专题3-5 二次函数压轴：焦点与准线，动点面积，含参二次函数 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

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TOC \ "1-4" \n \h \z \u \l "_Tc155367672" 【题型1】焦点与准线
\l "_Tc155367673" 例题12－1
\l "_Tc155367674" 例题12—2
\l "_Tc155367675" 湘潭市·中考真题
\l "_Tc155367676" 广东深圳·中考真题
\l "_Tc155367677" 四川自贡·中考真题
\l "_Tc155367678" 宜宾·中考真题
\l "_Tc155367679" 山东滨州·中考真题
\l "_Tc155367680" 2023·湖北鄂州中考真题
\l "_Tc155367681" 2022·湖北鄂州中考真题
\l "_Tc155367682" 【题型2】焦半径倒数和为定值
\l "_Tc155367683" 广西南宁·中考真题
\l "_Tc155367684" 【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切
\l "_Tc155367685" 2023·湖南怀化中考真题
\l "_Tc155367686" 湖南张家界·中考真题
\l "_Tc155367687" 【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断
\l "_Tc155367688" 2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题
\l "_Tc155367689" 2023·辽宁鞍山中考真题
\l "_Tc155367690" 2023·黑龙江绥化中考真题
\l "_Tc155367691" 2023·江苏南通中考真题
\l "_Tc155367692" 2023·辽宁锦州中考真题
\l "_Tc155367693" 2023·辽宁盘锦中考真题
\l "_Tc155367694" 【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式
\l "_Tc155367695" 2023·广东广州中考真题
\l "_Tc155367696" 2022·吉林中考真题
\l "_Tc155367697" 广东深圳·中考真题
\l "_Tc155367698" 2023·辽宁大连中考真题
\l "_Tc155367699" 2022·四川绵阳中考真题
\l "_Tc155367700" 【题型6】 解答题压轴题纯含参二次函数问题
\l "_Tc155367701" 2023年浙江省绍兴市中考真题
\l "_Tc155367702" 2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考真题
\l "_Tc155367703" 2023年浙江省丽水市中考真题
\l "_Tc155367704" 2023年江苏省南通市中考真题
\l "_Tc155367705" 2023年江苏省淮安市中考真题
\l "_Tc155367706" 2022•北京中考真题
\l "_Tc155367707" 2022•安顺中考真题
\l "_Tc155367708" 2022•长沙中考真题
\l "_Tc155367709" 2022•广州中考真题
\l "_Tc155367710" 2022•贵阳中考真题
\l "_Tc155367711" 2022•天津中考真题
\l "_Tc155367712" 2022•嘉兴中考真题
\l "_Tc155367713" 2022•杭州中考真题
\l "_Tc155367714" 2022•连云港中考真题
二次函数的焦点与准线
我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等．这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本文将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的问题．焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的．
我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线
结论1：对于抛物线焦点坐标为，准线为直线
焦点一般用字母F表示．而且实际题目中二次项系数很多时候是只是为了焦点坐标便于计算．
至于形如的抛物线可化为顶点式然后通过由平移来确定焦点和准线．
结论2：如下图，FM⊥FN．
证明：设，，则，
∴，
∴FM⊥FN．
结论3：取PQ中点E，作EH⊥x轴交x轴于H点，则PH⊥QH．
证明：倍长中线证两次全等．
结论4：记MN与y轴交于点，．
【题型1】焦点与准线
例题12－1
已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等．如图，点的坐标为，是抛物线上的一个动点，求周长的最小值．

【答案】
【分析】过点作轴于点，交抛物线于点，由点在抛物线上可得出，结合点到直线之间垂线段最短以及为定值，即可求得周长的最小值．
【详解】解：如图，过点作轴于点，交抛物线于点，此时的周长最小．

∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，；
由题意，得，
所以周长的最小值．
例题12—2
我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x，y)到定点的距离与它到定直线的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线
(1)已知动点M(x，y)到定点A(0，4)的距离与到定直线y＝－4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．
(2)若点D的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA＋PD最短?若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】
(1)由题意得：，
过点M作MB⊥直线y＝4，垂足记为B点，则MB＝|y－(－4)|＝|y＋4|，
两边平方，化简得：
故M点形成的抛物线的解析式为
（2）过P点做⊥直线故求PA+PD最短，即求PQ+PD最短．
过点D作直线的垂线，与抛物线交点即为P点，垂足为Q，此时PQ+PD最短，
为最小值，此时P点坐标为．
湘潭市·中考真题
如图，点P为抛物线上一动点
(1)若抛物线是由抛物线通过图像平移得到的，请写出平移的过程；
(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作于M．
①问题探究：如图一，在对称轴．上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立?若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1，5)，求QP+PF的最小值．
【答案】（1）向上平移1个单位，再向右2个单位；（2）①（0，1），②6
【详解】分析：（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．
（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；
②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．
详解：（1）∵抛物线的顶点为（﹣2，﹣1）
∴抛物线的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线 的图象．
（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．
法一：先考虑特殊位置找出F点，再证明一般情况成立
考虑特殊位置，当P点在顶点B时，可得F点坐标为(0，1)或(0，-1)(舍掉)，以下证明P在抛物线任意位置，均满足PF=PM：
没P点坐标为，则，
，，
∴当F点坐标为(0，1)时，恒成立.
法二：如图一，过点P作PB⊥y轴于点B
设点P坐标为,∴,∵
∴ 中
∴OF=1∴点F坐标为（0，1）
②由①，PM=PF，的最小值为 的最小值
当Q、P、M三点共线时，QP+QM有最小值为点Q纵坐标与M纵坐标绝对值的和6．
∴QP+PF的最小值为6．
广东深圳·中考真题
如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求解抛物线解析式；
（2）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，．
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n），则有、进而求得ME，然后分别通过线段的和差和勾股定理求得MF的长，然后得到等式、化简、对比即可求得t即可．
【详解】解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：
，解得：
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；
（2）假设存在，设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n）
∴
∴
∴
而
∴
∴
∴=-
∴，即
∴．
四川自贡·中考真题
如图，已知直线AB与抛物线相交于点A(－1，0)和点B(2，3)两点
(1)求抛物线C函数表达式；
(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于
到直线的距离?若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】⑴；⑵存在. 当时，无论取任何实数，均有. 理由见解析.
【分析】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，
得，，解得a=-1，c=3，∴此抛物线C函数表达式为：；
（2）问题已经很明显了，是抛物线准线，我们要求的F是焦点．
易求抛物线对称轴为直线x=1，不妨取特殊位置得到结果，再证明．
当点P在抛物线顶点时，P点坐标为(1，4)，此时点P到直线的距离为故此时点P到点F的距离也为满足条件的F点坐标有考虑到在直线上，故需舍去，
F点可能的坐标只有
【常规法】：∴对称轴为直线x=1， 当y=0时，x1=-1，x2=3，
∴抛物线与x轴正半轴交于点C（3，0），
如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，
抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF=BN=-3=，CF=CH=，
由题意可列：，解得，a=，∴F（1，）．
宜宾·中考真题
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝－1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)知为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与
点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【分析】(1)抛物线：
(2)不难猜测直线1是抛物线的准线，所求F点为抛物线焦点．
当M点在顶点位置时，M点到直线l的距离为1，故此时F点应为(2，1)．
下证明M在抛物线任意位置，均有点M到直线l的距离与点M到点F的距离相等．
山东滨州·中考真题
如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），
【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，－1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x－2）2－1，把点B坐标代入求出a即可．
（2）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：（1）设抛物线的函数解析式为
由题意，抛物线的顶点为
又抛物线与轴交于点
抛物线的函数解析式为
（2）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．
∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝，
∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，
∵QF＝QH，
∴DQ+DF＝DQ+QH，
根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，
∴DQ+QH的最小值为6，
∴△DFQ的周长的最小值为，此时Q（4，－）．
2023·湖北鄂州中考真题
某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．

【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)
(4)
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解；
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得；
（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积．
【详解】（1）解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
故答案为：，；
（2）解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，
∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴，整理得：，
又∵，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为，
将代入解得：，
∴直线的解析式为，
∵点是直线和抛物线的交点，
令，解得：，（舍去），
故点的坐标为，
∴，
∵点是直线和直线m的交点，
令，解得：，
故点的坐标为，
∴，
．
即的最小值为．
（4）解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：

