2024年黑龙江省大庆市高新区中考数学一模试卷 含解析

这是一份2024年黑龙江省大庆市高新区中考数学一模试卷 含解析，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2024是2024的（ ）
A．倒数B．绝对值C．相反数D．负倒数
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）今冬，哈尔滨旅游火了！冻梨精致摆盘、把交响乐演出搬进火车站、鄂伦春族同胞被请出来表演驯鹿，哈尔滨的各种花式“宠粉”操作，使众多当地网友直呼：”尔滨，你让我感到陌生！“因为“尔滨”的真情实意款待，在2024年元旦小长假，哈尔滨3天总游客量达到304.79万人，旅游收入59.14亿元，创历史新高！那么，将数据“59.14亿”用科学记数法表示为（ ）
A．5.914×101B．0.5914×1010
C．5.914×1010D．5.914×109
4．（3分）如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
5．（3分）已知正比例函数y＝（9m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＜y2，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜9B．C．m＞0D．
6．（3分）某种羽绒服的进价为800元，出售时标价为1760元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但保证利润率为10%，则可打（ ）
A．4折B．5折C．6折D．7折
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．的算术平方根是4
C．（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6属于在进行因式分解过程
D．对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角
8．（3分）把一元二次方程y2﹣5y+4＝0和y2﹣5y+6＝0的根写在四张背面无差别的卡片上（一张卡片上写一个根），将这些卡片背面朝上放在桌面上，小李从中随机抽取一张记下数字作为点N的横坐标a，放回重新洗匀后再随机抽出一张记下数字作为点N的纵坐标b，则点N在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（ ）
A．3＜AC＜17B．3＜AC＜15C．1＜AC＜6D．2＜AC＜12
10．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）已知反比例函数，则函数图象所在象限是第 象限．
12．（3分）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）
13．（3分）已知，则（a﹣b）2+（2035）0＝ ．
14．（3分）若一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为4，方差为2，则x1﹣1，x2﹣1，x3﹣1，…，xn﹣1的方差为 ．
15．（3分）我们规定：在平面直角坐标系中，设点P到原点的距离为ρ（希腊字母读作“柔”），OP看作由x轴的正半轴逆时针旋转而成的夹角α，则用[ρ，α]表示点P的雷达坐标，则点P（﹣2024，2024）的雷达坐标为 ．（所写坐标形式必须符合重点标注部分的定义）
16．（3分）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在﹣2≤x≤4的范围内，则a的取值范围是 ．
17．（3分）斐波那契数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34…这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和．若我们把斐波那契数列中第1项表示为a1，第2项表示为a2，第3项表示为a3，以此类推，则a1a2+a2a3+a3a4+…+a2023a2024+a2024a2025＝ （用含a的式子表示）
18．（3分）如图，▱ABCD中，AD＝2，AB＝6，∠BCD＝135°，对角线AC，BD相交于点O，过点O的线段EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，以下说法中：①AE＝AF；②∠DAE＝2∠CAE；③EF＝；④△DOE的面积与△AOD的面积比为7：12．其中，正确的序号有 ．
三、解答题（本大题共10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算：．
20．（4分）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣（2x﹣y）（y+2x）﹣4xy]÷2y，其中x＝1，y＝2．
21．（5分）从2007年到2024年，经过17年的冲刺，中国高铁技术迅疾跨入世界领先行列．2024年某次“G”等级列车行驶420km的里程，它的平均速度是2007年普通“Z”等级列车的倍，所用的时间比2007年普通“Z”等级列车少2小时．求某次“G”等级列车2024年的平均速度．
22．（6分）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC＝75°，（求小李到古塔的水平距离即BC的长．（结果精确到1m，参考数据：，
23．（7分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对学生就校园安全知识的了解程度进行调查，随机从七、八年级各抽取了30名学生参与“校园安全”知识竞赛，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b．七年级成绩在80≤x＜90的数据如下：（单位：分）85，80，85，89，85，88，85，85，81，85，85，85；
