2022-2023学年安徽省安庆九一六学校高一（下）第五次调研数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省安庆九一六学校高一（下）第五次调研数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数据7.0，8.2，8.3，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的30%分位数为( )
A. 8.2B. 8.24C. 8.25D. 8.3
2.直径为4的半球形容器，装满水然后将水全部倒入底面直径和高均为4的圆柱容器.则圆柱容器中水面的高度为( )
A. 1B. 23C. 43D. 2
3.设复数z满足z(2−i)=1+bi(b∈R)，若z为纯虚数.则z=( )
A. −iB. iC. −5iD. 5i
4.某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为( )
A. 7.6B. 7.8C. 8D. 8.2
5.在△ABC中，AB=AC=1，∠A=90°，则AB⋅BC=( )
A. 1B. −1C. 2D. − 2
6.已知直线l，m和平面α，β，下列命题正确的是( )
A. 若l/​/α，l/​/β，则α/​/β
B. 若l⊥α，l⊥β，则α/​/β
C. 若l⊥α，l⊥m，则m/​/α
D. 若l⊂α，m⊂α，l/​/β，m//β，则α/​/β
7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1，∠BAC=60°，则直线AB1与BC所成角的余弦值等于( )
A. 22
B. 32
C. 24
D. 0
8.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=c−2acsB.则角A的取值范围是( )
A. (0,π4)B. (0,π6)C. (π6,π4)D. (π4,π3)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的为( )
A. 共线的两个单位向量相等
B. 若a/​/b，b/​/c，则a/​/c
C. 若AB//CD，则一定有直线AB/​/CD
D. 若向量AB，CD共线，则点A，B，C，D不一定在同一直线上
10.已知i为虚数单位，复数z1=a−2i，z2=2+ai(a∈R)，下列结论正确的有( )
A. |z1|=|z2|B. z1−=z2
C. 若2(z1+z2)=z1⋅z2，则a=2D. 若z1z2为实数，则a=2
11.为了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 样本的众数为6712
B. 样本的中位数为6623
C. 样本的平均值为66
D. 该校男生体重超过70公斤的学生大约为600人
12.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，点Q为B1C1的中点，点N为DD1的中点，则下列结论正确的是( )
A. CQ与BN为异面直线
B. CQ⊥C1D1
C. 直线BN与平面ABCD所成角为30°
D. 三棱锥Q−NBC的体积为23
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=3，b=2c，A=2π3，则△ABC的面积为______．
14.已知向量a=(t−2,3)，b=(3,−1)，且(a+2b)//b，则|a|= ______．
15.在复平面内，复数z满足|z|=2，i为虚数单位，则|z−3+4i|的最小值为 ．
16.已知样本容量为5的样本的平均数为3，方差为185，在此基础上获得新数据9，把新数据加入原样本得到样本容量为6的新样本，则该新样本的方差为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)已知向量a=(m,3)，b=(3,−n)，若a+2b=(7,1)，求mn的值；
(2)已知向量a=(1, 3)，b=(3,m)且b在a方向上的投影为−3，求向量a与b的夹角．
18.(本小题12分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1．
(Ⅰ)求证：B1C⊥BD1
(Ⅱ)求直线AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，⋯，[4,4.5]分成9组，制成了如图的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)估计居民月均用水量的中位数；
(3)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由．
20.(本小题12分)
已知向量a=( 3sinx,csx)，b=(sin(x+π2),csx).设f(x)=a⋅b．
(1)求函数y=f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若f(A)=1，b=4，三角形ABC的面积为2 3，求边a的长．
21.(本小题12分)
在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90∘，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．
⑴证明：平面ACD⊥平面ABC；