若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：

∵点的坐标为，准线，
∴点的横坐标为，代入解得，
即，，
则的面积为．
2022·湖北鄂州中考真题
某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝ ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
(1)【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．
(2)【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
(3)【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
(4)【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
【答案】(1)（0，），，
(2)，4）或（，4 ）
(3)
(4)或
【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；
（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；
（3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（，），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN＝MF，
先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH＝MN，设点M的坐标为（m，），则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积．
【详解】（1）解：由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），，
故答案为：（0，），，
（2）解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当时，，
解得，
∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）；
（3）解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，
由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，
∴，，
∴△FDB∽△FHC，
∴，
∵BC＝2BF，
∴CF＝3BF，
∴，
∴，
∴，
∴点B的纵坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF＝2，
∴，
∴点A的坐标为（，），
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；
（4）解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN＝MF，
∵在Rt△MNH中，，
∴∠MHN＝45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH＝MN，
设点M的坐标为（m，），
∴，
∴，
∴HN＝2，
∵点E是靠近点F的黄金分割点，
∴，
∴；
同理当E时靠近H的黄金分割点点，，
∴，
∴，
综上所述，或
【题型2】焦半径倒数和为定值
广西南宁·中考真题
如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y＝kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO＝AM；
（3）探究：
①当k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．
【答案】解：（1）y＝x2﹣1
（2）详见解析
（3）详见解析
【分析】（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解．
（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证．
（3）①k＝0时，求出AM、BN的长，然后代入计算即可得解；
②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1．
（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），
则．
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2．
∴AM＝m2﹣1﹣（﹣2）＝m2+1．
∴AO＝AM．
（3）①k＝0时，直线y＝kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM＝BN＝0﹣（﹣2）＝2，
∴．
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则．
联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4＝0，
由根与系数的关系得，x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16k2+8，x12•x22＝16．
∴．
∴无论k取何值，的值都等于同一个常数1．
【题型3】焦点弦为直径的圆与准线相切
2023·湖南怀化中考真题
如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得：，得出，则，设点到的距离为，则，依题意，，，得出，则，，点总在上，为直径，且与相切，即可得证．
【详解】（1）解：将代入，得
，解得：，∴抛物线解析式为：；
（2）解：设、，的中点坐标为，
联立，消去，整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点到的距离为，则，
∵、，
∴，
∴
∴，
∴

∴，
∴点总在上，为直径，且与相切，
∴为直角．
∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
湖南张家界·中考真题
如图，已知二次函数a为实数)的图像过点A(－2，2)，一次函数y＝kx＋b(k≠0，k、b为实数)的图像1经过点B(0，2)．
(1)求a值并写出二次函数表达式；
(2)求b值；
(3)设直线1与二次函数图像交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：
MB＝MC；
(4)在(3)的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
【题型4】动点运动时间与面积之间的函数图像判断
2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题
如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，
故选：A．
2023·辽宁鞍山中考真题
如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出在点左侧时的两段图象，即可得出结论．
【详解】解：当在点左侧，即：时：
①当正方形的边在的外部时，重叠部分为矩形，如图：

设分别交于点，
∵垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，
∴，
∵在矩形中，，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，图象为开口向下的一段抛物线；
②当正方形的边在的内部时，与重叠部分即为正方形，如图：

由①可知：，
∴，图象是一段开口向上的抛物线；
当过点时，即时，重合，此时，；
综上：满足题意的只有B选项
2023·黑龙江绥化中考真题
如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，
当时，在上，

菱形中，，，
∴，则是等边三角形，
∴，
∵，
∴，又
∴
∴
∴，
∴
当时，在上，

∴，
综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分，
故选：A．
2023·江苏南通中考真题
如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）

A．54B．52C．50D．48
【答案】B
【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．
【详解】解：当时，由题意可知，
，
在中，由勾股定理得，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
当时，由题意可知，，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
．