C．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表
根据以上信息，回答下列问题
（1）表中m＝ ，n＝ ，请补全七年级成绩的频数分布直方图；
（2）综合以上信息，请问七、八年级哪个年级校园安全知识掌握的更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有1200名学生，请估计七年级成绩优秀的学生总人数．
24．（7分）如图，矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC边于点E、F，AF＝AE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若BC＝8，AB＝6，求EF的长．
25．（7分）【发现问题】
某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为d米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米，h与d的数量变化有一定规律．
【提出问题】
喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米与距喷水的柱子的水平距离d米，h与d之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据：
【解决问题】
（1）在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
（2）结合表中所给数据和所画出的图象，验证前面的抛物线形状的判断，并求出h与d之间的函数关系式；
（3）现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为2.4米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，问游船在能否顺利通过？说明理由．
（4）如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1m，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留π）
26．（8分）如图，一次函数y＝kx﹣3k（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，连接OC，AB．已知四边形ABCO是平行四边形，且其面积是6．
（1）求点A的坐标及m和k的值．
（2）①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；
②请结合图象，直接写出不等式的解集．
（3）若直线y＝x+t与四边形ABCO有交点时，直接写出t的取值范围．
27．（9分）如图：在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，连接OA．
（1）如图1，求证：∠BAD＝∠OAC；
（2）如图2，若⊙O的半径为r，连接BD，求证：AC2+BD2＝4r2．
（3）如图3，连接AD，过点B作BG⊥AD交AD于点G，交CD于点H，连接BO并延长交AD于点F．若BF平分∠ABG，且AH＝8，，求线段AF的长．
28．（9分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC，BC，且tan∠CBD＝，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连接PB，求PC+PB的最小值．
2024年黑龙江省大庆市高新区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）﹣2024是2024的（ ）
A．倒数B．绝对值C．相反数D．负倒数
【分析】根据相反数的定义判断即可．
【解答】解：﹣2024是2024的相反数．
故选：C．
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A．
3．（3分）今冬，哈尔滨旅游火了！冻梨精致摆盘、把交响乐演出搬进火车站、鄂伦春族同胞被请出来表演驯鹿，哈尔滨的各种花式“宠粉”操作，使众多当地网友直呼：”尔滨，你让我感到陌生！“因为“尔滨”的真情实意款待，在2024年元旦小长假，哈尔滨3天总游客量达到304.79万人，旅游收入59.14亿元，创历史新高！那么，将数据“59.14亿”用科学记数法表示为（ ）
A．5.914×101B．0.5914×1010
C．5.914×1010D．5.914×109
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：59.14亿＝5914000000＝5.914×109，
故选：D．
4．（3分）如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【分析】根据主视图和左视图知该组合体共2行、3列，再结合主视图和左视图确定每个位置小正方体的个数．
【解答】解：结合主视图和左视图，知搭建该几何体需要的小正方体的分布情况如图所示：
故选：A．
5．（3分）已知正比例函数y＝（9m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＜y2，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜9B．C．m＞0D．
【分析】根据题意得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵当x1＜x2时，有y1＜y2，
∴9m﹣1＞0，
解得m＞．
故选：D．
6．（3分）某种羽绒服的进价为800元，出售时标价为1760元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但保证利润率为10%，则可打（ ）
A．4折B．5折C．6折D．7折
