在轴的负半轴上，
∴．
∴．
过点作，垂足为，
∵，
∴．
在中，
,
∴当时，此时，面积有最大值，最大值为．
2022·湖南岳阳·中考真题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
(3)如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．
①求点和点的坐标；
②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值．
【答案】(1)，(2)，(3)①或；②16
【分析】（1）将点和点代入，即可求解；
（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
（3）①通过联立方程组，求出点和点坐标即可；
②求出直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，，则，，可求，，由，分别求出的最大值4，的最大值4，即可求解．
【详解】（1）解：将点和点代入，
∴，解得，
∴．
（2）∵，
∴抛物线的顶点，
∵顶点关于原点的对称点为，
∴抛物线的解析式为，
∴．
（3）由题意可得，抛物线的解析式为，
①联立方程组，
解得或，
∴或；
②设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图所示：
设，，
则，，
∴，
，
∵，，
∴当时，有最大值，
当时，有最大值，
∵，
∴当最大时，四边形面积的最大值为16．
2023·宁夏·中考真题
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点，的最小值为
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
（2）当时，，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
（3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，
∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，点的坐标是（1，4），．过程见解析
【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果；
（3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．
【详解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，
-9+6m+3m=0，
∴m=1，
∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），
∴当2x+3=0时，即时，，
∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）如图，
连接OP，
设点P（m，-m2+2m+3），
设PD的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴，
∴PD的解析式为：y＝，
当x＝0时，y＝，
∴点N的坐标是（0，），
∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，
∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵
，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，
∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，
，
∴＝＝，
∴当时，，
当时，，∴点的坐标是（1，4）．
2023·湖北襄阳中考真题
在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．
(1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．
①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
②时，的最小值为2，求的值；
③当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
(2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①抛物线的解析式为，顶点的坐标为；②的值为或1；③取得最大值
(2)的取值范围为或
【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；
②分三种情况：当，即时，随增大而减小，当时，则若时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可；
③把代入，可得，设点，可得，进而可得，利用二次函数的性质即可求得答案；
（2）利用配方法可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，可得，，分两种情况：当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，则，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，同理可求得答案．
【详解】（1）∵抛物线经过原点，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
①抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
②当，即时，随增大而减小，
由题意得：，
解得：，（舍去），
∴的值为，
当时，则若时，的最小值为，不符合题意，
当时，随增大而增大，
由题意得：，
解得：（舍去），，
∴的值为1，
综上所述，的值为或1；
③由题意得：当时，则，
∵经过点，
∴，可得，
∴，
由，可得，，
设点，且，
∵轴，
∴，
可得：，则，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值；
（2）∵，
∴，
∵直线：经过点、，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴，
联立方程得：，
解得：，，
当时，，
∴，
当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，如图，
则，，
∵，
∴，
即，
∴，
化简得：，
令，
解得：（舍去），，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，如图，
则，，
∵，
∴，
即，
∴，
化简得：，
令，
解得：，（舍去），∴，∵，
∴，∴；综上所述，的取值范围为或．
题型四 【加权线段最值】
2023·四川内江·中考真题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
【答案】(1)
(2)存在，的最大值为，
(3)或
【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得 ，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有，解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，，．
故的最大值为，．
2023·黑龙江绥化·中考真题
如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．
(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)当时，的最大值为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把，，代入
得 ，解得
∴
把代入得
∴
（2）∵向右平移8个单位长度得到抛物线
当，即
解得：
∴，
∵过，，三点
∴
在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点
∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又
∴是等腰直角三角形
∴
∵点在抛物线上，且横坐标为
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴当时，的最大值为．
题型五 【几何构造最值篇】
2022·天津·统考中考真题
已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【答案】(1)①；②点M的坐标为，点G的坐标为；
(2)点和点；
【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；
（2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标；
【详解】（1）①∵抛物线与x轴相交于点，
∴．又，得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴点P的坐标为．
（2）由（1）知，又，
∴．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点P的坐标为．
∵直线与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为．
作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示：
得点的坐标为，点的坐标为．
当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，
此时，．
延长与直线相交于点H，则．
在中，．
∴．
解得（舍）．
∴点的坐标为，点的坐标为．
则直线的解析式为．
∴点和点．
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