故选：B．
2023·辽宁锦州中考真题
如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分，， 三种情况，分别求出函数解析即可判断．
【详解】解：过点D作于H，
，
∵，，
∴，
∴
当时，
如图，重叠部分为，此时，，
，
∴，
∴，即，
∴
∴；
当时，
如图，重叠部分为四边形，此时，，

∴，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
当 时
如图，重叠部分为四边形，此时，，

∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，
综上，，
∴符合题意的函数图象是选项A．
2023·辽宁盘锦中考真题
如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．
【详解】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，
，，
，
，
，，，
设直线的解析式为，将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为．
轴，
N的横坐标为x，
（1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，
，
，
，
该段图象为开口向上的抛物线；
（2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为，
，
该段图象为直线；
（3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，
由，可得直线的解析式为，
，，
，
，
该段图象为开口向下的抛物线；
观察四个选项可知，只有选项A满足条件
【题型5】求运动时间与面积之间的函数表达式
2023·广东广州中考真题
如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是 ．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是 ．

【答案】
【分析】根据三角形中位线定理可得，设，从而，由此得到四边形是平行四边形，结合边上的高为，即可得到函数解析式，进而得到答案．
【详解】解：∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
如图，设，

由题意得，，且，
∴，
又F、G分别是的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
由题意得，与的距离是，
∴，
∴边上的高为，
∴四边形面积，
∵，
∴，
故答案为：，．
2022·吉林中考真题
如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为．
(1)当点在边上时，的长为 ；（用含的代数式表示）
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【答案】(1)2x
(2)1
(3)
【分析】（1）先证明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根据题意有AP=2x，即PQ=2x；
（2）当M点在BC上，Q点在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再证明△MNB是等边三角形，即有BN=MN，根据AB=6x=6cm，即有x=1（s）；
（3）分类讨论：当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，求出菱形的面积即可；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN的面积减去等边△MEF的面积，求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可，此时需要求出当Q点在C点时的临界条件；当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，重叠部分的面积就是△PBQ的面积，求出等边△PBQ的面积即可．
【详解】（1）当Q点在AC上时，
∵∠A=30°，∠APQ=120°，
∴∠AQP=30°，
∴∠A=∠AQP，
∴AP=PQ，
∵运动速度为每秒2cm，运动时间为x秒，
∴AP=2x，
∴PQ=2x；
（2）当M点在BC上，Q点在AC上，如图，
在（1）中已求得AP=PQ=2x，
∵四边形QPMN是菱形，
∴PQ=PN=MN=2x，，
∵∠APQ=120°，
∴∠QPB=60°，
∵，
∴∠MNB=∠QPB=60°，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△MNB是等边三角形，
∴BN=MN，
∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm，
∴x=1（s）；
（3）当P点运动到B点时，用时6÷2=3（s），
即x的取值范围为：，
当M点刚好在BC上时，
在（2）中已求得此时x=1，
分情况讨论，
即当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，
∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，
过Q点作QG⊥AB于G点，如图，
∵∠APQ=120°，
∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°，
∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，
∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为，即为：；
当x＞1，且Q点在线段AC上时，
过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，如图，
∵，
∴∠MNB=∠QPN=60，
∵∠B=60°，
∴△ENB是等边三角形，
同理可证明△MEF是等边三角形
∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF，
∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6，
∴BN=6-AN=6-4x，
∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6，
∵MH⊥EF，
∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=，
∴△MEF的面积为：，
QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，
∵菱形PQMN的面积为，
∴重叠部分的面积为，
当Q点与C点重合时，可知此时N点与B点重合，如图，
∵∠CPB=∠CBA=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴PC=PB，
∵AP=PQ=2x，
∴AP=PB=2x，
∴AB=AP+PB=4x=6，
则x=，
即此时重合部分的面积为：，；
当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，如图，
∵AP=2x，
∴PB=AB-AP=6-2x，
∵∠QPB=∠ABC=60°，
∴△PQB是等边三角形，
∴PQ=PB，同时印证菱形PQMN的顶点N始终与B点重合，
∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=，
∴，
∴此时重叠部分的面积，
综上所述：．
广东深圳·中考真题
如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求解抛物线解析式；
（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；
【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；（2）分0