【分析】设该羽绒服可以打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该羽绒服可以打x折销售，
根据题意得：1760×﹣800＝800×10%，
解得：x＝5，
∴该羽绒服可以打5折销售．
故选：B．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．的算术平方根是4
C．（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6属于在进行因式分解过程
D．对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角
【分析】由垂径定理，算术平方根的定义，对顶角的定义，多项式乘多项式的法则，即可判断．
【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故A不符合题意；
B、＝4，的算术平方根是2，故B不符合题意；
C、（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6属于多项式乘多项式的展开过程，故B不符合题意；
D、说法正确，故D符合题意．
故选：D．
8．（3分）把一元二次方程y2﹣5y+4＝0和y2﹣5y+6＝0的根写在四张背面无差别的卡片上（一张卡片上写一个根），将这些卡片背面朝上放在桌面上，小李从中随机抽取一张记下数字作为点N的横坐标a，放回重新洗匀后再随机抽出一张记下数字作为点N的纵坐标b，则点N在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用因式分解解一元二次方程，求得方程根，再画树状图，确定符合条件的点的个数，后用概率公式计算即可．
【解答】解：一元二次方程y2﹣5y+4＝0整理得（y﹣1）（y﹣4）＝0，
∴y﹣1＝0或y﹣4＝0，
解得：y1＝1，y2＝4；
一元二次方程y2﹣5y+6＝0整理得：（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y﹣2＝0或y﹣3＝0，
解得：y3＝2，y4＝3；
画树状图如下：
，
故坐标有（1，1），（1，2）（1，3）（1，4），（2，1），（2，2）（2，3）（2，4），（3，1），（3，2）（3，3）（3，4），（4，1），（4，2）（4，3）（4，4），共16种等可能性．
符合点N在以原点为圆心，5为半径的圆上的情况只有（4，3）和（3，4）两种情况，
∴点N在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是．
故选：D．
9．（3分）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（ ）
A．3＜AC＜17B．3＜AC＜15C．1＜AC＜6D．2＜AC＜12
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB．
在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+CE，
即5+5﹣7＜AC＜5+5+7，
3＜AC＜17．
故选：A．
10．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分0＜x≤2，2＜x≤4，4＜x≤8三种情况，结合等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质以及三角形面积公式分别列出函数关系式，从而作出判断．
【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，
在等边△ABC中，∠ACB＝60°，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，
∴∠FED＝60°，
∴∠ACB＝∠FED，
∴AC∥EF，
在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，
∴S△ABC＝BC•AM＝4，
①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，
由题意可得CD＝x，DG＝x
∴S＝CD•DG＝x2；
②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，
由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），
∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），
∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，
③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，
由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，
∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，
∴BM＝4﹣x
在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），
∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），
∴S＝（x﹣8）2，
综上，选项A的图象符合题意，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）已知反比例函数，则函数图象所在象限是第 一、三 象限．
【分析】的k＞0时，反比例函数经过第一、三象限，据此即可作答．
【解答】解：∵反比例函数，k＝3＞0，
∴函数图象所在象限是第一、三象限，
故答案为：一、三．
12．（3分）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为 15π cm2．（结果保留π）