⑵Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=23DA，求三棱锥Q−ABP的体积．
22.(本小题12分)
如图所求，四棱锥P−ABCD，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB中点．
(1)求证：PC//平面BFD；
(2)已知M点在PD上满足EC/​/平面BFM，求PMMD的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：数据已从小到大排列，共8个数，
8×30%=2.4，
即该组数据的第30百分位数是从左往右第三个数8.3．
故选：D．
利用百分位数定义求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：设水的体积为V，圆柱的底面面积为S，水面的高度为h，
由已知V=12×43×π×23=163π，S=π×22=4π，
故水面高度h=16π3÷4π=43．
故选：C．
由球的体积公式求出水的体积，结合圆柱的体积公式求水面高度．
本题考查球和圆柱的体积，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：由z(2−i)=1+bi，
得z=1+bi2−i=(1+bi)(2+i)(2−i)(2+i)=2−b5+(2b+1)5i，
因为z为纯虚数，
所以2−b=02b+1≠0，解得b=2，
所以z=i．
故选：B．
先根据复数的除法运算化简z，再根据纯虚数的定义求出b，即可得解．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，
又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，
又极差为3，所以最小数字为6，
所以这组数据为6、7、8、9、9，
所以平均数为6+7+8+9+95=7.8．
故选：B．
首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得．
本题主要考查平均数公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：AB⋅BC=AB⋅(BA+AC)=−AB2+AB⋅AC=−1，
故选：B．
利用AB⋅BC=AB⋅(BA+AC)=−AB2+AB⋅AC即可求解．
本题考查了平面向量数量积，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，属于基础题．
对于A，α与β相交或平行；对于B，由面面平行的判定定理得α/​/β；对于C，m/​/α或m⊂α；对于D，α与β相交或平行．
【解答】
解：直线l，m和平面α，β，
对于A，若l/​/α，l/​/β，则α与β相交或平行，故A错误；
对于B，若l⊥α，l⊥β，则由面面平行的判定定理得α/​/β，故B正确；
对于C，若l⊥α，l⊥m，则m/​/α或m⊂α，故C错误；
对于D，若l⊂α，m⊂α，l/​/β，m//β，则α与β相交或平行，故D错误．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：连接AC1，
因为BC/​/B1C1，所以直线AB1与BC所成的角为∠AB1C1或其补角，
设AB=a，易得AB1= 2a，AC1= 2a，B1C1=a，则由余弦定理知，
cs∠AB1C1=AB12+B1C12−AC122AB1⋅B1C1=2a2+a2−2a22 2a ⋅ a= 24．
故选：C．
连接AC1，根据直三棱柱的性质得到直线AB1与BC所成的角即为∠AB1C1或其补角，设AB=a，然后利用余弦定理解求解．
本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：若a=c−2acsB，
则sinA=sinC−2sinAcsB=sin(A+B)−2sinAcsB=sinAcsB+sinBcsA−2sinAcsB=sin(B−A)，
因为A，B为锐角，
所以−π2所以B=2A，C=π−3A，
所以0故选：C．
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得A=2B，C=π−3A，结合锐角三角形条件可求A的取值范围．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：共线的两个单位向量不一定相等，方向可能相反，故A错误；
当b=0时，由a/​/b，b/​/c，不一定得到a/​/c，故B错误；
若AB//CD，则直线AB/​/CD或直线AB与直线CD重合，故C错误；
若向量AB，CD共线，则点A，B，C，D不一定在同一直线上，故D正确．
故选：ABC．
由相等向量与共线向量的定义逐一分析四个选项得答案．
本题考查向量相等与向量共线，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：A选项，|z1|= a2+4=|z2|，A选项正确．
B选项，当a≠2时，z1−=a+2i≠z2，B选项错误．
C选项，2(z1+z2)=2a+4+(2a−4)i，z1⋅z2=4a+(a2−4)i，
若2(z1+z2)=z1⋅z2，则2a+4=4a2a−4=a2−4，解得a=2，所以C选项正确．
D选项，z1⋅z2=4a+(a2−4)i，若z1z2为实数，则a2−4=0，解得a=±2，所以D选项错误．
故选：AC．
根据复数运算、共轭复数、复数相等，复数的代数形式，即可求解．