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）．
故答案为：15π．
13．（3分）已知，则（a﹣b）2+（2035）0＝ 26 ．
【分析】根据，可得：＝0，（b+3）2＝0，所以a﹣2＝0，b+3＝0，据此求出a、b的值，再把求出的a、b的值代入（a﹣b）2+（2035）0计算即可．
【解答】解：∵，
∴＝0，（b+3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，
∴（a﹣b）2+（2035）0
＝[2﹣（﹣3）]2+1
＝52+1
＝25+1
＝26．
故答案为：26．
14．（3分）若一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为4，方差为2，则x1﹣1，x2﹣1，x3﹣1，…，xn﹣1的方差为 2 ．
【分析】根据平均数和方差公式的变形即可得到结果．
【解答】解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数是4，方差为2，
∴x1﹣1，x2﹣1，x3﹣1，…，xn﹣1的平均数是4﹣1＝3，方差是不变，还是2．
故答案为：2．
15．（3分）我们规定：在平面直角坐标系中，设点P到原点的距离为ρ（希腊字母读作“柔”），OP看作由x轴的正半轴逆时针旋转而成的夹角α，则用[ρ，α]表示点P的雷达坐标，则点P（﹣2024，2024）的雷达坐标为 [，135°] ．（所写坐标形式必须符合重点标注部分的定义）
【分析】先计算出点P（﹣2024，2024）到原点的距离，再求出点P（﹣2024，2024）与x轴的正半轴的夹角，然后利用新定义表示出雷达坐标．
【解答】解：点P（﹣2024，2024）到原点的距离为，
因为点P（﹣2024，2024）在第二象限的角平分线上，
所以点P（﹣2024，2024）与x轴的正半轴的夹角为135°，
所以点P（﹣2024，2024）的雷达坐标为[2024，135°]．
故答案为：[，135°]．
16．（3分）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在﹣2≤x≤4的范围内，则a的取值范围是 a≤﹣5或a≥5 ．
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞a+1，
解不等式②得：x＜a+3，
∴不等式组的解集为a﹣1＜x＜a+3，
∵关于x的不等式组的解集中每一个值均不在﹣2≤x＜4的范围内，
∴a+3≤﹣2或a﹣1≥4，
解得：a≤﹣5或a≥5，
故答案为：a≤﹣5或a≥5．
17．（3分）斐波那契数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34…这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和．若我们把斐波那契数列中第1项表示为a1，第2项表示为a2，第3项表示为a3，以此类推，则a1a2+a2a3+a3a4+…+a2023a2024+a2024a2025＝ ﹣1 （用含a的式子表示）
【分析】从第3项开始，每一项都等于前两项之和，可知a2＝a3﹣a1，a4＝a5﹣a3，a2024＝a2025﹣a2023，代入所给代数式即可求解．
【解答】解：由题意可知，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即a2＝a3﹣a1，a4＝a5﹣a3，a2024＝a2025﹣a2023，
∴原式＝a1（a3﹣a1）+（a3﹣a1）a3+a3（a5﹣a3）+...+a2023（ a2025﹣a2023）+（a2025﹣a2023）a2025
＝a1a3﹣+﹣a1a3+a3a5﹣+...+a2023a2025﹣+﹣a2023a2025
＝﹣+，
∵a1＝1，
∴原式＝﹣1，
故答案为：﹣1．
18．（3分）如图，▱ABCD中，AD＝2，AB＝6，∠BCD＝135°，对角线AC，BD相交于点O，过点O的线段EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，以下说法中：①AE＝AF；②∠DAE＝2∠CAE；③EF＝；④△DOE的面积与△AOD的面积比为7：12．其中，正确的序号有 ①③④ ．
【分析】易通过AAS证明△COE≌△AOF，得到OE＝OF，再根据等腰三角形的三线合一性质可知△AEF为等腰三角形，进而判断①；过点A作AG⊥CD于点G，连接CF，由对角互相垂直平分的四边形为菱形可得四边形AECF为菱形，易证AGD为等腰直角三角形，得到AG＝DG＝2，则CG＝4，设AE＝CE＝a，则GE＝4﹣a，在Rt△AGE中，利用勾股定理建立方程，解得a＝，进而求得DE＝，由平行线的性质得∠DEA＝∠EAF＝2∠CAE，由DE≠AD可得∠DAE≠∠DEA＝2∠CAE，以此判断②；在Rt△ACG中，利用勾股定理求得AC＝，在Rt△COE中，利用勾股定理求得OE＝，以此判断③；易得O到CD的距离为1，O到AB的距离为1，则S△DOE＝＝，S△AOD＝S△ABD﹣S△AOB＝＝3，再进一步计算即可判断④..
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝6，OA＝OC，
∴∠CEO＝∠AFO，∠OCE＝∠OAF，
在△COE和△AOF中，
，
∴△COE≌△AOF（AAS），
∴OE＝OF，
∵EF⊥AC，
∴OA⊥EF，
∴△AEF为等腰三角形，AE＝AF，故①正确；
如图，过点A作AG⊥CD于点G，连接CF，
则∠AGD＝90°，
∵OE＝OF，OC＝OA，EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形，
∴AE＝CE，∠EAF＝2∠CAE，
∵∠BCD＝135°，AD∥BC，
∴∠ADC＝45°，
∴△AGD为等腰直角三角形，
∴AG＝DG＝＝＝2，
∴CG＝CD﹣DG＝6﹣2＝4，
设AE＝CE＝a，则GE＝CG﹣CE＝4﹣a，