本题主要考查复数运算，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，观察频率分布直方图可知样本的众数为65+702=6712，故A正确；
对于B，设样本的中位数为x，观察频率分布直方图可知该中位数位于(65,70]之间，
则有5×0.03+5×0.05+(x−65)×0.06=0.5，
解得x=6623，故B正确；
对于C，由直方图估计样本平均值为：
57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.3+72.5×0.2+77.5×0.1=66.75，故C错误；
对于D，2000名男生中体重大于70kg的人数大约为2000×5×(0.04+0.02)=600，故D正确．
故选：ABD．
根据众数、中位数、平均数的概念求解，及频率分布直方图预测数据即可一一判断．
本题考查众数、中位数、平均数、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】AB
【解析】解：对A，由图可得，C，Q，B共面，且N不在平面内，则CQ与BN为异面直线，故A正确；
对B，由正方体性质可得C1D1⊥平面BCC1B1，又CQ⊂平面BCC1B1，故C 1D1⊥CQ，故B正确；
对C，由ND⊥平面ABCD可得直线BN与平面ABCD所成角为∠NBD，
又AB=AD=2，则BD=2 2,ND=1，
故tan∠NBD=12 2= 24，故∠NBD≠30°，故C错误；
对D，VQ−NBC=VN−QBC=13S△QBC⋅D1C1=13×12×2×2×2=43，故D错误．
故选：AB．
对A，直接观察判断即可；对B，根据C1D1⊥平面BCC1B1判断即可；对C，根据线面角的定义，结合直角三角形的性质求解即可；对D，利用等体积法VQ−NBC=VN−QBC求解即可．
本题综合考查了线线，线面位置关系的判断，棱锥体积的求解，属于中档题．
13.【答案】9 314
【解析】解：在△ABC中，a=3，b=2c，A=2π3，
由余弦定理得csA=c2+b2−a22bc，
即c2+4c2−94c2=−12．
解得c=3 77．
所以S△ABC=12bcsinA=(3 77)2sin2π3=9 314．
故答案为：9 314．
直接利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理和三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14.【答案】3 10
【解析】解：已知向量a=(t−2,3)，b=(3,−1)，a+2b=(t+4,1)，
∵(a+2b)//b，
∴−(t+4)=3，解得t=−7，
∴a=(−9,3)，|a|=3 10．
故答案为：3 10．
由向量平行的坐标运算，得到t=−7，再利用模的坐标公式求|a|．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
15.【答案】3
【解析】【分析】
本题主要考查复数模的公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
根据已知条件，结合复数模的公式，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】
解：设z=a+bi(a,b∈R)，
∵|z|=2，
∴a2+b2=4，表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，
|z−3+4i|=|a−3+(b+4)i|= (a−3)2+(b+4)2，表示圆上的点到点(3,−4)的距离，
故|z−3+4i|的最小值为 (0−3)2+(0+4)2−2=3．
故答案为：3．
16.【答案】8
【解析】解：设这5个数据分别为x1，x2，…，x5，则x1+x2+...+x5=3×5=15，
方差为15(x12+x22+...+x52−5×32)=185，所以x12+x22+...+x52=63，
加入一个新数据x6=9，
此时这6个数的平均数为x−，方差为s2，
所以x−=16×(15+9)=4，
s2=16×(x12+x22+...+x52+x62−6×42)=16×(63+81−96)=8．
故答案为：8．
利用平均数、方差的定义直接求解即可．
本题考查了平均数、方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)由a=(m,3)，b=(3,−n)，
可得a+2b=(m+6,3−2n)=(7,1)，
则有m+6=73−2n=1，解得m=1n=1，
故mn=1；
(2)由a=(1, 3)，b=(3,m)，
可得b在a方向上的投影为：
|b|⋅cs=a⋅b|a|=3+ 3m2=−3，
解得m=−3 3，故b=(3,−3 3)，
所以cs=a⋅b|a||b|=3−92×6=−12，
又cs∈[0,π]，
所以向量a与b的夹角为2π3．
【解析】(1)由向量加法的坐标运算，列方程即可求得m，n，得出结论；
(2)由投影的概念算出m，进而利用夹角公式求得夹角余弦值，从而得出夹角．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，考查投影概念，属基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则B(1,2,0)，C(0,2,0)，B1(1,2,1)，D1(0,0,1)，
B1C=(−1,0,−1)，BD1=(−1,−2,1)，
∴B1C⋅BD1=1+0−1=0，∴B1C⊥BD1．