在Rt△AGE中，GE2+AG2＝AE2，
（4﹣a）2+22＝a2，
解得：a＝，
∴AE＝CE＝＝AF，GE＝4﹣a＝，
∴DE＝DG+GE＝2+＝，
∵AB∥CD，
∴∠DEA＝∠EAF＝2∠CAE，
∵DE＝≠AD＝，
∴∠DAE≠∠DEA＝2∠CAE，故②错误；
在Rt△ACG中，＝＝，
∴OC＝OA＝，
在Rt△COE中，OE＝＝＝，
∴EF＝，故③正确；
∵AG＝2，
∴O到CD的距离为1，O到AB的距离为1，
∴S△DOE＝＝，
S△AOD＝S△ABD﹣S△AOB＝＝3，
∴＝＝，故④正确．
综上，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算：．
【分析】利用特殊锐角三角函数值，负整数指数幂及绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝2×+9+2﹣
＝+9+2﹣
＝11．
20．（4分）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣（2x﹣y）（y+2x）﹣4xy]÷2y，其中x＝1，y＝2．
【分析】原式括号中利用完全平方公式，平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：[（2x﹣y）2﹣（2x﹣y）（y+2x）﹣4xy]÷2y
＝（4x2+y2﹣4xy﹣2xy﹣4x2+y2+2xy﹣4xy）÷2y
＝（2y2﹣8xy）÷2y
＝y﹣4x；
当x＝1，y＝2时，原式＝2﹣4＝﹣2．
21．（5分）从2007年到2024年，经过17年的冲刺，中国高铁技术迅疾跨入世界领先行列．2024年某次“G”等级列车行驶420km的里程，它的平均速度是2007年普通“Z”等级列车的倍，所用的时间比2007年普通“Z”等级列车少2小时．求某次“G”等级列车2024年的平均速度．
【分析】根据动车组行驶的时间和高铁列车的行驶时间的关系，列出分式方程即可求解．
【解答】解：设2007年普通Z等级列车的平均速度为x km/h，则2024年G等级列车平均速度为x km/h，
根据题意得，
，
即，
解得 x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：某次G等级列车列车2024年的平均速度为280km/h．
22．（6分）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC＝75°，（求小李到古塔的水平距离即BC的长．（结果精确到1m，参考数据：，
【分析】过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AO＝40米，OC＝20米，OE＝BD，OE∥BD，从而可得∠EOC＝∠OCD＝45°，进而可得∠AOE＝30°，然后在Rt△OCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△AOE中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
由题意得：AO＝8×5＝40（米），OC＝4×5＝20（米），OE＝BD，OE∥BD，
∴∠EOC＝∠OCD＝45°，
∵∠AOC＝75°，
∴∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝30°，
在Rt△OCD中，CD＝OC•cs45°＝20×＝10（米），
在Rt△AOE中，OE＝AO•cs30°＝40×＝20（米），
∴OE＝BD＝20（米），
∴BC＝BD﹣CD＝20﹣10≈21（米），
∴小李到古塔的水平距离即BC的长约为21米．
23．（7分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对学生就校园安全知识的了解程度进行调查，随机从七、八年级各抽取了30名学生参与“校园安全”知识竞赛，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b．七年级成绩在80≤x＜90的数据如下：（单位：分）85，80，85，89，85，88，85，85，81，85，85，85；
C．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表
根据以上信息，回答下列问题
（1）表中m＝ 83 ，n＝ 85 ，请补全七年级成绩的频数分布直方图；
（2）综合以上信息，请问七、八年级哪个年级校园安全知识掌握的更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有1200名学生，请估计七年级成绩优秀的学生总人数．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求m和n的值，求出成绩在90≤x≤100的人数即可补全频数分布直方图；
（2）根据八年级的方差低于七年级，于是得到八年级校园安全知识掌握的更好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）七年级30名学生的竞赛成绩的中位数是第15和第16个数据的平均数，
∴m＝＝83，
∵在七年级30名学生的竞赛成绩中85出现的次数最多，
∴众数n＝85，
成绩在90≤x≤100的人数为30﹣3﹣3﹣7﹣12＝5（人），
补全频数分布直方图如下：
故答案为：83，85；
（2）八年级校园安全知识掌握的更好，
理由：七、八年级的平均数和中位数相同，但八年级的方差低于七年级，说明八年级的成绩稳定，波动小，所以八年级校园安全知识掌握的更好；
（3）1200×＝680（人），
答：估计七年级成绩优秀的学生总人数是680人．
24．（7分）如图，矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC边于点E、F，AF＝AE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若BC＝8，AB＝6，求EF的长．
【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明△AOE≌△COF，得到AE＝CF，得到四边形是平行四边形，再根据AF＝AE，即可得证；
（2）勾股定理求出AC的长，设CF＝AF＝x，则BF＝8﹣x，在Rt△ABF中，利用勾股定理求出x的值，再根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CF，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵O是对角线AC的中点，
∴OA＝OC，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AF＝AE，
∴▱AFCE是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，
∵AB＝6，BC＝8，
∴，
∴．
∵四边形AFCE是菱形，
∴CF＝AF，EF⊥AC，EF＝2OF，
∴∠COF＝90°，
令CF＝AF＝x，则BF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，
∵AB2+BF2＝AF2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得，即，
∴，
∴．
25．（7分）【发现问题】
某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为d米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米，h与d的数量变化有一定规律．
【提出问题】
喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米与距喷水的柱子的水平距离d米，h与d之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据：
【解决问题】
（1）在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
（2）结合表中所给数据和所画出的图象，验证前面的抛物线形状的判断，并求出h与d之间的函数关系式；
（3）现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为2.4米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，问游船在能否顺利通过？说明理由．
（4）如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1m，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留π）
【分析】（1）根据表格数据对应描点画图即可；
（2）根据表格数据和图象的对称性可得答案；
（3）根据二次函数的图象和性质可得答案；
（4）先利用待定系数法求得该抛物线的解析式，再求出落水点距离喷头的水平距离，进而求得圆形护栏的半径，根据圆的周长公式即可求解．
【解答】解：（1）描点、连线、图象如图1；
；
（2）该函数是二次函数，由（1，2）和（3，2）可知，抛物线的对称轴为直线d＝2，
当d＝2时，，
∴水柱最高点距离湖面的高度是米；
由图象可得，顶点，
设二次函数的关系式为，
把代入可得，
∴；
将和代入抛物线关系式，左边等于右边，所有的点都在二次函数图象上，
∴可以确认该函数是二次函数；
（3）游船宽带2.4米，在抛物线的正下方通过，令d＝2﹣1.2＝0.8，
代入抛物线得，
由已知，顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，
∴2+0.8＝2.8，
∴2.8＞2.09，
∴不能正常通过；
（4）当h＝0时，即，
解得d＝﹣1（舍去）或d＝5，
∴圆的半径为5+1＝6（米），
∴至少需要准备栏杆2×6×π＝12π（米），
∴公园至少需要准备12π米的护栏．
26．（8分）如图，一次函数y＝kx﹣3k（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，连接OC，AB．已知四边形ABCO是平行四边形，且其面积是6．
（1）求点A的坐标及m和k的值．
（2）①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；
②请结合图象，直接写出不等式的解集．
（3）若直线y＝x+t与四边形ABCO有交点时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，则kx﹣3k＝0，所以x＝3，得到A（3，0），利用平行四边形的性质求出BC＝3，设C（﹣3，b），再利用平行四边形ABCO的面积是6，列出方程得到b＝2，即可求出答案；
（2）①联立直线AC和双曲线的解析式求解，即可求出答案；
②利用图象直接得出答案；
（3）当直线y＝x+t经过点C时，t取最大值，当直线y＝x+t经过点A时，t取最小值．据此解答．
【解答】解：（1）令y＝0，则kx﹣3k＝0，
∴x＝3，
∴A（3，0），
∴OA＝3，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴BC＝OA＝3，
∵CB⊥y轴，
∴设C（﹣3，b），
∵平行四边形ABCO的面积是6，
∴3b＝6，
∴b＝2，
∴C（﹣3，2），m﹣1＝﹣3×2＝﹣6，
∴m＝﹣5，
∵点C在直线y＝kx﹣3k上，
∴2＝﹣3k﹣3k，
∴k＝﹣，
即A（3，0），m＝﹣5，k＝﹣；
（2）①由（1）知，k＝﹣，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1①，
由（1）知，m＝﹣5，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣②，
联立①②解得，（点C的坐标）或，
∴一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为（6，﹣1）；