(Ⅱ)A(1，0，0)，AB=(0,2,0)，AD1=(−1,0,1)，AB1=(0,2,1)，
设平面ABC1D1的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AD1=−x+z=0n⋅AB=2y=0，取x=1，得n=(1,0,1)，
设直线AB1与平面ABC1D1所成角为θ，
则直线AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值为：
sinθ=|AB1⋅n||AB1|⋅|n|=1 5⋅ 2= 1010．
【解析】(Ⅰ)以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B1C⊥BD1．
(Ⅱ)求出平面ABC1D1的法向量，利用向量法能求出直线AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值．
本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、线面角的正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，
同理在[0.5,1)，[1,1.5)，[1.5,2)，[2,2.5)，[2.5,3)，[3,3.5)，
[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08，0.5a，0.20，0.26，0.5a，0.06，0.04，0.02，
由0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1，
解得a=0.30；
(2)由频率分布直方图得：
0.04+0.08+0.30×0.5+0.2=0.47<0.5，0.47+0.5×0.52=0.73>0.5，
所以中位数应落在[2,2.5)，
设中位数为x，则0.52(x−2)+0.47=0.5，
解得x≈2.06，
估计居民月均用水量的中位数约为2.06；
(3)由(1)知，100位居民每人月均用水量不低于2.5吨的频率为0.15+0.06+0.04+0.02=0.27，
由以上样本的频率分布，可以估计全市60万居民中月均用水量不低于2.5吨的人数为：
600000×0.27=162000．
【解析】本题考查频率分布直方图的有关性质，属于基础题．
(1)根据频率分布直方图的性质可求解；
(2)利用中位数的定义求解；
(3)利用样本估计总体求解．
20.【答案】解：(1)已知向量a=( 3sinx,csx)，b=(sin(x+π2),csx)，
∵f(x)=a⋅b，
∴f(x)= 3sinxsin(x+π2)+cs2x
= 3sinxcsx+cs2x
= 32sin2x+12cs2x+12
=sin(2x+π6)+12，
则T=2π2=π，
即函数y=f(x)的最小正周期为π；
(2)由f(A)=1可得：sin(2A+π6)=12，
因为A∈(0,π)，
所以2A+π6∈(π6 , 7π6)，
所以2A+π6=5π6，
即A=π3，
又∵S△ABC=12bcsinA=12×4c× 32=2 3且b=4，
则c=2，
由余弦定理解可得：a2=b2+c2−2bccsA=42+22−2×4×2×12=12，
即a=2 3．
【解析】(1)由平面向量数量积的运算求出函数f(x)的解析式，然后结合三角函数的性质求解即可；
(2)由三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可．
本题考查了平面向量的数量积的运算，重点考查了余弦定理，属基础题．
21.【答案】解：(1)证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM=90°，
∴AB⊥AC，
又AB⊥DA.且AD∩AC=A，AD，AC⊂面ADC，
∴AB⊥面ADC，
∵AB⊂面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC；
(2)∵AB=AC=3，∠ACM=90°，
∴AD=AM=3 2，
∴BP=DQ=23DA=2 2，
由(1)得DC⊥AB，
又DC⊥CA，AB∩CA=A，AB，CA⊂面ABC，
∴DC⊥面ABC，
∴三棱锥Q−ABP的体积V=13S△ABP×13DC
=13×23S△ABC×13DC
=13×23×12×3×3×13×3=1．
【解析】本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于拔高题．
(1)可得AB⊥AC，AB⊥DA.从而得AB⊥面ADC，即可证明；
(2)根据BP=DQ=23DA，证明DC⊥面ABC，可得三棱锥Q−ABP的体积．
22.【答案】(1)证明：连结AC交BD于O，连结OF，
∵在△PAC中，F为PA中点，O为AC中点，
∴OF是△PAC的中位线，
∴PC//FO，
又∵PC⊄平面BFD，FO⊂平面BFD，
∴PC/​/平面BFD．
(2)解：如图连结FM交AD延长线于G，连结BG交CD于N
连结EF，FN，PG，
∵EF//CN，EFNC共面，EC/​/平面BFM，平面BFM∩平面EFNC=FN，
∴EC//FN，
∴四边形EFNC为平行四边形，
∴EF=CN=12CD，
∴N为CD中点，D为AG中点，
∴PMMD=PGFD=2，
即PMMD=2．
【解析】(1)根据线面平行的判定定理进行证明即可．
(2)根据线面平行的性质，结合中位线的性质进行求解．
本题主要考查线面平行的判定和性质，利用线面平行的判定定理和性质定理进行证明是解决本题的关键，是中档题．