②由图可得，当﹣3＜x＜0或x＞6时，反比例函数 的图象在一次函数＝kx﹣3k（k≠0）的图象上方，
∴不等式 的解集为：﹣3≤x＜0或 x≥6；
（3）如图所示，当直线y＝x+t经过点C时，t 取最大值，当直线y＝x+t经过点A时，t取最小值，
将点C（﹣3，2）代入y＝x+t，得2＝﹣3+t，
解得t＝5；
将点A（3，0）代入y＝x+t，得0＝3+t，
解得t＝﹣3，
∴若直线y＝x+t与四边形ABCO有交点时，t的取值范围为﹣3≤t≤5．
27．（9分）如图：在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，连接OA．
（1）如图1，求证：∠BAD＝∠OAC；
（2）如图2，若⊙O的半径为r，连接BD，求证：AC2+BD2＝4r2．
（3）如图3，连接AD，过点B作BG⊥AD交AD于点G，交CD于点H，连接BO并延长交AD于点F．若BF平分∠ABG，且AH＝8，，求线段AF的长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠C，故∠OAD＝∠ODA＝90°﹣∠C，由于AB⊥CD得到∠CAE＝90°﹣∠C，可得∠OAD＝∠CAE，即可证明；
（2）作直径AF，连接CF，BF，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACF＝∠ABF＝90°，则BF∥CD，根据平行所夹的弧相等，得＝，则CF＝BD再由勾股定理证明．
（3）先求半径OB的长，连接CO并延长交⊙O于点M，连接AM．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵＝，
∴∠AOD＝2∠C，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝90°﹣∠C，
∵AB⊥CD，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠OAD＝∠CAE，
∵∠BAD＝∠BAO+∠OAD，
∠OAC＝∠BAO+∠CAE，
∴∠BAD＝∠OAC；
（2）证明：作直径AF，连接CF，BF，如图2，
∵直径AF，
∴∠ACF＝∠ABF＝90°，
∴FB⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴BF∥CD，
∴＝，
∴CF＝BD，
根据勾股定理可得：
AB2+BD2＝AC2+CF2＝AF2＝（2r）2＝4r2；
（3）解：∵CM是⊙O直径，
∴∠MAC＝90°，
∵，
∴，
∴，
∵AH＝8，由（1）可知AC＝AH，
∴AC＝8，
∴AM＝6，
∴，
∴OC＝5，
过F作FN⊥AB，垂足为N，如图3，
∵，AE⊥DE，
∴，
∴，
设NF＝3a，则AN＝4a，
∴，
∵FB平分∠ABG，NF⊥AB，FG⊥BG，
∴FG＝NF＝3a，
∴AG＝8a，
∵，
∴AB＝10a，
∴NB＝6a，
∴AF＝．
28．（9分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC，BC，且tan∠CBD＝，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连接PB，求PC+PB的最小值．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），可得对称轴为直线x＝2，由锐角三角函数可求点C坐标，代入解析式可求解析式；
（2）①先求出直线BC解析式，设P（2，t），可得点E（5﹣t，t），点，可求EF的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；
②根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，过点P作PG⊥AC于G，可得PG＝PC，可得，过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，即BH是PC+PB的最小值，由三角形面积公式可求解．
【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴D（2，0），
又∵＝，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝4，
即C（2，4），
代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ＝﹣x2++；
（2）①设P（2，t），其中0＜t＜4，
设直线BC的解析式为 y＝kx+b，
∴，
解得
即直线BC的解析式为 ，
令y＝t，得：，
∴点E（5﹣t，t），
把 代入，得 ，
即，
∴，
∴△BCF的面积＝×EF×BD＝（t﹣）＝，
∴当t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为；
②如图，据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，
∴，
过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，，
∴，
过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，
∴线段BH的长就是的最小值，
∵，
又∵，
∴，
即，
∴的最小值为．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80.4
m
n
141.04
八年级
80.4
83
84
86.10
d（米）
…
0
1
2
3
4
…
h（米）
…
2
2
…
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80.4
m
n
141.04
八年级
80.4
83
84
86.10
d（米）
…
0
1
2
3
4
…
h（米）
…
2
2
…